小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

任意四边形、 梯形与相似模型模型三 蝴蝶模型 （任意四边形模型）任意四边形中的比例关系 （ “蝴蝶定理” ）：①S 1:S 2 S 4 : S 3或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ② AO :OC S 1 S 2 : S 4 S 3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

例 1】 （ 小数报竞赛活动试题 ） 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分， △AOB 面积为 1 平方千米， △BOC 面积为 2 平方千米 ，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？分析】 根据蝴蝶定理求得 S △AOD 3 1 2 1.5 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.5 7.5平求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵ AG:GC ？方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米 巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面积已知，D⑵根据蝴蝶定理， AG:GC 1 2 : 3 6 1:3． （？？？ ）四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O （如图所示 ） 。

如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的 1，且 AO 2， DO 3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 ___________ 倍。

3在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条 件S VABD : S VBCD 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于H ，CG 垂直 BD 于G ，面积比转化为高之比。

再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。

请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：∵ AO :OC S ABD :S BDC 1:3 ， ∴OC 2 3 6 ，如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、△OEF 、△ODF 、 △BOE 的面积依次是2、 4、4和6。

求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积 。

⑴根据题意可知， △BCD 的面积为 2 4 4 6 16，那么 △BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8， 所以 △OCF 的面积为 8 4 4；⑵由于 △BCO 的面积为 8，△BOE 的面积为 6，所以 △OCE 的面积为 8 6 2， 根据蝴蝶定理， EG:FG SCOE: S COF 2:4 1: 2 ，所以 S GCE :S GCF EG:FG 1:2，解析】 ∴OC :OD 6:32:1 ．解法二：作 AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵S ABD∴AH∴S AOD ∴AO 1S ， S BCD ，3 BCD1CG ， 31S ，S DOC，3 1CO ，3∴OC 2 3 6， ∴OC :OD 6:32:1 ．解析】1，求三角形 ABC 的面积。

解析】 因为 BD:CE 2:5 ，且 BD ∥CE ，所以 DA:AC 2:5 ， S ABC5 25S DBC10 752公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。

那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？CED ，所以 VABE ，VCDE 的面积比为 (AE EB) :(CE DE)。

同理有 VADE ， VBCE 的面积比为 (AE DE):(BE EC) 。

所以有 SV ABE×SV CDE = SV ADE ×SV BCE ，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、部分的面积之积等于左右部分的面积之积。

即SV ABE 6= SV ADE 7，所以有 VABE 与VADE 的面积显然，最大的三角形的面积为 21 公顷。

例 5 】 ( 2008 年清华附中入学测试题为。

AADDBBOCC解析】 连接 AD 、CD 、 BC 。

则可根据格点面积公式，可以得到 ABC 的面积为：141 2， 3ACD 的面积为： 3 31 3.5 ，224ABD 的面积为： 2 1 3 ．1那么 SGCE S CEFGCE1 2CEF33例 4 】 图中的四边形土地的总面积是 比为 7:6，SV ABE = 6773921 公顷， SV ADE = 639 6718 公顷。

) 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积D解析】巩固】2所以BO:OD S ABC:S ACD 2:3.54:7，所以SABO4S ABD43 12．4711 11例 6】 （ 2007年人大附中考题 ） 如图，边长为 1的正方形 ABCD 中， BE 2EC ，CF FD ，求三角形 AEG的面积． 即三角形 AEG 的面积是 27解析】 设 BD 与CE 的交点为 O ，连接 BE 、DF ．解析】 连 接 EF ．因为 BE 2EC ， 因为 SAED所以 S AGD 所以S AGE CF FD ，所以 S DEF S WABCD ，2W6S GDFS AED 根据蝴蝶定理， AG :GF) S WABCD 2W1 S WABCD ．12W126:1 ，6S ADFSADF 7S AGD7S WABCD2WS WABCD4WS WABCD14WS WA14WS WABCD7WBCD ．2，7解析】 如图，长方形 ABCD 中， 方形 ABCD 的面积．因为 BE: EC 2:3 ， DF 1因为 S VA EDS 长方形ABCD，21方厘米．因为 S VAFDBE:EC 2:3 ， DF:FC 1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2平方厘米， :FC 1:2， 所以 S VDEF(531 1 13 2)S 长方形ABCD 10S 长方形ABCD ．求长AG :GF : 15:1 ， 2 10所以 S VAGD 5S VGDF 10平方厘米，所以 S VAFD 12 平6S 长方形ABCD ，所以长方形 ABCD 的面积是 72平方厘米．例 8】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， 形 BDG 的面积．E 为 AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角DA连接 AE ，FE ．F由蝴蝶定理可知 EO:OC S VBED : S VBCD ，而 S VBEDS WABCD ， S VBCDS WABCD，4 WABCD2 WABCD所以 EO :OCS VBED : S VBCD 11:2 ，故 EO EC ．3由于 F 为 CE 中点，所以 EF 11EC ，故 EO: EF22:3 ， FO:EO 1:2．由蝴蝶定理可知S VBFD : S VBEDFO :EO 1: 2 ，所以S VBFDS VBED S WABCD ，2 VBED8 WABCD那么S VBGD S VBFD S WABCD110 10 6.25 (平方厘米）．2 16 16例 9】如图，在 ABC 中，已知 M 、 N 分别在边 AC 、 BC 上， BM 与AN 相交于 O ,若 AOM 、 ABO 和BON 的面积分别是 3、 2、1，则 MNC 的面积是 ．是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．解析】 如图，设B 6A 2与 B 1 A 3的交点为 O ，则图中空白部分由 6个与 A 2OA 3一样大小的三角形组成， 只要求出了 A 2OA 3 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接 A 6A3 、 B 6B1、 B 6A3 ．设 A 1B 1B 6的面积为” 1“，则 B 1A 2B 6面积为”1“， A 1 A 2B 6面积为” 2“，那么 A 6A 3B 6面积为 A 1A 2B 6 的 2倍，为” 4“，梯形 A 1A 2A 3A 6的面积为 2 2 4 2 12， A 2B 6A 3 的面积为” 6 “， B 1A 2 A 3的解析】 这 道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．SS根据蝴蝶定理得 S MON SAOM SBONSAOB3 1 3 22例 10 】 设 SMONS ANMS MNCx ，根据共边定理我们可以得S ABMS MBC332 x32132 ，解得 xx 22.5 ．（2009 年迎春杯初赛六年级 ）正六边形A 1A 2 A 3 A 4 A 5 A 6的面积是 2009平方厘米，B 1B 2B 3B 4B 5B 6分别CB2B3B5B6面积为 2 ．根据蝴蝶定理，B1O A3O SB1A2B6 : S A3 A2 B61:6，故S A2OA3 166，SB1A2A312712所以S A2OA3:S梯形A1A2A3A6:12:1: 7，即A2OA3的面积为梯形A1 A2 A3 A6 面积的11，故为六边形71A1A2A3A4A5A6 面积的1，那么空白部分的面积为正六边形面积的14 1316 3，所以阴影部分面积为14 732009 1 1148（平方厘米）．7板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理” ）：b22①S1:S3 a2:b2②S1:S3 :S2 :S4 a2 :b2 :ab:ab；2③S 的对应份数为 a b 2．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）解析】设S1为a2份，S3为b2份，根据梯形蝴蝶定理，S3 4 b2，所以 b 2；又因为S2 2 a b，所以2a 1；那么S1 a21，S4 ab 2 ，所以梯形面积S S1 S2 S3 S4 1 2 4 2 9 ，或者根22 据梯形蝴蝶定理，S a b 2 1 2 2 9 ．巩固】（ 2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD ，对角线AC ，BD交于O，已知△AOB与△ BOC的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是__________ 平方厘米．解析】根据梯形蝴蝶定理，S VAOB:S VBOC a2:ab 25:35，可得a:b 5:7 ，再根据梯形蝴蝶定理，S V AOB : S VDOC a2:b2 52:72 25: 49 ，所以S V DOC 49（平方厘米）．那么梯形ABCD的面积为25 35 35 49 144（平方厘米）．例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形2BOC面积的2，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．3解析】 根据梯形蝴蝶定理，S VAOB : S VBOC ab:b22:3 ，可以求出 a:b 2:3 ，2 2 2 2再根据梯形蝴蝶定理， S VAOD : S VBOC a :b 2 :3 4:9 ． 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．S 梯形 ABCD 1.2 1.8 1.8 2.7 7.5 ．D例 13】 （ 第十届华杯赛 ） 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 三角形 ABD 的面积 3 ，那么 OC 的长是多少？ 三角形 CBD 的面积 5AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO 1并且解析】 例 14 】解析】 巩固】 根据蝴蝶定理，三角形 ABD 的面积 三角形 CBD 的AO，所以AOCO CO35，又 AO 1，所以CO53梯形的下底是上底的 1.5 倍，根据梯形蝴蝶定理， a:b 1:1.5 所以 S AOD 4 cm 2 ．AOB 、 三角形 OBC 的面积是 2:3 ，COD S AOD :S BOC的面积分别为 9cm 2 ，问三角形 AOD 的面积是多少？2 2 2 2a :b 2 :3 4:9 ，1.2和2.7 ，求梯形 ABCD 的面积．2S VAOD : S VAOB ab:a b:a 3: 2 ， 2 24:9，所以 a:b 2:3 ，3 S VAOD S VCOB1.2 1.8 ， V V22a :b C如图，梯形 ABCD 中， C解析】: S VACOD例 15】 如下图， 一个长方形被一些直线分成了若干个小块，的面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积．解析】 做 辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形平方厘米．巩固】在下图的正方形 ABCD 中， E 是BC 边的中点， AE 与BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米．解析】 连接 DE ，根据题意可知 BE: AD 1: 2 ，根据蝴蝶定理得 S 梯形 （1 2）2 9 （平方厘米 ） ，S △ECD 3（平已知三角形 ADG 的面积是 11 ，三角形 BCH解析】 如图，连结 EF ，显然四边形 ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积，所以四边形 EGFH 的面 积是 11 23 34．巩固】 （人大附中入学测试题 ）如图，长方形中，若三角形 1的面积与三角形 3的面积比为 4比 5，四边形2的面积为 36，则三角形 1 的面积为1 和三角解析】 形 3，所以 1 的面积就是 3644516 ，3 的面积就是 36 5 4520 ．M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．因为 M 是 AD 边上的中点，所以 AM :BC 1:2， 22 S △ AMG : S △ABG : S △ MCG : S △BCG 1 （: 1 2）（: 1 2）:2根据梯形蝴蝶定理可以知道所以正方形的面积为 1 2 2 4 3 12份， S 阴影1: 2:2:4，设S △AGM 1份，则 S △MCD2 2 4份，所以 S 阴影: S 正方形 1:3 ， 1 2 3 份， 所以 S 阴影 1例 16】如图面积为 12平方厘米的正方形 ABCD 中， E,F 是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．2 63 2 2平方厘米．3由于 EF:DC 1:3 ，根据梯形蝴蝶定理， S VDEO : S VEFO 3:1 ，所以 SVDEOS VDEF ，而 S V DEFV4V解析】 连接 AC ．由于 ABCD 是平行四边形， BC:CE 3: 2 ，所以 CE:AD 2:3 ， 根据梯形蝴蝶定理， SVCOE: S VAOC : S VDOE : S VAOD22:2 3: 2 3:32 4:6:6:9，所以S VAOC6（平方厘米） ， S VAOD 9 （平方厘米 ），又 S VABC S VACD 6 9 15 （平方厘米 ） ，阴影部分面积为 6 15 21（平 方厘米 ） ．巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （ 单位：平方厘米 ），阴影部 分的面积是 平方厘米．例 17 】解析】 因为 E,F 是 DC 边上的三等分点，所以 EF : ABS △ AOE S △OFB3份，S △ AOB9份，S△ ADE S △ BCF1:3 ，设 S △OEF 1 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道2 （1 3） 份，因此正方形的面积为 4 4 （1 3）224份， S阴影6 ，所以 S 阴影 :S 正方形6:24 1:4 ，所以 S 阴影 3平方厘米．例 18 】 AB 6厘米， AD 2 厘米，FB ，求阴影部分的面积．解析】方 法一：如图，连接 DE ， DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为S VADE平方厘米，所以 S V DEO 方法二：如图，连接 份， S梯形 EFCD(1 3)23 32 1.5 平方厘米，阴影部分的面积为4 DE ， FC ，由于16份， S△ ADE2 1.5 3.5 平方厘米．S 阴影4 3 7 份，而S 长方形 ABCD6 2EF :DC 1:3S △ BCF1 312 平方厘米， ，设 S△OEF 4 份，因此所以S 阴影 1份，根据梯形蝴蝶定理，16 4 24 份，S 长方形 ABCD 43.5 平方厘米 S △OED例 19 】 （2008 年”奥数网杯”六年级试题 面积为 6 平方厘米．则阴影部分的面）已知 ABCD 是平行四边形， BC:CE 平方厘米． 3: 2 ，三角形ODEEF如图，在长方形 ABCD 中， AE EF分析】 连接 AE ．由于 AD 与BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 S OCD S OAE ． 根据蝴蝶定理， SOCD SOAE SOCE SOAD 49 36 ，故 SOCD 36， 所以 SOCD 6（ 平方厘米 ）．巩固】 （2008 年三帆中学考题 ）右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位：平方厘米 ） ，阴影部分的面积是 平方厘米．解析】 连接 AE ． 由于 AD 与BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 S OCD S OAE ．2 根据蝴蝶定理， SOCD SOAE SOCE SOAD 2 8 16 ，故 S OCD 216 ，所以 S OCD4（平方厘米 ）．11 另解：在平行四边形 ABED 中， S ADE 1S YABED 116 8 12 （平方厘米 ），2Y2所以 S AOE SADE SAOD 12 8 4（ 平方厘米 ）， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为 8 2 4 4（ 平方厘米 ）．例 20】如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4块， DEF 的面积是 5平方厘米， CED 的面积是10 平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？巩固】如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4块， DEF 的面积是 4平方厘米， CED 的面积是 6平 方厘米．问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？分析】 连 接 BF ，根据梯形模型，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积相等，即其面积也是 10 平 方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为 10 10 520（ 平方厘米 ） ，所以长方形的面积为20 1060 （平方厘米 ）．四边形 ABEF 的面积为 60 5 10 20 25 （平方厘米 ） ．解析】（法1）连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形B EF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是 6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649（平方厘米），所以长方形的面积为96 2 30 （平方厘米）．四边形ABEF 的面积为30469 11（平方厘米）．（法2）由题意可知，EF42，根据相似三角形性质，ED EF 2，所以三角形BCE 的面积为：EC63EB EC 326 29（平方厘米）．则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为152 30（平方厘米）．四边形ABEF 的面积为304 6 9 11（平方厘米）．巩固】（ 98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54 ，OD的长是16，OB的长是9. 那么四边形OECD的面积是多少？解析】因为连接ED知道△ABO和△EDO 的面积相等即为54 ，又因为OD∶OB =16∶9 ,所以△AOD的面积为54 9 16 96 ，根据四边形的对角线性质知道：△ BEO 的面积为：54 54 96 30.375，所以四边形OECD 的面积为：54 96 30.375 119.625（平方厘米）.例21】（ 2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_________ 平方厘米．解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以S EOD S VFOC ，又根据蝴蝶定理，S EOD S FOC S EOF S COD ，所以S EOD S FOC S EOF S COD 2 8 16 ，所以S EOD 4 （平方厘米），S ECD 4 8 12 （平方厘米）．那么长方形ABCD的面积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24 5 2 8 9 （平方厘米）．例22】（ 98 迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD 的面积是．DC解析】 由于 DEFG 是正方形， 所以 DA 与BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形 ADBC 中， BDK 和11ACK 的面积是相等的． 而 AK :KB 1:3 ，所以 ACK 的面积是 ABC 面积的 ，那么 BDK1 3 4的面积也是 ABC 面积的 1．4由于 ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM DE ，可见 ABM 和 ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正 方形 DEFG 的面积相等，为 48．1那么 BDK 的面积为 48 112 ．4ADE 面积是 1.8， ABF 的面积是 9， BCF 的面积是 27．那么阴解析】 解 法一：连接 DE ，依题意 S VAOB 1BO AO 19 AO2254 ，所以 AO 12 ，例 23 】 又因为SS VDOE 54 1 16 OE ，所以 OE 63， 得S VBOE1 BO EO2 63 303， 4 9224 8303所以 S OECD S VBDC S VBOE S V ABD S VBOE54 96896 ，而 SVDOE S VAOB54 ，根据S VBOE S VAOD S VAOBS VDOE ，所以S VBOE54 54 96303，8S VBDC S VBOE S VABD S VBOE54 963038 5119 ． 8如图， ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与CD 相交于 K 点．已知正方形DEFG 的面积 48， AK:KB 1:3 ，则BKD 的面积是多少？则 S VAOD 1DO AO 116 12 96 ． V 2 2解法二：由于 SVAOD : SV AOBOD:OB 16:9 ，所以 S V AOD1195．8 1654 9蝴蝶定理， 所以 S OECD例 24】 如图所示， ABCD 是梯形，影 AEC 面积是多少？解析】 根 据梯形蝴蝶定理，可以得到S AFB S DFC S AFD S BFC ， 而 S AFB S DFC ( 等积变换 ) ，所以可得SS AFB S CDF S AFDSS BFC所以阴影 AEC 的面积是： S AEC S AEF 4 1.2 4 4.8．解析】 连 接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把88 六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 86 8．18 322ADEF 中有③ = ④，②×⑤== AD ： FE 2 = 4．又已知② -⑤= 6，所以⑤ = 6 (4 1) 2， ②=⑤ 4 8 ，所以②×⑤ = ④×④= 16，而③ = ④，所以③ =④=4，梯形 ADEF 的面积为②、③、④、 ⑤四块图形的面积和，为 8 4 4 2 18．有VCEF 与VADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，4 4 4即为 1:4．所以 VADC 面积为梯形 ADEF 面积的 4= 4，即为 18 424．因为 D 是 BC 中点，所以 4-1 33VABD 与 VADC 的面积相等，而 VABC 的面积为 VABD 、 VADC 的面积和，即为 24 24 48平方厘 米．三角形 ABC 的面积为 48平方厘米．例 27】如 图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在 分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面 积为 ．解析】 本 题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定99 273，并且 SAEFS ADF S AED3 1.8 1.2，而 S AFB :S BFC AF:FC 9:27 1:3 ，例 26 】 如图，已知 D 是 BC 中点， E 是 CD 的中点， F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由① ～⑥这 6 部分组成，其中 ②比⑤多 6 平方厘米．那么三角形 AABC 的面积是多少平方厘米？②⑤解析】 因 为 E 是 DC 中点， F为 AC 中点，有 AD 2FE 且平行于 AD ，则四边形 ADEF 为梯形．在梯形例 25 】理来解决一般情况．解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合， 如右图所示， 图中四个空白三角形的高均为 1.5， 因此空白处的总面积为 6 1.5 2 4 2 2 22 ，阴影部分的面积为 6 6 22 14 ． 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为 6，上底、下底之比为 2: 6 1:3 ，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之 比为12 :1 3:1 3:3 2 1:3:3:9 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 9，阴影部分的面16积占该梯形面积的 7，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7，那么阴影部分的面积为16167 2 2 (62 22) 14 ．16例 28】 如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别在 BC 与CD 上，且CE 2BE ，CF 2DF ，连接 BF 、DE ，相交于点 G ，过 G 作MN 、 PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG ，设正方形 MGQA 的面积为S 1 ，正方形 PCNG 的面积为 S 2，则 S 1:S 2解析】 连接 BD 、 EF ．设正方形 ABCD 边长为 3，则 CE CF 2，BE DF 1，所以， EF 2 22 22 8， BD 2 32 3218．因为 EF 2 BD 2 8 18 144 122 ，所以 EF BD 12 ．由梯形蝴蝶定理，得 S △GEF : S △GBD : S △DGF : S nBGEEF :BD : EF BD:EF BD 8:18:12 :12 4:9:6:6 ，所以，S △BGE6 S 梯形 BDFE66 265S 梯形BDFE．因为 S△ BCD93 3 2， S △CEF 2 2 2 2，249 所以S 梯形 BDFES △BCDS 5 ，S △ CEF ，所以， S △BGE6 5 3．△CEF225 2 5．由于 △BGE 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以 CN 32 1 6， ND 3 6 9，5 5 5 5 22所以 AM :CN DN :CN 3: 2，则 S 1: S 2 AM 2:CN 2 9:4．已知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是 平方厘米．解析】 连接 EF ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小 三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD 面积．例 29 】 如下图，在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 平行，且 CD 2AB ，点 E 、F 分别是 AD 和BC 的中点，9所以 S 54 9210 （ 平方厘米 ） ．35例 30】 (2006 年“迎春杯” 高年级组决赛 ) 下图中， 四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形， E 、 F 、 G 、H 分别是 AB ， BC ，CD ， DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m，那么， (m n) 的值等于解析】 左 、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面 积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接 EG ．设 AG 与DE 的交点为 M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD 的面积为长方形 1AEGD 面积的 ，所以三角形 AMD 的面积为4121111 1．又左图中四 个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为2 1 48 11 4．8 2A H D A H D13 设梯形 ABCD 的上底为 a ，总面积为 S ．则下底为 2a ， EF 1a 2a 3a ．所以AB:EF a:3a 2:3 ，EF:DC 3a:2a 3: 4．2 2由于梯形ABFE 和梯形 EFCD 的高相等，所以S梯形 ABFE :S 梯形 EFCDAB EF : EF DCa 3a: 2 3a 2a 5: 7 ，21212ABFE 内各三角形的面积之比为22 :2 3: 2 3:3 24: 6: 6:9 ，所以9953S VEMFS 梯形 ABFESS ；V4669 梯形25 12 20同理可得 S VENF9S梯形EFCD9 7S9 12 1216 49 1235由于 S EMFN54 平方厘米，22故S 梯形 ABFES ， S 梯形EFCD7S ．根据梯形蝴蝶定理，梯形 28S ，所以 S EMFNS VEMF S VENF3S 3S20 28 9S ，B F CB F C如上图所示，在右图中连接AC、EF ．设AF 、EC的交点为N ．1可知EF∥AC且AC 2EF ．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1，所以三角形BEF 的4 面积为12 1 1 1，梯形AEFC的面积为 1 1 3．2 4 8 2 8 8在梯形AEFC 中，由于EF : AC 1: 2 ，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：2 23 1 112:1 2:1 2:221:2: 2: 4 ，所以三角形EFN的面积为 3 1 1，那么四边形8 1 2 2 4 2411．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为61146那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1:13:2，即m 3，2 3 n 2那么m n 3 2 5 。