南京大学历年数学分析考研真题

南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题

2000年

一、求下列极限

1）设n

n n x x x ++=

+3)

1(31，（01>x 为已知），求n n x ∞→lim ；

2）2

2)(lim 220

y

x

y x y x +→→；

3）⎰

+∞

→x

x dt t

t

12

cos lim ； 4）⎰⎰≤+→-2

222

222

0)cos(1

lim r y x xy r dxdy y x e

r

π.

二、设)(x f 在[]1.1-上有二阶连续偏导数，0)0(=f ，令x

x f x g )

()(=

，())0()0(,0f g x '=

≠，证明

1）)(x g 在0=x 处连续，且可导，并计算)0(g '； 2）)0(g '在0=x 处也连续.

三、设t e e t f t n

t

n 3sin )1()(--

-=，()0≥t ，试证明

1）函数序列(){}t f n 在任一有穷区间[]A ,0上和无穷区间[]+∞,0上均一致收敛于0； 2）30

lim 1sin 0.t t n

n e e tdt -+∞

-→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭

⎰

四、设对任一A>0,)(x f 在[]A ,0上正常可积，且

0)(0

≠⎰+∞

dt t f 收敛，令

(),0,)()()(0

≥-

=⎰⎰+∞

x dt t f dt t f x x

x

ϕ试证明)(x ϕ在()+∞,0内至少有一个零点.

五、计算积分()

)0(,sin cos ln )(2

222>+=⎰a dx x x a a I π

.

六、试求指数λ，使得dy r y

x dx r y x λ

λ22-为某个函数()y x u ,的全微分，并求()y x u ,，

其中22y x r +=.

七、计算下列曲线积分和曲面积分

)

1()()

()⎰+++-++=c

dz z y x dy y x dx z y x I ,223其中c 为1222=+y x 与

z y x -=+222的交线，从原点看去是逆时针方向.

)2()()()22

2

2

222:,R c z b y a x S dxdy z dzdx y dydz x I S

=-+-+-++=⎰⎰.

八、设()ln n n u x x x =,[]0,1x ∈

1) 试讨论1()n n u x ∞

=∑在](0,1上的收敛性和一致收敛性；

2) 计算1

1ln n n x xdx ∞=⎛⎫

⎪⎝⎭

∑⎰.

九、设222exp ,0,0

(,)0,0,0

x t t x f x t t t x ⎧⎡⎤

⎛⎫-+>>⎪⎢⎥ ⎪=⎨⎝

⎭⎣⎦⎪

=>⎩ 0

()(,)I x f x t dt ∞

=⎰ (0)x >

1）讨论()I x 在()0,+∞上的一致收敛性，并证明

2

0lim ()2

x x I x e dx π

+

+∞

-→==

⎰

2）计算()I x .

2001年数学分析

一、求下列极限 1） 设),2(,4

3

,011≥+=

=-n a a a n n 求n n a ∞→lim ；

2） y

x y x e y x 1

2201lim +-→+∞→⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++；

3） 设[],,)(,B b a A C x f B A <<<∈试求⎰

-+→b

a

h dx h

x f h x f )

()(lim

4） 设)(x f 在)1,0(内可导，且),1,0(,1|)(|∈∀<'x x f 令)2)(1(≥=n n

f x n ，试证明n

n x ∞

→lim 存在有限 二、设,1)0(,)()

,(2=∈+∞-∞g C

x g 令

⎪⎩

⎪

⎨⎧≠-='=时当时

当0,cos )(0),0()(x x x

x g x g x f 1） 讨论处的连续性；在0)(=x x f

2） 求.0)(),(处的连续性在并讨论=''x x f x f

三、设[][],1,0,1)(0,0)0(,)(1,01

∈∀≤'<=∈x x f f C x f 试证明对一切[]1,0∈t ，成立

[]⎰⎰≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡t

t dx x f dx x f 03

2

0)()( 四、求下列积分

1） 计算反常积分⎰+∞

-=0

sin dx x x

e I x ； 2） 计算曲面积分⎰⎰++=

S

dxdy z dzdx y dydz x I 2

22，其中S 为锥面

()

h z y x a

h z ≤≤+=0,22

222

那部分的外侧

五、求212arctan )(x x x f -=在0=x 处的幂级数展开式，并计算∑∞

=+-=0

12)1(n n

n S 之值

六、设0,1,111≥>++=

+x k x x k x n

n

n .