小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

任意四边形、 梯形与相似模型

模型三 蝴蝶模型 （任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系 （ “蝴蝶定理” ）：

①S 1:S 2 S 4 : S 3或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ② AO :OC S 1 S 2 : S 4 S 3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

例 1】 （ 小数报竞赛活动试题 ） 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分， △

AOB 面积为 1 平方千米， △BOC 面积为 2 平方千米 ，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

分析】 根据蝴蝶定理求得 S △AOD 3 1 2 1.5 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.5 7.5平

求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵ AG:GC ？

方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米 巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

D

⑵根据蝴蝶定理， AG:GC 1 2 : 3 6 1:3． （？？？ ）

四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O （如图所示 ） 。如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的

面积的 1

，且 AO 2， DO 3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 ___________ 倍。

3

在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件

S VABD : S VBCD 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面

积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于H ，CG 垂直 BD 于G ，面积比转化为高之比。 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵ AO :OC S ABD :S BDC 1:3 ， ∴OC 2 3 6 ，

如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、△OEF 、△ODF 、 △BOE 的面积依次是

2、 4、4和6。求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积 。

⑴根据题意可知， △BCD 的面积为 2 4 4 6 16，那么 △BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8， 所以 △OCF 的面积为 8 4 4；

⑵由于 △BCO 的面积为 8，△BOE 的面积为 6，所以 △OCE 的面积为 8 6 2， 根据蝴蝶定理， EG:FG S

COE

: S COF 2:4 1: 2 ，所以 S GCE :S GCF EG:FG 1:2

，

解析】 ∴OC :OD 6:3

2:1 ．

解法二：作 AH BD 于H ，CG BD 于G ．

∵

S ABD

∴AH

∴

S AOD ∴AO 1

S ， S BCD ，

3 BCD

1

CG ， 3

1

S ，

S DOC

，

3 1

CO ，

3

∴OC 2 3 6， ∴OC :OD 6:3

2:1 ．

解析】

1，求三角形 ABC 的面积。

解析】 因为 BD:CE 2:5 ，且 BD ∥CE ，所以 DA:AC 2:5 ， S ABC

5 25

S DBC

10 7

52公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的

面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

CED ，所以 VABE ，VCDE 的面积比为 (AE EB) :(CE DE)。同

理有 VADE ， VBCE 的面积比为 (AE DE):(BE EC) 。所以有 SV ABE

×SV CDE = SV ADE ×SV BCE ，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、

部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即SV ABE 6= SV ADE 7，所以有 VABE 与VADE 的面积显然，最大的三角形的面积为 21 公顷。

例 5 】 ( 2008 年清华附中入学测试题

为。

A

A

D

D

B

B

O

C

C

解析】 连接 AD 、CD 、 BC 。

则可根据格点面积公式，可以得到 ABC 的面积为

：1

4

1 2， 3

ACD 的面积为： 3 3

1 3.5 ，

2

2

4

ABD 的面积为： 2 1 3 ．

1

那么 S

GCE S CEF

GCE

1 2

CEF

33

例 4 】 图中的四边形土地的总面积是 比为 7:6，SV ABE = 677

39

21 公顷， SV ADE = 6

39 67

18 公顷。

) 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积

D

解析】

巩固】