线性代数矩阵式总结论文
线性代数小论文
(学院杏林学院班级国贸102 姓名李霞学号1004123046 ）线性代数小论文-----用矩阵解决经济管理学中的问题一、提要：线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。
随着科学的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。
虽然我们在学习线性代数这门课，可不免有同学要问这门课究竟要应用于生活哪一方面？由于我们是属于经济管理类的专业，因此我们学线性代数是为日后学习运筹、管理以及经济类课程打基础。
本文将举出一个矩阵在经济管理中的应用例子来解释线性代数的应用。
二、提出问题：风险型决策方法例1、某企业打算生产某产品。
根据市场预测分析，产品销路有三种可能性：销路好、一般和差，这三种情况出现的概率分别为0、3,0、45,0、25. 生产该产品有三种方案：改进生产线、新建生产线、外包生产。
各种方案的收益值在表5-4给出。
项目（1）改进生产线（2）新建生产线（3）外包生产销路好180 240 100销路一般120 100 70销路差-40 -80 16表5-4 各生产方案在不同市场情况下的收益/万元1、专业课中如何解决的最大效用值收益准则：解决风险决策常用的一个目标是使期望收益最大化。
学过概率统计之后，不难求出三种方案对应的期望收益分别为：（1）180*0.3+120*0.45+（-40）*0.25=98（2）240*0.3+100*0.45+（-80）*0.25=97（3）100*0.3+70*0.45+16*0.25=65.5因为第一种方案对应的期望效用值最大，所以选择改进生产线的方案。
2、线代课中如何解决的矩阵M=(0.3 0.45 0.25)矩阵N=(180 240 100120 100 70-40 -80 16)则：最大效用收益组成的矩阵=M*N=（98 97 65.5）因为第一种方案对应的期望效用值最大，所以选择改进生产线的方案。
线性代数小论文
摘要：分析了若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应用。
关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示线性代数主要研究的是线性问题。
一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。
向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。
其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。
这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。
1 线性相关性证明设A =(α1,α2,··· ,αn )，αi ∈P m，若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系。
证明：设A m ×n ，A 经过行初等变换化为B ，将A ，B 分别按列分块为A =(α1,α2,…,αn )，B=(β1, β2,···,βn )。
由于对A 只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P ，使PA =B ，即P(α1,α2, ···,αn )=(β1, β2, ···,βn )，于是有i 1βj = P αj (j=1,2,3, ···,n) （1） 设A 和B 对应的列向量组为αi 1,αi 2, ···,αi r 和βi 1, βi 2,···,βi r (1≤i 1＜i 2＜···＜i r ≤n)，由(1)式得βik = P αik (k=1,2,3, ···,r)因此，如果αi 1,αi 2, ···,αi r 有线性关系式k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r =0(k r 为实数)，则k 1,k 2…k r 也必使得k 1βi 1+k 2 βi 2+···+k r βi r =k 1(P αi 1)+ k 2(P αi 2)+ ···+ k r (P αi r )=P (k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r )=P 0=0 反之，如果βi 1, βi 2,···,βi r 有线性关系式，得λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r =0则由P 的满秩性可知αj =P -1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有λ1αi 1+λ2αi 2+ ···+λr αi r =λ1P -1βi 1 +λ2P -1βi 2 + ···+λr P -1βi r= P -1(λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r )= P -10=0这表明向量组αi 1,αi 2, ···,αi r 与向量组βi 1, βi 2,···,βi r 有相同的线性相关性，证毕。
线性代数论文
关于矩阵和行列式线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式 矩阵 空间向量和线性方程组。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。
行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。
如下例：4321表示的是一个2阶行列式；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321则表示是一个2×2的矩阵。
而且4321可以通过计算求得其值为-2；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321只能表示一个数表，不能求出值。
行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。
由n 2个数组成的n 行n 列行列式为n 阶行列式；由m 行n 列组成的数表为m ×n 矩阵。
只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。
如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531 是一个3×4的矩阵；而620816732531这样的行列式是不存在的，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531无法求其行列式。
而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。
如下：（1）记D=nnn n nn a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212222111211，D T =nnn nn n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212221212111，则称D T 为D 的转置行列式，并有D= D T ，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A 的转置矩阵A T 是指把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，则A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n a a a a a a a a a 2n 12221212111，但有（A T ）T=A 。
线性代数 论文
线性代数考试题一、 简述行列式和矩阵的区别1.本质不同: 数域P 中, n 阶行列式D= 是 n 2 个数 aij ( i = 1, 2…n ; j = 1, 2…n ) 按一定顺序排列的n 行n 列元素（数）, 按照某一个特定的规则确定的 n ！ 项的代数和, 归根结底是一个数。
数域 P 中, Am ×n 矩阵是 m × n 个数 aij ( i = 1, 2, ..n ; j = 1, 2, …, n) 按一定的方式排列的m 行n 列数表, 归根结底是一个数表。
2、相等方面不同：行列式是有它的定义最后所确定的数来判断它是否相等, 因此两个表面上看完全不同的行列式有可能是相等。
3.行列式计算的结果是一个数,而矩阵的结果仅仅是一个数表4、行列式的转置与原行列式相等。
即D=DT 。
这里转置行列式是指, 把行列式D 的行与列互换, 不改变它们前后的顺序得到的新行列式称为 D 的转置行列式。
矩阵中, 只有对称矩阵才等于它的转置。
一般地矩阵就等于它的转置的转置A ′是它的转置, 则 A = ( A ′)′, 如果A 是一般地矩阵, 则A=(A ′)′。
二、 总结线性方程组的解法,并针对每种解法举一个实例用克莱姆法则解线性方程123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解: 法一: 计算系数行列式21422131r -2233-34215127517-5-17-5-1130610001(-1)2-1-2--1290021202127-7-25-6014761772-129-(-1)(-1)=2705-6r c c c c r r D -+-----−−−−−→−−−→=⨯←−−−−−←−−−------−−−−−→≠←−−−−−按第行展开按第列展开及181********52120476D ---==---,22851190610805121076D --==----,32181139********46D --==-- 4215813092702151470D --==--- 由克莱姆法则得方程组的唯一解为312412343,4,1,1D D D Dx x x x D D D D====-==-== 补充：定理若齐次方程组的系数行列式0ijnD a ≠,则此齐次线性方程组只有零解.推论 如果齐次线性方程组有非零解, 则系数行列式0ij nD a =法二: 高斯消元法例（1）解线性方程组1234124123412342352432328529521x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=-⎪⎨+--=-⎪⎪+--=-⎩解 对方程组的增广矩阵进行初等变换21323142411231512315123152240130063130063132123280063130000012952100662600000r r r r A r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪---------⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-------- ⎪⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭还原成方程组的形式,1234342356313x x x x x x +++=⎧⎨--=-⎩我们把最后一个方程组中每一个方程的第一个系数不为零的未知量保留在方程的左端,其余未知量移到右端,得124341322211326x x x x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩例（2）解方程组123123121323234248529x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解 对方程组的增广矩阵做初等变换2132313442411123112311231123223420584058405844410805840000000255029058400020000r r r r A r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭还原成方程组的形式,得123232358402x x x x x -+=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩这里略去了最后一个方程0=0.显然,这里矛盾方程组,因此原方程组无解。
矩阵分析结课论文
矩阵分析在电路中的应用本人主要通简单的实例,进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。
在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。
一、 矩阵在相容方程求解中的应用已知n 元线性方程组如下表示：11112211211222221122...............n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其矩阵的表达形式如下：111112*********2n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 矩阵A 可记为111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦如果矩阵A 满秩,且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。
见如下示例：例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为321I I I 、、，如图2所示:图2已知14,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电流AB I 。
解：由基尔霍夫第二定律(电压定律）得如下方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-+=-+-+EI I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0)()(2341321253242331221511即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--143202404321321321I I I I I I I I I同样计算如下几个行列式21321241114=------=A843214241101=----=D12631412011042=----=D 21014210410143=----=D 所以10,6,4332211======AD I A DI A D I从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB 。
线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)
矩阵在自己专业中的应用及举例摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。
II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。
III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。
关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。
因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。
在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。
在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。
在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。
在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。
尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。
图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。
这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。
第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M KΛ212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。
矩阵的分解毕业论文.
矩阵的分解毕业论文.学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名林意学号************指导教师姓名周末指导教师职称教授2014年4 月 16日矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebra．While as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems．In this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so on．Firstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given．And then，specific decomposition ways of theirs are illustrated．Finally，these decomposition methodsare clearly presented by the forms of some examples．Keywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition目录摘要...................................................................... ABSTRACT. (II)目录 (IV)一、引言 0二、矩阵的QR分解 0（一）矩阵QR分解的基本概念及定理 0（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例 (1)三、矩阵的三角分解 (10)（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 (10)（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 (12)四、矩阵的满秩分解 (18)（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 (18)（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 (19)五、矩阵的奇异值分解 (22)（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 (22)（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 (23)六、结论 (25)参考文献 (26)致谢...................................................... 错误!未定义书签。
浅谈矩阵的一些形式论文定稿版
定义2.1由m n个数aq•K（i =1,2,…，m,j =1,2,…，n）排成
的m行、n列的长方形表
a11a12…ain
a21a22a2n
ia+a
am1am2■amn
称为数域K上的一个m n矩阵.其中的ay称为这个矩阵的元•两个矩阵相等就是它们 对应位置的元全相等.
定义2.2设A=aij是一个m n矩阵.定义A的转置矩阵A为一个n m矩阵，它的
证明a2?????????????312625311?????????????312625311?????????????311933000且a3a2?a?????????????311933000?????????????3126253110故得证
JISHOU UNIVERSITY
本科生毕业论文
题 目：浅谈矩阵的一些形式
作 者：武敏
学 号：20084041013
所属学院：数学与统计学院
专业年级：2008级数学与应用数学
指导教师：莫宏敏职称：副教授
完成时间：2012年5月14日
吉首大学教务处制
独创性声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的
研究成果•除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明•本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担•
Key words：A square matrix；Inverse matrix；Transpose；Symmetric；Conjugate;Straight and
1
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形 阵列区别于行列式而发明的这个术语•而现在矩阵已由一种工具发展成为 了一门数学分支一一矩阵论•而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和 广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.实际生活中制作表格、魔方和工业控制系 统等当中无处不充实着矩阵的力量和魅力•本文主要总结了矩阵的几类主 要形式，单位方阵，特殊方阵，逆矩阵，矩阵的转置，对称矩阵，共轭矩 阵，直和，以及矩阵的现实应用价值以促进对矩阵相关知识的提高掌握.
线性代数论文《矩阵在实际中的应用》
######学院矩阵的实际应用课程题目：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月1 日矩阵的实际应用摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。
我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。
在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。
在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。
关键词：线性代数矩阵实际应用Abstract: From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.Keywords: linear algebra matrix practical application正文：1、引言数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。
【优质文档】线性代数之矩阵学习总结-word范文（2页）
【优质文档】线性代数之矩阵学习总结-word范文（2页）【优质文档】线性代数之矩阵学习总结-word范文本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==线性代数之矩阵学习总结提到考研数学，很多同学都能想到高数和概率。
其实线性代数也是数学一，数学二和数学三中的考查重点，而且往往是难点。
同学们在学习线代的时候觉得有难度，大致上有两个方面的原因：1.大家在学习了高数后，难免在学习线代时后劲不足。
2.线代知识体系错综复杂，联系比较多，大家往往搞不清联系。
那么，对大家说说一些难理解和常考的概念。
本文主要内容是关于线性代数中的矩阵学习问题。
大家分三个步骤来学习。
一、构建矩阵知识框架矩阵这一章在线性代数中处于核心地位。
它是前后联系的纽带。
具体来说，矩阵包括定义，性质，常见矩阵运算，常见矩阵类型，矩阵秩，分块矩阵等问题。
可以说，内容多，联系多，各个知识点的理解就至关重要了。
二、把握知识原理在有前面的知识做铺垫后，大家就要开始学习矩阵了。
首先是矩阵定义，它是一个数表。
这个与行列式有明显的区别。
然后看运算，常见的运算是求逆，转置，伴随，幂等运算。
要注意它们的综合性。
还有一个重点就是常见矩阵类型。
大家特别要注意实对称矩阵，正交矩阵，正定矩阵以及秩为1的矩阵。
最后就是矩阵秩。
这是一个核心和重点。
可以毫不夸张的说，矩阵的秩是整个线性代数的核心。
那么同学们就要清楚，秩的定义，有关秩的很多结论。
针对结论，我给的建议是大家最好能知道他们是怎么来的。
最好是自己动手算一遍。
我还补充说一点就是分块矩阵。
要注意矩阵分块的原则，分块矩阵的初等变换与简单矩阵初等变换的区别和联系。
三、多做习题练习在前面有了知识体系和掌握了知识原理后，剩下的就是多做题对知识进行理解了。
有句古话：光说不练假把式。
所以对知识的熟练掌握还是要通过做题来实现。
同时，我也反对题海战术，做题不是盲目的做题，不是只做不练。
线性代数中矩阵的应用论文
线性代数中矩阵的应用论文线性代数中矩阵的应用论文线性代数中矩阵的应用论文【1】摘要：伴随着社会经济的快速发展，信息技术的进步，数学应用领域也得到了扩展，已从传统物理领域扩展至非物理领域，于当前现代化管理、高科技的发展以及生产力水平的提升中有着非常重要的作用。
下面笔者就线性代数中矩阵的应用进行研究，借助于关于矩阵应用的典型案例来分析，以加深人们对矩阵应用领域的认识。
关键词：代数应用线性矩阵线性代数作为数学分支之一，是一门重要的学科。
在线性代数的研究中，对矩阵所实施的研究最多，矩阵为一个数表，该数表能变换，形成为新数表，简而言之就是若抽象出某一种变化规律，可借助于代数理论知识来对所研究的这一数表实施变换，以此获得所需结论。
近年来，随着社会经济发展速度的加快，科学技术水平的提高，线形代数中矩阵的应用领域也变得更为广泛，本文就线性代数中矩阵的应用进行详细地阐述。
1 矩阵在量纲化分析法中的应用大部分物理量均有量纲，其主要分为两种，即基本量纲与导出量纲，其中基本量纲有社会长度L、时间T以及质量M，其他量均为导出量。
基于量纲一致这一原则，等号两端的各变量能构建一个相应的线性方程组，经矩阵变换来解决各量之间所存关系。
比如勾股定理证明，假设某RT△斜边长是c，两直角边长各为a和b，在此如果选△面积s，斜边c，两锐角a和β为需研究变量，则必定有以下关系，即，该公式中所存量纲有四个，其中有三个为基本量纲，则必然有一个量为无量纲，把上述量纲列成为矩阵，所获矩阵图形如，其中每一列表示一个变量量纲数据。
基于该矩阵，所获解线性方程为，综合上述方程可得解，即x11为2，x21为0，x31为0，因此，可得关系式，该公式中λ表示唯一需明确的无量纲量，从该公式可知RT△面积和斜边c平方之间成比例。
在此，于该三角形斜边做一高，把其划分为两个形似三角形，其面积各为s1与s2，此时，原RT△的边长a和b则是两个相似小三角形的斜边。
通过上述内容可知所获原理和结论相似，则有s1=λa2与s2=λb2，因s1+s2=s，对此，基于此，可证明勾股定理，即为。
矩阵的公式总结700字(通用范文8篇)
矩阵的公式总结700字(通用范文8篇)关于矩阵的公式总结，精选5篇通用范文，字数为700字。
矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而求解矩阵的秩是求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题的基础。
本文将总结几种常用的方法来求解矩阵的秩。
矩阵的公式总结(通用范文)：1矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而求解矩阵的秩是求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题的基础。
本文将总结几种常用的方法来求解矩阵的秩。
方法一：高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种经典方法，也可以用来求解矩阵的秩。
其基本思路是通过初等行变换将矩阵转化为行阶梯形式，然后计算非零行的数量即可得到矩阵的秩。
方法二：基础行变换基础行变换也是一种常用的求解矩阵秩的方法。
它与高斯消元法类似，但是不需要将矩阵化为行阶梯形式，只需对矩阵进行一系列的变换操作，使得矩阵满足一定的性质，然后计算满足性质的行的数量即可得到矩阵的秩。
方法三：奇异值分解奇异值分解是一种将矩阵分解为奇异值矩阵的乘积的方法。
其中奇异值矩阵为对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
矩阵的秩即为奇异值矩阵中非零奇异值的个数。
方法四：特征值分解特征值分解是将矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积的方法。
矩阵的秩即为特征值矩阵中非零特征值的个数。
方法五：行列式的秩根据行列式的定义，矩阵的秩等于其非零行列式的阶数。
因此，可以通过计算矩阵的行列式来求解矩阵的秩。
需要注意的是，这些方法在实际应用中可能会有不同的适用性和效率。
根据具体问题的特点，我们可以选择合适的方法来求解矩阵的秩。
通过以上方法的总结，我们可以看到求解矩阵的秩是一项基础性的任务，对于线性方程组的求解和矩阵特征值的计算等问题有着重要的作用。
在实际应用中，我们可以根据不同的场景选择合适的方法来求解矩阵的秩，以获得更好的计算效果。
矩阵的公式总结(通用范文)：2矩阵按键是一种常见的输入设备，广泛应用于电子产品中。
关于线性代数的论文
《关于线性代数的论文》姓名：白月东学号：201212103030班级：2012级网络普高院系：计算机科学与技术学院指导教师：包志华分块矩阵的应用摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，在线性代数中占有非常重要的地位。
分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。
本文将分块矩阵运用于行列式运算、解线性方程组、求逆矩阵的问题以及特征值的问题的求解，还包括有关矩阵秩的证明和矩阵相似问题。
关键词：分块矩阵；行列式；矩阵的秩；逆矩阵；特征值.绪论：在已有的相关文献中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用。
（2）借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用。
（3）利用分块矩阵求高阶行列式。
如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC CD=-。
（4）利用分块矩阵求解线性方程组。
分块矩阵有非常广泛的应用，本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利。
1.分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。
就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理。
把矩阵分块运算有许多方便之处。
定义1 设A 是一个m n ⨯矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将他分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，1111...............s r rs A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中ij A 表示的是一个矩阵。
1.2分块矩阵的相关运算性质1.2.1加法设()ijm nA a ⨯=，()ijm nB b ⨯=，用同样的方法对B A,进行分块()ij r sA A ⨯=，()ijr sB B ⨯=，其中ij A ，ij B 的级数相同，则()ij ijr sA B A B ⨯+=+。
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用论行列式的计算方法及在生活中的实际应用10数字印刷一班孙晓康100220211行列式就是线性代数中的一个基本工具。
无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有著轻易或间接的联系。
行列式的排序具备一定的规律性和技巧性。
针对各种行列式的结构特点概括了行列式排序的常用计算方法，并以实例予以表明。
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于于排序低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即为主对角线的元素的乘积乘以辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想就是根据2阶，3阶行列式的定义排序行列式的值。
2.化成三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值3.分拆法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。
4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)(1)关系式降阶法：关系式法可以分成轻易关系式和间接关系式。
用轻易关系式法排序行列式的关键就是找到一个关于的代数式去则表示，依次从逐级关系式便可以算出的值；间接关系式的作法就是，转换原行列式以结构出来关于和的方程组，解出就可以Champsaur。
(2)依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。
如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
5.升阶法在排序行列式时.我们往往先利用行列式的性质转换取值的行列式，再利用进行定理使之降阶，从而并使问题获得精简。
线性代数论文(矩阵在自己专业中的应用及举例)
矩阵在自己专业中的应用及举例摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。
II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。
III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。
关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容，而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。
因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。
在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。
在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。
在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些内容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。
在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。
尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。
图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。
这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。
第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a 212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。
线性代数结业论文优秀版(1)
线性代数结业论文优秀版(1)
线性代数结业论文优秀版
一、引言
线性代数作为数学基础课程中的重要组成部分，是理工科各类学科中
的必修课程之一。
本文旨在总结线性代数的基本概念和相关知识，结
合其在实际应用中的意义分析，以此体现线性代数的重要作用。
二、基本概念
线性代数的基本概念包括线性方程组、向量、矩阵、行列式等。
其中，线性方程组为线性代数的核心内容，其求解过程是通向后续知识的重
要桥梁。
向量在线性代数中具有举足轻重的地位，作为线性代数的基
本工具之一，可以使用向量进行模型建立、计算和求解。
矩阵则是上
述两者的应用，其具有高效性和便捷性，广泛应用于实际问题中。
行
列式则为线性代数的基础知识，是矩阵求逆和计算特征值等过程不可
或缺的工具。
三、实际应用
线性代数在实际应用中的意义十分重要。
例如，在图像处理领域中，
可以利用线性代数中矩阵的运算和变换理论实现图像的快速变换和处理；在机器学习和数据分析中，线性代数也有着广泛的应用，如求解
最小二乘问题和主成分分析等。
在物理学和工程学中，线性代数作为
嵌入高级数学和计算机科学的基础知识，被应用于矩阵力学和控制论
等领域。
四、总结
线性代数作为基础数学课程，它的应用涉及到各个领域，具有很高的
实际意义。
但同时，线性代数也是数学难度较高的课程之一，对于大
多数学生来说，需要付出极高的努力才能掌握其核心知识，在现代的数学研究中也仍是重要的一部分。
在今后的学习和工作过程中，我们也应该认真学习和应用线性代数的知识，提高自己的数学素质和综合能力。
线性代数课程论文
矩阵的秩及其应用【摘要】矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。
矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。
本文将针对其性质进行具体分析 【关键词】矩阵； 秩 ；应用；一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。
矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。
另外，矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义。
事实上，以上两种对矩阵的秩的定义是等价的。
（一）矩阵秩的概念定义1 若A 为n m ⨯矩阵，在A 中任意取k 行、k 列),(n k m k ≤≤，则位于这些行与列交叉处的k 2个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.显然，若A 为n m ⨯矩阵，则A 的k 阶子式共有C C kn km ⋅个.当O A =时，它的任何子式都为零.当O A ≠时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零.再考察二阶子式，若A 中有一个二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，如此进行下去，最后必达到A 中有r 阶子式不为零，而再没有比r 更高阶的不为零的子式.这个不为零的子式的最高阶数r 反映了矩阵A 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2 设A 为n m ⨯矩阵，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何1-r 阶子式(如果存在的话)皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为)(A R .并规定零矩阵的秩等于0.由定义2，根据行列式的性质易知，矩阵A 的秩)(A R 就是矩阵A 的最高阶非零子式的阶数.（二）矩阵秩的性质性质1 若A 为n m ⨯矩阵，则},min{)(0n m A R ≤≤.性质2 若矩阵A 中有某个s 阶非零子式，则s A R ≥)(；若矩阵A 中所有t 阶子式全为零，则t A R <)(.性质3 若矩阵A 的秩r A R =)(，则)()(A R A R T =. 定义3 设A 为n 阶方阵，若n A R =)(，则称矩阵A 为满秩矩阵；若n A R <)(，则称矩阵A 为降秩矩阵.由此可得定理1 n 阶矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为满秩矩阵；n 阶矩阵A 为不可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为降秩矩阵.性质5 若矩阵B A ~，则)()(B R A R =. 性质6 若矩阵Q P ,可逆，则)()(A R PAQ R =. 性质7 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ,则)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤，特别地，当B 为列向量时，则有 1)(),()(+≤≤A R B A R A R .性质8 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ，则.)}(),(min{)(B R A R AB R ≤ 性质9 若矩阵OB A l n n m =⨯⨯，则n B R A R ≤+)()(.根据矩阵的性质，可以给出下列例题：例1 设A 为n 阶矩阵，且E A =2,证明.n E A R E A R =-++)()(证 因为E A E E A 2)()(=-++，由性质7得n E R A E R E A R =≥-++)2()()(而)()(E A R A E R -=-，所以n E A R E A R ≥-++)()(.又O E A E A E A =-=-+2))((,由性质9得n E A R E A R ≤-++)()(.综合即得n E A R E A R =-++)()(.（三）矩阵秩的求法定理 矩阵经初等变换后，其秩不变.也就是说，若B A ~，则)()(B R A R = 根据这个定理，我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩。
矩阵研究毕业论文
0 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性．定义 1.1 设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得Ax x λ=则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量． 定义1.2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211，称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，求解T 的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步：1) 在线性空间V 中取一组基12,,,nξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;2) 求出A 的特征多项式E Aλ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换/A 的全部特征值;3) 对于A 的每个特征值,j λ求其次线性方程组()0jI A X λ-=的一组基础解系：12,,,.t ηηη于是A 的属于jλ的全部特征值组成的集合是}{1122,0,1,2,,t t i i k k k k K k i t ηηη+++∈≠=例1 设V 是数域K 上3维线性空间，T 是V 上的一个线性变换，它在在V 的一个基1α，2α，3α下的矩阵A 是222214241A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭，求A 的全部特征值与特征向量. 解: 因为特征多项式为2222214(3)(6)241I A λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=+-=-+ ⎪⎪+⎝⎭所以A 的全部特征值3（二重），-6．对于特征值3，解齐次线性方程组(3)0I A X -=，12312312322024402440x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩得到一个基础解系：210-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A 的属于3的两个线性无关的特征向量就是1122ζαα=-+，2132ζαα=+ 而A 的属于3的全部特征向量就是 .{}11221212,,,0k k k k K k k ζζ+∈且不全为对于特征值-6代入, 求出(6)0I A X --=的一个基础解系：122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.因此, A 的属于特征值-6的一个线性无关的特征向量就是312322ζααα=+-，而A 的属于特征值-6的全部特征向量是{}3,0k k K k ζ∈≠且.例2 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,求T 的特征值和特征向量. 解 ：1012201221100001000100001000010000100001n n n n I A λλλλααααλαλαλαλαλαλα-------=-+--=--+令01221000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+下面用数学归纳法求解()2n D n ≥当2n =时，22101.1D λαλαλαλα==++-+假设对于上述形式的1n -阶行列式，有012-132000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+n-1n-2n-210=+++λαλαλα，对于n 阶行列式，把它第1行展开，得12102112111210121210000100010010(1)001000100101()(1)(1).n n n n n n n n n n n n D xλαλαλλαλαλαλλλλαλαλααλαλαλαλα+----+----=---+----+-=+++++--=++++根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数2n ≥都成立. 故121210.n n n I A λλαλαλαλα---=++++即为T 的特征多项式.设12,,n λλλ 是I A λ-的全部复根. 对于1i n ≤≤，有111122201111,n n n n i i i i i i i ii i i n i A λλλλλλλλλλααλαλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此12'(1,,,,)n i i i λλλ-(1i n ≤≤)是A 的属于特征值i λ的一个特征向量. 由于()()11,2,,110,2,3,,n i n I A n λ--⎛⎫-=-≠⎪⎝⎭而i I A λ-=，因此()1i rank I A n λ-=-. 从而齐次线性方程组()0i I A X λ-=的解空间的维数为(1)1n n --=. 于是A 的属于特征值i λ的所有特征向量组成的集合是{}21'(1,,,,)|,0.n i i i k k C k λλλ-∈≠从而T 的属于特征值i λ的全部特征向量是{}21'123()|,0.n i i i k k C k αλαλαλ-++++∈≠(1i n ≤≤)例2 在空间[]nP x （n>1)中(P 为实数域), 求微分运算D'()()f x f x ∂= 的 特征多项式，并证明：D 在任何一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 证：在[]nP x 中取一组基()211,,,,2!1!n x x x n --微分运算D 在此基下的矩阵为.0000100001000010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=DD 的特征多项式是.01000010001n D E λλλλλ=---=-从而D 的特征多项式为nλ. 因此D 的特征值为210n λλλ====.又D 的对应特征值0的奇次线性方程组()0A X -=的系数矩阵的秩为n-1,从而基础解系只含一个向量.它小于[]nP x 的维数n(n>1),故D 不可能同任何对角矩阵相似.所以微分运算D 在任何基下的矩阵都不可能是对角形. 2矩阵特征值与特征向量的五个应用2.1特征值与特征向量判断线性变换可对角化的应用定义2.1.1如果V 中存在一个基，使得线性变换A 在这个基下的的矩阵是对角矩阵，那么A 可对角化.由于线性变换A 在V 的不同基下的矩阵是相似的，因此线性变换A 可对角化当且仅当A 在V 的基下的矩阵A 可对角.定理2.1.1域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量12,,,nξξξ，此时A 在基12,,,nξξξ下的矩阵A 为1000,00n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中i λ是i ξ所属的特征值（即i i i A ξλξ=），1,2,,.i n = 矩阵A 称为线性变换A 的标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的标准形是有A 唯一决定的.推论2.1.1 域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当V 中存在由A的特征向量组成的一个基.定义2.1.2设A 是域F 上线性空间V 上的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，令 {}00|,defV A V λααλαα==∈ .易验证V λ 是V 的一个子空间，称0V λ是A 的属于特征值0λ的特征子空间. 0V λ中全部非零向量就是A 的属于特征值0λ的全部特征向量. 由于()00000().V A I A Ker I A λααλαλααλ∈⇔=⇔-=⇔∈-因此 00().V Ker I A λλ=-即线性变换A 的属于特征值0λ的特征子空间等于线性变换0I A λ- 的核.设V 是域F 上n 维线性空间，V 上线性变换A 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵为A,λ是A 的一个特征值. 设σ是V 到nF 的一个同构映射，它把V 中向量对应于它在基12,,,nααα下的坐标，则()0V λσ等于n 元齐次线性方程组()00I A X λ-=的解空间，即矩阵A 的属于特征值0λ的特征子空间. 于是()()00dim V n rank I A λλ=-- .定理2.1.2设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，则A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔V 中存在由A 的特征向量组成的一个基⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 12,s V V V V λλλ⇔=⊕⊕⊕其中12,,,sλλλ 是A 的所有不同的特征值.例 3 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,称它是Frobennis 矩阵. 求T 的特征多项式和属于特征值i λ的全部特征向量(1,2,3,,)i n =；T 是否可对角化？令122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭情形112,,n λλλ两两不等. 此时0.p ≠从而P 的列向量组线性无关. 于是A 有n 个线性无关的特征向量，因此A 可对角化.此时{}112,,n p AP diag λλλ-=从而T 可对角化.情形 212,,n λλλ中有相等的. 此时0.p = 从而P 线性相关. 这时A 没有n 个线性无关的特征向量，因此A 不可对角化, 从而T 不可对角化.例4 设T 是数域K 上n 维线性空间V 上的对合变换（即T 满足2T I =），(1)证明T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)判断T 是否可对角化；若可以对角化，请写出它的标准形. 解：设T 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵是A ，由2T I =，可得2A I =. 即A 是数域K 上的对合矩阵，设0λ是对合矩阵A 的一个特征值，则有0,α≠使0.A αλα=从而2200.A A αλαλα== 由于2A I =，因此20αλα=，即20(1)0.λα-=由于0,α≠因此2010.λ-= 即01.λ=± 当A I =时，1是A 的特征值，-1不是；当A I =-时，-1是A 的特征值，1不是； 当A I ≠±时，0.I A ±≠由于()()rank I A rank I A n -++=因此 ()().rank I A n rank I A n -=-+< 从而0.I A -=从而1是A 的一个特征值.同理可证，-1是A 的一个特征值.(1)从而，T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)设().rank I A r +=由于()()rank I A rank I A n -++=，因此().rank I A n r -=- 属于特征值1的特征子空间1W 的维数为1dim ()();W n rank I A n n r r =--=--=属于特征值-1的特征子空间1W -的维数为1dim ()();W n rank I A n rank I A n r -=---=-+=-由于11dim dim (),W W r n r n -+=+-=因此A 可对角化.A 的相似标准形为{},.r n r diag I I --从而T 可对角化，且它的相似标准形为0,0rn r I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭其中().r rank I A =+2.2 特征值与特征向量在确定可对角化矩阵的应用当矩阵A 可对角化时，可根据A 的特征值和特征向量来确定它的元素.例 5 设3阶方阵A 的特征值1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量分别是1231222,2,1.211ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求A .分析：此题给了3阶矩阵A 的3个不相同的特征值及其对应的特征向量，那么矩阵A 可对角化，显然可用A 的特征值和特征向量来确定它的元素.解：由i ξ是方阵A 对应于特征值i λ 的特征向量，于是i i i A ξλξ=()1,2,3.i =令()123122221212P ξξξ-⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭， ,PA PD =其中100000,001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由上式可得：11021012,3220A PDP --⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ 即为所求.2.3特征值与特征向量在n 阶矩阵的高次幂的求解中的应用当n 阶矩阵A 可对角化时，即矩阵A 可与对角阵相似时，可应用矩阵的特征值与特征向量计算其高次幂()k A k N *∈，且比较简单.当n 阶矩阵A 满足下面的四个条件之一时，即可对角化,即1.A PDP -=n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量. n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值.n 阶矩阵A 的每个特征值的几何重数等于其代数重数. A 为是对称矩阵. 对于(){}11212,,,,,,,,n n A PDP P D diag ξξξλλλ-===其中12,,,nλλλ是A 的n 个互不相等的特征值，i ξ是A 的属于特征值i λ的特征向量()1,2,,.i n =例6 已知矩阵122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求k A （其中k N *∈）. 分析：矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因为矩阵A 为实对称矩阵，故可对角化. 可按上面讨论的方法求之.解 因为,T A A =所以矩阵A 为实对称矩阵，故A 可对角化为D .()()212221251221I A λλλλλλ----=---=-+---故A 的特征值为1231,5,λλλ==-=当1λ=-时，解齐次线性方程()0,I A X --=求出一个基础解系：12111,001ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当5λ=时，可求()50A X λ-=的一个基础解系：311,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 令111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1001,1,5010005D diag -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪⎪⎝⎭ 则()11,1,5P AP D diag -==--则1A PDP -=于是()()()()()()()()1111111111111()()1001112111101010121301100511121515151152153k kkkkk k k k k k k k k k k A PP APP PP APP PP APP P P AP P AP PAP P -------------==⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-+-+=-+-+-()()()()111151515215k kk k k k k k---⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭2.4 特征值与特征向量在求一些特殊数列通项公式的应用由一些特殊数列的递推公式，构造关系矩阵A ，并列出递推关系，当关系矩阵A 可对角化时，可利用A 的特征值与特征向量求解这些数列的通项公式.例7 斐波那契（Fibonacci ）数列是0,1,1,2,3,5,8,13,它满足下列递推公式：21,n n n ααα++=+ 0,1,2,n=以及初始条件010, 1.αα== 求Fibonacci 数列的通项公式，并且求1lim.nn n αα→∞+解 由2111,,n n n n n ααααα++++=+⎧⎨=⎩ 可得21111.,10n n n n αααα+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令11,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,0,1,2,n n n D n αα+⎛⎫== ⎪⎝⎭上式可写成1,n n D AD +=又由1001,0D αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0,.n n D A D n N *=∈于是求Fibonacci 数列的通项公式就只要去计算nA .可利用A 的相似标准形来求简化nA 的计算.211111122I A λλλλλλλ⎛⎫⎛---==--=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是A的特征值为12λλ==从而A 可对角化.对于特征值1λ，解奇次线性方程组()10,I A X λ-=求出一个基础解系：11,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值2λ，可求出()20I A X λ-=的一个基础解系：22,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则1120,0P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭从而12121121211212112010011101.1nn nn n n n n A P P λλλλλλλλλλλλλλ-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎝-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎭由于110n n n A αα+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此))2121211110.n nn n n n nλαλλλλλ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即为Fibonacci 数列的通项公式. 于是211211112212111lim lim lim112nn nnnn nn n nnλλαλλαλλλλλλλ++→∞→∞→∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭==例8已知()11,1,2i ii i ib cc b c--=⎧⎪⎨=+⎪⎩其中2,3,.i =设11,b c已知，求,.n nb c解由题可得1101,2,3,1122i ii ib bic c--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令01,1122B⎛⎫⎪=⎪⎝⎭则111,n nnb bBc c-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面求1n B-.()111.11222I Bλλλλλ-⎛⎫-==-+⎪--⎝⎭因此B的全部特征值是11,.2-从而B可对角化.对于特征值1，解奇次线性方程组()0,I B X-=得到它的一个基础解系：11,1ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值1,2-解齐次线性方程组10,2I B X ⎛⎫--= ⎪⎝⎭得到它的一个基础解系：22.1ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则110.102P BP -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭ 从而1111122111010210121211111130211122213111222n n n n n n n n B P P ---------⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此22111111111112,3232111112.3232n n n n n n b b c c b c ----⎧⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎪⎛⎫⎛⎫=--++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩2.5特征值与特征向量行列式计算中的应用用矩阵的特征值和特征向量计算三对角形的方法如下:设00000000000n a b c a b c a D a b ca =按第一行展开，得：12,n n n D aD cbD --=- 3,4,n =上式可写成21,n n n D aD cbD ++=- n N +∈由于2111,,n n n n n D aD cbD D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111,,,10n n n n n n D D a cb d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中2211D a cb d D a ⎛⎫-⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 这样求nD 的问题就转化为nd 的问题，因而转化为求1,n A -即存在可逆矩阵P 使得 1P AP D -=（对角形），就可以算出1.n A -由201a cbI A a cb λλλλλ--==-+=-得A 的特征值12λλ==1) 若24a cb ≠① 若240,a cb -<则A 有两个不相等的复特征值12,,λλ在复数域上对应于12,λλ的特征向量分别为12,.ξξ取()12,P ξξ=则P 可逆 于是就有11111200n n n AP P λλ----⎛⎫=⎪⎝⎭所以111n n n n D d A d D+-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而可求出nD .如果A 限制在实数域上，A 有复特征值，这时A 不可对角化.② 若240,a cb ->则A 有两个不同的特征值，则A 可对角化，按在复数域上的情况可求出nD2) 若24,a cb =这时A 有重根.若A 有两个线性无关的特征向量，则A 可对角化；若A 只有一个特征向量，这时可利用相似变换，把A 化若当标准形1100λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可以算出1n A -，即可求出n D .例9 计算n 阶行列式：950004950004900.9500049n D =解：按第一行展开，得：12920,n n n D D D --=-()3,4,n =上式可写成21920,n n n D D D ++=-()n N +∈ 由2111920,,n n n n n D D D D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111920,,,10n n n n n n D D d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中211619D d D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于()()2920920451I A λλλλλλλ--==-+=---因此A 的特征值是124, 5.λλ==对于特征值14,λ=解其次线性方程组()40,I A X -=求出一个基础解系：14,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值25,λ=解其次线性方程组()50,I A X -=求出一个基础解系：25,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭令45,11P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则140,05P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 从而14005A P P-⎛⎫= ⎪⎝⎭111111111400545154011140554 5.4 4.554 5.4 4.5n n n n n n n n n n n n A P P---------⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--= ⎪--⎝⎭由于11619n n n D A D +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()11111161545.44.5549n n n n n n n D ----++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭例10 计算n 阶行列式：2120000121200012120000000210022n D ------=.解：将nD 按第一列展开得：1231232(2)22,n n n n n n n D D D D D D D ------=--+=+- ()4,5,6,n =上式可写成32122,n n n n D D D D +++=+-()n N *∈ 根据321221122,,,n n n n n n n n D D D D D D D D +++++++=+-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令323121*********,,100,5,0102n n n n n n n n D D D D D A D D D D ααα++++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得1,n n A αα+=11,n n A αα-=由于()()()2121011201I A λλλλλλλ---=-=-+-- 因此A 的特征值是1231,1, 2.λλλ==-= 对于特征值11,λ= 解其次线性方程组()0,I A X -=得到一个基础解系;111,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 同理，分别可求231, 2.λλ=-=的一个特征向量23141,2,11ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令114112,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1100010002P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 于是1100010002A P P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭从而()()()()11111111111000100021001143361112010132611100220211233611121326202112n n n n n n n n n n n A P P -------+--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭于是()()()1121111123361011121325,62022112n n n n n n n n n D D D -+++--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭从而()()()()()121013123 3.16 2.12562112263n n n nn n n n D -+⎛⎫ ⎪=-+-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-++3.小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4版) [M] . 北京:高等教育出版社,2003.[3] 奚传志. 矩阵的特征值与特征向量在行列式计算中的应用枣庄师专学报，1992年2期[4] 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法[J]. 高等数学研究.[5] 谢国瑞. 线性代数及应用[M]. 北京:高等教育出版社,1999.[6] 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展[J]. 南京航空航天大学学报,1995.[7] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社.[8]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的研究.菏泽学院.计算机与信息工程系.山东菏泽（274015）[9] 朱凤娟．特征值与特征向量逆问题的研究[J]．滨州学院学报2007.6 .[10] [英]S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法[M] .北京：化学工业出版社.1984.126-137.[11]丘维声，高等代数（第二版）下册.北京：高等教育出版社[12] tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) [M].Prentice Hall/Pearson，1998.[13] Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.[14]丘维声，高等代数（第二版）上册.北京：高等教育出版社[15] 熊全淹，线性代数[M].北京；高等教育出版社，1987.4.[16]丘维声，高等代数学习指导（下册）.北京：清华大学出版社，2009[17]杨子胥，高等代数习题解（下册）.济南:科学技术出版社，2009[18]丘维声，高等代数学习指导（上册）.北京：清华大学出版社，2009致谢本学位论文是在我的指导老师张宝环老师的亲切关怀与细心指导下完成的.由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周到的地方，从论文的选题、资料的搜集到论文的撰写编排整个过程中，张老师始终都给予了悉心的指导和不懈的支持，并为我指点迷津，帮助我开拓思路，精心点拨，热忱鼓励.张老师的一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人,给我以终生受益无穷之道.感谢老师们对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究.在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.同时我要感谢同组的同学们，是我们相互的鼓励和支持才使得做论文的过程充满着快乐和感动.在此，我对所有帮助我的老师和同学们表达我衷心的感谢!。
矩阵论课程结业论文
浅谈矩阵论的发展在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。
直到18 世纪末至19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。
矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。
一、矩阵早期发展的社会与文化背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
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《线性代数》课程论文题目：矩阵及其应用
矩阵及其应用
摘要：本文主要介绍了矩阵的概念，运算方法两方面内容，在大量的文献基础上，给出了矩阵的运算及其逆矩阵的求解方法。
最后通过具体的例子说明其应用，使其在计算时更加的简便，快捷。
关键词：矩阵矩阵的运算逆矩阵
1.矩阵的概念
1.1 矩阵的定义
由m ×n 个数a ij (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成m 行n 列的数表
mn
m m n n a a a a a a a a a
21
2222111211
称为m ×n 矩阵，记作
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 简记为()
()a a A
ij
n
m ij n
m A =
=
=
⨯⨯。
这m ×n 个数称为A 的元素，简称为元。
元素是
实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵为复矩阵。
1.2 几种特殊矩阵
（1）行数与列数都等于n 的矩阵A ，称为n 阶方阵。
也可记作A n 。
例如：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛397622213765432221613是一个4阶方阵。
（2）只有一行的矩阵()n a a a A ,...,,21=，称为行矩阵（或行向量）。
只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=n a a a B 21，称为列矩阵（或列向量）。
（3）如⎪⎪⎭⎫
⎝⎛2100λλ的方阵，称为对角矩阵（或对角阵）。
（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作n m O ⨯. （5）元素全为1的方阵称为单位矩阵（或单位阵）。
1.3 同型矩阵与矩阵相等
（1） 同型矩阵：两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。
如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛397622213765432221613与
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛3976
6229
7658
4964
为同型矩阵。
（2）两个矩阵()ij a A =与()ij b B =为同型矩阵,并且对应元素相等,即
b a ij
ij
=()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==,则称矩阵A 与B 相等，记作A=B 。
2.矩阵的运算
2.1 矩阵的加法
设有两个m ×n 矩阵()ij a A = ,()ij b B = ,那矩阵A 与B 的和，记作A +B ，规定为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++
++++++=+b b b b b b b b b mn mn m m m m n n n n a a a a a a a a a B A
221122222221211112121111。
（1）A B B A +=+; （2）)()(C B A C B A ++=++;
（3）)(,0)(B A B A A A -+=-=-+. 2.2 数与矩阵相乘
数λ与矩阵A 的乘积记作A λ,规定为⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a
a a a A λλλλλλλλλλ
212222111211，设B A 、为n m ⨯矩阵，μλ、为实数：
（1）()()A A μλλμ=; （2）
()A A A μλμλ+=+; （3）B A B A λλλ+=+)(. 2.3 矩阵与矩阵相乘
设()ij a A =是一个s m ⨯矩阵,()ij b B =是一个n s ⨯矩阵，规定矩阵A 与矩阵B 的
乘
积
是
一
个
n
m ⨯矩阵
()
ij c C =，其中
∑==+++=s
k kj ik sj is j
i j
i ij
b a b a b
a b a c 1
22
11
()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==，并把此乘积
记作AB C =。
（1）)()(BC A C AB =; （2）AC AB C B A +=+)(; (3) B A AB )()(λλ= （4）A EA AE == 2.4 矩阵的转置
把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T A ,
例如：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=41A ,)41(=T
B 。
（1）A T T
A =)（; （2）()T T T
B A B A +=+;
（2）()T T
A A λλ=; (4)()T T T
A B AB = .
2.5 方阵的行列式
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式，记作A A det 或。
例如：286328632-==⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=A A ，则。
运算性质： （1）A A T =; (2)A A n λλ=; （3）B A AB = 2.6 对称矩阵
设A 为n 阶方阵，如果满足),,2,1,(,n j i a a A A ji ij T ===即，那么A 称为对
称矩阵。
如：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=6010861612A 为对称阵。
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应
相等.如果A A T -=, 则称 A 为反对称矩阵. 2.7 共轭矩阵
当()ij a A =为复矩阵时，用ij a 表示ij a 的共轭复数，记()
ij a A =，A 称为A 的共轭矩阵。
（设A 、B 为复矩阵，λ为复数,且运算都是可行的）: （1）B A B A +=+; (2)A A λλ=; （3）B A AB =
在进行矩阵的运算时，我们还应注意：
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律。
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。
3. 逆矩阵
3.1 逆矩阵的定义
对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B,使AB=BA=E,则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记作1-A 。
例如：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/12/12/12/11111B A ，,B 是A 的一个逆矩阵。
逆矩阵的性质： （1）若A 可逆，则()
A A =--1
1
;
（2）若A 可逆，数λ≠0，则A λ可逆，且()11
1
--=
A A λ
λ；
（3）若A 、B 为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111
---=A B AB . （4）若A 可逆，则T A 亦可逆，且()()T
T A A 11
--=.
（5）若A 可逆，则有1
1--=A A
在求解过程中，要注意：（1）若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的. （2）矩阵A 可逆的充要条件是 0≠A ,且*-=
A A
A 11,其中A *
为矩阵A 的伴随矩阵。
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A
A A A A 2122212
12111。
3.2 逆矩阵的求解 （1）待定系数法
设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0112A ,求A 的矩逆阵。
解：设的逆矩阵为A d c b a B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012210010112b a d b c a d c b a AB ⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=-=+=+⇒,
1,0,02,
12b a d b c a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧==-==⇒2110,
2,1,
1,0B d c b a ,又因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101-12211-0211-001-12， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21101A .
（2）伴随矩阵法
求方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵。
解：因为存在。
，所以，1023
431223
21-≠==A A 3
331
2;2341
21211-====A A ,同理得，2
;5;
4;2;6;6;233323123222113-==-==-===A A A A A A A , 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=*222563462A ,故，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-1112/532/32312225634622111
A A A .
总结
本文通过对矩阵性质、逆矩阵及相关结论的研究，给出了部分矩阵计算行列式的方法．从上文的一些结论和给出的例子可以看出，矩阵在行列式计算中的应用很多，而且利用矩阵、逆矩阵计算行列式，可以有效的简化计算．在实际运用的过程中，要根据行列式的结构特点，选择合适的方法，将使该方法得到更广泛的应用．。