第七章 工具变量、2SLS、GMM

ˆ 第二阶段：由于X是 z1， ，z L 的线性组合（参见 ˆ 第一阶段回归），故X恰好包含k个工具变量。使用 ˆ X为工具变量对原模型y＝X＋ 进行工具变量法估 ˆ ˆ 计： IV＝ XX


－1
ˆ ˆ ˆ Xy＝ XX


－1
ˆ Xy
后一个等号
ˆ ˆ 能成立是由于XX＝ PX PX ＝XPPX＝XPX ˆ ＝ PX X＝XX，其中，投影矩阵P为对称幂等矩阵 ˆ ˆ 即P＝P，P 2＝P。因此，可以将 IV 视为把y对X进行 OLS回归而得到，故名“二阶段最小二乘法”
二、工具变量法作为一种矩估计
1、矩估计（Method of Moments，MM）
首先以一个例子来说明矩估计方法：假设随机变量 x N ， 2 ，其中， 2为待估参数。因为有两 个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件： 一阶中心矩：E x ＝ 二阶中心矩：E x ＝Var x ＋ E x ＝ 2＋ 2
n －1
2、工具变量法作为一种矩估计
假设回归模型为 yi＝1x i1＋＋ k-1x i，k-1＋ k x ik＋ i 假设只有最后一个解释变量x ik为内生变量，即 Cov x ik， i 0，因此OLS是不一致的。
假设有一个有效工具变量w满足Cov x ik，w i 0 （相关性），以及Cov w i， i ＝（外生性）。由于 0 x1， ，x k-1不是内生变量，故可以把自己作为自己 的工具变量（因为满足工具变量的两个条件）
t 1 方程，经整理可得Yt＝ 0＋I t＋X t ＋ 1－1 1－1
可见Yt 与 t 相关，因此当单独对C t＝ 0＋1Yt＋ t 进行OLS估计时会碰到解释变量与扰动项相关的 情况
违背解释变量外生性假定也可以出现在滞后被解 释变量作为模型解释变量的情况。例如，消费不 仅受收入的影响，还要受到前期消费水平的影响； 投资不仅受GDP的影响，也要受前期投资水平的 影响。当存在扰动项序列相关时，就会造成解释 变量与扰动项相关的情况
OLS 2
为外生解释变量向量。记工具变量为 x1 z 2 ，其中
量z 2相关性的信息，但也可能由于x 2与x1的相关性造 成。
为此，应该使用滤去x1影响的“偏R 2”（partial R 2） 记为R 2 p
具体操作步骤如下：首先作x 2 对x1回归，
OLS x 2 x1，记其残差为e x 2，代表x 2中不能由x1解
一、工具变量法（Instrumental Variable，IV）
可以引入工具变量w t 来解决内生变量问题。一个有 效的工具变量应满足以下两个条件： （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即 Cov w t，p t 0，p t为内生解释变量 （2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即 Cov w t， t ＝0
第七章 工具变量、2SLS、 GMM
OLS估计成为一致估计量的前提是解释变量与扰动 项不相关（即前定变量假设），否则，无论样本容 量多大，OLS估计量也不会收敛到参数真值，这将 难以接受。解决方法之一是本章介绍的工具变量法
复习第三章p34－p38
违背前定变量假设可以出现在联立方程中，比如 C t＝ 0＋1Yt＋ t ，Yt、C t、I t、X t 分别表示GDP、 Yt＝C t＋I t＋X t 消费、投资、净出口。将第一个方程代入第二个
记解释变量向量x i x i1 x i，k-1 x ik ，则原模型为 yi＝x ＋ i i 记工具变量向量为 z i z i1 z i，k-1 z ik x i1 x i，k-1 w i 。
定义g i zi i。由于工具向量与扰动项正交，故 E g i ＝E z i i ＝0为总体矩条件或正交条件
2 2
用对应的样本矩来替代总体矩条件可得以下联立 方程组，求解后即得到期望与方差的矩估计：
1 n ˆ ˆ ＝x n x i＝ i=1 2 1 n 2 n ˆ ＝ x i－x 1 2 2 2 ˆ ˆ x i ＝ ＋ n i=1 n i=1 1 n 其中，x＝ x i为样本均值，上面推导中用到： n i=1
ˆ ˆ 注意，第二阶段回归所得到的残差为e 2 y－X 2SLS ˆ 而原方程的残差却是e y－X （这是正确的）
2SLS
ˆ 由于 IV的表达式在形式上完全类似于OLS估计量 ˆ 故在条件同方差的假设下， 的协方差矩阵估计量
IV
ˆ 2 ˆ ˆ 为Var IV ＝s XX

2SLS
＝ XZ ZZ ZX
－1


－1
XZ ZZ Zy
－1
四、有关工具变量的检验
在使用工具变量法时，必须对工具变量的有效性 进行检验。如果工具变量非有效，则可能导致估 计不一致，或估计量的方差过大。
1、检验工具变量与解释变量的相关性
如果工具变量z与内生解释变量x完全不相关，则 无法使用工具变量法，因为E z i x 不可逆。如果 i z与x仅仅微弱相关，则可认为 E z i x i
即x i到Z上的投影 ˆ （相当于y对X求回归拟合值y＝Py，即y到X上的投影） 其中，P Z ZZ Z为Z的投影矩阵。写成矩阵形式
－1
ˆ ˆ ˆ ˆ X x1 x 2 x k ＝P x1 x 2 x k ＝PX ZZ －1 ZX ＝Z
IV

于大样本理论的统计推断失效
判断弱工具变量的方法主要有两种。
方法之一为使用“偏R 2”。假设回归模型为 y＝x11＋x 2 2＋，其中只有x 2为内生解释变量，x1 z 2为方程外的工具变量。在2SLS的第一阶段回归中 x 2 x1，z 2，其R 包含了内生变量x 2与工具变




ˆ ＝ E z x －1 S E z x －1 中渐近方差矩阵AVar IV i i i i 用到 E z i x 为对称矩阵 i
－1

秩条件r E z i x ＝k意味着工具变量w i与内生解释 i 变量x i 相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略
阶条件：zi中至少包含k个变量 根据是否满足阶条件可分为三种情况：
1 不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数 2 恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数 3 过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数
以上介绍的工具变量法仅适用于恰好识别的情况。 在过度识别的情况下，ZX不是方阵，ZX 不存在
以样本矩代替上式中的总体矩，即可得到工具变 量估计量： 1 1 n －1 ˆ ＝ IV z i x z i yi ＝ ZX Zy i n i=1 n i=1
n －1
其中，Z z1 z n-1 z n 即Z z1 z n-1 z n
下面是工具变量法的大样本性质：
定理：若秩条件r E zi x ＝k成立（方阵E zi x 满 i i ˆ 秩），则在一定的正则条件下， IV是的一致估计 ˆ 且 服从渐近正态分布
IV
ˆ －＝ ZX －1 Zy－ 证明：抽样误差 IV
＝ ZX Z X＋ －＝ ZX Z
工具变量 z1， ，z L 作OLS回归，其中
第一阶段：将每个解释变量x1， ，x k 分别对所有L个 x i x1i x ni n1 ，i＝1， ，k（注意，不同于第二章 对第i个观测数据x i的定义）。相当于将x i 视作被解释 ˆ ˆ 变量。得到拟合值x1＝Px1，x 2＝Px 2， ，x k＝Px k ˆ
与第三章大样本最小二乘法类似的假定和推导，
d 可以证明，ng N 0，S ，
其中S E g i g ＝E i2 z i z i i
ˆ 进一步，工具变量估计量 IV 渐近服从正态分布，即
d ˆ ˆ n IV－ ＝S－1 ng N 0，AVar IV ，其 ZX
－1 －1
1 1 n p z i i ＝S－1 g ＝ zi x i ZX n i=1 n i=1
n
－1
E zi x E g i ＝0 i
－1 ＝0
其中SZX
1 n 1 n zi x ，g z i i i n i=1 n i=1

－1
ee ，其中，s n-k
2
在存在异方差的情况下，则应使用稳健的协方差矩 ˆ ˆ ˆ 阵估计量，即Var IV ＝ XX


－1
n 2 ˆ ˆ ˆ ˆi ei x i x XX i=1


Baidu Nhomakorabea－1
ˆ ˆ ＝Z ZZ －1 ZX（或将P Z ZZ －1 Z）代入 的 将X IV 公式，可得2SLS的最终表达式： ˆ ＝ XPX －1 XPy
－1
E x i yi－x ＝0 i
＝ E x i x E x i yi （假设E x i x 可逆） i i
以样本矩替代上式中的总体矩，即可得到矩估计： 1 1 n －1 ˆ ＝ ˆ MM x i x x i yi ＝ XX Xy＝OLS i n i=1 n i=1 显然这就是OLS估计量
－1 －1 －1
很大，导
ˆ 致工具变量法估计量的渐近方差AVar IV ＝ E z i x S E z i x 非常之大。直观上看，由 i i 于z中仅包含很少与x有关的信息，利用这部分信息 进行的工具变量法估计就不准确，即使样本容量很 大也很难收敛到真实的参数值。这种工具变量称为 ˆ 弱工具变量，将使 的小样本性质变得很差，且基
x －x ＝ x －nx
2 i 2 i i=1 i=1
n
n
2
任何随机向量x的函数f x 的期望E f x 都被称为 总体矩。事实上，OLS也是一种矩估计。利用解释 变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件
E x i i ＝0
E x i yi ＝E x i x i
E z i yi－x ＝0 i
－1
由此可得E zi i ＝0
－1
E z i y i ＝ E z i x i ＝ E z i x E z i yi （假定 E z i x 存在） i i
－1
ˆ 无法得到工具变量估计量 IV。
若扔掉多余的工具变量将会浪费有用的信息，有效 的方法是二阶段最小二乘法
三、二阶段最小二乘法
显然，多个工具变量的线性组合仍然是工具变量 因为仍满足工具变量的两个条件（相关性与外生性） 如果生成工具变量的k个线性组合，则又回到恰好 识别的情形。那么什么样的线性组合才是最有效率 的呢？可以证明在球形扰动项的假设下，由二阶段 最小二乘法（2SLS）所提供的工具变量线性组合是 所有线性组合中最渐近有效的。这个结论类似于小 样本理论中的高斯－马尔可夫定理。