Frenet标架运动生成曲线与曲面间的保长变换的软件实现及思考
frenet空间标架 一般参数曲线
在数学和物理学中，Frenet空间标架是一种重要的概念，它在描述曲线运动和空间变换时发挥着关键作用。
而一般参数曲线则是在这一理论框架下的重要应用之一，它有着广泛的实际意义和深刻的数学内涵。
本文将围绕这两个主题展开深入探讨，带您逐步深入理解它们的内涵和应用。
1. Frenet空间标架Frenet空间标架是描述空间中一条曲线上的切线、法线和滑线方向的一组矢量基底。
它由三个单位正交矢量构成：切线单位矢量T，法线单位矢量N和滑线单位矢量B。
这一组矢量基底可以完整地描述曲线在空间中的运动特性，是描述曲线弯曲、扭转和形状变化的重要工具。
Frenet空间标架的概念深刻而精妙，它不仅在数学和物理学中有着广泛的应用，也在工程、计算机图形学等领域有着重要的意义。
2. 一般参数曲线一般参数曲线是指曲线的参数方程满足一定的条件，可以将曲线的弧长作为参数。
在Frenet空间标架的描述下，一般参数曲线能够更加简洁地描述曲线的特性。
通过参数化轨迹曲线上的点，我们可以得到曲线上每一点的切线、法线和滑线方向，从而完整地描述出曲线在空间中的运动规律。
一般参数曲线在几何建模、物体运动和曲线绘制等领域有着重要的应用，它为我们理解和描述空间中曲线的运动提供了重要的数学工具。
3. 个人观点和理解从我的角度来看，Frenet空间标架和一般参数曲线是描述空间中曲线运动和变换的重要数学工具。
它们不仅具有丰富的数学内涵，还有着广泛的实际应用。
在学习和研究过程中，我深切体会到这两个概念对于理解曲线运动和空间变换的重要性。
通过深入研究和探讨，我逐渐领会到它们的深刻之处，也感受到它们在数学和物理学中的重要作用。
总结通过本文的讨论，我们深入探讨了Frenet空间标架和一般参数曲线的概念和应用。
从简单到复杂，我们逐步展开对这两个主题的讨论，带您全面理解它们的内涵和意义。
我也共享了我对这两个主题的个人观点和理解，希望能够为您对这一领域的学习和研究提供一些启发和帮助。
frenet标架
1.2.1 曲线的基本三棱形 设 C : r (t) = {x(t), y (t), z (t)} 为正则曲线, 任取定 C 上一点 P0 (t = t0 ) , 并设
1. 切线
P 为 P0 的任一邻近点, P0 点与 P 决定的直线记为 l . 则当 P 沿 C 趋向于 P0 点时, l 的极限 位置称为曲线 C 在 P0 点的切线 (如图2), 定点 P0 称为切点. 直观上, 切线是通过切点的所 有直线中最“贴近”曲线的直线. 设 P 点对应的参数为 t0 + ∆t , 则有 − − → P0 P = r (t0 + ∆t) − r (t0 ), − − → 在割线 P0 P 上作向量 P0 Q (如图1), 使得 − − → r (t0 + ∆t) − r (t0 ) P0 Q = , ∆t − − → 当 P → P0 (即 ∆t → 0 )时, 若 r (t) 在 t0 处可微, 由向量函数微商的定义可得, 向量 P0 Q 的极 限 r (t0 + ∆t) − r (t0 ) = r (t0 ). ∆t→0 ∆t lim
其中 b0 是任意常向量. 上式正是直线段的方程, 这说明曲线 C 是直线. 鉴于这一事实, 以后 我们总是假定曲线上的点都是非逗留点, 这对于研究曲线的局部性质不是一个苛刻的限制. 【注 4】 切平面. 证明 设 P0 (t = t0 ) , P (t = t0 + ∆t) , 则 P0 点处的密切平面 π 的法向量 N 为 r (t0 ) × r (t0 ) . 根据 Taylor 公式, 我们有 − − → 1 P0 P = r (t0 )∆t + (r (t0 ) + ε1 )(∆t)2 , 2 1 r (t0 + ∆t) = r (t0 ) + (r (t0 ) + ε2 )(∆t)2 , 2 这里 lim ε1 = lim ε2 = 0 . 简单计算我们得到
§3 曲线的曲率和 Frenet 标架
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立 符合需要的单位正交右手标架场．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性 密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利 用曲率向量的单位化向量 建立符合需要的单位正交 右手标架场．
法平面
§3 曲线的曲率和 Frenet 标架
一．曲率
考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 定义1 曲率向量；曲率；曲率半径． 曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取． 定理2 设弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 与 C*: r* r*(s) 合同，则的曲率 (s) 与 *(s) 总相等．
B(t) C r(t) N(t) 密切平面 T( t ) 从切平面 O 图 2-7
一种任意曲线曲率中心、半径及Frenet标架的图解算法
一种任意曲线曲率中心、半径及Frenet标架的图解算法郑鹏飞;刘青;赵菊娣;林大钧;安琦【摘要】通过分析现有曲线曲率中心、曲率半径的求解方法,与微分几何中Frenet 标架的定义及求解方法,提出了一种基于离散点分段构建平面曲线逼近空间任意曲线的方法,并以此建立以两中垂面与密切平面求交的方式求解曲线曲率中心和Frenet标架的图解及解析模型.所给出的求解任意曲线曲率中心、曲率半径及Frenet标架的图解算法简便可行,试验证明,该算法稳定可靠,适应性广.【期刊名称】《东华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(042)004【总页数】5页(P593-596,603)【关键词】曲率中心;曲率半径;Frenet标架;图解【作者】郑鹏飞;刘青;赵菊娣;林大钧;安琦【作者单位】华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237;义乌工商职业技术学院,浙江义乌322000;义乌工商职业技术学院,浙江义乌322000;华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237;华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237;华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237【正文语种】中文【中图分类】TP391在机械设计中, 经常涉及到复杂曲线的曲率半径和曲率中心的计算, 很多研究者提出了相应的计算方法[1-3], 如切线向量解法[4]、解析法[5-6]、施密特正交法[7]、图解法[8]、公式改进法[9]、复矢量法[10]、坐标变换法[11]等. 另外, 曲线曲率与Frenet标架在工程中有广泛的应用, 如车辆运行路线仿真、桥梁设计[12-16]等. 因此, 研究曲线曲率半径、曲率中心、Frenet标架问题在微分几何和工程应用领域均有重大现实意义. 虽然这些问题曾被广泛研究并应用, 但大多数研究局限于平面曲线, 或是将微分几何中已有的计算公式加以应用解决. 对于离散曲线或未知曲线方程情况下的曲率半径、曲率中心及Frenet标架求解问题的研究甚少. 本文针对这一问题, 提出了一种任意离散空间曲线曲率及Frenet标架求解算法.设曲线C的方程为γ(s), 其中s为曲线的弧长参数, 则在正则曲线上曲率κ(s)不为零的点有一个完全确定的右手单位正交标架{r(s); α(s), β(s), γ(s)}, 它与表示曲线的笛卡尔直角坐标系的选取无关, 也不受曲线作保持定向的允许参数变换的影响, 称为曲线在该点的Frenet标架[17].Frenet标架的3根轴分别称为曲线的切线、主法线和副法线; 3个坐标面分别称为曲线的法平面(以α为法向量的平面)、从切平面(以β为法向量的平面)和密切平面(以γ为法向量的平面), 它们的方程分别为法平面: (X-r(s))·α(s)=0从切平面: (X-r(s))·β(s)=0密切平面: (X-r(s))·γ(s)=0将曲线C的方程换成自然参数, 则曲线C方程为r=r(t), 对应的曲率及Frenet标架可表示为Frenet标架由3个相互垂直的平面(法平面、从切平面、密切平面)组成, 3个平面的交线分别为主法线、副法线和切线, 其中主法线位于密切平面内. 根据密切平面的定义, 可以在曲线某点P1附近取两个点P2和P3, 分别连接直线P1P3、P1P2, 可得过直线P1P3中点A, 且以直线P1P3为法线的中垂面n1, 同理求得中垂面n2. 最后求得3个平面n1、n2、P1P2P3的交点P0, 即为曲线在P1点的曲率中心点.如图1所示, 点P1和P0间的距离值即为曲率半径. 曲率半径的精度取决于P1附近点与P1的逼近程度, 即点P2和P3越逼近点P1, 曲率中心点的精度越高. 这一图解过程对于平面曲线, 其结果是显然的. 对于空间曲线, 这一图解模型同样适用, 因为空间三维曲线可看成离散的多段平面曲线依次连接而成. 换言之, 可将空间曲线离散化, 用一系列点将曲线离散表示, 这样具有避开求解复杂偏导数方程组的优点, 即适用于曲线方程未知的情况.据此建立其数学模型, 已知点P1(x1, y1, z2), P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3), 其平面的三点式方程为同理, 平面n2的方程为为了简便起见, 令联立式(9)～(11), 可得曲率中心点P0的坐标为因此, 曲线C在点P1处的曲率半径R1=d(P0, P1), 曲率k1=1/d(P0, P1).显然, 求得的曲率半径P0P1即为曲线在该点处的主法线. 副法线的向量即为平面P1P2P3的法向量γ, 而该向量在上述过程中已求得. 因此, 副法线即为过P0点, 并以γ为向量的直线. 同样, 切线即为过P0点, 并以主法线、副法线所在平面的法向量为向量的直线, 该直线较易得到, 在此不再赘述.根据上述数学模型, 将其应用于求解离散空间曲线的曲率半径、曲率中心以及Frenet标架中，可分为以下两类加以简述.(1) 无显式曲线. 曲线用离散点表示, 可将该离散点组按就近原则将其排序, 使其满足连续化条件. 按其顺序, 依次取3点坐标, 即可根据上述模型计算出该离散曲线的Frenet标架.(2) 显式曲线. 将曲线均匀分段, 并获取分段坐标值, 然后依次取点计算Frenet标架. 为了进一步验证本图解算法的有效性和适用性, 本文通过3个实例加以验证. 利用AutoCAD软件中的vlax-curve-getFirstDeriv、vlax-curve-getSecondDeriv函数获得曲线的一次、二次偏导数, 再根据式(5)～(8)求解出曲线的曲率与Frenet标架, 以此作为验证的参照.3.1 平面圆弧曲线如图2(a)所示为一平面圆弧曲线, 测量该圆弧的半径可知为16.705 mm, 现将曲线均分为10段, 在每个分段点计算其Frenet标架与曲率半径. 图2(b)为利用本文算法与微分几何法求得的Frenet标架对比图, 本文算法计算出的曲率中心即为该圆弧圆心, 曲率半径也是16.705 mm, 精确率为100%. 图2(c)是图2(b)的局部放大图. 从图2(c)中可以看出, 本文算法标架与微分几何法标架完全吻合, 证明了本文算法对于求解平面曲线的Frenet标架、曲率中心、曲率半径是有效的.3.2 圆锥面上测地线图3(a)为点云圆锥面模型上的一条测地线, 图3(b)为用本文算法与微分几何法计算结果的叠加对比图. 由图3(b)可知, 本文算法同样适用于空间曲线的Frenet标架求解问题. 将图3(b)局部放大得到图3(c), 可见本文算法所得结果的精度很高.3.3 空间变径螺旋线图4(a)为一变直径的空间螺旋线, 图4(b)为两种计算方法的运行对比结果. 从局部放大图4(c)可见, 本文算法与微分几何法计算结果有细小偏差. 分析该误差产生的原因可知, 由于在曲线上的取点密度(分段数)不同, 会造成Frenet标架计算误差, 因为曲线上三点取值间隔越大, 就会违反本文算法中三点共面, 用分段平面曲线逼近空间三维曲线的理论基础, 造成图4(c)中的偏移误差. 换言之, 取点间距越大, 误差越大, 间距越小, 精度越高. 因此, 利用本文算法计算Frenet标架、曲线曲率、曲率半径、曲率中心点坐标时, 需将取点间距设置成较小数值.最后, 调整取点间距后, 针对平面曲线、空间测地线和空间变径螺旋线进行了多次重复试验, 试验结果表明本文算法对空间任意曲线的精度可达到99.9%, 可满足各种工程应用的需求, 具有实际应用价值.3.4 曲线在Frenet标架上的投影Frenet标架是用于描述欧几里得空间中的粒子在连续可微曲线上的运动, 它反映了曲线的切向、法向、副法方向之间的关系. 因此, 在获取曲面各点处的Frenet标架之后, 可将该曲线向Frenet标架的基本三平面作正投影, 得到3条平面曲线, 以此来描述原曲线某些特性. 据此, 本文中添加了该功能, 求得曲线上某点处基本三面形的平面方程, 然后将原曲线向这3个平面投影. 本文采用离散化的投影机理, 即将该曲线离散成坐标点, 将所有坐标点投影到平面上, 得到一系列相应的投影点, 最后将这一系列投影点光滑连接成曲线, 该曲线即为原曲线的正投影线. 离散化处理具有降维的优点, 能使问题简单化, 且能处理一些原本比较复杂的问题, 如本文中所提的曲线形式或方程未知及隐式曲线的曲率问题等. 图5为圆锥面测地线上9点分别向其基本三面形投影所得结果.本文提出了一种完整的适用于平面、空间任意曲线曲率问题的求解模型, 并利用离散方法进行降维来处理曲线信息不确定的问题，提出了图解方式解决图形问题, 避免求解复杂微分方程组的困境. 应用所建的算法, 对压力容器壁厚计算中涉及的曲面主曲率半径、轧辊机辊子疲劳强度计算涉及的曲面主曲率半径的求解都取得了直观、快速、准确的结果. 将曲线投影到Frenet标架上, 为直观地研究曲线特性提供了方法.今后的研究工作将在以下几方面开展: 带噪声的离散曲线或隐性复杂曲线的Frenet 标架求解; Frenet标架的机械工程领域的具体应用; 利用曲线曲率或Frenet进行给定条件的曲线、曲面设计等.[6] 闫焱. 空间曲线的主法向量方向的探讨[J]. 陕西师范大学继续教育学报, 2005, 22(3): 104-105.。
曲线上的Frenet标架
通过代入t＝0得：
在上述例子计算过程中可观察到向量r″（t）与向量β相等，又由于r″（t）的方向指向曲线凹入的一侧，从而β的方向也指向曲线凹入的一侧．
【相关文献】
［1］范荣辉，岳崇山.Frenet标架运动生成曲线与曲面间的保长变换的软件实现及思考［J］.唐山师范学院学报：自然科学版，2008，30（2）：26－29.
证明 由于曲线C是正则曲线，因此r′（t）≠0．又因为曲线没有停留点且是C2类的，从而r″（t）存在且r′（t）×r″（t）≠0成立，所以向量组是线性无关的向量组．由施密特正交化方法取′，再把ε1，ε2单位化，就可以表示出基本向量α，β，再利用向量积的性质可表示出γ．
接下来讨论三个基本向量的方向．由Frenet标架的定义以及向量积知识［8］可知三个基本向量中只要确定其中两个向量的方向剩下一个向量的方向可随之而定．文献［1］中定义切向量的方向与曲线的正向一致，因此本文中着重讨论了主法向量的方向．
命题2［6－7］（Gram－schmidt正交化方法） 设α1，α2，…，αr（r≤n）是欧式空间Rn中线性无关的向量组，则由如下方法：
所得的向量组是正交向量组．
本文将利用施密特正交化方法推导一般参数下曲线在一点处的Frenet标架中三个基本向量，并讨论基本向量α，β，γ的方向．
定理1 给定C2类正则曲线C，设P（t）是曲线C上任意一点，而曲线C的向量式参数方程为：r＝r（t），a＜t＜b，其中t为一般参数，则Frenet标架中三个基本向量分别为：
文献［2－4］又给出了关于一般参数下曲线的Frenet标架.如下：
命题1［2－4］给定C2类曲线C上一点P（t），设曲线C的向量式参数方程为r＝r（t），a＜t＜b，其中t为一般参数，则Frenet标架中三个基本向量分别为：
§3 曲线的曲率和 Frenet 标架
T(t) =
r′(t) |r′(t)|
= (−sin t , cos t , 0) ，
定理 2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条 曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 κ(s) 与 κ*(s) 总相等．
证明 已知两条曲线合同，即存在行列式为 1 的 3 阶正交矩阵 A∈SO(3) 和点 P 坐标 b = (b1 , b2 , b3) ∈ E3 ，使 (x, y, z) = b + (x*, y*, z*) A ， 即
T(s)
•s
C
•
T(s+Δs)
s+Δs
T(s) ΔT(s)
Δθ
T(s+Δs)
图 2-6
定理 1 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 的单位切向量场 T 从 T(s) 到 T(s+Δs) 的夹角为 Δθ(s, Δs)∈(−π, π) ，则
lim
Δs→0
|
Δθ Δs
|
=
|T
′(s)|
．
-1-
解： 当 T(s)×[r(s+Δs) − r(s)] ≠ 0 时为平面 Π1 的一个法向量，而
T(s)×[r(s+Δs) − r(s)]
=
T(s)×[(Δs)r′(s)
+
(Δs)2 2
r″(s) + o((Δs)2)R2(s, Δs)]
frenet算法 python代码
Frenet框架是用来描述曲线在三维空间中的运动轨迹的一种数学框架。
在机器人导航、路径规划等领域中，Frenet路径是描述曲线路径的一种方式，它包括曲线的曲率、速度和加速度等参数。
以下是一个简单的Python示例，展示了如何使用Frenet算法计算给定控制点的三次样条曲线（Cubic Spline）的Frenet参数。
这个例子使用的是`scipy.interpolate`库中的`UnivariateSpline`函数来生成三次样条曲线，并计算了对应的Frenet参数。
```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import UnivariateSplineimport matplotlib.pyplot as plt# 定义参数t = np.linspace(0, 1, 100) # 参数点x = np.cos(t) # x坐标控制点y = np.sin(t) # y坐标控制点# 创建三次样条曲线spline = UnivariateSpline(t, np.vstack([x, y]).T, k=3) # 计算曲率半径curvature = spline.derivative(1)curvature_radius = 1 / curvature# 计算切向和副切向tangent = curvature * curvature_radiusnormal = np.array([-curvature_radius, 0])# 计算Frenet路径path = np.vstack([tangent, normal]).T# 绘制曲线和Frenet路径t_eval = np.linspace(0, 1, 1000)x_eval = spline(t_eval)[:, 0]y_eval = spline(t_eval)[:, 1]plt.figure(figsize=(12, 6))plt.plot(x_eval, y_eval, label='Curve')plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], linewidth=2, label='Frenet Path')plt.title('Frenet Framework Example')plt.xlabel('X Coordinate')plt.ylabel('Y Coordinate')plt.legend()plt.axis('equal')plt.show()```请注意，这个代码示例是教育性质的，它展示了如何计算和绘制Frenet路径，但可能在实际应用中并不完整或适用于所有情况。
frenet坐标系 曲率约束
frenet坐标系曲率约束摘要：一、引言二、Frenet 坐标系的定义和性质1.Frenet 坐标系的定义2.Frenet 坐标系的性质三、曲率约束在Frenet 坐标系中的表示1.曲率的定义2.曲率约束的引入3.曲率约束在Frenet 坐标系中的表示四、曲率约束在实际问题中的应用1.机器人运动控制2.车辆自动驾驶3.飞行器飞行轨迹规划五、总结与展望正文：一、引言Frenet 坐标系是一种用于描述曲线运动的数学工具，广泛应用于机器人运动控制、车辆自动驾驶和飞行器飞行轨迹规划等领域。
在Frenet 坐标系中，可以方便地描述曲率和速度等运动状态，从而为运动控制和轨迹规划提供依据。
本文将详细介绍Frenet 坐标系的定义和性质，以及曲率约束在Frenet坐标系中的表示和应用。
二、Frenet 坐标系的定义和性质1.Frenet 坐标系的定义Frenet 坐标系是沿着曲线运动的物体的一种局部坐标系。
它由三个相互正交的向量组成，分别是切向量t、法向量n 和侧向量s。
其中，切向量t 始终指向曲线上该点的切线方向，法向量n 始终指向曲线上该点的法线方向，侧向量s 则始终垂直于切向量和法向量。
2.Frenet 坐标系的性质在Frenet 坐标系中，有以下几个重要的性质：(1) 切向量t、法向量n 和侧向量s 是相互正交的；(2) 切向量t、法向量n 和侧向量s 是沿曲线运动的物体在該点的局部坐标系；(3) 在Frenet 坐标系中，可以方便地描述曲率和速度等运动状态。
三、曲率约束在Frenet 坐标系中的表示1.曲率的定义曲率是描述曲线弯曲程度的一个物理量，通常用符号k 表示。
在Frenet 坐标系中，曲率k 可以表示为：k = (t_next × t_prev) / (s_next × s_prev)其中，t_next 和t_prev 分别表示下一时刻和上一时刻的切向量，s_next 和s_prev 分别表示下一时刻和上一时刻的侧向量。
2.3 曲线的曲率和Frenet标架
所以
|
rv(t
) rv(t s3
)
|
|
rv(t) | rv(t
rv(t ) |3
)
|
代入公式得 v
|
rv(t) rv(t)
rv(t) rv(t)
|
.
储亚伟
三、曲率与Frenet标架的计算
（三）、实例
例 3.1 求圆柱螺线 rv(t) (a cost, a sin t,bt), (a 0,t R) 的曲率和Frenet标架. 解： rv(t) (a sin t, a cost,b) ，rv(t) (a cost, a sin t, 0) ，| rv(t) | a2 b2 ,
次法线：v(u) rv(s) uv(s);
法平面：[uXuv rv(s)]v(s) 0;
从切面：[uXuv rv(s)]v(s) 0; 密切面：[uXuv rv(s)]v(s) 0.
v (s)
次
法
从
线
切 平
面
切线
v(s)
法平面
v(s)
rv(s)
密切平面
5
所以在（0,0,1）点处的曲率 5 ，Frenet标架为rv (0,0,1); v (0, 1,0);
v
1 (2,0, 1);
v 1 (1,0, 2).
5
5
储亚伟
三、曲率与Frenet标架的计算
解法2. 设曲线的弧长参数方程为 x x(s), y y(s), z z(s), s ( , ).
v(s)
v
(s),
(3.7)
它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量(副法向量).
空间曲线的frenet公式
空间曲线的Frenet公式引言空间中的曲线是数学中一种重要的研究对象，在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
研究空间曲线的性质及其描述方法对于理解曲线的运动规律以及生成三维模型等具有重要意义。
而Fr e ne t公式是描述空间曲线运动的基本工具之一。
Frene t公式的概念F r en et公式是一组方程，用于描述空间曲线上各点处的切线、法线和副法线的关系。
它由三个方程组成，分别是切线方程、法线方程和副法线方程。
切线方程切线方程描述了在曲线上某一点处的切线方向。
切线向量$T(s)$是空间曲线在该点处的切向量，其定义如下：$$T(s)=\fr ac{{d\b o ld sy mb ol{r}(s)}}{{ds}}$$其中，$\b ol ds ym bo l{r}(s)$是曲线的参数表示，$s$表示曲线上某一点的参数值。
法线方程法线方程描述了在曲线上某一点处的法线方向。
法线向量$N(s)$是空间曲线在该点处的法向量，其定义如下：$$N(s)=\fr ac{{dT(s)}}{{d s}}$$副法线方程副法线方程描述了在曲线上某一点处的副法线方向。
副法线向量$B(s)$是空间曲线在该点处的副法向量，其定义如下：$$B(s)=T(s)\ti mes N(s)$$其中，$\t im es$表示向量的叉积运算。
Frene t公式的解释通过Fr en et公式，我们可以得到曲线上任意一点处的切线、法线和副法线的方向。
这些方向向量互相垂直且长度为1，构成了空间曲线在该点处的一个正交基。
这种正交基的变换即描述了曲线在不同点处的弯曲情况。
F r en et公式的解释有助于我们理解曲线的运动规律。
例如，在物理学中，曲线可以表示质点的运动轨迹，那么切线方向就表示质点在该点处的速度方向，法线方向则表示质点在该点处的加速度方向。
副法线方向则没有明确的物理意义，但是在计算曲率和扭率等参数时起到了重要的作用。
Frene t公式的应用F r en et公式在计算机图形学中也有广泛的应用。
frenet坐标系下的换道轨迹
在高速路上换道时，我们都希望能够以稳定而安全的方式完成这个操作，同时尽可能减少对其他车辆的干扰和影响。
为了达到这个目的，我们需要对换道过程中的轨迹进行合理规划和选择。
在这篇文章中，我将以深度和广度的视角，探讨frenet坐标系下的换道轨迹，帮助你更好地理解这一复杂的驾驶过程。
1. 什么是frenet坐标系？在探讨frenet坐标系下的换道轨迹之前，首先我们需要了解什么是frenet坐标系。
Frenet坐标系是一种常用于描述曲线轨迹的数学工具，它由曲率（k）和横向偏移（l）两个参数组成。
曲率描述了车辆行驶路径的弯曲程度，而横向偏移则描述了车辆相对于参考路径的位置。
通过frenet坐标系，我们可以更准确地描述车辆行驶的轨迹，从而实现更精准的规划和控制。
2. 换道轨迹规划的重要性在实际驾驶中，换道是一项常见但也很复杂的操作。
一旦换道轨迹规划不合理或执行不当，就会给道路交通安全带来隐患。
换道轨迹规划的重要性不言而喻。
在进行换道操作时，我们需要选择合适的轨迹，使得车辆能够平稳地从一条车道移动到另一条车道，同时最大限度地减少对其他车辆的干扰。
3. fernet坐标系下的换道轨迹规划在frenet坐标系下，换道轨迹规划可以通过以下步骤来实现：步骤一：识别当前交通状态和条件。
在进行换道轨迹规划时，我们需要充分考虑当前所处的交通环境，包括车流密度、车速、道路情况等因素。
这些因素将直接影响我们选择的换道轨迹。
步骤二：选择合适的换道点。
在确定了需要进行换道操作后，我们需要选择合适的换道点。
换道点的选择应该考虑到车流情况和交通信号灯的设置，以确保车辆能够安全、合理地完成换道操作。
步骤三：规划合理的换道轨迹。
在frenet坐标系下，我们可以根据当前车辆位置和目标车道的状态，通过合适的路径规划算法来确定最佳的换道轨迹。
这个过程需要考虑到曲率和横向偏移等因素，以确保车辆能够平稳、安全地到达目标车道。
步骤四：执行换道轨迹。
一旦确定了合理的换道轨迹，就需要通过车辆控制系统来执行这个轨迹。
frenetserret公式
frenetserret公式Frenet-Serret公式是描述曲线在三维空间中运动的一种数学工具。
它由法国数学家Jean Frenet和法国物理学家Joseph Serret在19世纪中叶独立发现，并分别于1851年和1852年发表。
Frenet-Serret公式通过计算曲线上一点处的切向量、法向量和副法向量的变化率，揭示了曲线的几何性质和运动规律。
在三维空间中，曲线可以被参数化表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t是曲线上的参数，可以是时间或其他参数。
Frenet-Serret 公式描述了曲线上任意一点处的切向量T(t)、法向量N(t)和副法向量B(t)的变化率。
这三个向量是互相垂直的单位向量，分别表示曲线在该点处的切线方向、向外的法线方向和副法线方向。
具体而言，Frenet-Serret公式可以表示为以下三个方程：dT/dt = κNdN/dt = -κT + τBdB/dt = -τN其中，κ是曲线的曲率，表示曲线在该点处的弯曲程度；τ是曲线的挠率，表示曲线在该点处的扭转程度。
这些参数都是随着参数t 的变化而变化的。
曲率和挠率是描述曲线几何性质的重要指标，它们决定了曲线的形状和变化。
根据Frenet-Serret公式，我们可以得到曲线上任意一点处的切向量、法向量和副法向量的变化规律。
通过积分这些方程，我们可以还原出整条曲线的形状和运动轨迹。
这对于研究曲线的性质、计算曲线的长度和曲率、以及模拟曲线的运动等方面都具有重要意义。
Frenet-Serret公式的应用广泛。
在计算机图形学中，它可以用于描述和生成曲线和曲面。
在计算机动画和游戏开发中，它可以用于模拟物体的运动轨迹和变形效果。
在物理学和工程学中，它可以用于描述和分析物体的运动和变形。
此外，Frenet-Serret公式还在微分几何、微分方程和偏微分方程等数学领域有广泛的应用。
Frenet-Serret公式是描述曲线在三维空间中运动的一种重要数学工具。
第二章 曲线论-Frenet标架(2)
0.
2
“ ”设 0 . 由(4.1)得 0 . 所以 ( s) c 0 是常向量. 由
d ( r ( s)c ) r ( s )c ( s ) ( s) 0 ds
可知 r ( s)c 是一个常数，即 r ( s)c r ( s0 )c ，其中 s0 [0, L] 是固定的. 于是 曲线 C 上的点满足平面方程 [r ( s) r ( s0 )]c 0 ，其中 r ( s0 ) 是平面上一个定 点的位置向量， c 是平面的法向量. □
3 r ( t ) r ( t ) s (t ) ( s(t )) ( s(t )) ，从而 于是
d ( s(t )) ( s(t )) dt
r (t ), r(t ), r(t ) r (t ) r (t ) r (t ) s3 (t ) ( s(t )) ( s(t )) r (t )
，
(4.1)
从而 | || | ，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 定理 4.1 设曲线 C 不是直线，则 C 是平面曲线的充分必要条件是它的 挠率 0 .
1
证明. 设曲线 C 的弧长参数方程为 r r ( s) ， s [0, L] . 因为 C 不是 直线， 0 (见定理 3.2 )，存在 Frenet 标架 r ; , , . “ ” 设 C 是平面曲线，在平面 : ( X a )n 0 上，其中 a 是平面上 一个定点的位置向量， n 是平面的法向量， a 和 n 均为常向量. 则有
ds | r (t ) | ，利用 dt
(4.18)
Frenet 公式，有
曲线的基本三棱形(Frenet标架)
= 0, = 0,
∂F ∂F ∂G ∂G ∂G 若记 ∇F = { ∂F ∂x , ∂y , ∂z } , ∇G = { ∂x , ∂y , ∂z } , 则上面两式化为
∇F · r (t) = 0, ∇G · r (t) = 0, 于是 r (t) (∇F × ∇G),
=⇒ ∇F ⊥ r (t), =⇒ ∇G ⊥ r (t),
F (x(t), y (t), z (t)) = 0, G(x(t), y (t), z (t)) = 0,
12
于是
Байду номын сангаас
dF = dt dG =
dt
∂F dx ∂x dt ∂G dx ∂x dt
+ +
∂F dy ∂y dt ∂G dy ∂y dt
+ +
∂F dz ∂z dt ∂G dz ∂z dt
当点沿曲线运动时, Frenet 标架作为一个刚体在曲线上运动, 但构成 Frenet 标架的三条直 线和三个平面的相对位置不会发生变化. 1.2.2 曲线的基本向量 设 C : r = r (t) 是正则曲线, 且不含逗留点. P 是 C 上一任意点, 分别取 C 在 P 点处的 切线向量( r )、主法线向量( (r × r ) × r )、副法线向量( r × r )的单位向量, 依次记为 α 、 β 、 γ , 这三个向量 α 、 β 、 γ 称为曲线在 P 点处的 基本向量. 它们是两两互相正交 的单位向量, 且按 α 、 β 、 γ 的顺序构成右手标架. 显然基本向量完全决定了曲线的基本 三棱形. 根据定义, 我们不难知道 α= r , |r | r ×r , |r × r | (方向与曲线的正向一致) (指向曲线的凹侧, 以后解释原因), (按 α, β , γ 顺序成右手标架)
三维frenet坐标系
三维frenet坐标系三维Frenet坐标系是一种常用于描述给定曲线在三维空间中的运动状态和变化的坐标系。
该坐标系以一条曲线为基准，通过描述该曲线上各点的位置、切向、法向和副法向来刻画曲线的运动特征。
在这篇文章中，我们将逐步介绍和解释三维Frenet坐标系的相关概念和应用。
首先，我们需要明确什么是曲线的切线。
在数学中，曲线的切线在某一点上与曲线的切线相切，且与曲线几乎重合。
在三维空间中，曲线的切线可以通过两种方法确定：一种是通过计算曲线的导数（即曲线的速度向量），另一种是使用空间曲线的参数方程。
在此基础上，我们可以定义切向量T。
接下来，我们介绍曲线的法向。
法向量是一个与切向量正交的向量，它垂直于曲线的切线方向。
在三维空间中，法向量可以通过计算二阶导数（即曲线的加速度向量）来确定。
我们将其表示为向量N。
最后，我们需要讨论曲线的副法向。
副法向量与切向量和法向量构成一个右手坐标系，它垂直于切线和法线所确定的平面。
在三维空间中，副法向量可以通过计算切向量和法向量的叉积来确定。
我们将其表示为向量B。
通过这三个向量，我们可以构建一个三维Frenet坐标系。
以曲线上的某一点P为原点，T向量为X轴方向，N向量为Y轴方向，B 向量为Z轴方向，我们就可以确定该点及其附近区域内的任意点在Frenet坐标系下的位置。
三维Frenet坐标系可以帮助我们理解和描述曲线上各点的运动状态和变化。
通过分析T、N和B的变化趋势，我们可以得知曲线的弯曲方向、曲率大小以及切线、法向量和副法向量之间的关系。
这对于研究和描述曲线运动、物体运动、机器人导航以及车辆轨迹规划等领域都具有很大的意义。
在实际应用中，三维Frenet坐标系常用于路径规划和运动控制。
通过将曲线的运动状态转化为Frenet坐标系下的状态，我们可以更方便地进行路径规划和运动规划。
对于机器人导航，我们可以根据机器人的位置和姿态来计算其在曲线上的位置和姿态，从而更精确地控制机器人的运动轨迹。
空间曲线的frenet公式在曲线论中的重要作用
空间曲线的frenet公式在曲线论中的重要作用Frenet公式在曲线论中有重要的作用，它允许我们根据任意曲线的切线和法线的构造出另一条曲线。
它可以用来在一定精度内估计曲线的几何特征，从而提高数值算法的精度。
也可以用来构造曲线上的曲率和曲线长度。
因此，Frenet公式可以用来解决空间曲线研究中的很多数学问题。
此外，Frenet公式还可以用来解决从空间至大地坐标系的转换问题，例如将地理坐标转换为大地坐标。
此外，Frenet公式可以用来求解相关的双曲线，样条曲线，弧线，矢量场的曲线等。
另外，Frenet公式还可以用来解决中位线的问题，从而有助于改善基础设施的设计。
总之，Frenet公式可以用来解决复杂的空间曲线的设计，计算和控制问题，可以说它是高精度的数学工具。
此外，Frenet公式还可以用来建立曲线上相互关联的两个点之间的距离，也可以用来计算曲线上任意两点之间的距离，以及一个曲线上的所有点之间的距离，即全局距离。
此外，Frenet公式还可以用来计算曲线的凸性以及曲线上的凸点，并可以分段地把曲线分割成若干段，从而对曲线进行更精确的分析。
最重要的是，Frenet公式可以帮助我们找到曲线上最优路径，这对求解机器运动轨迹，机器人运动路径，机器人避障等问题有着不可替代的作用，因此它也被称为机器人的“环境感知”的基石。
另外，Frenet公式还可以用来分析多维曲线的特征，可以帮助我们更好地理解曲线的特征以及曲线之间的关系。
同样，它还可以帮助我们计算变换，这在几何建模中非常有用。
此外，Frenet公式还可以用来求解非线性微分方程，甚至可以用来分析椭圆力学问题。
因此，Frenet公式可以说是一种多面体，可以极大程度地提高空间曲线研究的速度，并有助于解决许多复杂的空间数学问题。
frenet坐标系 曲率约束
Frenet坐标系和曲率约束1. 引言Frenet坐标系是一种常用的描述曲线运动的坐标系，它基于曲线的几何特性，提供了一种便捷的方式来描述曲线上的点的位置和方向。
在Frenet坐标系中，曲线的位置由曲率和曲线长度来定义，而方向则由曲线的切线和法线来确定。
曲率约束是对曲线运动的一种限制，它要求曲线在某些条件下具有一定的曲率范围。
2. Frenet坐标系Frenet坐标系是由意大利数学家费尔南多·弗雷内特（Fernando Frenet）于1852年提出的一种描述曲线运动的坐标系。
在Frenet坐标系中，曲线上的任意一点P的位置可以由两个参数来确定：曲线的长度s和曲率k。
曲线的长度s是从曲线起点到点P的弧长，曲率k则表示曲线在点P处的曲率值。
Frenet坐标系中的两个基向量分别是切向量T和法向量N。
切向量T指向曲线的切线方向，其模长为单位切线速度。
法向量N垂直于切线方向，其模长为曲率。
这两个基向量与曲线上的点P的位置和方向相关联。
3. 曲率约束曲率约束是对曲线运动的一种限制，它要求曲线在某些条件下具有一定的曲率范围。
曲率约束可以用于控制曲线的弯曲程度，以及避免曲线出现过于陡峭或过于平坦的情况。
在Frenet坐标系中，曲率约束可以通过对曲率k的限制来实现。
例如，可以要求曲线的曲率在某个范围内保持不变，或者要求曲线的曲率在不同的区间内具有不同的取值。
曲率约束可以用于路径规划、轨迹生成等领域，以实现对曲线运动的精确控制。
4. Frenet坐标系和曲率约束的应用Frenet坐标系和曲率约束在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1 轨迹规划在机器人运动控制中，轨迹规划是一个重要的问题。
Frenet坐标系和曲率约束可以用于生成平滑的轨迹，以实现机器人的精确运动控制。
通过对曲率的约束，可以使机器人在运动过程中避免过于陡峭或过于平坦的路径，从而提高运动的稳定性和安全性。
4.2 道路设计在道路设计中，Frenet坐标系和曲率约束可以用于生成符合交通规则和人类驾驶习惯的道路。
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为曲面的平均曲率。 定义 9
H 0 ，则称之为极小曲面。
在前面的 2 中，构造了一个单参数曲面族
Frenet 标架
20 18 16 14
打开 GUI 设计板，创建按钮，然后将 Callback 的属性值设 置为上面这个程序的文件名，比如：frenet，即可自动生成 新的 M 文件和 Figure 文件。 2 保长变换的 Maple 实现 定义 3
[1]
如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立
的对应是一一的，双方连续的在上映射，则把三维欧氏空间 中的象称为简单曲面。 定义 4 给出曲面 S ： 则称 I= Edu
{ P ; , , } 称为空间曲线 C 在点 P 处的 Frenet 标架。
定理 1 （空间曲线的基本定理） 如果 ( s ) 0 ， (s) 是定义在区间 [ s0 , s1 ] 上的两个连续实函数，则除了空间位 置差别外，唯一存在一空间曲线，以 s 为弧长，以 ( s ) 为 曲率， ( s ) 为挠率。 由上面的定义 1 和定义 2 容易知道， 已知空间曲线的参 数方程可以方便的求出空间曲线上任意一点的 Frenet 标架； 反过来，由定理 1 容易知道，如果已知 Frenet 标架的运动方 程，则除了空间位置差别外，存在唯一的空间曲线以此方程 的解为 Frenet 标架。但是，通过解微分方程寻找空间曲线的 过程中计算极其繁琐。为此，我们换个角度，在已知曲线的 参数方程的条件下，计算出曲线在给定序列中的每一点的 Frenet 标架，使用数学软件 Matlab 的动画函数 movie()，来
数，并且函数行列式
(u1 , v1 ) 0 (u , v)
则 S 与 S1 之间的一一对应关系称为 S 到 S1 的变换。 定义 6
[1]
曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任 两个曲面之间的一个变换是一个等距变换的
意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换） 。 定理 2 本形式。 定义 7
r (u , v ) { x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )}, (u , v ) G ，
2 2 Fdudv Gdv 2 为曲面 S 的第一基本 形式，其中 E ru ru , F ru rv , G rv rv 称为曲面 S 的
0 0 0.5 1
Y
所以正螺面的第一基本形式为 I= du 2 (u 2 1)dv 2 设悬链面的参数方程是：
-1
-1.5
-1
-0.5
X
图1
Frenet 标架生成圆柱螺线动画截图
另外，为了让演示得到控制，可以添加开始按钮。只须
, v ) {cosh u cos v , cosh u sin v , u } r (u cos v ,sinh u sin v ,1 ru sinh u
第一基本量。 定义 5
[1]
给出两个曲面
S : r r (u, v) S1 : r1 r1 (u1 , v1 )
如其对应点的参数之间存在一一对应关系：
u1 u1 (u, v) ， v1 v1 (u , v) 。 函数 u1 u1 (u , v), v1 v1 (u , v ) 连续，有连续的偏导
────────── 收稿日期：2007-10-3 作者简介：范荣辉（1983-） ，男，河北张家口人，河北北方学院数学系。 - 26 -
范荣辉，等：Frenet 标架运动生成曲线与曲面间的保长变换的数学软件实现及思考
模拟 Frenet 标架运动生成空间曲线的过程。 下面以圆柱螺线为例，利用 Matlab 编写 Frenet 标架运 动生成曲线的程序。编程的主要思想是逐帧动画，取出曲线 上的一列离散点，画出每一点处的 Frenet 标架，然后用直线 将这些点顺次连接起来。其中，每连接一个点，便将画面保 存一次，最后将所有保存的画面逐一回放。 首先，取出 t 从 1 到 15 间隔为 0.1 的一列点，根据圆柱 螺线的参数方程 cos(t ),sin(t ), t 求出每一点处的切向量， 主法向量和副法向量， 用 for 循环来实现每幅画面比前一幅 多连一个点。其中，产生每幅画面的主要程序如下： quiver3(1,1,1,1,1,1,'w'); hold on; title('Frenet 标架') xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z'); axis([-1.5 1 -1 2 0 20]); plot3(x,y,z,'k'); quiver3([x(i)],[y(i)],[z(i)],[alpha(i,1)],[alpha(i,2)],[alpha(i, 3)],0.1,'r'); quiver3([x(i)],[y(i)],[z(i)],[beta(i,1)],[beta(i,2)],[beta(i,3)], 0.1,'g'); quiver3([x(i)],[y(i)],[z(i)],[gamma(i,1)],[gamma(i,2)],[gam ma(i,3)],0.1); view(-13,24); j=j+1; n(:,j)=getframe; hold off; 第一句起到刷新画面的作用。然后打开重画开关，使得 在语句 hold on 和 hold off 之间所画的图像被保存在同一页 中。函数 plot3()和 quiver3()用来画曲线和箭头，getframe 是 将画面保存到用 moviein()创建的帧矩阵中。 最后，用函数 movie()回放便可生成动画，结果如图 1。
- 27 -
第 30 卷第 2 期
唐山师范学院学报
2008 年 3 月
sin v , cosh u cos v , 0 rv cosh u 2 则 E ru ru sinh u 1 cosh 2 u ， F ru rv 0 ， ，所以悬链面的第一基本形式为 G rv rv cosh 2 u
I= cosh 2 u (du 2 dv 2 ) 。令
在编写保长变换的动画时， 由于单参数曲面族的构造而 引发了一些思考，为了说清楚问题，下面先介绍一下有关曲 面的第二基本形式，平均曲率和极小曲面的概念。 定义 8 设曲面的第一，第二基本量分别为：E，F，G， L，M，N，则称
u sinh u v v
r (t ) ， (a<t<b) ，如果向量 k 函数 r r (t ) 具有直到 k 阶的连续微商，则把曲线称为 C 1 类曲线。当 t 1 时， C 类曲线又称为光滑曲线。 2 设曲 定义 2 给出 C 类空间曲线 C和C上的一点P ， 线 (C ) 的一般参数表示是
r r ， r r (t ) ， r , r r r
H
Байду номын сангаас
1 cosh 2 u ，du cosh udu 则 u 2 1 sinh 2 ，u ， ，代入悬链面的第一基本形式得 dv dv
du 2 dv 2 du 2 (u 2 1)dv 2 。 I= u 2 1 2 cosh u
这说明经过适当的参数选择， 它们具有相同的第一基本 形式，根据定理 2 ，这两个曲面之间存在保长变换，证毕。 下面我们来寻找这个保长变换， 这就需要构造合适的单 参数曲面族。 设悬链面的参数方程为： 正螺面的参数方程为：
[1]
LG 2 MF NE 2( EG F 2 )
一个曲面 S ，如果它每一点处的平均曲率
Frenet Frame into Curve and Isometric Transformation with Software and Further Thinking
FAN Rong-hui, YUE Chong-shan
(Department of Mathematics, Hebei North University, Hebei Zhangjiakou 075000, China) Abstract: The paper dealed with two problems using the mathematics software of Matlab and Mapl. The two problems are how to demonstrate the formation of curve relying on the Frenet frame movement (example for the cylindrical spiral) and how to demonstrate the isometric transformation of two surfaces(example for the catenoid vary the right helicoid). Key words: Frenet frame; isometric transformation; animation; minimal surface 微分几何中曲线论基本定理的证明是关于 Frenet 运动 方程求解的过程。 这个过程可以理解为 Frenet 标架生成曲线 的过程。 本文要解决的第一个问题是如何用软件实现曲线的 生成问题， 第二个问题则是如何用软件实现曲面间的保长变 换。另外，第二个问题的解决过程引发的思考也很有意义。 1 Frenet 标架运动生成曲线的 Matlab 实现 定义 1 设曲线为 C : r 分别称为曲线 C 上 P 点处的单位切向量、副法向量、主法向量，
[1]
充要条件是经过适当选择参数之后， 它们具有相同的第一基