导数和复数 知识要点
复数导数知识点总结
复数导数知识点总结1. 复数导数的基本概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的变化率。
对于一元函数而言，导数是函数在某一点的斜率。
而对于多元函数（即含有多个自变量的函数），我们就需要引入复数导数来描述其变化率。
复数导数是一个复数，它包括了函数在所有自变量方向上的变化率信息。
对于一个多元函数f(x1, x2,...,xn)，它的复数导数可以表示为：∂f/∂x1 * i + ∂f/∂x2 * j + ... + ∂f/∂xn * k其中，∂f/∂x1、∂f/∂x2、...、∂f/∂xn 分别表示函数f在x1、x2、...、xn方向上的偏导数。
i、j、k分别是三维空间中的基本单位向量。
这样，函数f在某一点的复数导数就包含了其在所有自变量方向上的变化率信息。
2. 复数导数的性质与一元函数的导数类似，复数导数也具有一些基本性质。
其中包括线性性、链式法则、乘积法则、商规法则、复合函数求导、隐函数求导等。
这些性质是复数导数计算和应用的基础，对于求解复杂问题至关重要。
3. 复数导数的计算方法在实际应用中，我们经常需要计算多元函数的复数导数。
复数导数的计算方法包括了偏导数、全导数、梯度、方向导数等。
偏导数是多元函数在某一点上的各个自变量方向上的导数，它是复数导数的基本成分。
全导数是多元函数在某一点上的所有自变量方向上的导数，它由偏导数组成。
梯度是多元函数在某一点上最大的变化率以及变化的方向，它是函数的复数导数。
方向导数是多元函数在某一点上沿着某一给定方向的导数，它可以用梯度的方向与给定方向的夹角来表示。
这些方法为我们计算多元函数的复数导数提供了有效的工具。
4. 复数导数的应用复数导数在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
在物理学中，复数导数可以用来描述质点在空间中的运动轨迹，以及场和电路中的变化率。
在工程学中，复数导数可以用来描述材料的变形、结构的变化以及系统的响应。
在经济学中，复数导数可以用来描述市场的供求关系以及货币的流动。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
高中数学导数和复数教案
高中数学导数和复数教案一、导数1. 定义：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的斜率。
2. 导数的符号表示：函数 f(x) 在点 x 处的导数表示为 f'(x)，读作 f prime of x。
3. 导数的计算方法：- 利用定义法：导数 f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h- 利用基本导数法则：常数规则、幂规则、指数函数规则、三角函数规则等- 利用求导法则：和差法则、乘法法则、商法则、链式法则等4. 导数的应用：求函数的极值、切线、凹凸性以及函数图像的特征等。
二、复数1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为 a + bi，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
2. 复数的运算：- 复数的加减法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 复数的乘法：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i- 复数的除法：(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc - ad)i / (c^2 + d^2)3. 复数的共轭：复数 a + bi 的共轭是 a - bi，记作 a - bi。
4. 复数的模和幅角：复数 a + bi 的模是 |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)，幅角是 arg(a + bi) = arctan(b/a)。
5. 复数的指数形式：复数 a + bi 可以表示为re^(iθ) 的指数形式，其中 r 为模，θ 为幅角。
教学目标：掌握导数的概念与计算方法，了解导数在函数中的应用；理解复数的定义和运算规则，掌握复数的模、幅角和指数形式。
教学过程：1. 导数的概念和计算方法的介绍，包括常见导数的基本规则和应用。
高三数学复数知识点总结大全
高三数学复数知识点总结大全复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的，可以用来解决实数范围内无法解决的问题。
在高三数学学习中，复数也是一个重要的知识点。
下面将对高三数学中的复数知识点进行总结和归纳，以供参考。
一、复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，可以用(a+bi)的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，i^2=-1。
复数可以用复平面上的点表示，实部和虚部分别对应坐标轴上的横坐标和纵坐标。
二、复数的四则运算法则1.加法和减法：实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2.乘法：使用分配率进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd。
3.除法：将除数与被除数乘以共轭复数，然后利用分子分母有理化的方法进行计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
三、复数的模、辐角和共轭复数1.模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。
2.辐角：复数z=a+bi的辐角定义为arg(z)=arctan(b/a)，表示复数与实轴正向之间的夹角。
3.共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数定义为z的实部不变，虚部变号，即z的共轭复数为a-bi。
四、复数的指数形式和三角形式1.指数形式：复数z=a+bi可以表示为z=r·exp(iθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。
2.三角形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。
五、复数的乘方和根式表示1.复数的乘方：(a+bi)^n可以使用二项式定理进行展开，然后进行化简。
2.复数的根式表示：复数的根式表示可以通过化简复数的乘方得到。
例如，对于z^2=a+bi，可以先求出z^2=(x+yi)^2，再解一元二次方程求得x和y。
导数和复数 知识要点
导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得xx x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程.③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- . 3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z znn②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有 ③n n n n m n m n m n mz z z z z z z z z2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i iii i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg . 注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值. ②辐角是多值的，都相差2π的整数倍. ③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化： )sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，rb r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。
数学导数复数知识点总结
数学导数复数知识点总结在本文中，我们将对导数的复数知识点进行详细总结，包括复数的定义、复数函数的导数、复数函数的全微分与全导数，以及一些相关的应用和例题。
一、导数的复数定义1.1 复数的定义在正式介绍导数的复数知识点之前，我们有必要先来回顾一下复数的概念。
复数是由一个实数部分与一个虚数部分组成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
因此，复数可以看作是实数与虚数的结合，是一个具有一定规律和性质的数。
而复数函数就是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)=z²+1，其中z是复数。
1.2 复数的运算对于复数的运算，我们可以通过实部和虚部的运算，实现加减乘除等操作。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和、差、积、商分别为z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2²+b2²)+((a2b1-a1b2)/(a2²+b2²))i。
通过这些运算，我们可以得到两个复数的和、差、积、商，这为后续导数的复数知识点打下了基础。
1.3 导数的复数定义在实数情况下，我们知道导数的定义是函数在某一点的极限。
而对于复数函数，我们同样可以根据实数的导数定义来给出复数函数导数的定义。
设f(z)是z的一个函数，如果存在复数w，使得对于任意给定的ε>0，存在另一个正数δ，当|z-z0|<δ时，|f(z)-w|<ε成立，则称f(z)在z=z0处有极限w，记作limz→z0f(z)=w。
如果函数f(z)在z0处有极限w，且对于z0的任何邻域内的点z≠z0，都有limz→z0(f(z)-f(z0))/(z-z0)=w，则称f(z)在z0处可导，并称w是f(z)在z0处的导数。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它扩展了实数系统，允许我们处理平方根为负数的情况。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是实数和虚数的组合，通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的分类：- 实数：当b=0时，复数a+bi退化为实数a。
- 纯虚数：当a=0时，复数a+bi被称为纯虚数bi。
- 复数：当a和b都不为0时，a+bi是一个完整的复数。
3. 复数的表示：- 代数形式：a+bi，其中a是实部，b是虚部。
- 极坐标形式：r(cosθ + isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
- 指数形式：r(cosθ + isinθ) = re^(iθ)。
4. 复数的四则运算：- 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i- 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i- 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i5. 复数的共轭：对于复数a+bi，其共轭为a-bi，记作a+bi*。
6. 复数的模：复数a+bi的模是|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数在复平面上到原点的距离。
7. 复数的幅角：复数a+bi的幅角是θ，满足tanθ = b/a，且θ的取值范围通常在[0, 2π)。
8. 复数的极坐标表示：复数可以表示为极坐标形式r(cosθ +isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
9. 复数的指数形式：复数的指数形式是re^(iθ)，其中r是模，θ是幅角。
10. 复数的代数基本定理：任何非零复数都可以分解为若干个线性因子的乘积。
11. 复数的解析函数：在复数域上，如果一个函数在某区域内处处可导，则该函数在该区域内是解析的。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
关于复数的知识点总结
关于复数的知识点总结复数是数学中处理多个实体的运算，在学习中也是重要的知识点之一。
本文将总结关于复数的相关知识，包括定义、表示、性质、运算法则以及各类运算技巧等。
一、定义复数是一种特殊的数据类型，具有实部和虚部两个成分，是由实数和虚数的结合组成的，表示的形式为a+bi (a, b 为实数，i为虚数单位，示指数为1的实数)。
二、表示1、笛卡尔坐标表示：复数可以用笛卡尔坐标的形式来表示，即在复平面上的一点，表示成（x，y），其中x为实部，y为虚部，即z=x＋iy。
2、极坐标表示：复数可以用极坐标系来表示，即以极点为原点，以直线r为半径，以θ表示弧度，其中θ＝tan-1（y/x）为角度，即z＝r e^iθ。
三、性质1、实部和虚部都为实数：复数的实部和虚部都是实数，但实部和虚部均可为零，即0+0i也是一个复数，记作0。
2、复数的运算：复数的运算、比较、求倒数和次方等都与实数的运算性质基本相同，且复数的运算也遵循统一的规则：（1）复数的相加：复数的相加等于它们的实部和虚部的相加。
（2）复数的相减：复数的相减等于它们的实部和虚部的相减。
（3）复数的相乘：复数的相乘等于它们的实部相乘加上虚部相乘。
（4）复数的相除：复数的相除等于它们除以分母的实部相乘加上虚部相乘。
3、复数的模：复数的模(magnitude)定义为复数的绝对值，表示为|z|，其实是复数的模的平方的开放，即|z|＝√（x^2＋y^2）。
复数的模也可以用极坐标表示，即|z|＝r。
四、运算法则1、复数乘以共轭复数：复数乘以共轭复数等于实部和虚部的乘积，即(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2。
2、复数求倒数：复数求倒数时，除以复数的模并化简，即1/z=1/|z|*（a/|z|-bi/|z|）。
3、复数次方：复数次方是指复数的乘方，比如z^2=(a+bi)^2=a^2＋2abi＋ b^2i^2=a^2-b^2+2abi，其中i^2=-1，即z^2=a^2-b^2+2abi。
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
复变函数的可导与解析,高数
为复数） （k = 0,±1,±2,L) ( z ≠ 0,α为复数）
性质：（ • 当α 为整数时， α = eαlnz − − − 单值 性质：（ 1 ） 为整数时， z 特别， α为正整数时， z 特别，当 为正整数时，即为的α次幂 p • 当为有理数 （p, q互质, q > 0 时， ） q zα = e
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。 一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
证明： 例 3 证明：f ( z ) =
Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
例4
可导？ 解析？ 判断下列函数何处 可导？何处 解析？ 1 （） f ( z ) = e x (cos y + i sin y )
z → z0 ( x , y )→( x0 , y0 )
f ( z ) 在 z0 连续
z → z0
⇔
u( x, y)，v( x, y)在 ( x0 , y0）连续
( x , y )→( x0 , y0 )
（lim f ( z ) = f ( z0 )） （
lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
(z )
n
′
= nz n−1
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
可导必连续,连续不一定可导 可导必连续 连续不一定可导
求导法则: 求导法则
(1) (C ) = 0, 其中 为复常数 其中C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′
【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)
高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
(完整版)复数知识点总结
(完整版)复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，特别是在代数和几何中扮演着重要角色。
以下是复数的知识点总结：1. 定义：复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
2. 实部与虚部：对于复数 z = a + bi，a 称为它的实部（Re(z)），b 称为它的虚部（Im(z)）。
3. 共轭复数：一个复数 z 的共轭复数表示为 z* 或者z̅，定义为a - bi。
共轭复数在复平面上关于实轴对称。
4. 模与辐角：复数 z 的模（|z|）是其实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a² + b²)。
辐角（arg(z)）是从正实轴到复数在复平面上表示的向量的角度，通常用θ 表示。
5. 复数的乘法与除法：- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i6. 欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
这个公式将复指数函数与三角函数联系起来。
7. 德摩弗定理：对于任何复数 z 和非零复数 w，有 (z/w) = (z - w) / (1 - wz)，这个定理在处理复数序列和级数时非常有用。
8. 复数的极限与连续性：复数的极限定义与实数类似，但需要考虑复平面上的点。
复数函数的连续性也可以用类似实数函数的方式定义。
9. 解析函数：如果一个复数函数 f(z) 在某个区域内的每一点都可微分，则称 f(z) 在该区域内解析。
柯西-黎曼方程是判断一个复函数是否可微分的必要条件。
10. 级数展开：复数函数可以通过泰勒级数或劳朗级数在复平面上展开。
导数、复数、数学归纳法
题目(选修Ⅱ)第一章概率与统计数学归纳法高考要求1掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程2对数学归纳法的认识不断深化3掌握数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明知识点归纳1归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般2不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法3完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法4数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立6用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题: 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉题型讲解例1 比较2n与n2的大小（n∈N *）分析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n =4时，24=42，当n =5时，25＞52， 猜想：当n ≥5时，2n ＞n 2 下面用数学归纳法证明： （1）当n =5时，25＞52成立（2）假设n =k （k ∈N *，k ≥5）时2k ＞k 2， 那么2k +1=2·2k =2k +2k ＞k 2+（1+1）k＞k 2+C 0k +C 1k +C 1-k k =k 2+2k +1=（k +1） 2∴当n =k +1时，2n ＞n 2 由（1）（2）可知，对n ≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立 综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2点评：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩另法：当n ≥5时，要证2n ＞n 2，也可直接用二项式定理证：2n =（1+1）n =C 0n +C 1n +C 2n +…+C 2-n n +C 1-n n +C nn＞1+n +2)1(-n n +2)1(-n n =1+n +n 2－n ＞n 2 例2 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论分析：先取n =1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *，a 、b 、c 所确定的等式都成立解：分别用n =1，2，3代入解方程组1,4011643,4819180.a abc a b c b a b c c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++=⎩=⎪⎪⎩下面用数学归纳法证明（1）当n =1时，由上可知等式成立; （2）假设当n =k +1时，等式成立， 则当n =k +1时， 左边=1·［（k +1）2－12］+2［（k +1）2－22］+…+k ［（k +1）2－k 2］ +（k +1）［（k +1）2－（k +1）2］=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41k 4+（－41）k 2+（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1） =41（k +1）4－41（k +1）2 ∴当n =k +1时，等式成立 由（1）（2）得等式对一切的n ∈N *均成立 点评：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力例3 设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）证明：n ≥1时，a n =51[3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 分析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证 证明：（1）当n =1时，51［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=30－2a 0=1－2a 0 ∴当n =1时，通项公式正确（2）假设n =k （k ∈N *）时正确，即a k =51［3k +（－1）k －1·2k ］+（－1）k ·2k ·a 0， 那么a k +1=3k －2a k =3k －52×3k +52（－1）k ·2k +（－1）k +1·2k +1a 0 =53·3k +51（－1）k ·2k +1+（－1）k +1·2k +1·a 0 =51［3k +1+（－1）k ·2k +1］+（－1）k +1·2k +1·a 0 ∴当n =k +1时，通项公式正确由（1）（2）可知，对n ∈N *，a n =51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0点评：由n =k 正确⇒n =k +1时也正确是证明的关键 另法：也可用构造数列的方法求a n 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0由a n =3n －1－2a n －1， 得n n a 33=－1132--n n a +1， 即n n a 3=－32·113--n n a 31∴nn a 3－51=－32（113--n n a －51） ∴{nn a 3－51}是公比为－32，首项为513230--a 的等比数列 ∴n na 3－51=（54－32a 0）·（－32）n －1 ∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －1×3+51×3n=51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 点评：关键是转化成a n +1=ca n +d 型例4 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36， 由此猜想m =36下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除， 即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －1－1），由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除 这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除 由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36例5 如下图，设P 1，P 2，P 3，…，P n ，…是曲线y =x 上的点列，Q 1，Q 2，Q 3， …，Q n ，…是x 轴正半轴上的点列，且△OQ 1P 1，△Q 1Q 2P 2，…，△Q n －1Q n P n ，…都是正三角形，设它们的边长为a 1，a 2，…，a n ，…，求证：a 1+a 2+…+a n =31n （n +1） 证明：（1）当n =1时，点P 1是直线y =3x 与曲线y =x 的交点，∴可求出P 1（31，33）∴a 1=|OP 132而31×1×2=32，命题成立（2）假设n =k （k ∈N *）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k （k +1）， 则点Q k 的坐标为（31k （k +1），0）， ∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x －31k （k +1）]代入y =x ，解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k ∴a k +1=|Q k P k +1|=33（k +1）·32=32（k +1） ∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k （k +1）+32（k +1）=31（k +1）（k +2） ∴当n =k +1时，命题成立 由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立点评：本题的关键是求出P k +1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1| 小结：1．用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n =n 0时，n 0并不一定是1．（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k 到k +1时命题的变化．（3）由假设n =k 时命题成立，证n =k +1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标2归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一3数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视4数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些5用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值，要弄清n=k 和n=k+1时的结论是什么要有目标意识，紧盯n=k+1时的结论，对n=k 时的结论进行一系列的变形，变形的目标就是n=k+1时的结论这就是所谓的“凑假设，凑结论”题目(选修Ⅱ)第三章导数导数的概念与和、差、积、商的导数 高考要求1了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 3理解导函数的概念 熟记基本导数公式； 4掌握两个函数和、差、积、商的求导法则5了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数 6理解可导函数的单调性与其导数的关系；7了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；8会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 知识点归纳1导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件6求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 7 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 8和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭题型讲解例1 若f ′（x 0）=2,求0lim→k kx f k x f 2)()(00--分析:根据导数的定义解:f ′（x 0）= 0lim→k kx f k x f ---+)()]([00（这时Δx =－k ）∴0lim →k kx f k x f 2)()(00-- =0lim →k ［－21·kx f k x f ---)()(00］ =－21·0lim →k kx f k x f ---)()(00=－21f ′（x 0）=－1 点评: 注意f ′（x 0）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00中Δx 的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx =－k ,k →0⇒－k →0,∴f ′（x 0）= 0lim →k kx f k x f 3)()3(00---,还可以写成f ′（x 0）= 0lim →k kx f k x f 3)()3(00---或 f ′（x 0）=∞→k lim ［f （x 0+k1）－f （x 0）］等例2 若f （x ）在R 上可导，（1）求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数的关系；（2）证明：若f （x ）为偶函数，则f ′（x ）为奇函数分析:（1）需求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数；（2）求f ′（x ），然后判断其奇偶性（1）解:设f （－x ）=g （x ）,则g ′（a ）= 0lim→∆x x a g x a g ∆-∆+)()(=0lim →∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =－0lim →∆-x xa f x a f ∆---∆--)()(=－f ′（－a ）∴f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数互为相反数（2）证明:f ′（－x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()(=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－0lim →∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－f ′（x ）∴f ′（x ）为奇函数点评:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致例3 求下列函数的导数：（1）y =x 2sin x ; （2）y =ln （x ＋21x +）;（３）y =1e 1e -+x x ; （４）y xx cos +解:（1）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sin x ）′=2x sin x ＋x 2cos x（2）y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211xx ++（1＋21xx +）（３）y ′=2)1e ()1e )(1e ()1e ()1e (-'-+--'+x x x x x 2e 2-x x （4）y ′=2)sin ()sin )(cos ()sin ()cos (x x x x x x x x x x +'++-+'+ =2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+-21cos sin sin cos x x x x x x --+-- 例4 （1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数解：（1）222222)1(22)1(22)1(2'+-=+⋅-+=x x x x x x y ， 0422|'1=-==x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122+=x xy 在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)'2('1'22t t t S +⎪⎭⎫⎝⎛-= t tt t t t t t 4214)1(23242++-=+--= 2726111227291|'3=++-==t S 例5 下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+- ②xx x x x y 1323++-=分析：利用导数的四则运算求导数 ①法一：13232223-++-+=x x x x x y125223-++=x x x∴ 2106++='x x y法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x 2106++=x x ② 231212332----+-=x x xx y∴ 252232123233---+-+='x x x x y例6 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程解： 切线与直线34+=x y 平行， 斜率为4 又切线在点0x 的斜率为13)10(030+=-+='x x x y x x∵ 41320=+x ∴10±=x⎩⎨⎧-==8100y x 或⎩⎨⎧-=-=12100y x ∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y 即124-=x y 或84-=x y小结：1求函数y =f （x ）在点x 0处的导数通常有以下两种方法：（1）导数的定义，即求0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00的值（2）利用导函数的函数值,即先求函数f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数f ′（x ）,再将x 0（x 0∈（a ,b ））代入导函数f （x ）,得函数值f ′（x 0）2 在解导数题时，要理解导数的概念，熟记基本函数的导数和导数的运算法则，然后根据基本函数确定使用什么方法求解题目(选修Ⅱ)第三章导数复合函数的导数 高考要求1熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 2了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数 知识点归纳1复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念 2．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导3．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： （1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； （3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数整个过程可简记为分解——求导——回代熟练以后，可以省略中间过程若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量 题型讲解例1 求下列函数的导数：(1)82)21(x y +=, （2）y =解：(1)令,)21(82x u +=8u y =,.)21(3248)21()(72728x x x u x u u y y x u x +=⋅='+'=''='∴（2）令,,3131u y x x u =+=.31131)311(31)()(32323132323131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅='+⋅'='∴----x x x x u x x u y x例2 求下列函数的导数：（1）),(cos 2b ax y += （2）xx y 2sin 12sin 1+-=解：（1）,,cos ,2b ax v v u u y +===a v ub ax v u v u y y x y u x ⋅-⋅='+⋅'⋅'='⋅'⋅'=')sin (2)()(cos )(2[].)(2s i n2s i n c o s s i n 2b ax a v a v v a +⋅-=-=⋅-= （2）令,2,sin ,11,21x t t v vvu u y ==+-== )2()(sin )11()(21'⋅'⋅'+-⋅'='⋅'⋅'⋅'='x t vvu t v u y y xt v u x 1221(1)(1)cos 22(1)v v u t v --+--=⋅⋅⋅+212cos 222(1sin 2)x x -⋅⋅=+)2sin 1(2cos 2cos 2x x x +-= 例3 求下列函数的导数：（1）11ln +-=x x y )1(>x （2）x y 1sin 22=解：（1）[],)1ln()1ln(2111ln +--=+-=x x x x y [].11)1111(21)1l n ()1l n (212-=+--='+--='∴x x x x x y（2）)1(sin 1sin 22ln 2)1(sin 2ln 2)2(1sin 21sin 1sin 222'⋅⋅⋅='⋅='='xx x y x xxx xx x x x x2sin 2ln 21)1()1(cos 1sin 22ln 21sin 21sin 22⋅⋅-='⋅⋅⋅⋅=例4 求下列函数的导数： （1） xx ey ln sin ⋅= , （2）1ln24+=x x y解：（1）)sin 1ln (cos )()sin 31ln (cos sin ln ln sin x xx x e x x x ey x x xx +=+=')s i n 1ln (cos sin x xx x xx+= （说明：注意公式x e x=ln 的运用） 解法1：)1(1)1ln(244224'++='+='x x x x x x y 112211412422342+⋅+⋅-+⋅⋅+=x x x x x x xx 14)1()1(4224523+-=+-+=x xx x x x x x 解法2：)1ln(21ln 42+-=x x y 1421121422+-=⋅+⋅-='∴x xx x x x y点评：由（2）的解答过程可以看出，在求导时，若能利用对数性质先化简，再求导，运算较简便，对求导问题尝试一题多解，对我们是有帮助的 小结：1复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层就可以得出结果，熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单2求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数题目(选修Ⅱ)第三章导数单调性及其应用 高考要求理解可导函数的单调性与其导数的关系； 知识点归纳1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 （1）求f '（x ）（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数；若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数2用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 （1）求f '（x ）（2）f '（x ）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f '（x ）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间题型讲解例1 求下列函数的单调区间：⑴x x x x f 22131)(23-+=⑵52)(24--=x x x f ⑶x x x f ln 23)(2-= ⑷xex x f -=2)(分析：求函数的单调区间的具体步骤是：①确定)(x f 的定义域；②计算导数)(/x f ；③求出0)(/=x f 的根；④用0)(/=x f 的根将)(x f 的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内)(/x f 的符号,进而确定)(x f 的单调区间解:(1)函数的定义域2)(),,(2/-+=+∞-∞=x x x f D 令0)(/=x f 得2,121-==x x ,用21,x x 分割定义域D,得下表:)(x f ∴的单调增区间是)2,(--∞和),1(+∞,单调减区间是(-2,1)（2）函数的定义域x x x f D 44)(),,(3/-=+∞-∞=令0)(/=x f 得1,1,0321-===x x x ,用321,,x x x 分割定义域D,得下表:)(x f ∴的单调增区间是)0,1(-和),1(+∞,单调减区间是)1,(--∞和(0,1)（3）函数的定义域为),0(+∞=D ，xx x x x f 13226)(2-⋅=-=,令0)(/=x f 得33,3321=-=x x 其中1x 不在定义域内,用2x 分割定义域D ，得下表：)(x f ∴的单调增区间是),33(+∞,单调减区间是)33,0( （4 ）函数的定义域/2/2/)()()(),,(x xe x ex x f D --⋅+=+∞-∞=)2()1(222x x e e x xe x x x -=-⋅⋅+=---令0)(/=x f 得)0(2,021>==-x e x x ,用21,x x 分割定义域D,得下表:)(x f ∴的单调增区间是)0,(-∞和),2(+∞,单调减区间是(0,2)点评：一般情况下，函数在它的定义区间上不是单调的，对可导函数而言，它的单调减少和单调增加的区间分界点应是其导娄数符号正负交替的分界点，即在分界点处0)(/=x f ，为此，我们可以用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间例2 设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，并求出f （x ）的单调区间剖析：由已知x =1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f （x ）上，得方程组解之可得a 、b解： f '（x ）=3x 2－6ax +2b ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31，b =1此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）当f '（x ）>0时，x >1或x <－31，当f '（x ）<0时，－31<x <1∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点例3 已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围分析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负 解：f '（x ）=3ax 2+6x －1（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3 ∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数（2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －31）38由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3点评：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）例4 若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围分析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力解： f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6∴5≤a ≤7∴a 的取值范围为［5，7］点评：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题例5 设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间解：由f(x)的解析式得，13)(2+='ax x f 若a>0, 则 0)(>'x f , f(x) 单调,矛盾；若a=o ，则 01)(>='x f ,f(x)单调；若a<0, 则)31)(31(3)(ax ax a x f ---+='由此可知，当a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为：)31,(a--∞,),31(+∞-a,增区间)31,31(aa---例6 已知x>1，证明不等式x>ln(1+x)分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,∞+)上递增即可证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x>1，则xxx x f +=+-='1111)( )(0)(,1x f x f x ∴>'∴> 在），（∞+1上是增函数又f(1)=1-ln2>1-lne=0 0)(>∴x f即)1)(1ln(>+>x x x 小结:1函数的单调性用列表的方法处理，结果明显清晰，不易出错2用函数的单调性证明不等式要注意两点：一是构造函数，二是单调区间起点的函数值题目(选修Ⅱ)第三章导数函数的极值、最值及应用 高考要求1理解可导函数的单调性与其导数的关系；2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 知识点归纳1极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5 求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值题型讲解例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）2122-+=x xy 解：（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f令0)(/=x f ，得驻点2,7,1321===x x x0)1(=∴f 是函数的极大值；3125)5(-=f 是函数的极小值（2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=∴当1-=x 时，f 极小=-3；当1=x 时，f极大=-1值例2 设e e x ax x f x ()1()(2-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），)(x f 取极小值时，求x 的值解：)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x x e x ax e ax x f )2)(1(-+⋅-=-x ax e z令210)(或a x x f -=⇒=' （1）0121<<->-a 即当，由表)(,1x f ax 时-=∴取极小值（2）0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值 （3）121-<<-a 即当时，由表取极小值时时当综上取极小值时)(,1,021,.)(,2x f ax a x f x -=<<--=∴ 取极小值时时当)(,2,21x f x a -=-<例3 求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点，则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +- ||MA 与2||MA 同时取到极值令42241)6(||)(x x MA x f +-== 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2） 例4 设x ＞－2，n ∈N *，比较（1+x ）n 与1+nx 的大小分析：从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n =k 到n =k +1时，（1+x ）k +1=（1+x ）k ·（1+x ）过渡到（1+x ）k 时不等方向不确定，故需按1+x 的符号讨论证明但本题若用导数解就比较简单了解：设f （x ）=（1+x ）n －1－nx ，当n =1时，f （x ）=0，∴（1+x ）n =1+nx 当n ≥2，n ∈N *时，f ′（x ）=n （1+x ） n －1－n =n ［（1+x ）n －1－1］， 令f ′（x ）=0，得x =0当－2＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（－2，0］上为减函数; 当x ＞0时，f （x ）＞0∴f （x ）在［0，+∞）上为增函数 ∴当x ＞－2时，f （x ）≥f （0）=0 ∴（1+x ）n ≥1+nx综上，得（1+x ）n ≥1+nx点评：构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法附：数学归纳法的证明过程：归纳——猜想——证明法解当n =1时，（1+x ）1=1+x 当n =2时，（1+x ）2=1+2x +x 2≥1+2x 当n =3时，（1+x ）3=1+3x +3x 2+x 3=1+3x +x 2（3+x ）≥1+3x 猜想：（1+x ）n ≥1+nx 证明：当x ≥－1时， （1）当n =1时，（1+x ）n ≥1+nx 成立 （2）假设n =k 时，（1+x ）k ≥1+kx 成立， 那么（1+x ）k +1=（1+x ）k ·（1+x ）≥（1+x ）·（1+kx ）=1+（k +1）x +kx 2≥1+（k +1）x∴当n =k +1时，（1+x ）n ≥1+nx 成立 由（1）（2）可知，当x ≥－1时，对n ∈N *，（1+x ）n ≥1+nx 当－2＜x ＜－1时，当n =1时，（1+x ）n =1+x ；当n ≥2时，|1+x |＜1 ∴|1+x |n ＜1而1+nx ＜1－n ≤－1， ∴（1+x ）n ＞1+nx综上，得（1+x ）n ≥1+nx 正确例5 设函数f （x ）=12+x －ax ，其中a ＞0，求a 的范围，使函数f （x ）在区间［0，+∞）上是单调函数分析：要使f （x ）在［0，+∞）上是单调函数，只需f ′（x ）在［0，+∞）上恒正或恒负即可解：f ′（x ）=21xx +－a当x ＞0时，01<<因为a ＞0，所以当且仅当a ≥1时，f ′（x ）=21xx +－a 在［0，+∞）上恒小于0，此时f （x ）是单调递减函数点评：要使f （x ）在（a ，b ）上单调，只需f ′（x ）在（a ，b ）上恒正或恒负，即f ′（x ）＞0（或＜0）⇒单调递增（或减）例6 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值（1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值； （2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求此切线方程 解：（1）f ′（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得a =1，b =0∴f （x ）=x 3－3x ，f ′（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1） 令f ′（x ）=0，得x =－1，x =1 若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f ′（x ）＞0，故 f （x ）在（－∞，－1）上是增函数， f （x ）在（1，+∞）上也是增函数 若x ∈（－1，1），则f ′（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值（2）曲线方程为y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上 设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足y 0=x 03－3x 0 因f ′（x 0）=3（x 02－1），故切线的方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0） 注意到点A （0，16）在切线上，有 16－（x 03－3x 0）=3（x 02－1）（0－x 0）， 化简得x 03=－8，解得x 0=－2 所以切点为M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0 点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力例7 用总长148 m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为（x +05） m ，高为4)5.0(448.14+--x x =32－2x （m ）设容积为y m 3，则y =x （x +05）（32－2x ）（0＜x ＜16）， 整理，得y =－2x 3+22x 2+16x 所以y ′=－6x 2+44x +16令y ′=0，即－6x 2+44x +16=0， 所以15x 2－11x －4=0解得x =1或x =－154（不合题意，舍去） 从而在定义域（0，16）内只有x =1处使得y ′=0由题意，若x 过小（接近0）或过大（接近16）时，y 值很小（接近0） 因此，当x =1时，y 有最大值且y max =－2+22+16=18， 此时，高为32－2×1=12答：容器的高为12 m 时，容积最大，最大容积为18 m 3例8 烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC=)200(<<x x x CB -=∴20， 于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ， 其中k 为比例系数332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ， 即0)4003)(203(2=+-x x解得在（0，20）内惟一驻点320=x 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小例9 已知抛物线y =－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y =－x 2+2得y ′=－2x ， ∴k 1=－2x 0∴l 的方程为y －（－x 02+2）=－2x 0（x －x 0），令y =0，得x =02022x x +令x =0，得y =x 02+2，∴三角形的面积为S =21·02022x x +·（x 02+2）020404x∴S ′222)2)(23(x x +-令S ′=0，得x 0=36（∵x 0＞0） ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0 ∴x 0=36时，S 取极小值∵只有一个极值，∴x =36时S 最小，此时k 1=－362，切点为（36，34）∴l 的方程为y －34=－362 （x －36），即26x +3y －8=0例10 利用导数求和：（1）S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1（x ≠0,n ∈N *）（2）S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn （n ∈N *）解:（1）当x =1时，S n =1+2+3+…+n =2n（n +1）, 当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边对x 求导，得S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=(x x x n --+1121)1(1nx x n n n ++-+（2）∵（1+x ）n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C nn x n ,两边对x 求导，得n （1+x ）n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n xn －1 令x =1,得n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn ,即S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n =n ·2n －1 小结：在求函数的极值和最值时，要注意极值和最值的区别能列表的应采用列表的方法，在处理应用问题时，一方面正确列出函数关系式，按函数求极值、最值的步骤进行另一方面在解题时还要随时利用应用题本身的特点，以及目标函数的取值范围确定驻点题目(选修Ⅱ)第四章复数复数的概念与运算 高考要求1了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义2掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想 知识点归纳1虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2 i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3 i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数05复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C6 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小7 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是。
导数与复数知识点总结
导数与复数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际应用中，导数被广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
而复数是数学中的一个重要概念，它可以表示平面上的点，并且在电路分析、波动方程等领域有广泛的应用。
在本文中，我将对导数和复数的基本概念进行总结，并对它们的应用进行简要介绍。
导数的基本概念导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数y=f(x)，它在x点的导数可以表示为f'(x)，或者写作dy/dx。
导数的几何意义是函数图像在某一点的切线斜率。
导数可以通过极限来定义，即f'(x)=lim（Δx→0）（f(x+Δx)−f(x)）/Δx。
导数具有线性性质，即对于常数k和函数f(x)，有f'(x)=kf(x)。
导数的求导规则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
其中，常数法则指出，对于常数a和b，f(x)=a的导数为0，f(x)=x^n的导数为nx^(n-1)，f(x)=e^x的导数为e^x，f(x)=log_ax的导数为1/(xlna)，f(x)=sinx的导数为cosx，f(x)=cosx的导数为-sinx。
导数的求导法则也包括乘积法则和商数法则，这两个法则是计算复杂函数的导数的重要工具。
乘积法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)，它们的导数可以表示为（f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
商数法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)，它们的导数可以表示为（f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2。
导数的高阶导数和隐函数求导法则也是微积分的重要内容。
导数的应用导数的应用广泛，包括但不限于牛顿法求根、泰勒展开、极值和拐点、曲率和离散化模型。
牛顿法求根是利用导数的几何意义来求解函数的根的方法。
当函数f(x)在某一点x_0的导数f'(x_0)≠0时，函数f(x)与x轴相交，并且在x_0点附近，函数f(x)与x轴的交点可以通过求解方程f(x)=0来找到。
高中复数的知识点
高中复数的知识点一、复数的定义1、形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数。
＼（a\）叫做复数的实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）叫做复数的虚部，记作\（Im(z)＼）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。
二、复数的表示1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））2、几何形式复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。
复数的坐标表示：复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a,b)＼）。
复数的模：复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（＼vert z\vert ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
三、复数的运算1、复数的加法法则：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面内向量的加法。
2、复数的减法法则：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面内向量的减法。
3、复数的乘法法则：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法法则：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）（＼（c ＋ di ＼neq 0\））四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
复数\（z ＝ a ＋ bi\）的共轭复数记为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。
复数函数取实部求导
复数函数取实部求导复数函数是指有实部和虚部的函数，可以用复数表示。
而实部是指复数的实数部分，虚部是指复数的虚数部分。
求复数函数的实部在数学中是一个常见的操作，可以通过对复数函数进行分解，然后取实部的方式来实现。
在求复数函数的实部求导时，我们需要注意以下几个方面。
首先，我们要了解复数的导数定义。
复数的导数定义与实数的导数定义类似，只是需要对实部和虚部分别求导。
其次，我们需要掌握复数函数的求导规则。
对于复数函数来说，我们可以将其分解为实部和虚部的和，并对每个部分分别求导。
最后，我们需要注意复数函数的特殊情况。
有些复数函数可能存在极限或间断点，我们需要特别处理这些情况。
下面我们通过一个例子来说明如何求复数函数的实部求导。
假设我们要求函数f(z) = z^2的实部的导数，其中z是一个复数。
我们可以将z表示为z = x + yi，其中x和y分别是z的实部和虚部。
将z代入函数f(z)中，我们可以得到f(z) = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2。
实部的导数是指对x求导，而虚部的导数是指对y求导。
对于这个例子来说，我们只需要对x^2 + 2xyi - y^2关于x求导即可。
求导后，我们得到f'(z) = 2x + 2yi。
通过这个例子，我们可以看到求复数函数的实部求导与实数函数的求导类似，只是需要分别对实部和虚部求导。
在实际应用中，我们可能会遇到更复杂的复数函数，但求导的思路是相似的。
我们可以将复数函数表示为实部和虚部的和，然后分别对每个部分求导。
同时，我们也需要注意复数函数的特殊情况，比如存在极限或间断点等。
总结起来，求复数函数的实部求导是一个常见的数学操作。
我们可以通过将复数函数表示为实部和虚部的和，并分别对每个部分求导的方式来实现。
在实际应用中，我们还需要注意复数函数的特殊情况，并进行相应的处理。
通过掌握复数函数的求导规则，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
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导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得xx x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程.③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- . 3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z znn②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有 ③n n n n m n m n m n mz z z z z z z z z2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i iii i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg . 注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值. ②辐角是多值的，都相差2π的整数倍. ③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化： )sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，rb r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。