立体几何1 单元测试

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新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在正方形中，点,E F 分别是线段,AD BC 上的动点，且,AE BF AC =与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，则下列选项中错误的是（）A ．AGC ∠的角度不会发生变化B ．AC 与EF 所成的角先变小后变大 C ．AC 与平面ABFG 所成的角变小D ．二面角G AC B --先变大后变小2．如图所示，在正四面体A -BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )A ．32B ．23C ．12D ．333．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（）A ．3010B ．15-C ．7010D ．154．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（）A 42B 3C 7D 6 6．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（） A ．60B ．120C ．30D ．907．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．28．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++ B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．121336a b c --9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为63：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（） A ．4B ．3C ．2D ．110．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（） A ．105B ．125C ．145D ．16511．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（） A 6 B ．6±C 6D ．6±12．设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（）A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）B ．u υ⋅的最大值为2C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l13．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题14．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．15．已知空间向量(0,1,1),(1,0,1)a b ==，则向量a 与b 的夹角为_____________. 16．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．17．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．18．正四面体ABCD 的棱长为22的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．19．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为2，则1AC 与1B C 所成的角为___________.20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．21．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.22．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.23．设向量()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，若4cos ,9a b =，则实数λ的值为________. 24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.25．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.26．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，利用空间向量的数量积可判断A ，B ；求出平面ABFG 的一个法向量，设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C ；求出平面AGC 的法向量以及平面AGC 的法向量，利用空间向量数量积即可求解. 【详解】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，(),0,0A a ，()0,1,1C a -，()0,,0G a ，()0,1,0F ，(),1,0B a ，对于A ，(),,0AG a a =-，()0,1,1GC a a =--，()11cos 2221AG GC a a AGC a a AG GC⋅-∠===⋅-，故AGC ∠的角度不会发生变化，所以A 正确；对于B ，设AC 与EF 所成的角为θ，(),1,1AC a a =--，()0,1,0EF =， ()222cos 222111AC EF AC EFa a a a θ⋅===-+++-⨯，2222a a -+对称轴为12，且()0,1a ∈，所以2222a a -+先减小后增加，所以cos θ先增加再减小，即AC 与EF 所成的角先变小后变大，故B 正确；对于C ，平面ABFG 的一个法向量为()0,0,1m =，设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，sin cos ,ACm AC m ACma θ⋅======， ()0,1a ∈，则1a a+单调递减，sin θ单调递减，所以AC 与平面ABFG 所成的角变小，故C 正确；对于D ，设平面AGC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AG n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()11111010ax ay ax y a z -+=⎧⎨-++-=⎩，令11x =，11y =，11z =-，不妨设1,1,1n，设平面ACB 的一个法向量为()222,,p x y z =，则00p AB P CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，()222010y ax a z =⎧⎨+-=⎩，令2z a =，21x a =-，即()1,0,p a a =-，cos,3n pn p n p⋅==== 2221a a -+对称轴为12，在()0,1先减小后增大，()0,1先减小后增大，二面角G AC B --为钝角，cos ,n p ∴=-先增大后减小，故二面角G AC B --先减小后增大，故D 错误. 故选：D 【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.2．B解析：B 【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A 在下底面的投影，进一步求出E 在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果. 【详解】在正四面体A BCD -中，设棱长为a ，E 为棱AD 的中点，如下图所示过A 做AO ⊥平面BCD ，则O 为平面BCD 的中心，延长DO 交BC 于G ，过E 做EF GD ⊥，连接FC ，所以ECF ∠就是所求的CE 与平面BCD 的夹角．所以222GD CD CG =-，求得3GD a =，所以33DO a =，利用222AO AD OD =-，解得63AO a =，所以6EF a =，3CE a =，在Rt EFC 中，2sin EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．3．A解析：A 【分析】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MNθ=⋅⋅即可求解.【详解】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ，所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =，设1B P 与MN 所成的角为θ，所以1122130cos 1056B P MN B P MNθ=⋅-⨯+==⨯⋅， 1B P 与MN 所成角的余弦值为3010，故选：A 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.4．A解析：A 【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可．【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,0,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ．【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．5．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB 和平面PCD 的法向量，再由向量的数量积即可求得PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【详解】依题意，以A 为坐标原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，2,3,2AB BC AD PA ====,则()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0P B C D ,从而()()()2,0,2,2,2,2,0,3,2PB PC PD =-=-=-设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2220320a b c b c +-=⎧⎨-=⎩，不妨取3c =c=3,则1,2a b ==,所以平面PCD 的一个法向量为()1,2,3n =，所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值sin cos ,PB n θ===，故选C.【点睛】本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 6．B 解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解.【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅ 2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-= 设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a b θθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅， ∴120θ=.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.7．B解析：B【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC =++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解. 【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=，所以11BD BA BB BC =++，所以()()2211BD BA BB BC =++， 222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =，故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．D解析：D【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案.【详解】连接1C M113AN AC = 可得:1123C N C A = ()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++ ∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =-- ∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭ 121336a b c --= ∴121336a b N c M =-- 故选: D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题. 9．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =， 1cos 22AD BCAD BC AD BC ⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确： ()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确：设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则6sin cos ,332BC t BC t BC t θ⋅====⋅⋅，故③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m nm n m n⋅<>==⋅， ∴6sin ,3m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．C解析：C【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果.【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++，因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.11．C解析：C【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=．故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．12．B解析：B【分析】在A 中，取z 轴的正方向向量(0,0,t)t =，求出n 与t 的夹角即可判断命题正确；在B 中，计算u v ac bd ⋅=+，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C 中，利用数量积求出u 与v 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D 中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．【详解】解：由向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，其中22221a b c d +=+=，知：在A 中，设z 轴正方向的方向向量(0,0,),0z t t =>，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值：2cos 452||||z v a z v t c α︒⋅===∴=⋅⋅， ∴向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°（与c ，d 之值无关），故A 正确；在B 中，222222221222a cb d a bcd u v ac bd +++++⋅=+≤+==，且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u v ⋅的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得：||1,11u v u v ⋅≤∴-≤⋅≤，2cos ,||||2u v u v u v a ⋅∴<>==≥=-⋅+， ∴u 与v 的夹角的最大值为34π，故C 正确；在D 中，222222221222a dbc a b cd ad bc +++++-≤+==， ∴ad −bc 的最大值为1．故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．13．D解析：D【分析】根据平面向量运算法则可知2i iAB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果. 【详解】 ()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i AB APAB ∴⋅== 则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个故选：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想. 二、填空题14．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考解析：【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ，所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅ 2221648268682=++-⨯⨯⨯=，所以AB =,故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题. 15．【分析】根据两向量的夹角余弦公式即可求出两向量的夹角【详解】解：10向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题是基础题目解析：3π【分析】根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角．【详解】解：(0a =，1，1)，(1b =，0，1)， ∴·1a b =，||2a =，||2b =，cos a ∴<，12||||22a b b a b >===⨯⨯，向量a 与b 的夹角为3π．故答案为：3π. 【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．16．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离解析：125【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面11A D C 的距离．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，1(3,0,4)A ，1(0,0,4)D ，(0,3,0)C ，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-，设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =， ∴点D 到平面11A D C 的距离： 112||5D D nd n ⋅==．故答案为125．【点睛】空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.17．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度.详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥，所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-，所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.18．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：解析：4-【解析】很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且： ()()()2420,AM AN AD DM AD DN AD AD DM DN DM DNAD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+ 当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅取得最小值：4224-⨯=-19．【分析】作出图形分别取的中点连接以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得异面直线与所成的角【详解】分别取的中点连接如下图所示：在正三棱柱中平面且分别为的中点且所以四边形为解析：3π 【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1AC 与1B C 所成的角.【详解】分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11//AC A C 且11AC A C =， O 、E 分别为AC 、11A C 的中点，1//AO A E ∴且1AO A E =，所以，四边形1AOEA 为平行四边形，1//OE AA ∴，则OE ⊥平面ABC ， ABC 为等边三角形，O 为AC 的中点，则OB AC ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()0,1,0C 、13,0,22B 、(10,1,22C ， (10,2,22AC =，(13,1,22B C =--， 1111111cos ,22323AC B CAC B C AC B C ⋅<>===-⨯⋅，因此，1AC 与1B C 所成的角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.20．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平解析：23【解析】分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n =(,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量，∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m nm n π⋅=⋅，即 222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）∴23AE =-故答案为23-点睛：空间向量法求二面角（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．21．【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点以DC 所在直线为y 轴以DA 所在直线为x 轴以为z 轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥，求得22z y =-，得到BP =而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-，所以BP ===因为02y ≤≤，所以当65y =时，min BP =.因为BC ⊥BP ,所以min 1()22PBC S ∆=⨯=. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若向量是平面的法向量则若则则向量所在直线平行于平面或在平面内即充分性不成立若向量所在直线平行于平面或在平面内则向量是平面的法向量解析：必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．23．或【分析】由公式结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数的方程解出该方程可得出实数的值【详解】则解得或故答案为或【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列解析：2或1227-. 【分析】由公式4cos ,9a ba b a b ⋅==⋅结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，246a b λλ⋅=+-=-，25a λ=+，3b =， 24cos ,9a ba b a b λ⋅===+⋅，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227-. 故答案为2或1227-. 【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了解析：2【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A ，所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=，所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n nD =⋅=+-++=++△()2222221114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2n =322m =时，等号成立，所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1322AA =. 故答案为：322. 【点睛】本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.25．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ．【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+ a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭，解得：4x =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力． 26．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过解析：1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.。

高一数学立体几何初步章节测试题

高一数学立体几何初步章节测试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知b a ,是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则α⊥β；②,,γβγα⊥⊥则α//β；③αβα⊥⊥,b ，则β//b ；④b a ==γβγαβα ,,//，则β//a ，其中正确的命题序号是（）A 、①④B 、①③C 、①②④D 、③④2、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体的对角线的长为（）A 、32B 、23C 、6D 、63、相交成60°角的两条直线与平面α所成的角是45°，则这两条直线在平面α内射影的夹角是（）A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°4、已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则b a ,的关系是（）A 、a b )12(-=B 、a b )12(+=C 、a b 222-=D 、a b 222+= 5、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（） A 、π28 B 、8π C 、π24 D 、4π6、设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、V 61B 、V 41C 、V 31D 、V 217、如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD ⊥底面ABCD ，SB=3，则平面ASD 与平面BSC 所成的二面角大小为（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8、下列图形中，不是三棱柱的展开图的是（）ABCDSA B C D9、如图所示的直观图，其平面图形的面积为） A 、3 B 、C 、6D 、 10、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为图中的（）A B C D 11、四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的（） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心12、△ABC 的边AB=5，BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把△ABC 旋转一周，所得旋转体的体积为V AB ，V BC ，V AC ，则它们的大小关系是（）A 、V AB > V AC > V BC B 、V AB > V BC > V AC C 、V AB > V BC > V ACD 、V BC > V AC > V AB 二、填空（每小题5分，共20分）13、已知正四棱锥P —ABCD 的五个顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则此球的表面积为。

高一数学立体几何单元测试及答案

立体几何综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题，其中是真命题的为()(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)A[(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．综上：(1)(2)为真命题．]2．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确．因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A．4 B．5C．6 D．7C[如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.]4．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[对于A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，lβ，故错误．故选B.] 5．如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对D[∵DA⊥AB，DA⊥P A，∴DA⊥平面P AB.同理BC⊥平面P AB，又AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD，∴平面P AD⊥平面AC，平面P AB⊥平面AC，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面P AD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．]6．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.]7．下列命题中正确的是()A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C[将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.] 8．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体D[根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．]9．设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2B[由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝4a2＋a2＋a2，解得R＝62a，所求球的表面积S＝4πR2＝6πa2.]10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa2B[由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a2＋⎝⎛⎭⎪⎫12a2＝7 12a 2，故S球＝4πR2＝73πa2.]11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310C[如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝132.]12．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥α，m α，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，m α，则l ⊥αC ．若l ∥m ，m α，则l ∥αD ．若l ∥α，m α，则l ∥m A [对于A ，若l ⊥α，m α，则根据直线与平面垂直的性质，知l ⊥m ，故A 正确；对于B ，若l ⊥m ，m α，则l 可能在α内，故B 不正确；对于C ，若l ∥m ，m α，则l ∥α或l α，故C 不正确；对于D ，若l ∥α，m α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故D 不正确．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为__________cm 3. 363 [设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ·6＝72，所以x ＝2 cm ，于是其体积V ＝34×22×6×6＝36 3 cm 3.]14．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________． 180° [S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l . 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.]15．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C1MN等于________．90°[∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN.又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN.而B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1.又MC1平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.]16．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．63 [设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63.]B三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连结A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′BC ′D 的体积．[解] (1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面是互相全等的正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′ABD ，C ′BCD ，D A ′D ′C ′， B A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC 平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .因为AD 平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC 平面ABC ，所以AD ⊥AC .19.(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．[解](1)证明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.20．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．[解](1)证明：连结OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥P A.∵OE平面BDE，P A平面BDE，∴P A∥平面BDE. (2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面P AC.又∵BD平面BDE，∴平面P AC⊥平面BDE.(3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥BD .∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ，∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.21.(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC 的值．[解] (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高．又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM . 由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.22．(本小题满分12分)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1) (2)(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．这样的设问该怎么回答？[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，BC平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∵BE平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(A1B的中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。

立体几何单元检测

立体几何单元检测（一）一、填空题：1.下列命题正确的是 .①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行.②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行. ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.【答案】③2.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a的棱异面，则a 的取值范围是 .【答案】【解析】因为22211)22(12=-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.【答案】2π4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】π33 5.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的N A 1体积为 cm 3．【答案】6。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中BD ，BD （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯。

三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．课标理数12.G1[2011·福建卷] 【答案】 3l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面大纲理数3.G3[2011·四川卷] B 【解析】对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.图1－3课标文数15.G4[2011·福建卷] 如图1－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．课标文数15.G4[2011·福建卷] 2 【解析】 ∵ EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.二、解答题：【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若PH=1，AD=2，求二面角B -PC -A 的正切值；【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

立体几何单元测试及答案

立体几何单元测试·练习题一、选择题(本题满分60分，每小题4分)(1)空间四边形各边中点为顶点的四边形是菱形，则空间四边形的两条对角线 [ ] A．互相垂直且可能长相等B．长相等但不垂直C．长相等且可能互相垂直D．必垂直但长不相等(2)A为直二面角α-l-β的棱l上的一点，两条长度都为a的线段AB，AC分别在α，β内，且都与l成45°角，则BC的长为[ ]A．a(3)四面体ABCD的棱长均为1，M，N分别在一组相对的棱AB和CD上，则线段MN的最小值是 [ ](4)若P为正方体ABCD-A1B1C1D1中棱A1B1的中点，则截面PC1D与面AA1B1B所成二面角的正切值为 [ ](5)平面α内有一个半径为a的圆O，OP⊥α且OP=a，PA是α的一条斜线，PA=2a(A∈α)，B为圆O上的任一点，则PA在α内的射影与AB所成的角中最大角的正弦值为 [ ](6)已知三棱台A1B1C1—ABC中，V B—A1B1C1=4，V C1—ABC=16，则V A1B1C1—ABC等于 [ ] A．28B．29C．30D．无法确定(7)半球内有一内接正方体，则这个半球面的面积与正方体表面积的比为 [ ]D．以上答案均不对(8)△ABC中BC长一定，A点在平行于BC的直线l上移动，若△ABC以直线l为轴旋转一周得一旋转体，则无论A点在直线l上的位置如何，正确结论是[ ]A．体积和表面积都为定值B．体积为定值，表面积不为定值C．体积不为定值，表面积为定值D．表面积和体积均不为定值(9)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角的大小关系是[ ]A．相等B．互补C．相等或互补D．无法确定(10)四面体一棱长为x，其余各棱长均为常数a，设四面体的体积函数为V(x)，则在定义域内V(x) [ ]A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数且无最大值D．不是增函数但有最大值(11)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则这个三棱锥的全面积是 [ ](12)已知三棱台ABC—A1B1C1中，S△A1B1C1=m2，S△ABC=n2(m＞n＞0)，BC到截面AB1C1的距离等于这个棱台的高，那么截面AB1C1的面积为[ ]B．mnD．2mn(13)要挖一个半圆柱形鱼池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则鱼池的最大容积为 [ ](14)圆锥全面积为π，则它的体积的最大值为 [ ](15)如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面，圆锥侧面展开图的圆心角为α，则α的取值范围是[ ]A．(0，2π)B．(0，π)二、填空题(本题满分20分，每小题4分)(16)已知P为Rt△ABC所在平面α外的一点，PA=PB=PC=13，两直角边AC，BC的长分别为8和6，则P到BC的距离为______．(17)已知E，F为△ABC中AB和AC的中点，△AEF和梯形EBCF各绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积分别记作V1和V2，则V1∶V2=______．(18)AD是边长为2a的正三角形的边BC的中线，若沿AD把△ABC折成直二面角，则B到AC 的距离为______．(19)圆台两底面半径分别为4和1，轴截面的两条对角线互相垂直，则圆台体积为______．Q的平面中，与球心的最大距离是______．三、解答题(21)(12分)如图25—1所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a，AD=BC=2a，AC∩BD=E，∠A=60°，将其沿对角线BD折成直二面角．(Ⅰ)证明AB⊥平面BCD；(Ⅱ)证明平面ACD⊥平面ABD；(Ⅲ)求二面角A—CE—B的大小．(22)(12分)如图25—2所示，正三棱柱ABC—A'B'C'的底面边长和高都等于a，截面C'AB 与截面CA'B'交于DE，求四面体BB'DE的体积．(23)(14分)如图25—3，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1A的中点，E为B1C1的中点．(Ⅰ)求证B1C1∥面DBC；(Ⅱ)若A1A=AB=2a，求二面角B—DC—A的大小(文科求该角的正切值)；(Ⅲ)求E到面DBC的距离．(24)(16分)如图25—4，在四棱台ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2a的正方形，A1A ⊥底面ABCD，且A1A=A1D1=a．(Ⅰ)求证C1C⊥面AB1D1；(Ⅱ)求面AB1D1和面ABCD所构成的二面角的大小(文科求出其正切函数值)；(Ⅲ)求多面体ABCD—B1C1D1的体积．(25)(16分)如图25—5，已知圆锥S—AB的轴截面是Rt△，D为母线SA的中点，C为底面圆内一点，若OC⊥AC，OH⊥SC于H．求证(Ⅰ)OH⊥SA；(Ⅱ)SA⊥面ODH；(Ⅲ)若母线长为2a，求三棱锥S—ODH体积的最大值．答案与提示一、(1)C (2)C (3)B(4)D (5)C(6)A (7)A (8)B(9)D (10)D(11)A (12)B (13)A(14)B (15)C提示(3)M，N为AB和CD中点时，MN取得最小值．(5)PA在α内的射影与AB所成的角中，当AO⊥OB时，其角最大．此(9)只有当两个二面角的棱互相平行时，它们才可能相等或互补，否则可任意作一个平面α与二面的一个面垂直．又可任意作一个平面β与二面角另一个面垂直，则α，β相交所成的二面角的大小是任意的．(10)设四面体ABCD中，AD=x，则当面ABC与面DBC垂直时，其减．三、(21)(Ⅰ)在△ABD中，AB=a，AD=2a，∠A=60°，∴∠ABD=90°．同理∠CDB=90°∵面ABD⊥面BCD，且AB⊥BD，∴AB⊥面BCDACD，∴平面ACD⊥平面ABD设所求二面角为α，则(22)如图答25—1所示，取A′C′中点G，连EG，则EG∥面B′BCC′．将四面体BB′DE 视为以△B′BD为底，E为顶点的三棱锥，则E到面B′BCC′的距离即为锥高，作GH⊥B′C′于H，(Ⅱ)取AC中点F，则BF⊥面ADC过B作BH⊥DC于H，则FH⊥DC∴∠BHF为B—DC—A的平面角(Ⅲ)取BC中点M，易证面A1EMD⊥面DBC过E作EN⊥DM于N，则EN⊥面DBC∴EN即为E到面BDC的距离，(24)(Ⅰ)过D1作D1E⊥AD于E，则D1E⊥面ABCD 且A1AED1为边长是a的正方形，AE=ED=a∴AD1⊥D1D又∵AD⊥DC，∴AD1⊥DC∴AD1⊥面DCC1D1，∴AD1⊥C1C同理AB1⊥C1C，∴C1C⊥面AB1D1(Ⅱ)由A1A⊥面ABCD，可得面A1ACC1⊥面ABCD由C1C⊥面AB1D1知A1ACC1⊥面AB1D1可证明面ABCD和面AB1D1的交线必⊥面A1ACC1∴∠O1AC为面AB1D1和面ABCD所成二面角的平面角显然∠O1AC=∠A1O1A(Ⅲ)V ABCD-B1C1D1+V ABCD-A1B1C1D1-V A-A1B1D1(25)(Ⅰ)由SO⊥底面，OC⊥AC∴SC⊥AC∴AC⊥面SOC，∴AC⊥OH又OH⊥SC，∴OH⊥面SAC，∴OH⊥SA(Ⅱ)∵△SAB为Rt△，显然∠ASB=90°且SA=SB，∴△SAB为等腰直角三角形．∴△SOA也是等腰直角三角形．∴OD⊥SA，又∵SA⊥OH ∴SA⊥面ODH(Ⅲ)由(Ⅱ)SA⊥面ODH又∵OH⊥面SAC。

几何立体单元测试题及答案

几何立体单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 一个立方体的体积是27立方厘米，它的边长是（）厘米。

A. 3B. 6C. 9D. 122. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米，它的表面积是（）平方厘米。

A. 94B. 104C. 114D. 1243. 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是5厘米，它的体积是（）立方厘米。

A. 12πB. 20πC. 30πD. 40π4. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，它的体积是（）立方厘米。

A. 12πB. 15πC. 18πD. 24π5. 一个球的体积是(4/3)πr³，其中r是球的半径。

如果球的体积是100π立方厘米，那么它的半径是（）厘米。

A. 3B. 5C. 7D. 96. 一个正四面体的每个面都是等边三角形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。

A. a²B. 2a²C. 3a²D. 4a²7. 一个正八面体的每个面都是等边三角形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。

A. 2a²B. 3a²C. 4a²D. 6a²8. 一个正十二面体的每个面都是正五边形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。

A. 3a²B. 5a²C. 6a²D. 9a²9. 一个正二十面体的每个面都是等边三角形，且边长为a厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。

A. 5a²B. 10a²C. 15a²D. 20a²10. 一个正六面体（立方体）的对角线长度是√3a厘米，其中a是它的边长。

如果边长是2厘米，那么对角线的长度是（）厘米。

A. 2√3B. 3C. 4D. 6二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个长方体的长、宽、高分别是l、w、h，它的体积公式是 V =_______ 。

高中数学第一章立体几何初步单元质量测评(含解析)新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题

第一章单元质量测评对应学生用书P41 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C ．正方体各条棱长都相等D ．棱柱的各条棱都相等答案 C解析根据棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱长相等，但是侧棱和底面内的棱长不一定相等，而正方体的所有棱长都相等．2．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A∶B 等于( )A ．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8 答案 A解析设扇形的半径为R ，围成的圆锥的底面圆的半径为r ，则扇形弧长l ＝135πR 180＝34πR，又2πr＝34πR，∴r＝38R ，S 扇形＝135π360R 2＝38πR 2，S 圆锥全＝S 底＋S 侧＝πr 2＋S 扇形＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫38R 2＋38πR 2＝3364πR 2，∴S 扇形S 圆锥全＝38πR 23364πR 2＝811，∴A B ＝118，故选A ．3．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析由几何体的俯视图与左视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，故选C．4．给出下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行线确定三个平面．正确的结论个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析①中不共线的三点确定一个平面；②中一条直线和直线外一点确定一个平面；③中若四点不共面，则每三点一定不共线，故③正确；④中不共面的三条平行线确定三个平面．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若α∥β，l∥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析若l∥α，l∥β，则α∥β或α∩β＝m，l∥m，故A错误．若α∥β，l∥α，则l∥β或l在β内，故C错误．若α⊥β，l∥α，则l∥β或l在β内或l⊥β或l与β相交，故D错误．6．体积为27，全面积为54的长方体( )A．必是正方体 B．不存在C．有无穷多个 D．最多只能有三个答案 A解析设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则abc ＝27． 2(ab ＋bc ＋ac)＝54，∴ab＋bc ＋ac ＝abc ．易知a ＝b ＝c ，故应为棱长为3的正方体．7．如图，平行四边形ABCD 中，AB⊥BD，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD⊥面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①平面ABD⊥平面BCD ，②平面ABC⊥平面BCD ，③平面ACD⊥平面ABD ． 8．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1，S 2，S 3，则( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 2 答案 A解析由截面性质可知，设底面积为S ． S S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫212⇒S 1＝14S ； S S 2＝21⇒S 2＝12S ； S S 3＝3212⇒S 3＝134S ．可知S 1<S 2<S 3，故选A ． 9．夹在两个平行平面间的圆柱、圆锥、球，若它们在平行平面上的正投影是等圆，那么它们的体积之比为( )A ．3∶1∶4 B．9∶3∶4 C ．3∶1∶2 D．1∶2∶3 答案 C解析它们的高都等于两平行平面间的距离设为h ，圆柱体积V 1，圆锥体积V 2，球体积V 3，正投影的面积为S ，则V 1＝Sh ，V 2＝13Sh ，V 3＝43π⎝⎛⎭⎪⎫S π3＝43S Sπ．又因为h ＝2S π，所以S π＝h 2．所以V 3＝43S·h 2＝23Sh ，所以V 1∶V 2∶V 3＝1∶13∶23＝3∶1∶2．10．已知集合A ，B ，C ，A ＝{直线}；B ＝{平面}，C ＝A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a∥b，c∥b⇒a∥c；②⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c⊥b⇒a∥c；③⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c∥b⇒a⊥c．其中正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ①当c 为直线时，⎩⎪⎨⎪⎧a∥b，c∥b ⇒a∥c 或a ，c 异面或相交，故①错误．②当c 为平面时，⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c⊥b⇒a∥c 或a ⊂c ，故②错误．经验证得③正确．11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2＋62C ．2＋ 2D ．2 答案 A解析 D 1－A 1B －A 展成平面，如图所示，则AD 1即为AP ＋D 1P 的最小值．过D 1作D 1M⊥AA 1的延长线于M ，由∠AA 1D 1＝∠AA 1B ＋∠BA 1D 1＝45°＋90°＝135°，可知∠MA 1D 1＝45°．所以A 1M ＝D 1M ＝22．在Rt△MD 1A 中，AD 1＝MA 2＋MD 21＝ 2＋2．12．三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB＝30°，M ，N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x(x∈[0，3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )答案 A解析 V ＝13S △AMC ·NO＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3x×sin30°· (8－2x)＝－12(x －2)2＋2，x∈[0，3]，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线a ，b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a 与b 的位置关系为________．答案相交或异面解析画一个长方体，则有两直线交于一顶点或两直线异面．14．设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，若AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB ＝AC ＝6，AD ＝2，则A ，D 两点间的球面距离为________．答案2π3解析由题意知，球O 的直径为以AB ，AC ，AD 为棱的长方体的体对角线，即2R ＝AB 2＋AC 2＋AD 2＝4，即R ＝2，则OA ＝OD ＝AD ＝2，∴△OAD 为正三角形，则∠AOD＝π3，∴A，D 球面距离为2π3．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．答案 2 3解析由三视图可知该多面体的直观图如图所示，即图中的四棱锥P －ABCD ，所以最长的一条棱的长为PA ＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AB 2＋BC 2＝23．16．一个正六棱锥的底面边长为2、高为1，则过两条不相邻侧棱所作的截面中，面积最大值为________．答案6解析如图先计算截面PAD 的面积，由题知h ＝PO ＝1，AD ＝4，∴S △PAD ＝12×1×4＝2，下面计算截面PAC 的面积，连接OB 交AC 于M 点，连接PM ，则PM⊥AC，AC ＝23，BM ＝1，∴OM＝1，∴PM＝PO 2＋OM 2＝12＋12＝2，∴S △PAC ＝12×AC×PM＝12×23×2＝6，6>2，∴S △PAC >S △PAD ，∴填6．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)定线段AB所在直线与定平面α相交，P为直线AB外任一点，且P∉α，直线AP，PB与α交于A′，B′．求证：不论P在什么位置，A′B′过一定点．证明设定线段AB所在直线与定平面α相交于定点O．∵AP，AB相交于点A，∴由AP，AB可确定平面β．∵AP∩α＝A′，PB∩α＝B′，AB∩α＝O，∴A′，B′，O为平面α与平面β的公共点．∴A′，B′，O三点共线，即A′B′过定点O．18．(本小题满分12分)如图，已知平面α∥β，O为α，β外一点，三条射线OA，OB，OC分别交β于A，B，C，交α于A1，B1，C1．(1)求证：△ABC∽△A1B1C1；(2)若OA＝a，AA1＝b，B1C1＝c，求BC的长．解(1)证明：因为α∥β，平面AOB∩α＝A1B1，平面AOB∩β＝AB，所以A1B1∥AB，所以OA1OA＝OB1OB＝A1B1AB，同理B1C1∥BC，所以OB1OB＝OC1OC＝B1C1BC．同理，A1C1∥AC，OA1OA＝OC1OC＝A1C1AC，所以A1B1AB＝B1C1BC＝C1A1CA．所以△ABC∽△A1B1C1．(2)由(1)知，OA1OA＝B1C1BC，又因为OA1＝OA－AA1＝a－b，∴a－ba＝cBC，∴BC＝aca－b．19．(本小题满分12分)如图所示的四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面PBD．证明(1)连接AC交BD于点O，连接OE．∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO．∵E为PC的中点，∴EO∥PA．∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．20．(本小题满分12分)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD ＝∠BCD＝60°．(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值为多少时，可使A1C⊥平面C1BD?解(1)证明：连接A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D．∵DO＝OB，∴C1O⊥BD．又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1．又∵C1C⊂平面ACC1A1，∴C1C⊥BD．(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1．∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．当CDCC1＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同理可证BC1⊥A1C．又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．21．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC ＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB．又因为AB⊥BC，BB1，BC为平面B1BCC1内两条相交直线，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1．(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG，如图．因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1．因为AC∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG∥EC 1，且FG ＝EC 1．所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F∥EG．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F∥平面ABE ．(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB⊥BC，所以AB ＝AC 2－BC 2＝3．所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33．22．(本小题满分12分)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形．(1)求该几何体的体积；(2)D 是棱A 1C 1上的一点，若使直线BC 1∥平面AB 1D ，试确定点D 的位置，并证明你的结论； (3)在(2)成立的条件下，求证：平面AB 1D⊥平面AA 1D ．解由三视图可知该几何为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高h ＝3，(1)底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，word- 11 - / 11 所以底面面积S ＝12×2×3＝3，所求体积V ＝Sh ＝33．(2)连接A 1B ，且A 1B∩AB 1＝O ，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点O 是A 1B 的中点，解法一：若BC 1∥平面AB 1D ，连接DO ，BC 1⊂平面A 1BC 1，平面AB 1D∩平面A 1BC 1＝DO ，所以BC 1∥DO，所以DO 是△A 1BC 1的中位线，所以D 为A 1C 1的中点．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．解法二：若D 为棱A 1C 1的中点．连接DO ，所以DO 是△A 1BC 1的中位线．所以BC 1∥DO，又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，所以BC 1∥平面AB 1D ．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．解法三：在△A 1BC 1中，过O 作OD∥BC 1，交A 1C 1于D ，所以OD 为△A 1BC 1的中位线，所以D 为A 1C 1的中点，又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，所以C 1B∥平面AB 1D ．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．(3)证法一：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D⊥A 1C 1，又由三棱柱性质知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，且平面A 1B 1C 1∩平面ACC 1A 1＝A 1C 1， B 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以B 1D⊥平面AA 1D ，又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D⊥平面AA 1D ．证法二：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D⊥A 1C 1，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥B 1D ．AA 1∩A 1C 1＝A 1，AA 1⊂平面AA 1D ，A 1C 1⊂平面AA 1D ，所以B 1D⊥平面AA 1D ，又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D⊥平面AA 1D ．。

全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)+答案解析(附后)

全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线l ：的倾斜角为A.B.C.D.2.若不重合的直线，的方向向量分别为，，则与的位置关系是( )A. B. C.，相交不垂直D. 不能确定3.若直线与圆O ：交于A ，B 两点，则A.B. 2C.D. 44.在正四棱锥中，已知，，，则A.B.C.D.5.与直线l ：关于y 轴对称的直线的方程为A.B.C.D.6.如图所示，在三棱柱中，底面ABC ，，，点E ，F分别是棱AB ，的中点，则EF 与所成角的大小为A. B. C. D. 7.已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，，，二面角的大小为，则点A 到平面PBD 的距离是A. B.C.D. 18.已知点是直线l ：上的动点，过点P 作圆C ：的切线PA ，A为切点，的最小值为2，圆M ：与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为A. B. C. 4 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线：，直线：，则A. 直线可以与x轴平行B. 直线可以与y轴平行C. 当时，D. 当时，10.以下命题正确的是A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C. 已知，，若与垂直，则实数D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面11.如图，平面ABCD，，，，，，，则A. B. 平面ADEC. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为12.已知圆：，圆：，则.( )A. 若圆与圆无公共点，则B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

立体几何1 单元测试

立体几何一一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案1. (A)3(B)5(C) 26 (D)292.在空间，下列命题中正确的个数为①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行； ③平行于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行；（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3.棱长为a 的正方体外接球的表面积为22224.3.2..a D a C a B a A ππππ4. 在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．是 A ．BC//平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面ABC5.已知直线m 、n 、l 与平面βα,，给出下列六个命题：①若;,,//m n n m ⊥⊥则αα②若.,//,βαβα⊥⊥则m m ③若m l m l //,//,//,//则βαβα④若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα ⑤若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ⑥.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⊂⊂ 其中假命题有A.0 B ．1 C ．2 D ．3 6.设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ． l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα B ． γβγαγα⊥⊥=⋂,,m C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ． αβα⊥⊥⊥m n n ,,7.设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V8.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l//α，l//β，m//α，m//β，A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：9.三条直线经过同一点，过每两条作一个平面，则可以作______个不同的平面. 10.已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC=30O ，则∠PQR 等于_______.11.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB= BC= CA= 2 , 则球面的面积是12.四面体各棱长是 1 或 2 ，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_________.（只需写出一个可能值）三、解答题：13.如图在正方体ABCD-1111D C B A 中，AC 交BD 于点O ，证明：（1）11BC C A ⊥；（2）MBD O A M CC 平面，使得上是否存在一点棱⊥1114．如图四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PB ⊥面ABCD.证明：无论四棱锥的高PB 怎样变化，面 PAD 与面PCD 不可能垂直。

立体几何单元测试卷

立体几何单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是( ) A ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b B ．若a ⊥α，b ∥a ，b ⊂β，则α⊥β C ．若a ⊥α，b ⊥β，α∥β，则a ∥b D ．若a ∥α，a ∥β，则α∥β 答案 D解析由题意可得A ，B ，C 选项显然正确，对于选项D ：当α，β相交，且a 与α，β的交线平行时，有a ∥α，a ∥β，但此时α与β不平行．故选D.2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行答案 D解析连接C 1D ，BD .∵N 是D 1C 的中点，∴N 是C 1D 的中点，∴MN ∥BD .又∵CC 1⊥BD ，∴CC 1⊥MN ，故A ，C 正确．∵AC ⊥BD ，MN ∥BD ，∴MN ⊥AC ，故B 正确，故选D.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3C ．82π D.32π3答案 B解析 S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝ 2.∴V ＝43πR 3＝82π3，故选B.4．某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．2 2 C.203 D ．8答案 D解析由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD ＝3，BF ＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为12×2×2×4＝8.5.如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO . 由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，BE ＝ 2. ∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝60°，选C.6．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的直观图及三视图如下图所示，D 为AC 的中点，则下列命题是假命题的是()A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的表面积为43π答案 D解析由三视图可知，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C.∴BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面BDC1.故B正确．V＝S△ABC×C1C＝12×2×2×2＝4，∴C正确．此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D错误．故选D.7．在平面四边形ABCD中，AD＝AB＝2，CD＝CB＝5，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD 翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为()A ．1 B.12 C.33D. 3答案 C解析如图所示，OA ＝1，OC ＝2.当A ′C 与圆相切时，直线A ′C 与平面BCD 所成的角最大，最大角为30°，其正切值为33.故选C.8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A.5＋33π2＋3π2＋1 B ．25＋33π＋3π2＋1 C.5＋33π2＋3π2 D.5＋33π2＋π2＋1 答案 A解析还原为直观图如图所示，圆锥的高为2，底面半径为2，圆锥的母线长为6，故该几何体的表面积为S ＝12×2×5＋12×2π×2×34×6＋π×(2)2×34＋12×2×1＝5＋33π2＋3π2＋1.9．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°答案 C解析由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2.∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.10．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )A ．288＋36πB ．60πC ．288＋72πD ．288＋18π答案 A解析将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据，可得 V 长方体＝6×8×6＝288， V 半圆柱＝12×32×π×8＝36π.∴此几何体的体积为V ＝288＋36π.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝14BC ，则GB 与EF 所成的角为( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．90°解析方法一：连D 1E ，D 1F ，解三角形D 1EF 即可．方法二：如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，由已知条件，得G (0,0，12)，B (1,1,0)，E (1,1，12)，F (34，1,0)，GB →＝(1,1，－12)，EF →＝(－14，0，－12)．cos 〈GB →，EF →〉＝GB →·EF →|GB →||EF →|＝0，则GB →⊥EF →.故选D.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.112答案 B解析以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP →|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知四个命题：①若直线l ∥平面α，则直线l 的垂线必平行于平面α；②若直线l 与平面α相交，则有且只有一个平面经过直线l 与平面α垂直； ③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥； ④若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体．其中正确的命题是________．解析④正确，如右图，A1C与B1D互相平分，则四边形A1B1CD是平行四边形，同理四边形ABC1D1是平行四边形，则A1B1綊AB綊CD，因此四边形ABCD是平行四边形，进而可得这个四棱柱为平行六面体．14．(2013·江苏)如图所示，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.答案1∶24解析由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝13AF·S△AED2AF·S△ABC＝1∶24.15．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若P A，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．答案3 3解析正三棱锥P－ABC可看作由正方体P ADC－BEFG截得，如图所示，PF为三棱锥P－ABC的外接球的直径，且PF⊥平面ABC.设正方体棱长为a，则3a2＝12，a＝2，AB＝AC＝BC＝2 2.S△ABC＝12×22×22×32＝2 3.由V P－ABC＝V B－P AC，得13·h·S△ABC ＝13×12×2×2×2，所以h＝233，因此球心到平面ABC的距离为33.16.如图所示是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有______个．答案 2解析将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E，F分别为P A，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面P AD，E∈平面P AD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面P AD与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．答案(1)略(2)2解析(1)该组合体的三视图如右图所示．(2)因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ，所以平面PDCE ⊥平面ABCD . 因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2.又因为平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDCE .因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC .又因为EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，所以四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积 S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC )×DC ＝12×3×2＝3.所以四棱锥B －CEPD 的体积V B －CEPD ＝13S 梯形PDCE ×BC ＝13×3×2＝2.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面P AC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．答案 (1)略 (2)略 (3)455解析 (1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面P AC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝12PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52.从而AN＝12DO＝54.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P A＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PCD.(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求AE的长；(3)求二面角E－PC－A的正弦值．答案(1)略(2)3625(3)3210解析(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.又∵CD⊥AD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.∴CD⊥AG.又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD.作EF⊥PC于点F，连接GF，∵平面PEC ⊥平面PCD ，∴EF ⊥平面PCD .∴EF ∥AG .又AG ⊄平面PEC ，EF ⊂平面PEC ，∴AG ∥平面PEC .(2)解：由(1)知A ，E ，F ，G 四点共面，又AE ∥CD ，AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AE ∥平面PCD .又∵平面AEFG ∩平面PCD ＝GF ，∴AE ∥GF .又由(1)知EF ∥AG ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴AE ＝GF .∵P A ＝3，AD ＝4，∴PD ＝5，AG ＝125. 又P A 2＝PG ·PD ，∴PG ＝95. 又GF CD ＝PG PD ，∴GF ＝95×45＝3625，∴AE ＝3625. (3)解：过E 作EO ⊥AC 于点O ，连接OF ，易知EO ⊥平面P AC ，又EF ⊥PC ，∴OF ⊥PC .∴∠EFO 即为二面角E －PC －A 的平面角．EO ＝AE ·sin45°＝3625×22＝18225，又EF ＝AG ＝125， ∴sin ∠EFO ＝EO EF ＝18225×512＝3210. 20．(本小题满分12分)如图所示，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.(1)求证：AB ∥平面MCD ；(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．答案 (1)略 (2)255解析 (1)证明：取CD 中点O ，因为△MCD 为正三角形，所以MO ⊥CD .由于平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD .又因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ∥MO .又AB ⊄平面MCD ，MO ⊂平面MCD ，所以AB ∥平面MCD .(2)连接OB ，则OB ⊥CD ，又MO ⊥平面BCD .取O 为原点，直线OC ，BO ，OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．OB ＝OM ＝3，则各点坐标分别为C (1,0,0)，M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)． CM →＝(－1,0，3)，CA →＝(－1，－3，23)．设平面ACM 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n 1·CM →＝0，n 1·CA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－x －3y ＋23z ＝0，解得x ＝3z ，y ＝z ，取z ＝1，得n 1＝(3，1,1)．又平面BCD 的法向量为n 2＝(0,0,1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝15. 设所求二面角为θ，则sin θ＝255. 21．(本小题满分12分)圆锥PO 如图①所示，图②是它的正(主)视图．已知圆O 的直径为AB ，C 是圆周上异于A ，B 的一点，D 为AC 的中点．(1)求该圆锥的侧面积S ；(2)求证：平面P AC ⊥平面POD ；(3)若∠CAB ＝60°，在三棱锥A －PBC 中，求点A 到平面PBC 的距离．答案 (1)3π (2)略 (3)223 解析 (1)由圆锥的正视图可知，圆锥的高h ＝2，底面半径r ＝1，所以其母线长为l ＝3，所以圆锥的侧面积S ＝12l ·2πr ＝12×3×2π×1＝3π. (2)证明：因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC .又因为O ，D 分别为AB ，AC 的中点，所以OD ∥BC ，所以OD ⊥AC .因为PO ⊥平面ABC ，所以AC ⊥PO .因为PO ∩OD ＝O ，PO ，OD ⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD .因为AC ⊂平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面POD .(3)因为∠CAB ＝60°，AB ＝2，所以BC ＝3，AC ＝1.所以S △ABC ＝32. 又因为PO ＝2，OC ＝OB ＝1，所以S △PBC ＝334. 设A 到平面PBC 的距离为h ，由于V P －ABC ＝V A －PBC ，得13S △ABC ·PO ＝13S △PBC ·h ，解得h ＝223. 22．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(2)求二面角A 1－BD －A 的大小；(3)在线段AA 1上是否存在一点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．答案 (1)略 (2)π3 (3)存在且AE ＝33解析 (1)如图①所示，连接AB 1交A 1B 于点M ，连接B 1C ，DM .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以四边形AA 1B 1B 是矩形，所以M 为AB 1的中点．因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形AB 1C 的中位线，所以MD ∥B 1C . 因为MD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，所以B 1C ∥平面A 1BD .(2)作CO ⊥AB 于点O ，所以CO ⊥平面ABB 1A 1，所以在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中建立如图②所示的空间直角坐标系O －xyz .因为AB ＝2，AA 1＝3，D 是AC 的中点，所以A (1,0,0)，B (－1,0,0)，C (0,0，3)，A 1(1，3，0)．所以D (12，0，32)，BD →＝(32，0，32)，BA 1→＝(2，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的法向量，所以⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＋32z ＝0，2x ＋3y ＝0.令x ＝－3，则y ＝2，z ＝3.所以n ＝(－3，2,3)是平面A 1BD 的一个法向量．由题意可知AA 1→＝(0，3，0)是平面ABD 的一个法向量，所以cos 〈n ，AA 1→〉＝2343＝12.所以二面角A 1－BD －A 的大小为π3. (3)设E (1，y,0)，则C 1E →＝(1，y －3，－3)，C 1B 1→＝(－1,0，－3)．设平面B 1C 1E 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎨⎧ n 1·C 1E →＝0，n ·C 1B 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋(y －3)y 1－3z 1＝0，－x 1－3z 1＝0.令z 1＝－3，则x 1＝3，y 1＝63－y ，所以n 1＝(3，63－y ，－3)．又n 1·n ＝0，即－33＋123－y－33＝0，解得y ＝33. 所以存在点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE ＝33.。

数学立体几何单元测试

数学立体几何单元测试题目：数学立体几何单元测试正文：题一：计算立方体的体积和表面积。

（10分）解答：立方体是一种特殊的几何体，其六个面都是正方形，每条边长度相等。

设立方体的边长为a，则其体积V为a³，表面积S为6a²。

根据给定条件，我们可以进行如下计算：已知边长a=4cm，则立方体的体积V=4³=64cm³，表面积S=6×4²=96cm²。

题二：判断以下四个几何体是否为正多面体，并说明理由。

（10分）解答：正多面体是指各个面都是正多边形且顶点都相同的几何体。

根据这个定义，我们来判断以下四个几何体是否为正多面体：1. 正方体正方体的六个面都是正方形，并且顶点相同，因此它是正多面体。

2. 正六面体正六面体的六个面都是正六边形，并且顶点相同，因此它是正多面体。

3. 正四面体正四面体的四个面都是正三角形，并且顶点相同，因此它是正多面体。

4. 正二十面体正二十面体的二十个面都是正五边形，并且顶点相同，因此它是正多面体。

综上所述，正方体、正六面体、正四面体和正二十面体都是正多面体。

题三：计算圆柱的体积和表面积，要求保留一位小数。

（10分）解答：圆柱是一种特殊的立体几何体，其底面为圆形，侧面为矩形。

设圆柱的底面半径为r，高度为h，则其体积V为πr²h，表面积S为2πrh+2πr²。

根据给定条件，我们可以进行如下计算：已知底面半径r=5cm，高度h=10cm，则圆柱的体积V=3.14×5²×10=785cm³，表面积S=2×3.14×5×10+2×3.14×5²=471cm²。

题四：根据给定条件，判断以下陈述的真假。

（10分）解答：1. 球体的体积公式是V=4/3πr³，其中r为半径。

（正确）2. 圆锥的侧面积公式是S=πrl，其中r为底面半径，l为斜高。

几何立体单元测试题目及答案

几何立体单元测试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 正方体的体积公式是：A. V = a^2B. V = a^3C. V = 2aD. V = a2. 一个圆柱的底面半径为3厘米，高为5厘米，其体积是：A. 141.3立方厘米B. 282.6立方厘米C. 94.2立方厘米D. 235.5立方厘米3. 一个球体的直径为10厘米，其表面积是：A. 628平方厘米B. 314平方厘米C. 157平方厘米D. 100平方厘米4. 圆锥的体积公式是：A. V = 1/3πr^2hB. V = πr^2hC. V = 1/3πr^3D. V = πr^35. 长方体的对角线公式是：A. d = √(l^2 + w^2 + h^2)B. d = l + w + hC. d = √(l^2 + w^2)D. d = √(h^2 + l^2)6. 一个棱柱的底面是正六边形，高为5厘米，如果正六边形的边长为2厘米，那么棱柱的体积是：A. 60立方厘米B. 120立方厘米C. 180立方厘米D. 240立方厘米7. 正四面体的每个面都是等边三角形，如果边长为a，那么其体积是：A. V = a^3/6B. V = a^3/4C. V = a^3/2D. V = a^38. 一个圆锥的底面半径为2厘米，高为4厘米，那么圆锥的体积是：A. 16π/3立方厘米B. 8π立方厘米C. 16π立方厘米D. 4π立方厘米9. 一个球体的体积公式是：A. V = 4/3πr^3B. V = 1/4πr^3C. V = πr^3D. V = 2πr^310. 一个圆柱的底面半径为4厘米，高为10厘米，那么圆柱的侧面积是：A. 251.2平方厘米B. 502.4平方厘米C. 100.48平方厘米D. 200.96平方厘米二、填空题（每题2分，共10分）11. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、3厘米、2厘米，其体积是________立方厘米。

新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A ．10 B ．6 C ．10 D ．15 2．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（）A ．3B ．5C ．9D ．213．已知在平行六面体中,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（）A ．52B ．9C 85D 734．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．306B ．6C ．3 D ．6 5．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（） A ．a b +，a ，a b - B ．a b +，b ，a b - C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b -6．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（）A ．144B ．114C ．142D ．1127．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（）A ．3010B ．15-C ．7010D ．158．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．以下四个命题中，正确的是（） A ．若1123OP OA OB =+，则P 、A 、B 三点共线 B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅=⋅⋅D ．ABC 为直角三角形的充要条件是·0AB AC = 10．给出下列命题：①若空间向量,a b 满足a b =，则a b =； ②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅，则a b =； ④在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅. 其中假．命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．411．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（）A ．105B ．125C ．145 D ．16512．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 13．正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（） A ．-2B ．4C ．2D ．1二、填空题14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______15．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．16．若向量()1,,1a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 夹角的余弦值为13，则λ=__________. 17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.18．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为60︒，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.19．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______. 20．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =___________．21．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，点E 、F 分别为1AA 、11A C 的中点，则直线BE 和CF 所成角的余弦值为___________.23．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．24．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．25．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB =，4EF =，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于__________．26．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，14,3,5AD AB AA ===，1AC =__．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则(111sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>===⋅-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.2．B解析：B 【分析】由条件可知点P 在平面123A A A 上，并且由几何意义可知4A Q ⊥平面123A A A ，利用数量积的几何意义求4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数. 【详解】条件“4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=”，说明点P 在平面123A A A 上，而44min ||A Q A P =说明Q 为平面123A A A 的中心，此时4A Q ⊥平面123A A A ，由向量数量积的几何意义，i j A A 在4A Q 的投影有5种情况：0、41||2A Q ±、4||A Q ±，∴数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是5，故选：B ．【点睛】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.3．D解析：D 【分析】直接利用AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，然后利用平面向量的数量积进行计算. 【详解】如图，可得AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，故22||()AC AB AD AA ''=++222=|||||2()+|AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''++⋅+⋅+⋅222111345234-+35+45222⎡⎤⎛⎫=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=73.∴=73AC '故选：D. 【点睛】本题考查了几何体的对角线长的求解，根据已知条件，构造向量，将几何体的对角线长的求解转化为向量模的运算，是解答本题的关键，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值. 【详解】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AB AA ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AC AA ⋅=⨯⨯︒=. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-221111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅11111112222=+-++-= 而()222111123AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=，()2111BC AA AC AB =+-==，所以111111cos 62AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⋅，故选： D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.5． C解析：C 【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面【详解】解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ； ()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ；若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底．故选：C ．【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.6．C解析：C 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得到E 是两个平面的一个交点，分析另一个交点的位置，可能在11A C 或1A D 上，设其交点坐标用向量计算可得答案. 【详解】如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()()1,2,10,1,1G E ，，()1,2,1DG =，因为HE ⊂平面α，所以E ∈平面α，因为E ∈1C D ，所以E ∈平面11AC D ，所以E 是两个平面的一个交点，如果另一个交点在11A C 上，设为M 且设(),2,2M a a -，02a ≤≤所以(),1,1EM a a =-，因为EM ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EM DG ⋅=，即2210a a +-+=，解得3a =不合题意，所以另一个交点在1A D 上，不妨设为F ，所以平面11AC D ⋂平面EF α=，即求EF 的长度，且(),0,F b b ，02b ≤≤，因为EF ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EF DG ⋅=，(),1,1EF b b =--，即210b b -+-=，解得32b =，所以33,0,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2231141222EF ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了用向量解决线面垂直、线线垂直的问题，关键点是建立空间直角坐标系和分析两个平面的交线的位置，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.7．A解析：A 【分析】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MNθ=⋅⋅即可求解.【详解】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ，所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =，设1B P 与MN 所成的角为θ，所以1122130cos 56B P MN B P MNθ=⋅-⨯+==⨯⋅， 1B P 与MN 30，故选：A 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.8．A解析：A 【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可．【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ．【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．9．B解析：B 【分析】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，故A 不正确；对于B ， ,,a b b c c a +++不共线，所以 {,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 【详解】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，1123OP OA OB =+，P ∴，A ，B 三点共线不成立，故A 不正确；对于B ，若{,,}a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共线，∴,,a b b c c a +++不共线，∴{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，故ABC ∆为直角三角形，反之也可以是B ，C∠为直角，故D 不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积的计算，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10．D解析：D 【分析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，空间向量,a b 的方向不一定相同，即a b =不一定成立，故①错误；对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取()0,0,0a =，()1,0,0b =，()0,1,0c =，满足0a c b c ⋅=⋅=，且0c ≠，但是a b ≠，故③错误；对于④，因为a b ⋅和b c ⋅都是常数，所以()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅表示两个向量，若a 和c 方向不同，则()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅不相等，故④错误. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果. 【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++，因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.12．D解析：D 【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果. 【详解】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN=+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z =故选：D 【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.13．D解析：D 【解析】【分析】如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．代入AE AF ⋅，利用数量积运算性质即可得出．【详解】解：如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．∴111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD =+=+ 221(2cos602cos60)4=︒+︒ 1=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题14．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内解析：3 【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案. 【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()2221224548B P x y y y =-+-+=-+，则01y ≤≤又二次函数2548t y y =-+的对称轴为25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.15．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考解析：17【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ，所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅2221648268682=++-⨯⨯⨯=，所以217AB =, 故答案为：17【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.16．【分析】根据条件可求出再根据夹角的余弦为即可求出解出即可【详解】解：又夹角的余弦值为解得故答案为：【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算根据向量坐标求向量长度的方法向量数量积的计算公式解析：74【分析】根据条件可求出2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，再根据,a b 夹角的余弦为13224λλ+-，解出λ即可．【详解】解：2||2,||3a b λ=+=， 224a b λλ=-+=-，又,a b 夹角的余弦值为13， ∴2||||cos ,24a b a b a b λλ=<>=+=-，解得74λ=．故答案为：74．【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式．17．【分析】建立空间直角坐标系以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向不妨设正方体的棱长为1则异面线与AM 所成角的余弦值转化为求向量的夹角的余弦值利用向量夹角公式即得【详解】分别以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向建立解析：3 【分析】建立空间直角坐标系，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得. 【详解】分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A B M D ，可得11(1,1,1),(1,1,)2BD AM =--=-，则11111132cos ,9||||13114BD AMBD AM BD AM -+⋅<>===⋅++，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为39. 故答案为：3【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.18．【分析】设根据平行四边形法则对角线再结合条件利用向量的模即可求出对角线长【详解】解：设因为所以所以对角线故答案为:【点睛】本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构解析：66【分析】设AB a =，AD b =，1AA c =，根据平行四边形法则，对角线1AC a b c =++，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长．【详解】解：设AB a =，AD b =，1AA c =，因为11AC AB AD AA a b c =++=++，所以()222221222363636666cos60216AC a b ca b c a b a c b c =++=+++++=+++⨯⨯⨯︒=，所以对角线166AC =．故答案为:66．【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．19．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算解析：2 【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解．【详解】由题意知，向量()a ab λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，又由()()()()222222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-=⎪⎣⎦⎝⎭，解得2λ=．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20．【解析】【分析】首先画出图形然后结合=两边平方同时结合数量积的运算法则进行计算即可【详解】平行六面体如图所示：∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上∴平面ACC 解析：23【解析】【分析】首先，画出图形，然后，结合11AC AC CC =+=1AB AD AA ++，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ， ∵AB=1，AD=2，AA 1=3， ∵11AC AC CC =+ =1AB AD AA ++∴|1AC |2=（1AB AD AA ++）2 =|AB |2+|AD |2+|1AA |2+2AB AD ⋅+21AB AA ⋅+21AD AA ⋅ =1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|1AC 23 ∴AC 123 23 【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．21．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：解析：442-【解析】很明显当,,,O D M N四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON==，则MDN△是以点D为顶点的直角三角形，且：()()()2420,AM AN AD DM AD DNAD AD DM DN DM DNAD DO⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+当向量,AD DO反向时，AM AN⋅取得最小值：4222442-⨯⨯=-.22．【分析】作出图形设然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线和所成角的余弦值【详解】设由于平面以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则因此直线解析：25【分析】作出图形，设12AB AC AA===，然后以点A为坐标原点，AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BE和CF所成角的余弦值.【详解】设12AB AC AA===，由于1AA⊥平面ABC，AB AC⊥，以点A为坐标原点，AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()2,0,0B、()0,2,0C、()0,0,1E、()0,1,2F，()2,0,1BE=-，()0,1,2CF=-，2cos,555BE CFBE CFBE CF⋅<>===⨯⋅.因此，直线BE 和CF 所成角的余弦值为25. 故答案为：25. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.23．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其解析：168【分析】根据向量//a b ，设λa b ，列出方程组，求得12λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量//a b ，设λa b ，又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===，所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==，所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.故答案为：168.【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.24．【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根解析：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据向量夹角为钝角，可知cos ,0a b <><且cos ,1a b <>≠-，解不等式可求得结果.【详解】由题意可知：132cos ,014k a b a b a b --⋅<>==<⋅且13cos ,1k a b --<>=≠- 解得：132k >-且12k ≠，即1311,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为π的情况，造成出现增根. 25．【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得∴由可得∴即∴故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个解析：16【分析】由题意可得22 9()BC AC AB ==-，由此求得2AC AB ⋅=，由 7AB AE AC AF ⋅+⋅=以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 2EF BC ⋅=，由数量积的定义即可得到结果.【详解】由题意可得()229BC AC AB==- 222AC AB AC AB =+-⋅ 942AC AB =+-⋅， ∴2AC AB ⋅=.由7AB AE AC AF ⋅+⋅=，可得 ()()AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+ 2AB AB BE AC AB AC BF =+⋅+⋅+⋅()42AB BF AC BF =+⋅-++⋅()1662BF AC AB EF BC =+⋅-=+⋅. ∴2EF BC ⋅=，即43cos ,2EF BC ⨯⨯=，∴1cos ,6EF BC =，故答案为16. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题．26．【分析】先由空间向量的基本定理将向量用一组基底表示再利用向量数量积的性质计算即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A1B1C1D1是平行六面体∵=++∴=（++）2=+++2+2+2又∵∠BAD=∠A1AB【分析】先由空间向量的基本定理，将向量1AC 用一组基底1AA AD AB ，，表示，再利用向量数量积的性质22a a =，计算1AC 即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∵1AC =1AA +AD +AB ∴21AC =（1AA +AD +AB ）2=21AA +2AB +2AD +21AA AD ⋅+21AA AB ⋅+2AB AD ⋅ 又∵∠BAD=∠A 1AB=∠A 1AD=60°，AD=4，AB=3，AA 1=5， ∴21AC =16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97 ∴197AC =【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同。

高中数学第一章立体几何初步水平测试

第一章立体几何初步水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三视图表示的几何体是()A．圆台B．棱锥C．圆锥D．圆柱答案A解析由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又左视图和主视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台．2．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形答案A解析根据“斜二测画法”可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝ 3.故原△ABC是一个等边三角形．3．已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.40003cm3 B.80003cm3C．2000 cm3D．4000 cm3答案B解析由三视图得该几何体为四棱锥，则其体积为V＝13×20×20×20＝80003cm3.4．已知一个圆锥的展开图如右图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为()A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π 答案 A解析由底面圆的半径为1，可知扇形的弧长为2π，又扇形的圆心角为120°，所以圆锥母线长为2π120180π＝3，高为32－12＝22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.5. 如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4 答案 B解析该多面体是如下图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E －CC 1D 1(其中E 为BB 1的中点)，其中最长的棱为D 1E ＝(42)2＋22＝6.6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3 C ．22π D ．42π 答案 B解析由题意，该几何体可以看作两个底面半径和高都为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1如下图所示，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 答案 D解析对于A ，由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；对于B ，连接AC ，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；对于C ，因为BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，同理可证AC 1⊥B 1C ，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于D ，因为BC ∥AD ，所以∠B 1CB 即AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．8．如下图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°答案 D解析取BC 的中点H ，连接EH 、FH ，则∠EFH 为所求的角，可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，∴sin ∠EFH ＝EH FH ＝12，∴∠EFH ＝30°.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1D D ．无法判断答案 A解析取B 1C 1中点H ，连接EH ，FH ，∵E 、F 、H 分别为BC 、D 1C 1、B 1C 1中点， ∴FH ∥D 1B 1，EH ∥BB 1， ∴平面EFH ∥平面BB 1D 1D ∵EF平面EFH ，∴EF ∥平面BB 1D 1D .10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若S △A ′B ′C S △ABC ＝949，则P A ′AA ′＝( )A.43B.349C.78D.34 答案 D解析由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB ∽△P A ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝949，所以P A ′P A ＝37，所以P A ′AA ′＝34，故选D.11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则交线平行于l ，故选D.12．已知平面ABC 外一点P ，且PH ⊥平面ABC 于点H .给出下列四个说法：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则点H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则点H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC ；④若P A ＝PB ＝PC ，则点H 是△ABC 的外心．其中正确说法的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析对于①，易知AH⊥BC，BH⊥AC，所以点H是△ABC的垂心；对于②，易知PB⊥平面P AC，所以PB⊥AC，同理，P A⊥BC，由①可知点H是△ABC的垂心；对于③，∠ABC＝90°，点H是AC的中点，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA ＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以P A＝PB＝PC；对于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，P A＝PB＝PC，所以HA＝HB＝HC，即点H是△ABC的外心．①②③④都正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．下列说法正确的是________．(填序号)①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．答案④解析本题主要考查空间几何体的结构特征．根据圆柱母线的定义，①说法错误；以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台，以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故②说法错误；圆锥只有—个底面，故③说法错误；根据圆锥母线的定义，④说法正确．14．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案6解析设大铁球的半径为R cm，由43πR3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R3＝216，得R＝6.15．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面中，与直线CE平行、相交的平面个数分别为m，n，则m＋n＝________.答案5解析CE与正方体上底面平行，且在正方体下底面所在的平面内，而与它相交的平面分别是前、后、左、右四个平面，即m＝1，n＝4，因此m＋n＝5.16．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)答案①④解析①中，记点B正上方的顶点为C，连接AC，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2P A1，C1Q ＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．证明如图，连接PQ.由B1P＝2P A1，C1Q＝2QA1，得PQ∥B1C1，且PQ＝13B1C1.又BC綊B1C1，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.又BP平面AA1B1B，CQ平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即R∈AA1，∴直线AA1，BP，CQ相交于一点．18．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(不考虑接触点)．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积．解(1)由三视图，知该几何体由两部分组成，上部分是直径为1的球，下部分是底面边长为2，高为3的正三棱柱．表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12×2×3×2＋2×3×3＝π＋23＋18.(2)体积V ＝12×2×3×3＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝33＋π6.19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥AC .D ，E 分别是BB 1，A 1C 1的中点．(1)求证：DE ∥平面A 1BC ；(2)若AB ⊥BC ，求证：A 1B ⊥平面ABC ；(3)在(2)的条件下，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，求三棱锥A 1－BCC 1的体积．解 (1)证明：取A 1C 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵E 是A 1C 1的中点， ∴EF ∥CC 1，且EF ＝12CC 1. 又CC 1∥BB 1，D 是BB 1的中点， ∴EF ∥DB ，且EF ＝DB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，而DE ⊆/ 平面A 1BC ，BF 平面A 1BC ，∴DE ∥平面A 1BC .(2)证明：∵AA 1⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩AA 1＝A ， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B .又A 1B ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， ∴A 1B ⊥平面ABC .(3)由(2)的结论，得A 1B ⊥AB ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面A 1BC . ∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面A 1BC . 由B 1C 1∥BC ，可知B 1C 1∥平面A 1BC . ∵A 1B 1＝AB ＝1，BB 1＝2， ∴A 1B ＝1，∴三棱锥A 1－BCC 1的体积V A 1－BCC 1 ＝V C 1－A 1BC ＝V B 1－A 1BC ＝13S △A 1BC ·A 1B 1＝13×12×BC ×A 1B ×A 1B 1 ＝13×12×1×1×1＝16. 20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝BB 1，M ，N 分别是A 1B 1，AC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面BCC 1B 1； (2)平面MAC 1⊥平面ABC 1.证明 (1)取BC 1的中点D ，连接B 1D ，ND ，∵D，N分别是BC1，AC1的中点，∴ND∥AB，ND＝12AB.又M为A1B1的中点，AB∥A1B1，∴ND綊B1M，∴MNDB1为平行四边形，∴MN∥B1D.又B1D平面BCC1B1，MN⊆/平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)由题可知AB⊥B1D，B1D⊥BC1.又AB平面ABC1，BC1平面ABC1，AB∩BC1＝B，∴B1D⊥平面ABC1.又B1D∥MN，∴MN⊥平面ABC1.又MN平面MAC1，∴平面MAC1⊥平面ABC1.21．(本小题满分12分)如图，已知二面角α－MN－β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．解(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.连接BD，由题设，知△ABD是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB . 而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)，知AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α－MN －β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3. 在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.22．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．解 (1)证明：如图，连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，而AO ∩BO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)如图，作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD ＝34.由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12. 由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.。

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