明朝数学

明朝数学

中国古代数学经过先秦、两汉至隋唐的持续发展，在宋元时期达到了顶峰，并在相当长的时期内居于世界领先的地位，而到了明清时期则逐渐衰落了，这是由于受当时社会政治、经济、思想以及传统数学内在局限性等因素综合作用的结果。与此同时，西方经过中世纪漫长的黑夜之后，资本主义生产获得蓬勃发展，科学技术也随着以意想不到的速度发展起来。在数学方面，十六世纪时笛卡儿创立解析几何学，此后，牛顿和莱布尼茨创立微积分学，从而完成了由常量数学到变量数学，由初等数学到高等数学，由古典数学到近代数学的转变，西方数学走到了中国数学的前面。在这种情况下，中国数学的研究方向和内容都发生了一些新的变化，其中在中国数学史上具有重要意义的事件是珠算术的发展和明代万历以后西方数学的引进。中国为改变数学的落后局面和追赶世界数学主流，长途跋涉了达三个多世纪。

第一节传统数学研究的衰落

明代研治数学的人为数不少，著述也相当多。据有关书目文献记载，明代算书约有一百二十余种，其数量超过了以往的任何时代①。特别是在明代，中国传统数学的一些重要典籍，如《周髀算经》、《九章算术》以及宋元数学家的著作，大多还有传本。明初编辑《永乐大典》，曾将汉至明初的各种算术分类抄入事韵算字条下，共三十六卷。清代纂修《四库全书》，戴震等从中辑录出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《数学九章》（即秦九韶《数书九章》）、《益古演段》等古典数学名著。《永乐大典》算字条现尚存原著第16343—16344 卷，还有学者认为，现存《诸家算法及序记》是《永乐大典》第16361 卷的抄本②。除上列之书外，从《永乐大典》现存部分中尚可见到杨辉《详解九章算法》、《日用算法》、《续古摘奇算法》、《丁巨算法》、贾亨《算法全能集》、何平子《详明算法》、严恭《通原算法》、《透帘细草》、《锦囊启源》等著作。其中有不少是早已失传的内容，为后世保存了许多宝贵的数学史料。南京国子监还曾刊刻《算法大全》、《算法》、《九章算法》等数学著作。此外如王孝通《缉古算经》、李冶《测圆海镜》、朱世杰《四元玉鉴》等在民间也有流传。尽管有较好的文献基础，但是，明代数学家对一些古典数学名著却缺乏深入的研究，明代数学的总体水平并不高。例如宋元时所取得的诸如天元术、四元术、招差术、垛积术、大衍求一术、增乘开方法等重大数学成就，在明朝统治时期已大都少人理解，因而没有能够得到很好的继承和发展。明代数学家程大位（著有《算法统宗》）看到开方作法本源图，说是“注释不明”，“不云如何作用”。顾应祥（著有《勾股算术》、《弧矢算术》、《测圆算术》、《测圆海镜分类释术》）看到《测圆海镜》里的天元术，说是“反复合之，无下手之处”，感到“茫然无门路可入”，只好在《测圆海镜分类释术》中舍弃了原著有关天元术的内容。这种情况反映了当时中国传统数学后继乏人和数学研究几乎停滞不前的严重程度。现在所说的明代数学的衰落也主要是指这一方面而言的。

①李俨：《明代算学书志》，见李俨《中算史论丛》（第二集），科学出版社1954 年版。②严敦杰：《跋重新发现之〈永乐大典〉算书》，载《自然科学研究》1987 年第2 期。

第二节商业数学的发展

明代的商品经济相当发达，因此，明代在数学理论上虽然没有什么建树，但随着商品经济的发展，商业数学得到了较大的发展，其突出表现是在当时一些重要数学著作中出现了更多的与商业贸易有关的应用问题。吴敬《九章详注比类算法大全》（现通称《九章算法比类大全》）可说是这方面的代表作。

吴敬，字信民，浙江仁和（今杭州市）人，曾任浙江布政使司的幕府。

他对浙江的经济情况如田赋、税收、人口等非常熟悉，常协助当地财政官员进行工作。吴敬于景泰元年（1450）写成《九章算法比类大全》这部数学杰作。全书分十卷，共一千三百二十九个应用题。第一卷前另有“首卷”，称为“乘除开方起例”，主要介绍大数记法、小

数记法、度量衡的单位、乘除算法中用字的解释、整数四则运算和分数四则运算等，并给出一百九十四个应用问题的解法。第一卷至第九卷按《九章算术》分类法分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈朒和勾股。各卷内容都是对该类应用问题的解法，其中最初几个问题主要引自杨辉《详解九章算法》、刘徽《海岛算经》、王孝通《缉古算经》等，称为“古问”。而结合当时社会情况的应用问题，则称为“比类”。此外还有用诗词形式表达的应用问题。第十卷专论“各色开方”，包括开平方，开立方，开高次方，开带从平方和开带从立方等。吴敬在该书“比类”中收集的许多题目，是与当时人们生产和生活实践特别是与商业贸易有关的应用问题。这是商品经济发展在数学中的反映。十五世纪中，欧洲南部各城市的商品经济也很发达，商业数学也有相应的发展。在吴敬《九章算法比类大全》写成后二十八年，意大利出现了一部相类似的著作《脱雷维沙算术》（Treviso 为威尼斯附近的一个地名）。其中有不少相当于吴敬书中的问题和解法，如“异乘同除”、“就地抽分”、“合伙经营”、“互换乘除”等。这说明在资本主义发展的萌芽时期，商品经济反映到数学上，东西方有类似的步伐①。吴敬这部著作的体例和内容，对程大位《算法统宗》等后世数学著作有较大的影响。

另外值得一提的是王文素的《算学宝鉴》。王文素，字尚彬，山西汾城人。他以三十余年之功，于嘉靖三年（1524）写成《算学宝鉴》一书，书名全称《新集通证古今算学宝鉴》。全书共四十一卷。这是继吴敬《九章算法比类大全》之后又一部商业数学巨著。书中介绍了珠算，也运用了筹算，包含有结合社会需要的各种应用问题，内容相当丰富。但可惜的是迄今不知这部著作是否有刊本行世。现较易见到的是北京图书馆藏抄本的影印本②。

①钱宝琮：《中国数学史》，科学出版社1964 年版，第134—136 页。

②见郭书春主编：《中国科学技术典籍通汇²数学卷（二）》，河南教育出版1993 年版。

第三节珠算术的发展

据现有资料推测，珠算大约发明于元中叶之前不太久的时间，而在元代关于珠算仅有一些零星的记载。珠算发明之后，随着商品经济的发达和算法的简化，在明代逐渐得到广泛应用，并且最终完全取代了筹算。明初刊刻的《对相四言杂字》是一部看图识字的启蒙著作。书中绘有算盘图，也绘有算筹图，说明珠算术发展很快，珠算盘在明初即已推广，成为应该与算筹同时掌握的计算工具。明中期以前的一些数学专著，如吴敬《九章算法比类大全》和王文素《算学宝鉴》等，也都明确提到珠算盘，并记载了一些只在珠算中才能有的口诀。如“破五诀”说：“无一去五下还四”，“无二去五下还三”一或两根算筹就行了，用不着“下还四”，“下还三”，因此“破五诀”应是珠算口诀。但这两部书又主要是介绍筹算方法的著作。这种情况表明，直到明代中期，在实际生活中还是筹算和珠算同时并用的。

明代算盘的式样与规格，在十五世纪中期的《鲁班木经》里有明确的记载：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底。线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”这种算盘的上下算珠之间还没有横梁，只用一条绳线隔开。徐心鲁《盘珠算法》（1573）中的九档算盘图，上有一珠，下有五珠，中间有木梁，与日本的算盘相同。日本算盘是来源于这种算盘还是独立创制的，还有待于深入的研究。柯尚迁《数学通轨》（1578）中所绘算盘图，称为“初定算盘图式”，有十三档，上二珠，下五珠，中间用木制的横梁隔开，已与现在通用的算盘相同。中国算盘的形制可能在这时已经基本定型了。

珠算的四则运算方法基本来自筹算，但也有所不同。如筹算中没有加法和减法的口诀，而加减法口诀则是珠算术的重要组成部分。在明代的珠算著作中，加法口诀称为“上法诀”，如“一，上一；一，下五除四；一，退九进一十”等等，减法口诀称为“退法诀”，如“一，退一；一，退十还九；一，上四退五”等等。为提高运算速度，这些口诀对于珠算术是必要的，而筹算术则无此必要。珠算术的乘法口诀（九九口诀）和除法口诀（九归口诀）等，与