专题训练7 一次函数及反比例函数难题集锦(含答案)-

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反比例函数与一次函数专项练习30题(有答案)ok

反比例函数和一次函数专项练习30题（有答案）1．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）根据正比例函数与反比例函数的性质直接写出B点坐标；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．2．正比例函数y=kx和反比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为1，纵坐标为3．（1）写出这两个函数的表达式；（2）求B点的坐标；（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象．3．反比例函数与一次函数y=2x+1的图象都过点（1，a）．（1）确定a的值以及反比例函数解析式；（2）求反比例函数和一次函数的图象的另一个交点坐标．4．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，1）和点B（a，﹣3a）（a＞0），且点B在反比例函数的图象上，求a的值和一次函数的解析式．5．如图正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点A的横坐标为4．（1）求k值；（2）求它们另一个交点B的坐标；（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2．6．已知一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点（﹣1，﹣1），求这两个函数的解析式及它们图象的另一个交点的坐标．7．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．（1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x为何值时一次函数的值大于反比例函数的值．8．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y2=k2x+b的图象交于A，B两点，且A（2，n），B（﹣1，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）利用图象直接写出当x在什么范围时，y1＞y2．9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）．（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）请你观察图象，写出y1＞y2时，x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣2都经过点A（m，﹣3）．（1）求m的值和一次函数的关系式．（2）若点M（a，y1）和N（a+2，y2）都在这个反比例函数的图象上，试通过计算或利用反比例函数的图象性质比较y1与y2的大小．11．如图，函数y=3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，m），点B（n，1）在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）求n的值；（3）若P是y轴上一点，且满足△POB的面积为6，求P点的坐标．12．如图，已知反比例函数的图象经过点A（﹣2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．（3）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．13．直线y1=2x﹣7与反比例函数的图象相交于点P（m，﹣3）．（1）求反比例函数的解析式．（2）试判断点Q是否在这个反比例函数的图象上？14．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，a）、B（﹣2，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．15．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．（1）根据图象，分别写出点A、B的坐标；（2）求出反比例函数的解析式；（3）求出线段AB的长度．16．如图，已知A（n，2），B（2，﹣4）是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2？17．已知反比例函数的图象，经过一次函数y=x+1与的交点，求反比例函数的解析式．18．如图，一次函数y=kx+2与x轴交于点A（﹣4，0），与反比例函数y=的图象的一个交点为B（2，a）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．19．如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数．（m、k≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．（1）求m、n的值及反比例函数的表达式；（2）当x取非零的实数时，试比较一次函数值与反比例函数值的大小．20．一次函数y1=kx+b与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）、B（﹣4，n），（1）求n的值；（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；（3）利用图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．21．已知：如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）．（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象，直接写出不等式的解集．22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；（3）你能求出图中△AOB的面积吗？若不能，请说明理由；若能，请写出求解过程．23．如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．（1）求点B的坐标；（2）若，求点A的坐标．24．已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．25．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）的图象经过A（2，﹣4）、B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）如果点B在反比例函数（k2≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．26．如图，已知正比例函数y=﹣3x与反比例函数的图象相交于A和B两点，如果有一个交点A的横坐标为2．（1）求k的值；（2）求A，B两点的坐标；（3）当_________时，．27．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比列函数的图象的两个交点．（1）求m、n的值；（2）求一次函数的关系式；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．28．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与反比例函数的图象交于点C，CD⊥x轴于点D，求四边形OBCD的面积．29．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k2+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（﹣l，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）试证明线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；（3）利用图象直接写出不等式的解集．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=，求该反比例函数和一次函数的解析式．参考答案：1．（1）由x=4，得y=2；则k=xy=4×2=8；（2）∵A，B两点是正比例函数和反比例函数的交点，点A（4，2），∴B（﹣4，﹣2）；（3）由图象可得在两个交点的左边，一次函数的值小于反比例函数的值，∴x＜﹣4或0＜x＜42．（1）∵正比例函数y=kx 与反比例函数，的图象都过点A（1，3），则k=3，∴正比例函数是y=3x ，反比例函数是．（2）∵点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣1，﹣3）．（3）∵正比例函数的图象过原点，所以令x=1，则y=3，图象过（1，3），描出此点即可；∵反比例函数的图象是双曲线，∴应在每一个双曲线上描出3各点，即可画出函数图象．3．（1）由题意得，2+1=a，解得，a=3，（1分）由题意得，，解得，k=3．（2分）反比例函数解析式为．（3分）（2）由题意得，，（4分）解得，，∴反比例函数和一次函数图象的另一个交点坐标是（﹣4．∵点B（a，﹣3a）在反比例函数图象上，∴﹣=﹣3a，解得a=1，a=﹣1（舍去），∴点B的坐标为（1，﹣3），∵一次函数y=kx+b图象经过点A（0，1），B（1，﹣3），∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣4x+1．5．（1）将A的横坐标4代入y1=x，得y1=×4=2，由题意可得A点坐标为（4，2），由于反比例函数y=的图象经过点A，∴k=2×4=8．（5分）（2）将两个函数的解析式组成方程组得：，解得，．所以A（4，2），B（﹣4，﹣2）．所以B点坐标为B（﹣4，﹣2）．（3分）（3）由于A点横坐标4，B点横坐标为﹣4，由图可知：当x＞4或﹣4＜x＜0时，y1＞y2．6．由已知得，（2分）解得．（4分）∴一次函数的解析式为y=2x+1，（5分）反比例函数的解析式为．（6分）由，解得x=﹣1或．（7分）当时，y=2．∴函数图象的另一个交点的坐标为（）∴m=6，a=﹣6即N（﹣1，﹣6）且，解得∴反比例函数和一次函数的解析式的解析式分别为y=．y=2x﹣4．（2）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时一次函数的值大于反比例函数的值．8．（1）∵双曲线过点（﹣1，﹣2），∴k1=﹣1×（﹣2）=2．∵双曲线y1=，过点（2，n），∴n=1．由直线y2=k2x+b过点A，B 得，解得．∴反比例函数关系式为y1=，一次函数关系式为y2=x﹣1．（2）当x＜﹣1或0＜x＜2时，y1＞y2．9．（1）解：∵y1=k1x过点A（1，2），∴k1=2．（2分）∴正比例函数的表达式为y1=2x．（3分）∵反比例函数过点A（1，2），∴k2=2．（5分）∴反比例函数的表达式为y=．（6分）（2）﹣1＜x＜0或x＞1．（8分）（3）∵点A的坐标为（1，2），∴OA=，当OA为腰时，OA=OP2=，P2点坐标为（0，4），当AP1=OA=，可知P1坐标为（0，），当OA=OP3=时，可得P3坐标为（0，﹣）由图可知，P1（0，），P2（0，﹣），P3（0，4），当OA为底时，OP4==，故P1（0，），P2（0，﹣），P3（0，4），P4（0，）．10．（1）∵反比例函数y=﹣经过点A（m，﹣3）．∴﹣3m=﹣6，∴m=2；∵一次函数y=kx﹣2经过点A（m，﹣3）．∴2k﹣2=﹣3，∴k=﹣，∴一次函数的关系式为y=﹣x﹣2．（2）当a＞0时，则a＜a+2，∵反比例函数y=﹣的图象在第四象限内是增函数，∴y1＜y2；当﹣2＜a＜0时，则a+2＞0，由图象知y1＞y2；当a＜﹣2时，则a＜a+2，∵反比例函数y=﹣的图象在第二象限内是增函数，∴y1＜y211．（1）∵函数y=3x的图象过点A（1，m），∴m=3，∴A（1，3）；∵点A（1，3）在反比例函数的图象上，∴k=1×3=3，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵点B（n，1）在反比例函数的图象上，（3）依题意得PO•3=6∴OP=4，∴P点坐标为（0，4）或（0，﹣4）．12．（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y1=mx的图象上，∴1=m﹣2，即m=﹣2，又A（﹣2，1），C（0，3）在一次函数y2=kx+b图象上，∴即k=1，b=3，∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=与y=x+3；（2）由得x+3=﹣，即x2+3x+2=0，∴x=﹣2或x=﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，2）．（3）当x＜﹣2或﹣1＜x＜0时，反比例函数在一次函数图象的上方，即y1＞y2…13．（1）把（m，﹣3）分别代入和y1=2x﹣7，得，解得m=2，k=﹣6，∴反比例函数的解析式．（2）把点Q代入反比例函数的解析式中，即=﹣=．故点Q在反比例函数的图象上14．（1）把B（﹣2，1）代入得：m=﹣2×1=﹣2，∴y=﹣，把A（1，a）代入得：a=﹣2，∴A（1，﹣2），把A（1，﹣2），B（﹣2，1）代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1，∴y=﹣x﹣1，答：一次函数和反比例函数的解析式分别是y=﹣，y=﹣x﹣1．（2）令y=0，则0=﹣x﹣1，∴x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴OC=1，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC =×1×2+×1×1=1.5 15．（1）A点坐标为（﹣6，﹣2），B点坐标为（4，3）；（2）把B（4，3）代入y=得m=3×4=12，所以反比例函数的解析式为y=；（3）分别过点A、点B作y轴、x轴的垂线，两线交于点C，即AC⊥BC，如图，则点C的坐标为C（4，﹣2），在Rt△ACB中，AC=10，BC=5，∵AB2=BC2+AC2，∴AB==5．16．（1）∵B（2，﹣4）在函数y2=的图象上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为：y2=﹣．∵点A（n，2）在函数y2=﹣的图象上∴n=﹣4∴A（﹣4，2）∵y1=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1=﹣x﹣2（2）由交点坐标和图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2取何值时，y1＜y217．把y=x+1代入得：x+1=x+，解得：x=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，把（1，2）代入y=得：k=2，即反比例函数的解析式是y=18．（1）将A（﹣4，0）代入y=kx+2得：﹣4k+2=0，即k=0.5，∴一次函数解析式为y=0.5x+2，将B（2，a）代入一次函数解析式得：a=1+2=3，即B （2，3），将B（2，3）代入反比例解析式得：m=2×3=6，则反比例解析式为y=；（2）∵OC=2，OA=4，∴AC=OC+OA=2+4=6，∵BC=3，∴S△ABC =AC•BC=919．（1）∵A（﹣4，2）在上，∴m=﹣8，∴反比例函数的解析式是y=﹣，∵B（2，n ）在上，∴n=﹣4．（2）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2；当x=﹣4或x=2时，y1=y2；当﹣4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2．20．（1）根据题意，反比例函数y2=的图象过（﹣1，4），（﹣4，n），易得m=﹣4，n=1；则y1=kx+b的图象也过点（﹣1、4），（﹣4，1）；代入解析式可得k=1，b=5；∴y1=x+5；（2）设直线AB交x轴于C点，由y1=x+5得，∴C（﹣5，0），∵S△AOC =×5×4=10，S△BOC =×5×1=2.5，∴S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=10﹣2.5=7.5；（3）根据图象，两个图象只有两个交点，根据题意，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分；易得当x＞0或﹣4＜x＜﹣1时，有y1＞y2，故当y1＞y2时，x的取值范围是x＞0或﹣4＜x＜﹣1 21．（1）∵点B（﹣4，﹣2）在反比例函数的图象上，∴，k=8．∴反比例函数的解析式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上，∴，m=2．∵点A（2，4）和点B（﹣4，﹣2）在一次函数y=ax+b 的图象上，∴解得∴一次函数的解析式为y=x+2．（2）设一次函数y=x+2的图象与y轴交于点C，分别作AD⊥y轴，BE⊥y轴，垂足分别为点D，E．（如图）∵一次函数y=x+2，当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．∴S△AOB=S△AOC+S△BOC ===6（3）﹣4＜x＜0或x＞2．阅卷说明：第（3）问两个范围各（1分）22．（1）设反比例函数的解析式是y=（a≠0），把A（﹣2，1）代入得：k=﹣2，即反比例函数的解析式是y=﹣；把B（1，n）代入反比例函数的解析式得：n=﹣2，即B的坐标是（1，﹣2），把A（﹣2，1）和B（1，﹣2）代入y=kx+b得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．即一次函数的解析式是y=﹣x﹣1；（2）根据图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1；（3）能求出△AOB的面积，把y=0代入y=﹣x﹣1得：0=﹣x﹣1，x=﹣1，即C的坐标是（﹣1，0），OC=1，∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），∴△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×|﹣2|=1.523．（1）当y=0时，则kx+2k=0，又∵k≠0∴x=﹣2，∴点B坐标为（﹣2，0）；（2）设点A的坐标为（x、y），∴S△AOB =•|﹣2|•|y|=，∴y=±，∵点A在第一象限，∴y=，把y=代入y=得x=，∴点A 的坐标为（，）24．∵把P（﹣3，m）代入反比例函数y=﹣得：m=2，∴点P的坐标为（﹣3，2），设一次函数的关系式为y=kx+b，∴把Q和P 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．故所求一次函数的关系式为y=﹣x﹣125．（1）因为函数图象经过点A（2，﹣4），所以2k1=﹣4，得k1=﹣2．（2分）所以，正比例函数解析式：y=﹣2x．（1分）（2）根据题意，当y=2时，﹣2m=2，得m=﹣1．（1分）于是，由点B 在反比例函数的图象上，得，解得k2=﹣2．所以，反比例函数的解析式是．26．（1）把x=2代入y=﹣3x得：y=﹣6，即A的坐标是（2，﹣6），把A的坐标代入y=得：﹣6=，解得：k=﹣13；（2）解方程组得：，，即A的坐标是（2，﹣6），B的坐标是（﹣2，6）；（3）当﹣2＜x＜0或x＞2时，＞﹣3x，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞227．（1）把A（﹣4，2）代入y=得：m=﹣8，即反比例函数的解析式为y=﹣，把B（n，﹣4）代入得：n=2，即B（2，﹣4），即m=﹣8，n=2；（2）把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：解得：k=﹣1，b=﹣2，即一次函数的解析式是y=﹣x﹣2；（3）一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜028．解方程组得或，∴C点坐标为（1，4），∵CD⊥x轴，∴D点坐标为（1，0）对y=x+3，令x=0，y=3，∴B点坐标为（0，3），∴四边形OBCD的面积=（OB+CD）•OD=（3+4）×1=29．1）解：把B（﹣1，﹣2）分别代入反比例函数∴k1=﹣1×（﹣2）=2，∴反比例函数的解析式为y=；把A（2，n）代入上式，得n=1，∴A点坐标为（2，1），把A（2，1）和B（﹣l，﹣2）分别代入一次函数y=k2x+b 得，2k2+b=1，﹣k2+b=﹣2，解得k2=1，b=﹣1，∴一次函数的关系式为y=x﹣1；（2）证明：过A作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴与F，AB 与坐标轴相交于C、D，如图，对于y=x﹣1，令x=0，y=﹣1；令y=0，x=1，∴C（1，0），D（0，﹣1），AC===，CD===，BD===，∴AC=CD=BD，∴线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；（3）解：x＜﹣1或0＜x＜230．过点A作AC⊥x轴于点C．∵sin∠AOE=，OA=5，∴AC=OA•sin∠AOE=4，由勾股定理得：CO==3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入到中得m=﹣12，∴反比例函数解析式为，∴6n=﹣12，∴n=﹣2，∴B（6，﹣2），∴有，解得：，∴，一次函数的解析式为。

一次函数与反比例函数习题+答案解析

平面直角坐标系与一次函数、反比例函数1. 无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案、C 解析：2．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16D．4≤k＜16答案、C 解析3．设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）答案、B 解析4．如图，过x 轴正半轴任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=2x 和y 2=4x的图像交于点A 和点B .若点C 是y 轴上任意一点，连结AC 、BC ，则△ABC 的面积为（） A ．1B ．2C ．3D ．4第4题图 5题图答案、A 解析5．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（，4），则△AOC 的面积为（） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 答案、B6．若k 、b 是一元二次方程x2+px-│q │=0的两个实根（kb ≠0），在一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A ）第1、2、4象限（B ）第1、2、3象限（C ）第2、3、4象限（D ）第1、3、4象限答案、A 解析：依题意，△=p2+4│q │>0，||0k b p k b q k b +=-⎫⎪=-⇒⎬⎪≠⎭g g k ·b<0，一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小000k k b <⎫⇒<⇒⇒⎬>⎭一次函数的图像一定经过一、二、四象限，选A ．(0)ky k x=<6-7．如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=图象相交于A 、C 两点，过点A 做x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，若ABC ∆的面积为S ，则S =（）A 1B 2C 3D 4 答案、A 解析8．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线xk y =交OB 于D ，且OD ：DB=1：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值是( )第8题图 A 1 B 2 C 3 D 43答案、D 解析9．若直线y=kx （k ＞0）与双曲线的交点为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则2x 1y 2﹣5x 2y 1的值（）A 3B 4C 5D 6 答案、D 解析10．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（）象限．（A ）一（B ）二（C ）三（D ）四答案、B 解析：由方程组y bx ay ax b =+⎧⎨=+⎩ 的解知两直线的交点为（1，a+b ），而图A 中交点横坐标是负数，故图A 不对；图C 中交点横坐标是2≠1，故图C 不对；图D 中交点纵坐标是大于a ，小于b 的数，不等于a+b ，故图D 不对；故选B ．11．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限答案、．B 提示：∵y=kx+2经过（1，1），∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y随x的增大而减小，故B正确．∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C错误．∵k<0，b= 2>0，∴其图像经过第二象限，故D错误．12.已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3答案： B 解析，设正比例函数，代入x=1时，y=8，求出即可13.要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x（）．（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位答案、D 解析：根据y=kx+b的图像之间的关系可知，将y=-32x 的图像向下平移4个单位就可得到y=-32x-4的图像14.若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-14（B）m>5 （C）m=-14（D）m=5答案、C 解析：函数y=（m-5）x+（4m+1）x中的y与x成正比例，5,50,1410,,4mmm m≠⎧-≠⎧⎪⎨⎨+==-⎩⎪⎩即m=-14，故应选C．15.已知abc≠0，而且a b b c c ac a b+++===p，那么直线y=px+p一定通过（）（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（D）第一、四象限答案、B 解析：∵a b b c c ac a b+++===p，∴①若a+b+c≠0，则p=()()()a b b c c aa b c+++++++=2；②若a+b+c=0，则p=a b cc c+-==-1，∴当p=2时，y=px+q过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p一定过第二、三象限．。

经典一次函数、反比例函数练习(附详细答案)

第一讲一次函数、反比例函数（附详细答案，打印出来很清晰）1．（2008年贵阳市）对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2 ．（茂名）已知反比例函数y =xa (a ≠0)的图象，在第一，三象限内，则一次函数y =-a x +a 的图象不经过．．．（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．（2008年芜湖市）函数2y a x b y a x b x c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（）4．（2008年扬州市）函数xk1y-=的图象与直线x y =没有交点，那么k 的取值范围是（） A 、1k > B 、1k < C 、1k -> D 、1k -<5．（2008年自贡市）如图1，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。

在这个过程中，的变化关系用图象表示正确的是（）6．（2008年芜湖市）在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于．7．.若直线y ＝k x ＋4 与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，则k ＝_________． 8．（2008年遵义市）在平面直角坐标系中，函数ky x=（0x >，常数0k >）的图象经过点(12)A ，，()B m n ，，（1m >），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC △的面积为2，则点B 的坐标为．9．如图2，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A 、B 两点（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值10．（2008龙岩）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA ⊥x 轴于点A ，点D 在FA 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C . （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明；（2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式.图111．（2008年泰州市）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y 甲（千米）、y 乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2分）（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图3所表示的走法是否符合约定．（4分）12．（2008年巴中市）已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？13．（2008黄冈市）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C 三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，10)，C(0，4)，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设△OPD 的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；（4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？若能，请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．14．（河南12分）如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．（图3）第一讲一次函数、反比例函数答案1~5 C C C A B 6. 2 7. 49- 或 49 8. (3, 23) 9.（1）A （-6，-2），B （4，3） ,（2）12y x =，112y x =+,（3）-6<x<0或x>410．（13分）（1）答：直线DC 与⊙O 相切于点M . 证明如下：连OM ， ∵DO ∥MB ，∴∠1=∠∵OB =OM ，∴∠1=∠3 ，∴∠2=∠4 . 在△DAO 与△DMO 中，⎪⎩⎪⎨⎧DO=DO =∠∠AO=OM42∴△DAO ≌△DMO . ∴∠OMD =∠OAD .由于FA ⊥x 轴于点A ，∴∠OAD =90°.∴∠OMD =90°. 即OM ⊥DC . ∴DC 切⊙O 于M .（2）解：由D （－2，4）知OA =2（即⊙O 的半径），AD =4 .由（1）知DM =AD =4，由△OMC ∽△DAC ，知MC AC = OM AD = 24 = 12 .∴AC =2MC . 在Rt △ACD 中，CD =MC ＋4.由勾股定理，有(2MC )2＋42=(MC ＋4)2，解得MC = 83 或MC =0（不合，舍去）。

中考数学专题训练《一次函数与反比例函数》含答案解析

函数、一次函数与反比例函数一、选择题1．在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=3．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6 D．64．点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）A．（2，3 B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）5．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限6．已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）7．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞08．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P 应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．10．已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．12．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．13．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω C．不小于14ΩD．不大于14Ω14．如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C． D．15．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．16．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234v0.01 2.98.0315.1A．v=2m﹣2 B．v=m2﹣1 C．v=3m﹣3 D．v=m+1二、解答题17．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．19．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），点B（﹣2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积．20．暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与x的函数关系式；（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求tan∠OCD的值；（3）求证：∠AOB=135°．22．宜昌市政府为了方便群众，促进地方经济发展，促进宜昌周边旅游资源的良性循环，特向宜昌城区137万人口推出了“一卡通”周边游便民服务卡，即城区常住居民只需花上100元，办理一张旅游卡，一年内持卡人可到周边二十个景点游玩，凭卡不需购买门票．假设下图表示活动推出后的市民办卡情况．（1）根据图象求出办卡人数y（万人）与时间x（天）的函数关系式；（2）按此进度发展，请你预测办卡第80天时总共办卡人数．23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．24．如图，直线l1：y=3x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．函数、一次函数与反比例函数参考答案与试题解析一、选择题1．在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件．【专题】11 ：计算题．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．【解答】解：根据题意得：3x﹣1≠0，解得：x≠．故选C．【点评】当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．【分析】分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．【解答】解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3，故A选项错误；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3，故B选项错误；C、函数式为整式，x是任意实数，故C选项错误；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6 D．6【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．【专题】11 ：计算题；41 ：待定系数法．【分析】因为函数经过一定点，所以将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（﹣2，﹣3），∴﹣3=，得k=6．故选D．【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k的值，比较简单．4．点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）A．（2，3 B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】2B ：探究型．【分析】根据点M （﹣2，3）在曲线y=上求出k的值，再根据k=xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点M （﹣2，3）在曲线y=上，∴k=（﹣2）×3=﹣6，∴A、中2×3=6≠﹣6，故本选项错误；B、中（﹣2）×（﹣3）=6≠﹣6，故本选项错误；C、中3×（﹣2）=﹣6=k，故本选项正确；D、中3×2=6≠﹣6，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即k=xy．5．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限【考点】G4：反比例函数的性质；G7：待定系数法求反比例函数解析式．【专题】41 ：待定系数法．【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．【解答】解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限．6．已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】将（m，n）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．【解答】解：∵点P（m，n）在某反比例函数的图象上，∴反比例函数的比例系数k=mn，所有选项中只有B所给点的横纵坐标的积等于mn．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．7．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【专题】16 ：压轴题．【分析】k＞0时，y随x的增大而增大．【解答】解：若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则k＞0．故选B．【点评】一次函数y=kx+b的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数k，b 的关系如下：①k＞0时，y随x的增大而增大．这时，若b＞0，则直线经过一、二、三象限；若b＜0，则直线经过一、三、四象限；若b=0，直线经过一、三象限和原点（此为正比例函数的图象）；②k＜0时，y随x的增大而减小．这时，若b＞0，则直线经过一、二、四象限；若b＜0，则直线经过二、三、四象限；若b=0，直线经过二、四象限和原点（此为正比例函数的图象）．8．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P 应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】根据a、b的取值，判断出一次函数所过的象限，再根据k的取值，判断出正比例函数所过的象限，二者所过的公共象限即为点P所在象限．【解答】解：∵函数y=ax+b（a＜0，b＜0）的图象经过第二、三、四象限，y=kx（k＞0）的图象过原点、第一、三象限，∴点P应该位于第三象限．故选C．【点评】本题利用了一次函数和正比例函数的图象性质求解．（1）正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过原点的一条直线：k＜0，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，k＞0，正比例函数的图象过原点、第一、三象限；（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．故选C．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．10．已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象．【专题】31 ：数形结合．【分析】由图知，函数y=kx+b图象过点（0，1），即k＞0，b=1，再根据一次函数的特点解答即可．【解答】解：∵由函数y=kx+b的图象可知，k＞0，b=1，∴y=2kx+b=2kx+1，2k＞0，∴2k＞k，可见一次函数y=2kx+b图象与x轴的夹角，大于y=kx+b图象与x轴的夹角．∴函数y=2kx+1的图象过第一、二、三象限且与x轴的夹角大．故选C．【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．12．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．【考点】FH：一次函数的应用；F3：一次函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据实际情况即可解答．【解答】解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．故选B．【点评】解答一次函数的应用题时，必须考虑自变量的取值范围要使实际问题有意义．13．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω C．不小于14ΩD．不大于14Ω【考点】GA：反比例函数的应用．【专题】16 ：压轴题；29 ：跨学科．【分析】先由图象过点（8，6），求出U的值．再由蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，求出用电器的可变电阻的取值范围．【解答】解：由物理知识可知：I=，其中过点（8，6），故U=48，当I≤10时，由R≥4.8．故选A．【点评】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．14．如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C． D．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】31 ：数形结合；33 ：函数思想．【分析】根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质可知．当y2＞y1＞0时，在第一象限内，反比例函数y1在正比例函数y2的下方，从而求出x的取值范围．【解答】解：根据图象可知当y2＞y1＞0时，x＞2．故选D．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．15．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】E6：函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】随着时间的增大，路程也越来越远．经过起步，加速，匀速以及减速后停车，结合选项可得出答案．【解答】解：随着时间的增多，路程越来越远．过程为起步、加速、匀速、减速之后停车．函数图象的形态为：缓，陡，缓，停．故选D．【点评】应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．16．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234v0.01 2.98.0315.1A．v=2m﹣2 B．v=m2﹣1 C．v=3m﹣3 D．v=m+1【考点】E8：函数的表示方法．【专题】16 ：压轴题；27 ：图表型．【分析】一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式．【解答】解：当m=4时，A、v=2m﹣2=6；B、v=m2﹣1=15；C、v=3m﹣3=9；D、v=m+1=5．故选：B．【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x 叫自变量；解题关键是分别把数据代入下列函数，通过比较找到最符合的函数关系式．二、解答题17．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；LH：梯形．【分析】（1）直接把点P（6，2）代入解析式求解即可；（2）分别根据函数解析式求出点D，C的坐标，从而得到梯形的上底，下底和高，求出梯形的面积．【解答】解：（1）k=12，m=﹣4．（2分）（2）把x=2代入y=，得y=6．∴D（2，6）．把x=2代入y=x﹣4，得y=﹣2．∴A（2，﹣2）．∴DA=6﹣（﹣2）=8．把x=3代入y=，得y=4．∴C（3，4）．把x=3代入y=x﹣4，得y=﹣1，∴B（3，﹣1）．∴BC=4﹣（﹣1）=5．（6分）∴．（7分）【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】31 ：数形结合；41 ：待定系数法；46 ：几何变换．【分析】（1）根据已知条件求出c点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；（2）根据已知条件求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x轴于点E．tan∠ABO=．∴CE=3．（1分）∴点C的坐标为C（﹣2，3）．（2分）设反比例函数的解析式为y=，（m≠0）将点C的坐标代入，得3=．（3分）∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣．（5分）（2）∵OB=4，∴B（4，0）．（6分）∵tan∠ABO=，∴OA=2，∴A（0，2）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A、B的坐标分别代入，得．（8分）解得．（9分）∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（10分）．【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．19．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），点B（﹣2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积．【考点】GB：反比例函数综合题．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）首先由反比例函数的解析式分别求得m、n的值，再进一步根据点A、B的坐标求得一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，令x=0，即可求得点C的坐标；（3）根据点A、C的坐标即可求得OC=1，OC边上的高是点A的横坐标，进一步求得三角形的面积．【解答】解：（1）由题意，把A（m，2），B（﹣2，n）代入中，得，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）将A、B代入y=kx+b中得：，∴，∴一次函数解析式为：y=x+1；（2）由（1）可知：当x=0时，y=1，∴C（0，1）；=×1×1=．（3）S△AOC【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，重点是由交点坐标求得函数的解析式，题目较难，同学们要重点掌握．20．暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与x的函数关系式；（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】先设函数式为：y=kx+b，然后利用两对数值可求出函数的解析式，把x=400代入函数解析式可得到y，有y的值就能确定是否能回到家．【解答】解：（1）设y=kx+b，当x=0时，y=45，当x=150时，y=30，∴，解得，（5分）∴y=x+45；（6分）（2）当x=400时，y=×400+45=5＞3，∴他们能在汽车报警前回到家．（9分）【点评】解题思路：本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求一次函数的解析式，再通过其解析式计算说明问题．由一次函数的解析式的求法，找到两点列方程组即可解决．21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求tan∠OCD的值；（3）求证：∠AOB=135°．【考点】FI：一次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点坐标分别代入一次函数y=kx+b，即可求出k，b的值，从而求出其解析式；（2）由于C（﹣，0），D（0，）．故Rt△OCD中，OD=，OC=，所以tan ∠OCD=；（3）取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45度，由于OE=，BE=，OB=，即OB2=OE2+BE2，故△EOB是等腰直角三角形，所以∠BOE=45度．∠AOB=135度．【解答】（1）解：由，解得，所以y=x+；（2）解：C（﹣，0），D（0，）．在Rt△OCD中，OD=，OC=，∴tan∠OCD=；（3）证明：取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45度．由勾股定理可得，OE=，BE==，OB=，∵OB2=OE2+BE2，∴△EOB是等腰直角三角形．∴∠BOE=45度．∴∠AOB=135度．【点评】此题较复杂，解答此题的关键是延长AO，过B作BE⊥AE于E，构造出直角三角形，利用勾股定理即锐角三角函数的定义求解．22．宜昌市政府为了方便群众，促进地方经济发展，促进宜昌周边旅游资源的良性循环，特向宜昌城区137万人口推出了“一卡通”周边游便民服务卡，即城区常住居民只需花上100元，办理一张旅游卡，一年内持卡人可到周边二十个景点游玩，凭卡不需购买门票．假设下图表示活动推出后的市民办卡情况．（1）根据图象求出办卡人数y（万人）与时间x（天）的函数关系式；（2）按此进度发展，请你预测办卡第80天时总共办卡人数．【考点】FH：一次函数的应用．【专题】21 ：阅读型；27 ：图表型．【分析】（1）用待定系数法求函数关系式；（2）令x=80即可求得办卡总人数；【解答】解：（1）设直线解析式为y=kx +b ，，解得k=0.1，b=0，y=0.1x ．（2）当x=80时，y=8万．所以预测办卡第80天时总共办卡人数为8万人．【点评】能够根据题意建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的y 的值．23．如图，一次函数y=kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积．【考点】FI ：一次函数综合题；GB ：反比例函数综合题．【专题】16 ：压轴题；41 ：待定系数法．【分析】（1）首先把A 的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m ，再把B （1，n ）代入反比例函数关系式中可以求出n 的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积不能直接求出，要求出一次函数与x 轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S △AOB =S △AOC +S △BOC ．【解答】解：（1）∵点A （﹣2，1）在反比例函数的图象上，∴m=（﹣2）×1=﹣2．∴反比例函数的表达式为．∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，得解得．∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．∴S△AOB【点评】此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．24．如图，直线l1：y=3x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．【考点】FF：两条直线相交或平行问题；F8：一次函数图象上点的坐标特征；FE：一次函数与二元一次方程（组）．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）直接把P点坐标代入y=3x+1即求出b的值；（2）根据两直线相交的问题求解；（3）先把P（1，4）代入y=mx+n得m+n=4，而当x=1时，y=nx+m=m+n=4，根据一次函数图象上点的坐标特征即可判断直线l3经过点P．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y=3x+1得b=3+1=4；（2）方程组的解为；（3）直线l3经过点P，理由如下：把P（1，4）代入直线l2：y=mx+n得m+n=4，当x=1时，y=nx+m=m+n=4，所以直线l3经过点P．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．。

中考数学真题精选专题试卷一次函数和反比例函数(含答案解析) (含答案解析)

一次函数和反比例函数一．选择题（共10小题）1．（•上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）2．（•甘孜州）函数y=x﹣2的图象不经过（）3．（•陕西）设正比例函数y=mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（）4．（•北海）正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的取值范围是（）5．（•牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）B=6．（•柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（）．B．．﹣7．（•兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（）B8．（•黑龙江）关于反比例函数y=﹣，下列说法正确的是（）（9．（•天津）己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）10．（•厦门）反比例函数y=的图象是（）=二．填空题（共15小题）11．（•凉山州）已知函数y=2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a=，b=﹣．．故答案为：；﹣．12．（•连云港）已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式y=﹣x+2（写出一个即可）．，13．（•福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k 的一个值：2．14．（•菏泽）直线y=﹣3x+5不经过的象限为第三象限．15．（•无锡）一次函数y=2x﹣6的图象与x轴的交点坐标为（3，0）．16．（•柳州）直线y=2x+1经过点（0，a），则a=1．17．（•六盘水）正方形A1B1C1O和A2B2C2C1按如图所示方式放置，点A1，A2在直线y=x+1上，点C1，C2在x轴上．已知A1点的坐标是（0，1），则点B2的坐标为（3，2）．18．（•滨州）把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y=﹣x+1．19．（•沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x （s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要5s能把小水杯注满．，解得：，20．（•大连）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为≤m≤1．，解得≤的取值范围为21．（•永州）已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x≥2时，y≤0．，解得：x解不等式﹣x22．（•湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．代入得：，解得：23．（•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．）代入得：，解得：24．（•威海）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B 关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为（）．=x﹣﹣时，﹣x，∴点（）25．（•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为y=6+0.3x．三．解答题（共5小题）26．（•孝感）某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W 元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？由题意得：，解得：…≥27．（•新疆）某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A中T恤x件，且所购进的良好总T恤全部卖出，获得的总利润为W元．（1）求W关于x的函数关系式；（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）28．（•威海）为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21课．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．（1）y与x的函数关系式为：y=﹣20x+1890；（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．29．（•乌鲁木齐）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x（h）的对应关系如图所示．（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？（2）①写出y1与x的函数关系式；②当x≥5时，求y2与x的函数解析式；（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？，解得：，∴30．（•徐州）为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量xm3之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式；（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？，则解得，，解得﹣。

反比例函数与一次函数综合中考数学专项训练(含解析)

反比例函数与一次函数综合一、单选题．．．．．反比例函数()10y mx=的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A 、B 两点，其中)，当12y y >时，的取值范围是()．1x <B 12x <<．2x >D ．01x <<或2>A ．18-B ．4．如图，双曲线my x=与直线的纵坐标为1-．根据图象信息可得关于A ．1x =C ．11x =-，21x =6．如图，一次函数2y x =-+与反比例函数(),1B n -，不等式2kx x-+>的解集为（A ．1x <-或0x <<C ．13x -<<7．直线2y x =+与双曲线A ．78．如图，已知一次函数A ．33二、填空题9．考察函数4y x=-10．如图，已知一次函数11．如图，直线2y x =与双曲线单位后，直线与双曲线交于点12．已知直线y x =与反比例函数C 为反比例函数图象第一象限上任意一点，连接点C 的坐标为．13．如图，直线3y x =-+与坐标轴分别相交于x14．如图，曲线l 是由函数y 到的，过点()42,42A -，B 面积是46，则k 的值为15．如图，一次函数y 点，则不等式1kx b x+-16．如图，点A 在双曲线y 0b >）上，A 与B 关于x 轴对称，直线有以下结论：①(),3A b b ②当三、解答题(1)请求出一次函数和反比例函数解析式：(2)连接OC，OD，求出(1)求反比例函数的关系式与(2)根据图象直接写出不等式(3)若动点P在x轴上，求PA(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接点C的坐标．参考答案：3．A【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点4,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出OA ，根据点角形的性质得到OC OA =程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的令23y x =-中0x =，代入∴()0,3B -，∴3OB =，令23y x =-中0y =，得：由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，联立两函数解析式：41y x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得：41x y =⎧⎨=-⎩即4x ≥，当0y =时，1042x =+，解得，8x =-，∴()80C -，，则D的坐标为2,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线2y x=向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点∴B的坐标为23,22a a⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭．将0y =代入直线3y x =-+得解得3x =，②当2b =时，点A 的坐标为：∴23243k =⨯=，故②正确；③∵()3,Ab b ，A 与B 关于()3,B b b -∵28y x =+，∴令0x =，则8y =；令∴()()4,0,0,8A B -DOC AOB AOD BOC S S S S =-- 18．(1)反比例函数解析式为【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求∠=∠=∠=ABO BOE AEO90。

一次函数及反比例函数难题(含答案)

专题训练7 一次函数及反比例函数一、选择题（每小题3分，共24分）1．函数y kx =-与y kx =（k ≠0）的图象的交点个数是（）A. 2B.1C. 0D.不确定2．若点（3，4）是反比例函数xm m y 122++=图象上一点，则此函数图象必经过点（）A.（3，－4）B.（2，－6）C.（4，－3）D. （2，6） 3. 函数y kx b =+与y kxkb =≠()0的图象可能是（）A B C D4．已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（）A.正数B.负数C.非正数D. 不能确定5．．在同一坐标系中，函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是（）A B C D6．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，其体温（℃）与时间（时）之间的关系如右图所示．若y （℃）表示0时到t 时内骆驼体温的温差（0时到t 时最高温度与最低温度的差）．则y 与t 之间的函数关系用图象表示，大致正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（第6题）7．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。

在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s 千米与行进时间t 的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（）A B C D8．正比例函数与反比例函数的图象都经过点（1，4），在第一象限内正比例函数的图象在反比例函数图象上方的自变量x 的取值范围是（）（A ）1x >．（B ）01x <<．（C ）4x >．（D ）04x <<．二、填空题（每小题3分，共18分）9．函数4y x =-与4y x=-的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为___________． 10、若函数y=4x 与y=x 1的图象有一个交点是（21，2），则另一个交点坐标是 _。

初中数学一次函数与反比例函数练习题(附答案)

初中数学一次函数与反比例函数练习题一、单选题1.某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是( ) A.13B.14C.16 D.182.从1-，1，2这三个数字中随机选取一个数记为a ，则使关于x 的一次函数2y x a =+的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组2,12x a x a +≤⎧⎨-⎩有解的概率为( )A.13B.23 C.1 D.03.一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经随机摸出一只手套，他再随机摸出一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为( ) A.14 B.13C.12D.1 4.如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是( )A.15B.16C.17 D.185.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数()0ky x x=>的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB BC ，分别相交于M N ，两点，OMN △的面积为10. 若动点P 在x 轴上，则PM PN +的最小值是（）A.62B.10C.226D.2296.如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2ky x=的图象相交于AB ，两点，则使12y y >成立的x 的取值范围是( )A.20x -<<或04x <<B.2x <-或04x <<C.2x <-或4x >D.20x -<<或4x >7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A B C 、、为反比例函数()0ky k x=>图象上不同的三点，连接OA OB OC 、、，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，过点B C 、分别作BE CF ，垂直于x 轴，垂足分别为点E F OC 、，与BE 相交于点M ，记AOD △、BOM △、四边形CMEF 的面积分别为123S S S 、、，则( )A.123S S S =+B.23S S =C.321S S S >>D.2123S S S <8.一次函数y ax b =+与反比例函数cy x=的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的大致图象是( )A. B.C. D.9.如图，反比例函数my x=与一次函数y kx b =+的图象相交于1(4)A ,，2(),B a 两点，一次函数的图象与y 轴交于点C ，若点D 在x 轴上，其坐标为(1)0,，则ACD △的面积为( )A.12B.9C.6D.510.如图，ABC △的三个顶点分别为()()(12444)2A B C ,，,，,.若反比例函数ky x=在第一象限内的图象与ABC △有交点，则k 的取值范围是( )A.14k ≤≤B.28k ≤≤C.216k ≤≤D.816k ≤≤11.如图，A B 、两点在反比例函数4y x=的图象上，过A B 、分别向坐标轴作垂线段，已知1.7S =阴影，则12S S +等于( )A.4B.4.2C.4.6D.512.若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是图中的( )A. B. C. D.13.用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系式是2P I R =，下列说法正确的是( )A. P 为定值时，I 与R 成反比例B. P 为定值时，2I 与R 成反比例 C. P 为定值时，I 与R 成正比例 D. P 为定值时，2I 与R 成正比例二、解答题（2）如果销售这批衬衣600件，至少要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客退换？15.如图,反比例函数8y x=的图象与一次函数5y kx =+ (k 为常数,且0k ≠)的图象交于,()2A b -,B 两点.1.求一次函数的表达式;2.若将直线AB 向下平移()0m m >个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点,求m 的值.16.如图，在平面直角坐标系中，直线12y x =-与反比例函数ky x =的图象交于关于原点对称的A B ，两点已知A 点的纵坐标是3.(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线12y x =-向上平移后与反比例函数在第二象限内的图象交于点C .如果ABC △的面积为48，求平移后的直线的函数表达式.17.方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t (单位:小时)，行驶速度为v (单位:千米/时)，且全程速度限定为不超过120千米/时 (1)求v 关于t 的函数表达式；(2)方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发，①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围；②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB AC ，相交于点D ，且//BE AC ，//AE OB .（1）求证：四边形AEBD 是菱形；（2）如果32OA OC ==，，求出经过点E 的反比例函数解析式． 19.如图，一次函数y kx b =+与反比例函数6(0)y x x=>的图象交于(,6),(3,)A m B n 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出使6kx b x+<成立的x 的取值范围；（3）求AOB △的面积.20.如图，已知点(1,)A a 是反比例函数3y x =-的图象上一点，直线1122y x =-+与反比例函数3y x=-的图象在第四象限的交点为点B .（1）求直线AB 对应的函数表达式；（2）动点(,0)P x 在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标. 21.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y (℃)和通电时间x (min)成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均为20℃, 接通电源后,水温y (℃)和通电时间x (min)之间的关系如图所示，回答下列问题：1.分别求出当08x ≤≤和8<x a ≤时，y 和x 之间的函数关系式；2.求出图中a 的值；3.李老师这天早上7:30将饮水机电源打开，若他想在8:10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？22.如图,在直角坐标系,Rt△ABC 位于第一象限,两条直角边AC 、AB 分别平行于x 轴、y 轴,点A 的坐标为(1,1),AB=2,AC=3.1.求BC 边所在直线的解析式;2.若反比例函数my x =(x>0)的图象经过点A,求m 的值; 3.若反比例函数ny x= (x>0)的图象与△ABC 有公共点,请直接写出n 的取值范围.三、填空题23.一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1,2,3,5.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是__________.24.为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数10298809312725.如图,正方形ABCD 是一块绿化带,其中阴影部分,EOFB GHMN 是正方形的花圃.已知某自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在正方形花圃上的概率为 .26.如图，已知直线1y k x b =+与x 轴、y 轴相交于P Q 、两点，与2k y x=的图象相交于()(2)1A m B n -,、,两点，连接OA OB 、，给出下列结论:①120k k <；②102m n +=；③AOP BOQ S S =△△；④不等式21k k x b x+>的解集是2x <-或01x <<，其中正确的结论的序号是 .27.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，OA 在x 轴的正半轴上，60AOC ∠=︒，过点C 的反比例函数43y x=的图象与AB 交于点D ，则COD △的面积为 .参考答案1.答案：C解析：本题考查画树状图法求概率.根据题意画图如下：共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种情况，则恰好选中甲、乙两位选手的概率是21126=，故选C. 2.答案：A 解析：2y x a =+的图象与x 轴、y 轴分别交于,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,),a ∴围成的三角形的面积为2211||||,22444a a a a ⨯-⨯=∴=，1a ∴=±.当1a =时，不等式组为21,12,x x +≤⎧⎨-≤⎩解得1x =-；当1a =-时，不等式组为21,12,x x +-⎧⎨--⎩无解.∴满足条件的a 的值为1.故所求概率为13.故选A.3.答案：B套凑成同一双的概率41123=.故选B4.答案：C解析：设阴影部分的面积是x ，则整个图形的面积是7x ，所以这个点取在阴影部分的概率是177x x =，故选C. 5.答案：C解析：设点()(),6,6,N a M b ，则()()()1116666610222OMN OABN MBN OAM S S S S a a b b =--=-+----⨯⨯=△△△ 因为M ，N 两点在反比例函数()0ky x x=>的图象上，6,6,a k b k a b ∴==∴=解得4a b ==所以点()(),6,6,N a M b 244624k y x=⨯=∴=.再作()4,6N 关于x 轴的对称点()'4,6N -，连接'N M ，交x 轴于点P ，此时PM PN +的值最小.PM PN +的最小值'MN ===故选C. 6.答案：B解析：观察题图可发现:当2x <-或04x <<时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴使12y y >成立的x 的取值范围是2x <-或04x <<.故选B.7.答案：B 解析：点A B C 、、为反比例函数()0ky k x=>图象上不同的三点，AD y ⊥轴，BE CF 、垂直于x 轴，112S k ∴=，12BOE COF S S k ==△△,BOE OME COF OME S S S S -=-△△△△，32S S ∴=故选B.8.答案：A 解析：一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，00a b <>，，反比例函数cy a=的图象位于第一、三象限，0c ∴>.当000a b c <>>，，时，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，与y 轴的交点在x 轴上方，满足上述条件的函数图象只有选项A 故选A. 9.答案：D 解析：点1(4)A ,在反比例函数m y x =的图象上，414m xy ∴==⨯=，4y x∴=. 把()2B a ,代入4y x =，得42a=，2a ∴=，2()2B ∴,. 把1(4)A ,，2(2)B ,代入y kx b =+，得1422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得123k b =-=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴一次函数的解析式为132y x =-+，当0x =时，3y =，3()0C ∴,.过A 作AE x ⊥轴于E ，ACD COD DEA AEOC S S S S =--矩形△△△()1341113135222+⨯=-⨯⨯-⨯⨯=.故选D.10.答案：C解析：ABC △是直角三角形，∴当反比例函数ky x=的图象经过点A 时k 最小，经过点C 时k 最大，122k ∴=⨯=最小，4416k =⨯=最大，216k ∴≤≤.故选C. 11.答案：C 解析：A 、B 两点在反比例函数4y x=的图象上，124S S S S ∴+=+=阴影阴影， 1.7S =阴影，124 1.7 2.3S S ∴==-=，12 4.6S S ∴+=故选C.12.答案：B解析：0ab <，分两种情况：（1）当0,0a b ><时，正比例函数y ax =的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当0,0a b <>时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故选B.13.答案：B解析：根据2P I =可以得到:当P 为定值时,2I 与R 的乘积是定值,所以2I 与R 成反比例.故选B. 14.答案：（1）抽检的件数为501002003004005001550+++++=，次品件数为0416********+++++=，所以从这批衬衣中任抽1件是次品的概率为930.061550=.（2）由（1）知从这批衬衣中任抽1件是次品的概率为0.06，所以销售的600件衬衣中次品的件数约为6000.0636⨯=，所以至少要准备36件正品衬衣供买到次品的顾客退换. 解析：15.答案：解：1(2, )b -代入8y x =，得842b =-=-，所以A 点坐标为(2,4)-，把(2,4)A -代入5y kx +＝，得254k +﹣＝，解得12k =，所以一次函数解析式为152y x =+；2.线AB 向下平移()0m m ＞个单位长度得直线解析式为152y x m =+-，根据题意方程组8152y xy x m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩只有一组解，消去y 得8152x m x -=+-，整理得21(5)802x m x --+=，21(5)4802m ∆=--⨯⨯=，解得9m ＝或1m ＝，即m 的值为1或9．解析：16.答案：(1)由题意可设()3A m ,，因为点A 在直线12y x =-上，所以132m -=，所以6m =-.所以()63A -,. 因为()63A -,也在反比例函数k y x =的图象上，所以36k=-，所以18k =-. 故反比例函数的表达式为18y x=-(2)设平移后的直线为12y x b =-+，与y 轴交于点D ，连接AD BD ，，如图因为//AB CD ，所以48ABD ABC S S ==△△，由于点AB ，关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(6)3-,，且6A B x x ==. 所以ABD ADO BOD S S S =+△△△11622A B OD x OD x OD =⋅+⋅=.因为48ABC ABD S S ==△△，所以648OD =，所以8OD =，即8b =. 所以平移后的直线的函数表达式为182y x =-+.解析：17.答案：(1)由题意得480vt =，480v t∴= v ∴关于t 的函数表达式为480v t∴=(2)①从8点至12点48分经过的时间为245小时，从8点至14点经过的时间为6小时，将6t =代入480v t=，得80v =；将245t =代入480v t=，得100v =. ∴小汽车行驶速度v 的范围为80100v ≤≤.②方方不能在当天11点30分前到达B 地. 理由如下:从8点至11点30分经过的时间为72小时，将72t =代入480v t =，得9601207v => 故方方不能在当天11点30分前到达B 地解析：18.答案：解（1）证明：////BE AC AE OB ，，∴四边形AEBD 是平行四边形，四边形OABC 是矩形，11,,,222DA AC DB OB AC OB AB OC ∴=====, DA DB ∴=∴，四边形AEBD 是菱形；（2）解：连接DE ，交AB 于F ，如图所示：四边形AEBD 是菱形，AB ∴与DE 互相垂直平分，32OA OC ==，，1322EF DF OA ∴===，112AF AB ==，∴点E 坐标为：9(,1)2，设经过点E 的反比例函数解析式为：ky x=，把点9(,1)2E 代入得：92k =，∴经过点E 的反比例函数解析式为92y x=．解析：19.答案：（1）解：(,6),(3,)A m B n 两点在反比例函数6(0)y x x=>的图象上， 1,2m n ∴==，即(1,6),(3,2)A B又(1,6),(3,2)A B 在一次函数y kx b =+的图象上，623k b k b =+⎧∴⎨=+⎩，解得28k b =-⎧⎨=⎩，即一次函数的表达式为28y x =-+. （2）根据图象可知使6kx b x+<成立的x 的取值范围是01x <<或3x >.（3）如图，分别过点,A B 作AE x ⊥轴，BC x ⊥轴，垂足分别为,E C ，设直线AB 交x 轴于点D ，令280x -+=，得4x =，即(4,0)D ,4OD ∴=(1,6),(3,2)A B ,6,2AE BC ∴==114642822AOB AOD ODB S S S ∴=-=⨯⨯-⨯⨯=△△△解析：20.答案：（1）解：将(1,)A a 的坐标代入3y x =-中，得3a =-，(1,3)A ∴-B 点是直线1122y x =-+与反比例函数3y x=-的图象在第四象限的交点，11223y x y x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，解得211223,312x x y y =-⎧=⎧⎪⎨⎨=-=⎩⎪⎩∴点B 的坐标为(3,1)-.设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+则331k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，14k b =⎧∴⎨=-⎩ 4y x ∴=-.（2）当P 点为直线AB 与x 轴的交点时，线段PA 与线段PB 之差达到最大. 直线AB 对应的函数表达式为4y x =-，∴点P 的坐标为(4,0).解析：21.答案：解：1.当08x ≤≤时，设1y k x b =+，将(0,20),(8,100)的坐标分别代入1y k x b =+，可求得110,20k b ==.∴当08x ≤≤时，1020y x =+ 当8x a <≤时，设2k y x =，将(8,100)的坐标代入2k y x=，得2800k =∴当8x a <≤时，800y x=综上，当08x ≤≤时，1020y x =+ 当8x a <≤时， 800y x= 2.将20y =代入800y x =解得40x =，即40a = 3.当40y =时，8002040x == ∴要想喝到不低于40℃的开水，x 需满足820x ≤≤，即李老师要在7:38 到7:50之间接水. 解析：22.答案：1.∵Rt△ABC 位于第一象限,两条直角边AC 、AB 分别平行于x 轴、y 轴,点A 的坐标为(1,1),AB=2,AC=3, ∴B(1,3),C(4,1)设直线BC 的解析式为y=kx+b(k≠0).∴341k b k b +=⎧⎨+=⎩解得23113k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴BC 边所在直线的解析式为: 21133y x =-+. 2.∵反比例函数my x= (x>0)的图象经过点A(1,1), ∴m=1.3.∵反比例函数ny x=(x>0)的图象与△ABC 有公共点, ∴当函数经过A(1,1)时,n=1; 当函数图象经过点C(4,1)时,n=4, ∴1≤n≤4. 解析：23.答案：58解析：本题考查列表法求概率.用表格列出所有等可能出现的结果如表所示：1 10种，所以所求概率105168P ==. 24.答案：7200 解析： 25.答案：1736解析：设正方形ABCD 的边长为a , 则1,22a BF BC == ,AN NM MC ===∴阴影部分的面积为22217())2336a a a +=， ∴小鸟落在正方形花团上的概率为22171736.36aa = 26.答案：②③④解析：由题图知，1200k k <<，，120k k ∴>，故①错误；把()2)1(m n -,、,代入2k y x=中，得22m k -=，2n k =，2m n ∴-=，102m n ∴+=，故②正确；把()2)1(m n -,、,代入1y k x b =+得112m k b n k b =-+⎧⎨=+⎩，1223n m k n m b -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，2m n -=，1k mb m =-⎧∴⎨=-⎩，y mx m ∴=--，)1(0p ∴-,，()0Q m -,，又易知0m >，1OP ∴=，OQ m =，112AOP S m ∴=⨯⋅△，112BOQ S m =⋅⨯△，AOP BOQ S S ∴=△△，故③正确；由题图知不等式21k k x b x+>的解集是2x <-或01x <<，故④正确. 27.答案：解析：连接AC ，作CE AO ⊥于E ，点C 在反比例函数y 的图象上，2OCE kS ∴==△四边形OABC 为菱形，OA OC ∴=，又60AOC ∠=︒，AOC ∴△为等边三角形，2AOC OCE S S ∴==△△四边形OABC 为菱形，//AB OC ∴，COD AOC S S ∴==△△。

中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习及答案

中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习及答案一、单选题1．如图直线y1＝x+1与双曲线y2＝k x交于A （2，m）、B（﹣3，n）两点.则当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞﹣3或0＜x＜2B．﹣3＜x＜0或x＞2C．x＜﹣3或0＜x＜2D．﹣3＜x＜22．如图，点A1,A2,A3⋯在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1,B2,B3⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1,B2A2⊥B1A2,B3A3⊥B2A2⋯，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．(2√n,0)B．(0,√2n+1)C．(0,√2n(n+1))D．(0,2√n)3．如图，已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是()A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）4．如图，函数y1=x﹣1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞25．如图，直线y= 23x与双曲线y= k x（x＞0）交于点A，将直线y= 23x向右平移3个单位后，与双曲线y= kx（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若AOBC=2，则k=（）A．83B．4C．6D．43 6．一次函数y=2x﹣1与反比例函数y=﹣x﹣1的图象的交点的情况为（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不能确定7．如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例函数y= y x(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤88．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B,D在反比例函数y=k x（k>0）的图象上，对角线BD过原点O，延长BA交反比例函数的图象于点E，连接DE，若A为BE 的中点，且点A的坐标为(−1,2)，则k的值为（）A．163B．329C．92D．49．函数y= 1−kx的图象与直线y=﹣x没有交点，那么k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＞﹣1D．k＜﹣110．如图，已知动点P在函数y= 12x（x＞0）的图象上运动，PM△x轴于点M，PN△y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（）A．4B．2C．1D．1211．如图，反比例函数y=kx（k＞0）与一次函数y=12x+b的图象相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB交y轴与C，当|x1－x2|=2且AC = 2BC时，k、b的值分别为（）A．k＝12，b＝2B．k＝49，b＝1C．k＝13，b＝13D．k＝49，b＝1312．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与y=2x的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在y=2x图象上，下列说法正确的是（）A．当x1=x2< 2时，y1< y2B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2二、填空题14．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6x的图象交于两点，当kx+b−6x>0时x的取值范围是．15．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，AD＝BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y＝6x（x＞0）图象于点E，连接DE，则△DCE的面积为.16．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t,0)，B(0,-2t)，C(2t,4t)三点，其中t>0，函数y=t 2x的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB-S△PQB=t，则t的值为．17．如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= 1x，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为．18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－4x的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝8x的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为.三、综合题19．已知反比例函数y1=k x的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，-2) .（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.20．如图，过双曲线y= k x在直角坐标系第二象限上点A作直线分别交x轴和双曲线于点C、B，点A的坐标为（﹣1，6）．（1）若tan△ACO=2，试求点C的坐标；（2）若AB=2BC，连接OA、OB，求△OAB的面积．21．如图，一次函数y=x−3的图像与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=−2x(x>0)的图像分别交于C、D两点.（1）动点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N.当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；（2）在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k x的图象交于A、B两点，过点A作AC 垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，直线y1=﹣x+4，y2= 34x+b都与双曲线y= k x交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．24．如图，已知直线y=﹣x和反比例函数y=k x（k＞0），点A（m，n）（m＞0）在反比例函数y= kx上．（1）当m=n=2时①直接写出k的值；②将直线y=﹣x作怎样的平移能使平移后的直线与反比例函数y=k x只有一个交点．（2）将直线y=﹣x绕着原点O旋转，设旋转后的直线与反比例函数y=k x交于点B（a，b）（a＞0，b＞0）和点C．设直线AB，AC分别与x轴交于D，E两点，试问：ABAD与ACAE的值存在怎样的数量关系？请说明理由．参考答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】－1414．【答案】2<x <3 或 x <0 15．【答案】12−6√2 16．【答案】417．【答案】√2或√2218．【答案】1219．【答案】（1）解：∵函数y 1=k x图象过点A(1，4)∴k=4，即y 1= 4x又∵点B(m ，−2)在y 1=4x上，∴m=−2∴B(−2，−2)又∵一次函数y 2=ax+b 过A.B 两点则{a +b =4−2a +b =−2，解得{a =2b =2 ∴y 2=2x+2综上可得y1=4x ，y 2=2x+2；（2）解：x<−2或0<x<1.20．【答案】（1）解：过点A 作AD△x 轴，交x 轴于点D ．∵点A 的坐标为（﹣1，6） ∴AD=6，OD=1． ∵tan△ACO=2∴CD=AD÷tan△ACO=6÷2=3 ∴OC=4∴点C 的坐标为（﹣4，0）（2）解：∵点A 的坐标为（﹣1，6）∴反比例函数的解析式为y=﹣ 6x．设B （x ，﹣ 6x），C （c ，0）∵{(x +1)2+(−6x )2=2(c −x)2+2(−6x )26+6x −1−x =6−1−c，解得x=﹣4，x=﹣3 ∴C （﹣4，0）∵S △AOC =12×4×6=12又∵AB=2BC∴△OAB 的面积= 23 S △AOC = 23 ×12=8．故答案为：（1）（﹣4，0）；（2）821．【答案】（1）解：如下图，对于函数y =x −3当x=0时，y=-3，当y=0时，x=3∴A(3，0)，B(0，−3)∵动点P在线段AB上∴设点P（a，a-3），a>0，a-3<0，即0<a<3∴PN=a，PM=3−a∵矩形OMPN的面积为2∴a(3−a)=2，即a2−3a+2=0解得a=2或a=1∴点P(2，−1)或P(1，−2)（2）解：如下图∵A(3，0)，B(0，−3)∴OA=OB=3∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=3√2联立一次函数与反比例函数可得{y=x−3 y=−2x解得{x=1y=−2或{x=2y=−1∴C(1，−2)，D(2，−1)∴BC=√12+(−2+3)2=√2设E(x，0)，AE=3−x以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO=∠BAE=45°∴ABOB=AEBC或ABBC=AEOB∴3√23=3−x√2或3√2√2=3−x3解得x=1或x=−6∴E(1，0)或E(−6，0).22．【答案】（1）解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于原点对称，∴OA=OB ，∴△BOC 的面积=△AOC 的面积=2÷2=1，又∵A 是反比例函数 y =k x图象上的点，且AC△x 轴于点C ，∴△AOC 的面积= 12|k| ，∴12|k|=1 ，∵k ＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为 y =2x（2）解：x 轴上存在一点D ，使△ABD 为直角三角形．将 y =2x 与 y =2x联立成方程组得： {y =2x y =2x ，解得： {x 1=1y 1=2 ， {x 2=−1y 2=−2 ，∴A （1，2），B （﹣1，﹣2） ①当AD△AB 时，如图1设直线AD 的关系式为 y =−12x +b ，将A （1，2）代入上式得： b =52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x +52，令y=0得：x=5，∴D （5，0）； ②当BD△AB 时，如图2设直线BD 的关系式为 y =−12x +b ，将B （﹣1，﹣2）代入上式得： b =−52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x −52，令y=0得：x=﹣5，∴D （﹣5，0）； ③当AD△BD 时，如图3∵O为线段AB的中点，∴OD= 12AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA=√OC2+AC2= √5，∴OD= √5，∴D（√5，0）根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（−√5，0）；故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（√5，0）或D（−√5，0）．23．【答案】（1）解：把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y= kx，可得k=1×3=3∴y与x之间的函数关系式为：y= 3 x（2）解：∵A（1，3）∴当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为：x＞1（3）解：y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0）把A（1，3）代入y2= 34x+b，可得3= 34+b∴b= 94，∴y2=34x+94，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分∴CP= 14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74= 94∴P（﹣54，0）或（94，0）24．【答案】（1）解：①当m=n=2时，A（2，2），把点A（2，2）代入反比例函数y=k x（k＞0）得：k=2×2=4；②设平移后的直线解析式为y=﹣x+b1，由{y=−x+by=k x可得，−x+b1=4x，整理可得：x2﹣b1x+4=0当Δ=(−b1)2−4×1×4=0，即b1=±4时，方程x2﹣b1x+4=0有两个相等的实数根，此时直线y=﹣x+b1与反比例函数只有一个交点∴只要将直线y=﹣x向上或向下平移4个单位长度，所得到的直线与反比例函数只有一个交点（2）解：ACAE±ABAD=2，理由如下：分两种情况讨论：由反比例函数的对称性可知，C（﹣a，﹣b）①当点A在直线BC的上方时，如图所示：过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H则OF=n，OG=OH=b∴FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b∵AF△BG△x轴∴ABAD=FGFO=n−bn∵AF△x轴△CH∴ACAE=FHFO=n+bn∴ACAE+ABAD=n−bn+ n+bn=2；②当点A在直线BC的下方时同理可求：ABAD=b−nn，ACAE=n+bn∴ACAE﹣ABAD=n+bn﹣b−nn=2；综上所述，ACAE±ABAD=2．。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数交点问题》专题训练-附带有答案

中考数学总复习《反比例函数与一次函数交点问题》专题训练-附带有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数12y x =-的图像经过点(2,)A m -，点A 与点B 关于y 轴对称，且点B 在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上．(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)设P 是直线12y x =-上的一动点．当线段BP 最短时，求ABP 的面积．2．如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=在第一象限交于()1,6M 、()6,N m 两点，点P 是x 轴负半轴上一动点，连接PM ，PN ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若PMN 的面积为452，求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，若点E 为直线PM 上一点，点F 为y 轴上一点，是否存在这样的点E 和点F ，使得四边形EFNM 是平行四边形?若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，一次函数11y k x b =+与反比例函数22(0)k y x x=<的图象交于点(2,)A m -和(,2)B n ，过点A 作AC y 轴交x 轴于点C ，在x 轴正半轴上取一点D ，使2OC OD =，连接BC ，AD ，若ACD ∆的面积是6．(1)求反比例函数的解析式．(2)结合图象，直接写出1y y <₂时x 的取值范围．(3)点P 为第一象限内直线AB 上一点，且PAC △的面积等于BAC 面积的2倍，求点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点()3A n ，，与y 轴交于点()01B -，，点P 是反比例函数()0ky x x=>的图象上一动点，过点P 作直线PQ y ∥轴交直线y x b =+于点Q ，设点P 的横坐标为t ，且03t <<，连接AP BP ，．(1)求k ，b 的值．(2)当ABP 的面积为32时，求点P 的坐标．(3)设PQ 的中点为C ，点D 为x 轴正半轴上一点，当以B ，C ，D 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出点P 的坐标．5．已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=- 图象相交于A ，B 两点，其中A 点的横坐标与B 点的纵坐标都是1，如图：(1)求这个一次函数的解析式；(2)在y轴是否存在一点P使OAP为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，反比例函数kyx=与一次函数y ax b=+的图象交于点()2,2A和1,2B n⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求这两个函数解析式；(2)在第一象限内，当一次函数大于反比例函数时，根据图象直接写出x的取值范围．7．如图，已知一次函数y ax b =+（a ，b 为常数，0a ≠）的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且与反比例函数ky x=（k 为常数）的图象在第二象限内交于点C ，作CD x ⊥轴于D ，若24OA OD OB ===．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式kax b x+<的解集； (3)在y 轴上是否存在点P ，使得PBC 是以BC 为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．8．如图，已知直线1y x m =-++与反比例函数my x=（0x >，0m >）的图象分别交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ；(1)如图1，当点A 坐标为13（，）时，求直线AB 的解析式和反比例函数关系式；(2)将OAB 沿射线AB 方向平移得到O A B '''△，若点O ，B 的对应点O '，B '同时落在函数n y x=上 ①求n 的值；①平移过程中OAB 扫过的面积是．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数()20k y x x=>的图象交于()1,4B ，与x 轴交于A ，与y 轴交于C ，且3AC BC =．(1)求一次函数与反比例函数的解析式：(2)直接写出不等式：()210k k x b x x≥+>的解集； (3)若P 是y 轴上一动点，求PA PB -的最大值和此时点P 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于(14)A ，，(4)B n -，两点．(1)分别求一次函数及反比例函数的表达式；(2)在第三象限内的B 点右侧的反比例函数图象上取一点P ，连接PA PB ，且满足15PAB S =△． i ）求点P 的坐标；ii ）过点A 作直线l PB ∥，在直线l 上取一点Q ，且点Q 位于点A 的左侧，连接BQ ，试问：QAB 能否与ABP 相似？若能，求出此时点Q 的坐标；若不能，请说明理由．11．已知在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)a ，1(2,)2a -在反比例函数ky x =的图像上．(1)求k 的值； (2)将反比例函数ky x=的图像中x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图像如图1所示，新函数记为函数F ．①如图2，直线y x b =+与函数F 的图像交于A ，B 两点，点A 横坐标为1x ，点B 横坐标为2x ，且120x x << 124x x =．点P 在y 轴上，连接AP ，BP ．当AP BP +最小时，求点P 的坐标；①已知一次函数2(0)y nx n n =-+≠）的图像与函数F 的图像有三个不同的交点，直接写出n 的取值范围．12．在平面直角坐标系中，点A 、B 是反比例函数1ky x=的图象上的两点，且点A 与点A '关于原点对称，直线l ：()20y px q p =+<经过点A ，B ，设点A 、B 的横坐标分别为a 和b （0a b <<）．(1)若4k =，4a =-和1b =-，且点B 在直线l 上． ①求函数2y 的表达式； ①求ABA '△的面积；(2)当90ABA '∠=︒时，求证：ab k =；(3)过点A '作y 轴的平行线交直线l 于点D ，以A D '为边向左侧作矩形A DEF '其中DE x 轴，且2A Dp ED'=-，试说明：直线l 与线段EF 的交点P 始终在函数1y 的图象上．13．如图，一次函数y=k 1x +1的图象与反比例函数22(0)k y k x=> 点的图象相交于A 、B 两点，点C 在x 轴正半轴上，点D （1，-2 ），连接OA 、OD 、DC 、AC ，四边形OACD 为菱形．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x 的取值范围； (3)设点P 是直线AB 上一动点，且S△OAP =12S 菱形OACD ，求点P 的坐标．14．如图在平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 两点分别在y 轴、x 轴的正半轴上，①AOB 的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P ，P 在反比例函数4y x=的图象上．（1）求点P 的坐标；（2）若OA =OB ，则： ①①P 的度数为．①求出此时直线AB 的函数关系式；．（3）如果直线AB 的关系式为y kx n =+，且02n <<，作反比例函数ny x=-，过点（0，1）作x 轴的平行线与4y x=的图象交于点M ，与n y x =-的图象交于点N ，过点N 作y 轴的平行线与y kx n =+的图象交于点Q ，是否存在k 的值，使得MN +ON 的和始终是一个定值d ，若存在，求出k 的值及定值d ；若不存在，请说明理由．15．如图，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数k y x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；(3)已知点P 在x 轴的正半轴上运动，点Q 在平面内运动，当以点O ，A ，P 和Q 为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点Q 的坐标．参考答案： 1．(1)1；2y x =(2)1652．(1)反比例函数的表达式为6y x =，一次函数的表达式为7y x =-+； (2)()2,0-(3)存在 ()5,6--3．(1)28y x =- (2)<4x -或20x -<<(3)P （2，8）．4．(1)16b k =-=，(2)()66P ， (3)()23，或()16，或33333322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，5．(1)3y x =--(2)()10,17P ()20,17P - ()30,8P - 4170,8P ⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)反比例函数解析式为4y x =，一次函数解析式为410y x =-+ (2)122x <<7．(1)122y x =-+ 16y x =- (2)40x -<<或8x >；(3)(0,252)+或(0,252)-+或(0,6)．8．(1)4y x =-+ 3y x=(2)①94-；①109．(1)3y x 4y x= (2)01x <≤(3)最大值为25，此时点P 的坐标为()0,610．(1)一次函数表达式为3y x ，反比例函数表达式为4y x=； (2)i ）()14P --，；ii ）当点Q 的坐标为()27-，或223733⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，QAB 与ABP 相似．11．(1)1k =；(2)①170,10P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，①0n <或0234n <<-+．12．(1)①25y x =--；①15；13．(1)1y x =+ 2y x=； (2)<2x -或01x <<；(3)(-3，-2)或(5，6)14．（1）P （2，2）；（2）①22.5°；①y ＝−x ＋4−22；（3）故不存在k 的值，使得MN ＋QN 的和始终是一个定值d ．15．(1)4y x =(2)42或5172(3)()117,4+或3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知反比例函数()10cy c x=≠和一次函数()20y kx b k =+≠的图象相交于点()2,3A -和()3,B a ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)将一次函数2y 向下平移5个单位长度后得到直线3y ，当213y y y >>时，求x 的取值范围． 2．如图，反比例函数()0ky k x=>的图象经过正方形OABC 的顶点B ，一次函数1y x =+经过BC 的中点D ．(1)求反比例函数的表达式；(2)将ABD △绕点A 顺时针旋转90︒，点D 的对应点为E ，判断E 点是否落在双曲线上． 3．如图，反比例函数()0ky k x=< 的图象与矩形ABCO 的边相交于D 、E 两点()51E -，，且23AD BD =∶∶,一次函数经过D 、E 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求BDE △的面积．4．对于实数,a b ，我们可以用{}min ,a b 表示,a b 两数中较小的数，例如{}min 3,11-=- {}min 2,22=，类x x⎩⎭(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式2kx x -＞的解集；(3)点P 为反比例函数ky x=图像的任意一点，若3POC AOC S S =△△，求点P 的坐标． 7．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式； (2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集； (3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．8．如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数=ky x(k ＞0)的图象交于点A (1，m )，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．x，求AOB 的面积；根据图象，请直接写出满足不等式1y kx b =+C ，点A 的坐标为(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求ABE 的面积． 11．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ． △请求出点F 的坐标；△将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值． 12．如图，正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数my (m 0)x=≠的图象交于A 、B 两点，A 的横坐标为4-，B 的纵坐标为6-．(1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式mkx x<的解集． (3)将直线AB 向上平移n 个单位，交双曲线于C 、D 两点，交坐标轴于点E 、F ，连接OD 、BD ，若OBD 的面积为20，求直线CD 的表达式．13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．②的面积是OCD．如图，已知一次函数y轴交于点，若ACD的面积为16．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()1,0，点()44D ,在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点M ，连接AC 、AE ．(1)求k 、b 的值； (2)求ACE △的面积；(3)在x 轴上取点P ，求出使PC PE -取得最大值时点P 的坐标． 17．已知反比例函数1k y x=图象经过点(3,2)A ，直线:(0)l y kx b k =+<，经过点(2,0)C -，经过点A 且垂直于x 轴的直线与直线l 相交于B ．(1)求1k 的值；(2)若ABC 的面积等于15，求直线l 的解析式；(3)点G 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，问是否存在点G 和点Q ，使以G ．Q 及（2）中的C ．B 四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数()0ky x x=<的图象过点()4,2C -，点D 的纵坐标为4，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于点,A B ．Rt AOB直角边上的一个动点，当16PCD AOBS S=时，求点关于y轴的对称点为x轴的对称点为,N 使得以点,,M N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，标；若不存在，请说明理由．．如图，已知直线y=x参考答案：3．(1)5y x =- 1722y x =+(2)944．(1)B (2)直线1x = 5．(1)1y x =- 2y x= (2)(1,0)C 12x <≤6．(1)3y x= (2)10x -＜＜或3＞x (3)()1,3或()1,3--7．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+．(2)2x <－或06x << (3)()10,0P 8．(1)8y x= (2)39．(1)反比例函数的表达式为：22y x=-(2)32AOBS=(3)20x -<<或1x >10．(1)一次函数解析式1y x 4=-，反比例函数解析式212y x= (2)32ABE S =△11．(1)3y x= 1n =(2)△F 点坐标为3(4,)4；△线段OF 的最大值为17104+12．(1)24y x=-(2)40x -<<或>4x。

初中数学一次函数与反比例函数练习题(含答案)

专题17 一次函数与反比例函数一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ；点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ；点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数.三、函数及其相关概念1、.函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

2、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法（2）列表法（3）图像法四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

2024年中考复习数学专项练习-反比例函数与一次函数交点问题及参考答案

2024年中考复习数学专项练习--反比例函数与一次函数交点问题(1)求反比例函数的解析式和点(2)根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象交于A．B两点，已知(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)结合函数图象，直接写出的面积．(3)连接AO BO、，求AOB(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；(2)点C 在y 轴上，当S 4．如图，一次函数y 像相交于点()1B a ,．(1)求反比例函数的解析式；⊥轴于点(2)过点B作BC x(1)求直线和双曲线解析式：(2)根据图象直接写出不等式(1)求a和b的值；(2)过点B作直线l平行x轴交y轴于点7．如图，函数kyx=的图象与函数(1)求a，b的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出不等式(3)若点P是y轴上的动点，当(1)求反比例函数与一次函数的表达式；的面积；(2)求ABC(3)观察图象，直接写出不等式y x=+9．如图，一次函数2x轴，y轴分别交于点A，B.(1)求m 的值及反比例函数的解析式(2)求当2kx x+>时，x 的取值范围；(3)将线段AB 沿x 轴向右平移得到接写出四边形ABB A ''的面积.10．如图，已知(),2A n -，(1,4B 像的两个交点，直线AB 与y 轴交于点(1)直接写出反比例函数和一次函数的表达式及(2)连接AO ，求AOC 的面积；(3)不等式mkx b x+<的解集是_________(1)求反比例函数的解析式；并观察图象，直接写出不等式(2)点A 关于原点O 的对称点为坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数B ，与反比例函数y =-为()12,2-．=(1)直接写出一次函数y kx(2)根据图象，直接写出当自变量24y=-的值；x的面积．(3)求OCD13．如图，正比例函数y()A-，．43，的值；(1)求k m(2)根据函数图象，直接写出不等式kx(3)若点C在y轴上，且ABC的面积为(1)求反比例函数解析式；(2)根据图象直接写出当kmx x>(3)若点P 为y 轴上一动点，当15．已知平面直角坐标系中，直线点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与(1)求反比例函数的表达式及n的值；沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象(2)将OCD交于点F．①请求出点F的坐标；②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值．参考答案：。

湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题07 函数初步知识、一次函数和反比例函数(含答案解析)

专题07 函数初步知识、一次函数和反比例函数一、单选题1．（2021·湖南中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒．点P 从点A 出发，沿路线A B C D →→→运动．设P 点经过的路程为x ，以点A ，D ，P 为顶点的三角形的面积为y ，则下列图象能反映y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】过点B 作BE ⊥AD 于点E ，由题意易得4,AB AD BC BE ====当点P 从点A 运动到点B 时，△ADP 的面积逐渐增大，当点P 在线段BC 上时，△ADP 的面积保持不变，当点P 在CD 上时，△ADP 的面积逐渐减小，由此可排除选项．【详解】解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，如图所示：∵边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，∴4AB AD BC ===，∴∠ABE =30°，∴2AE =，∴BE =当点P 从点A 运动到点B 时，△ADP 的面积逐渐增大，点P 与点B 重合时，△ADP 的面积最大，最大为12ADP S AD BE =⋅=；当点P 在线段BC 上时，△ADP 的面积保持不变；当点P 在CD 上时，△ADP 的面积逐渐减小，最小值为0；∴综上可得只有A 选项符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、勾股定理是解题的关键．2．（2021·湖南中考真题）如图，已知ABCD 的面积为4，点P 在AB 边上从左向右运动（不含端点），设APD △的面积为x ，BPC △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】过点P 作PE CD ⊥于点E ，先根据平行四边形的面积公式可得4CD PE ⋅=，从而可得CPD △的面积为2，再利用ABCD 的面积减去CPD △的面积可得x y +的值，然后根据0,0x y >>求出x 的取值范围，最后根据一次函数的图象与性质即可得．【详解】解：如图，过点P 作PE CD ⊥于点E ，ABCD 的面积为4，4CD PE ∴⋅=，CPD ∴△的面积为122CD PE ⋅=， 42x y ∴+=-，即2y x =-+，点P 在AB 边上从左向右运动（不含端点），00x y >⎧∴⎨>⎩，即020x x >⎧⎨-+>⎩，解得02x <<，则y 关于x 的函数图象大致是在02x <<内的一条线段，且y 随x 的增大而减小，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题关键．3．（2021·湖南邵阳市·中考真题）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（）A ．小明修车花了15minB ．小明家距离学校1100mC ．小明修好车后花了30min 到达学校D ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s【答案】A【分析】根据函数图像进行分析计算即可判断．【详解】解：根据图像7:05-7:20为修车时间20-5=15分钟，故A 正确；小明家距离学校2100m ，故B 错误；小明修好车后花了30-20=10分钟到达学校，故C 错误；小明修好车后骑行到学校的平均速度是（2100-1000）÷600=116m/s ，故D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查函数图像的识别，正确理解函数图像的实际意义是解题的关键．4．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直线y x b =+和4y kx =+与x 轴分别相交于点(4,0)A -，点(2,0)B ，则040x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为（）A ．42x -<<B ．4x <-C ．2x >D ．4x <-或2x >【答案】A【分析】根据图像以及两交点(4,0)A -，点(2,0)B 的坐标得出即可．【详解】解：∵直线y x b =+和4y kx =+与x 轴分别相交于点(4,0)A -，点(2,0)B ，∴观察图像可知040x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为42x -<<，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．5．（2021·湖南长沙市·中考真题）下列函数图象中，表示直线21y x =+的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．【详解】解：一次函数21y x =+的一次项系数为20>，y ∴随x 的增大而增大，则可排除选项,A C ，当0x =时，1y =，则可排除选项D ，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．6．（2021·湖南中考真题）正比例函数2y x =与反比例函数2y x =的图象或性质的共有特征之一是（） A ．函数值y 随x 的增大而增大B ．图象在第一、三象限都有分布C ．图象与坐标轴有交点D ．图象经过点()2,1 【答案】B【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】A 、正比例函数2y x =，函数值y 随x 的增大而增大；反比例函数2y x =，在每一象限内，函数值y 随x 的增大而减小，则此项不符题意；B 、正比例函数2y x =的图象在第一、三象限都有分布，反比例函数2y x=的图象在第一、三象限都有分布，则此项符合题意；C 、正比例函数2y x =的图象与坐标轴的交点为原点，反比例函数2y x=的图象与坐标轴没有交点，则此项不符题意； D 、正比例函数2y x =，当2x =时，4y =，即其图象经过点()2,4，不经过点()2,1，则此项不符题意；故选：B ．【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象与性质是解题关键．7．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个【答案】D【分析】直线y x m =-+不经过第一象限，则m =0或m ＜0，分这两种情形判断方程的根．【详解】∵直线y x m =-+不经过第一象限，∴m =0或m ＜0，当m ＝0时，方程变形为x +1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m ＜0时，方程210mx x ++=是一元二次方程，且△=2414b ac m -=-，∵m ＜0，∴-4m ＞0,∴1-4m ＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．8．（2021·湖南娄底市·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（） A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤ 【答案】D【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标0x 所在的范围．【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：由图知，显然0112x <<，当034x =时，将其分别代入22y x =+与2y x=计算得； 12941282,3161634y y =+===， 218415031648y y -=-=>，∴此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，0314x ∴<≤ 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点得出答案． 9．（2021·湖南娄底市·中考真题）根据反比例函数的性质、联系化学中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数x y a x=+（a 为常数且0,0a x >>）的性质表述中，正确的是（） ①y 随x 的增大而增大；②y 随x 的增大而减小；③01y <<；④01y ≤≤A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】A【分析】该函数可改写为=1=+1x x a a a a y a x a x a x a x+--==-++++（a 为常数且0,0a x >>），此时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．【详解】解：=1=+1x x a a a a y a x a x a x a x+--==-++++，又∵0,0a x >>，∴随着x 的增大，a+x 也会随之增大， ∴a a+x随着x 的增大而减小，此时a a+x 越来越小，则1a a x -+越来越大，故随着x 的增大y 也越来越大．因此①正确，②错误；∵0,0a x >>，∴1a a+x0＜＜， ∴11a a x -+0＜＜，故01y <<，因此③正确，④错误；综上所述，A 选项符合．故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是将已知函数的形式进行化简整理转化为反比例函数进行判断．10．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，AE BC ⊥于E 点，交BD 于M 点，反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N ，若4BD =，则ME 的长为（）A ．53ME =B ．43=MEC ．1ME =D ．23ME = 【答案】D【分析】根据菱形的性质得出D 点的坐标，利用反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N ，求出C 点的坐标，进而得出30ODC ∠=︒；根据菱形的性质可得260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，可判定ABC 是等边三角形；最后找到ME 、AM 、AE 、OB 之间的数量关系求解．【详解】∵菱形ABCD ，4BD =∴2OD OB ==∴D 点的坐标为（0，2）设C 点坐标为（c x ，0）∵线段DC 的中点N∴设N 点坐标为（2c x ，1）又∵反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N132c =⋅，解得c x即C 0），OC =在Rt ODC 中，3tan 2OC ODC OD ∠=== ∴30ODC ∠=︒∵菱形ABCD∴260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，30OBC ODC ∠=∠=︒∴ABC 是等边三角形又∵AE BC ⊥于E 点，BO OC ⊥于O 点∴2AE OB ==，AO BE =∵AO BE =，90AOB AEB ∠=∠=︒，AMO BME ∠=∠∴()AOM BEM AAS ≅∴AM BM =又∵在Rt BME 中，sin 30ME BM =︒ ∴1sin 30=2ME AM =︒ ∴1122333ME AE ==⨯= 故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角30的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为60︒角的等腰三角形是等边三角形．特殊角30的三角函数，1sin 30=2︒，cos30︒tan 30︒ 二、填空题11．（2021·湖南永州市·中考真题）已知函数2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，若2y =，则x =_________．【答案】2【分析】根据y 值可确定x 的取值范围，根据x 的取值范围结合函数关系式列方程求出x 的值即可得答案．【详解】∵0≤x ＜1时，0≤x 2＜1，2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴y =2时，x ≥1，∴2x -2=2，解得：x =2，故答案为：2【点睛】本题考查函数值，根据y 值结合各函数关系式得出对应的x 的取值范围是解题关键．12．（2021·湖南娄底市·中考真题）函数y =x 的取值范围是__________．【答案】1≥x【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】由题意得：x -1≥0，解得：x≥1，故答案为：x≥1．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．13．（2021·湖南怀化市·中考真题）在函数 y =中，自变量x 的取值范围是___________．【答案】2x ≥且3x ≠【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数与分母不能为0进行求解．【详解】由题意知，20x -≥且30x -≠，解得，2x ≥且3x ≠，故答案为：2x ≥且3x ≠．【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义，①当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；②当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，A ，B 两点的坐标分别为()()4,3,0,3A B -，在x 轴上找一点P ，使线段PA PB +的值最小，则点P 的坐标是_______________．【答案】()2,0【分析】连接点A ，B 交x 轴于点P ，则 PA+PB 的值最小，此时点P 即为所求．【详解】解：连接点A ，B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+点()43A ，，点()03B -， 433k b b +=⎧∴⎨=-⎩解得323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB 的解析式为332y x =- 当0y =时，则3032x =- 解得2x = ()2,0P ∴故答案为：()2,0P【点睛】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键．15．（2021·湖南中考真题）在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．【答案】m ＜3【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m 的不等式，进而即可求解．【详解】解：∵在反比例函数3m y x -=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大， ∴m -3＜0，即：m ＜3．故答案是：m ＜3．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数k y x =，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ＜0，是解题的关键．16．（2021·湖南株洲市·中考真题）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数k y x=图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________．【答案】k <0【分析】先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k 的取值范围即可．【详解】解：因为当10x >时，110x +>，说明A 、B 两点同时位于第一或第四象限，∵当10x >时，均有12y y <，∴在该图像上，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 两点同时位于第四象限，所以k <0，故答案为：k <0．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法．17．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知点()11,A y ，()22,B y 为反比例函数3y x=图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是1y ______2y ．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【分析】根据反比例函数的性质，当反比例系数k ＞0，在每一象限内y 随x 的增大而减小可得答案．【详解】∵ 反比例函数的解析式为3y x =，k ＞0， ∴ 在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵ 1＜2，∴1y ＞2y ．故答案为：>．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．18．（2021·湖南永州市·中考真题）写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．【答案】1y=x -（答案不唯一）【详解】位于二、四象限的反比例函数比例系数k ＜0，据此写出一个函数解析式即可，如1y=x-（答案不唯一）．三、解答题19．（2021·湖南中考真题）如图，已知点A 是一次函数24y x =-的图象与x 轴的交点，将点A 向上平移2个单位后所得点B 在某反比例函数图象上．（1）求点A 的坐标；（2）确定该反比例函数的表达式．【答案】（1）(2,0)；（2）4y x=．【分析】（1）根据一次函数的解析式，求出当0y =时，x 的值即可得点A 的坐标；（2）先根据点坐标的平移变换规律得出点B 的坐标，再利用待定系数法即可得．【详解】解：（1）对于一次函数24y x =-，当0y =时，240x -=，解得2x =，则点A 的坐标为(2,0)；（2）将点A 向上平移2个单位后所得点B ， ∴点B 的坐标为(2,2)B ，设该反比例函数的表达式为(0)k y k x=≠，将点(2,2)B 代入得：224k =⨯=，则该反比例函数的表达式为4y x=．【点睛】本题考查了一次函数、点坐标的平移变换规律、利用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．20．（2021·湖南娄底市·中考真题）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．【答案】（1）购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）共有7种进货方案；所花资金的最小值为770元．【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要x 元，乙种纪念品每个需要y 元，根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元；购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m ）个，所花资金为w 元，根据总价=单价×数量得到w 关于m 的函数解析式，结合进货资金不少于766元且不超过800元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再由m 为整数即可找出各进货方案，利用一次函数的性质从而得出答案．【详解】解：（1）设购进甲种纪念品每个需要x 元，乙种纪念品每个需要y 元，根据题意得：2202545x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：105x y =⎧⎨=⎩；答：购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m ）个，所花资金为w 元，∴()1051005500w m m m =+-=+，根据题意得：55007665500800m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得：53.2≤m ≤60．∵m 为整数，∴m =54、55、56、57、58、59或60．∴共有7种进货方案；∵5>0，∴w 随m 的增大而增大，∴m =54时，w 有最小值，最小值为770元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量间的关系，正确列出w 关于m 的函数解析式和一元一次不等式组． 21．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩， ∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930m W b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．22．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为cm x ，单层部分的长度为cm y ．经测量，得到下表中数据．（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为cm L ，求L 的取值范围．【答案】（1）2152y x =-+；（2）22cm ；（3）76152L ≤≤【分析】（1）根据观察y 与x 是一次函数的关系，利用待定系数法求解析式；（2）背带的长度为单层部分与双层部分长度的和，可求出背带的长度与双层部分长度的函数关系式152L x =-+，令130L =，即可求出此时对应的双层部分长度的值；（3）根据0y ≥和0x ≥，求出x 的取值范围，再根据152L x =-+求出L 的取值范围．【详解】解：（1）根据观察y 与x 是一次函数的关系，所以设(0)y kx b k =+≠依题意，得21488136k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得，2152k b =-⎧⎨=⎩； ∴y 与x 的函数关系式：2152y x =-+（2）设背带长度是cm L则(2152)152L x x x =+-+=-+当130L =时，152130x -+=解得，22x =；（3）∵0y ≥，∴21520x -+≥解得，76x ≤又0x ≥∴076x ≤≤∴76152152x ≤-+≤即76152L ≤≤．【点睛】本题主要考查一次函数的相关知识．利用待定系数法求解一次函数的解析式．23．（2021·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：如果函数()y f x =满足：对于自变量x 取值范围内的任意1x ，2x ，（1）若12x x <，都有12()()f x f x <，则称()f x 是增函数；（2）若12x x <，都有12()()f x f x >，则称()f x 是减函数．例题：证明函数2()(0)f x x x =>是增函数．证明：任取12x x <，且1>0x ，20x >则2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-∵12x x <且1>0x ，20x >∴120x x +>，120x x -<∴1212()()0x x x x +-<，即12())0(f x f x -<，12()()f x f x <∴函数2()(0)f x x x =>是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数1()(0)f x x x =>，1(1)11f ==，1(2)2f =，(3)f =_______，(4)f =_______；（2）猜想1()(0)f x x x=>是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．【答案】（1）13，14；（2）减，证明见解析【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．【详解】解：（1）1(3)3f =，1(4)4f = （2）猜想：1()(0)f x x x =>是减函数；证明：任取12x x <，1>0x ，20x >，则2112121211()()x x f x f x x x x x --=-= ∵12x x <且1>0x ，20x >∴210x x ->，120x x > ∴2112x x x x ->0，即12())0(f x f x -> ∴函数1()(0)f x x x =>是减函数．【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．24．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，已知反比例函数()0k y k x=≠与正比例函数2y x =的图象交于()1,A m ，B 两点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）若点C 在x 轴上，且BOC 的面积为3，求点C 的坐标．【答案】（1）2y x=；（2）()3,0C -或()3,0C 【分析】（1）直接利用待定系数法将A 点坐标代入正比例函数解析式中可以求出m ，再将A点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k ；（2）先确定B 点坐标，再通过面积确定OC 的长，最后即可确定C 点坐标．【详解】解：（1）将()1,A m 点坐标代入2y x =中可得：2m =，∴()1,2A ；将()1,2A 代入()0k y k x=≠可得：2k =， ∴该反比例函数的表达式为2y x =；（2）因为该反比例函数的图像和一次函数的图像交于()1,2A ，B 两点，∴()1,2A ，B 两点关于原点对称，∴()1,2B --,∴B 点到OC 的距离为2，∵BOC 的面积为3， ∴1232OC ⨯⨯=, ∴3OC =，当C 点在O 点左侧时，()3,0C -；当C 点在O 点右侧时，()3,0C ；∴点C 的坐标为()3,0C -或()3,0C ．【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中点的坐标、三角形的面积公式等内容，解决本题的关键是理解点的坐标与函数解析式之间的关系以及利用三角形的面积建立相等关系求对应线段的长，本题涉及到的方法为分类讨论的思想方法．25．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，AO BO ⊥．AB y ⊥轴，O 为坐标原点，A 的坐标为(n ，反比例函数11k y x=的图象的一支过A 点，反比例函数22k y x =的图象的一支过B 点，过A作AH x ⊥轴于H ，若AOH △（1）求n 的值；（2）求反比例函数2y 的解析式．【答案】（1）1；（2）23y x =-【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可；（2）证明AOEABO ∆∆，求出BE 的长即可得出结论．【详解】解：（1）∵A (n ，且AH x ⊥轴∴AH OH =n又AOH △的面积为2．∴1322AH OH = ,即122n = 解得，1n =；（2）由(1)得，AH OH =1∴AO =2如图，∵AO BO ⊥，AB y ⊥轴，∴90AEO AOB ∠=∠=︒，四边形AHOE 是矩形，∴AE =OH =1又BAO OAE ∠=∠∴AOEABO ∆∆ ∴AO AE AB AO =，即：2112BE =+ 解得，BE =3∴B (-3,1)∵B 在反比例函数22k y x =的图象上， ∴2313k =-⨯=- ∴23y x =-．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及求反比例函数解析式，求出B (-3,1)是解答此题的关键． 26．（2021·湖南株洲市·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0k y k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值．【答案】（1）=2k ，D 点横坐标为2t ；（2）54 【分析】（1）先求出A 点坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值，利用OC =t 和D 点在直线l 上即可得到D 点横坐标；（2）分别用含t 的式子表示出1S 、2S ，得到U 关于t 的二次函数，求函数的最大值即可．【详解】解：（1）∵1AB =，∴A 点横坐标为1,∵A 点在一次函数2y x =的图像上，∴21=2⨯，∴()1,2A ,∵A 点也在反比例函数图像上，∴=21=2k ⨯， ∴反比例函数解析式为：2y x=， ∵OC t =，直线1//l x 轴，∴D 点纵坐标为t ，∵D 点在直线l 上，∴D 点横坐标为2t ，综上可得：=2k ，D 点横坐标为2t ．（2）直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ，∴E 点纵坐标为t ，将纵坐标t 代入反比例函数解析式中得到E 点坐标为2,t t ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴22t DE t =-，A 点到DE 的距离为2t -， ∴()22122212242t t t t t S t ⎛⎫=⨯--=+-- ⎪⎝⎭， ∵AB y ⊥轴于点B ，∴2OB =， ∴11122222OB E S C t t=⨯=⨯⨯=， ∴2221222115114242224t t t t U S S t t t ⎛⎫⎛⎫=-=-+--=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当1t =时，U最大=54； ∴U 的最大值为54．【点睛】本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x 轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．。

反比例函数与一次函数的综合题(含答案)

反比例函数与一次函数的综合题例1. 已知正比例函数y kx =与反比例函数y x=3的图象都过A m ()，1，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。

例2. 如图1所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线。

直线AB 与双曲线的一个交点为C ，CD 垂直x 轴于点D ，OD OB OA ===244。

求一次函数和反比例函数的解析式。

图1例4. 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AC AB ==31，。

将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y x=3的图象上，求点C 的坐标。

例3. 如图2所示，反比例函数y kx=的图象经过点()A b -3，，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，△AOB 的面积为3。

（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数y ax =+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AB ：OM 的值。

图2例5 如图5所示，反比例函数y x=-8与一次函数y x =-+2的图象交于A 、B 两点。

（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积。

反比例函数与一次函数的综合题答案例1 解：因y x =3图象过A m ()，1，即13=m，故m =3，即A （3，1）将A （3，1）代入y kx =，得k =13 所以正比例函数解析式为y x =13联立方程组得y x y xx y x y ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩31331311122，解得或 ∴另一交点坐标为（--31，）例2 解：由已知OD OB OA ===244，得()()()A B D 012040，、，、，--- 设一次函数解析式为y kx b =+ 点A 、B 在一次函数图象上∴，即b k b k b =--+=⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎪⎩⎪120121则一次函数解析式是y x =--121 点C 在一次函数图象上当x =-4时，y=1，即C()-41，设反比例函数解析式为y m x =，点C 在反比例函数图象上则14=-m，得m =-4故反比例函数解析式是y x=-4例3 解：（1）∵AB ⊥BO ，A 点坐标为()-3，b∴·即·∴又∵点在双曲线上∴△S AB BO b b A y k xk AOB ==-====⨯-=-123123322323||()（2）∵点A 在直线y ax =+1上 ∴231=-+a ∴a =-33∴y x =-+331 当y=0时，x =3 所以M 点的坐标为()30， ∴：：AB OM =23例4 解：本题共有4种情况。

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专题训练7 一次函数及反比例函数
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．函数y kx =-与
y k
x =
（k ≠0）的图象的交点个数是（）
A. 2
B.1
C. 0
D.不确定
2．若点（3，4）是反比例函数x
m m y 1
22++=图象上一点，则此函数图象必经过点（）
A.（3，－4）
B.（2，－6）
C.（4，－3）
D. （2，6） 3. 函数y kx b =+与y k
x
kb =
≠()0的图象可能是（）
A B C D
4．已知反比例函数)0(<=
k x
k
y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（）
A.正数
B.负数
C.非正数
D. 不能确定
5．．在同一坐标系中，函数x k
y =和3+=kx y 的图像大致是（）
A B C D
6
．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，其体温（℃）
与时间（时）之间的关系如右图所示．若y （℃）表示0时到t 时内骆驼体温的温差（0时到t 时最高温度与最低温度的差）．则y 与t 之间的函数关系用图象表示，大致正确的是（）
（A ）（B ）（C ）（D ）（第6题）
7．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。

在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s 千米与行进时间t 的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（）
A B C D
8
．正比例函数与反比例函数的图象都经过点（1，4），在第一象限内正比例函数的图
象在反比例函数图象上方的自变量x 的取值范围是（）
（A ）1x >．（B ）01x <<．（C ）4x >．（D ）04x <<．二、填空题（每小题3分，共18分）
9．函数4y x =-与4
y x
=-
的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为___________． 10、若函数y=4x 与y=
x 1的图象有一个交点是（2
1
，2），则另一个交点坐标是 _。

11、反比例函数y a x a a =---()3224的函数值为4时，自变量x 的值是_________。

12
．若正比例函数y kx =与2y x =的图象关于x 轴对称，则k 的值等于____________．
13.若反比例函数2
321
(21)k
k y k x --=-的图象经过二、四象限，则k = ______。

14．若直线)0(11≠=k x k y 和双曲线2
2(0)k y k x
=
≠在同一坐标系内的图象无交点，则 1k 、2k 的关系是_________。

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．函数12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2
x 成反比例，且2x =时19y =，3x =时
19y =，求y 与x 的函数关系式．
16．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：
（1）现已知胡老师家4月份用水18吨，则应缴水费____________元；（2）写出每月每户的水费y 与用水量x 之间的函数关系式；
（3）若已知胡老师家5月份的水费为17元，问他家5月份用水多少吨？
17．某巡逻船在码头外巡逻，离开码头的距离s （米）与巡逻的时间t （分）的函数关系
可用图中的曲线来表示．同时，一艘游船到码头的距离s （米）与时间t （分）的函数关系可用50500s t =+来表示．
（1）在同一直角坐标系中画出函数50500s t =+的图象．
（2）根据图象估计在哪些时刻游船和巡逻船到码头的距离相等（时间精确到分，允
许误差1±分）．
18．人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a 表示一个人的年龄，用b 表示
正常情况下这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高数，那么()0.8220b a =-．（1）正常情况下，运动时，一个16岁的学生所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？（2）一个50岁的人运动时，10秒心跳次数为20次，他有危险吗？
四、解答题（每小题6分，共24分）
19．有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图2是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）乙队开挖到30米时，用了_____小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了______米；（2）开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？
20．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90o，BC所在直线的解析式为420 3
3
y x
=-+，AC＝3，若AB的中点D在双曲线()0
a
y x
x
=>，将双曲线向右平移，当点B落在双曲线上时，求双曲线的平移距离．
6
2
O x时)
y(米)
30
60
乙
甲
50
21．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 的坐标为（3，0），OA =2，∠AOB =60°．（1）求点A 的坐标：
（2）若直线AB 交x 轴于点C ，求△AOC 的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，过A 作x 轴的平行线，交函数
()20y x x =-
<的图象于B ，交函数()6
0y x x
=>的图象于C ，过C 作y 轴的平行线交BO 的延长线于D ．
（1）如果点A 的坐标为（0，2），求线段AB 与线段CA 的长度之比；（2）如果点A 的坐标为（0，a ），求线段AB 与线段CA 的长度之比；（3）在（2）的条件下，四边形AODC 的面积为________．
参考答案
一、选择题
1． 2． 3．A 4．D 5．A 6．A 7．C 8．A 二、填空题
9．（2-，0）或（4，0），（0，±） 10． 11． 12．2 13．0 14．0 如果函数2
2
(1)k
y k x -=+是反比例函数，那么k=__1_____。

若直线)0(11≠=k x k y 和双曲线2
2(0)k y k x
=≠在同一坐标系内的图象无交点，则 1k 2k 的关系是____kk<0_____。

若反比例函数2
321
(21)k k y k x --=-的图象经过二、四象限，则k = __0_____。

三、解答题 15．2
365y x x =+
16．（1）13.5；
（2）当10x ≤时，0.5y x =；当1020x <≤时，0.75 2.5y x =-；
当20x >时， 1.517.5y x =-；（3）5月用水23吨．
17．（1）略；（2）5分钟、17分钟、25分钟． 18．（1）163.2b =（次）；（2）无危险．四、解答题
19．（1）2，10；（2）4小时．
20．OC ＝5，OA ＝2，AC ＝3，AB ＝4，D （2，2），B （2，4），双曲线解析式为4
y x
=
，当y ＝4时，x ＝1，平移距离为1个单位．
21．（1）A （1；（2）
4
． 22．（1）1：3；（2）1：3；（3）15．。