2020届名校联盟高三联考评估卷(八)数学(理)试题(解析版)

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2020年5月陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试卷及解析

∴综上,有：时, 在上单调递减, 上单调递增；时, 在上的单调递增
（2）由（1）,令有 , 存在两个极值点、即
由题意知： ,
∴
令 ,即和时, ,所以有在区间内分别单调递减
∴ 时,有 ,即
由①②两式消去得 ,
整理得 ,
解得或（舍去）,
∴ ．
故选C．
9.已知sinα、cosα是方程5x2﹣ x﹣2＝0的两个实根,且α∈（0,π）,则cos（α+ ）＝（）
A. B. ﹣ C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
根据韦达定理可得 , ,结合 ,可得 ,根据两角和的余弦公式可得 ,由此可得结果.
（2）（点差法）：设 , , 的中点为 ,椭圆的右焦点为 ,直线的斜率为 ,直线的斜率为 ,则： ,∴ ,∴ , ,∴ ,即： ,故不存在.
21.设函数．
（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅱ）若存在两个极值点、 ,且 ,求的取值范围．
【答案】（1）时, 在上单调递减, 上单调递增；时, 在上的单调递增；（2）
【解析】
（1）利用导函数 ,讨论在、时的取值范围及其对应的单调区间即可；（2）由存在两个极值点,即可得 ,同时可用表示出、 ,进而代入函数式得到 ,利用导函数研究其单调性,结合单调区间边界值即可确定的范围
【详解】（1）由题意,得
当时, ：时, 在上单调递减；时, 无递减区间
当时, ：时, 在上单调递增；时, 在上的单调递增
【答案】-13
【解析】
作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,z＝2x+y取得最小值．

《名校入学考》安徽省河北省2020届高三8月联考数学(理)试题(图片版,含解析)

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2020届江苏省高三上学期八校联考数学(理)试题(PDF解析版)

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1 to 4
答案：11
4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频
率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为 100，则 n 的值为
．
答案：1000
5．某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个
．
答案： a 0 或 a 1
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知集合 A＝ x y log2 (4x2 15x 9)，x R ，B＝ x x m 1，x R ．
．
4
3
4
4
答案： 6 3
11．直角△ABC 中，点 D 为斜边 BC 中点，AB＝ 6
3
，AC＝6，
uuur AE
1
uuur ED ，则
uuur AE
uuur EB
＝
．
2
B
D
E
A
C
答案：14
12．已知奇函数 f (x) 满足 f (1 x) f (1 x) ，若当 x(﹣1，1)时， f (x) lg 1 x 且 f (2019 a) 1 (0
食堂用餐的概率为
．
答案： 1 4
6．已知是第二象限角，其终边上一点 P(x， 5 )，且 cos 2 ，则 x 的值为
．
3
答案：﹣2
7．将函数 y sin(x ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左 3

湖北省八校2020届高三数学(理科)第二次联考(含答案)

又 AM AC ， a2 c2 ac a2 c2 ac, c 3a ,b 7 a ，
4
2
2
2
7a
由正弦定理知， a 2 ，得 sin BAC 21 .
sin BAC sin 60o
7
18 ．解答：（Ⅰ）
男女合计
课外体育不达标 60 90
150
课外体育达标 30 20 50
合计 90 110 200
sin
C
，
2
2
6．C 12．B
16．
3 4
,
11 4
即 3 sin B sin C sin B cos C sin A sin C sin B cos C cos B sin C sin C ，
3 sin B sin C cos B sin C sin C ，
3 sin B cos B 1 ，所以 2 sin(B ) 1 ，得 B ．
2b sin(C ) a c ． 6
（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若点 M 为 BC 中点，且 AM AC ，求 sin BAC ．
18．(本小题满分 12 分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校
200 名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻
C．关于点 ( ,0) 对称 12
D．关于点 (5 ,0) 对称 12
5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻
的概率为( )
A． 1 10
B． 2 3
C． 1 3
D． 1 4
6．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) ， f (x 1) f (1 x) ，且当 x [0,1] 时,

八校2020届高三下学期第二次联考数学(理)试题含解析

（2）假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为p的值。已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元。以最终奖金的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃；
(3）若已知50件布娃娃中有10个布娃娃有奖品,从这堆布娃娃中任意购买5个,若抽到k个有奖品可能性最大，求k的值.（k为正整数）
，，
,即 ,
，可得，
.
故选：B。
【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题需要学生有较强的空间想象和思维能力，综合性较强。在解决此类最值问题时，一般采用侧面展开的形式将立体问题转化为平面问题解决。
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分；其中16题第一空3分，第二空2分。
13。在等比数列中, ，，则 _______________.
【答案】31
【解析】
【分析】
由已知求得公比，利用等比数列的求和公式计算即可。
【详解】设等比数列公比，易求得， , 。
故答案为: 31。
【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式中基本量的计算，属于基础题。
14.自湖北武汉爆发新冠肺炎疫情以来，武汉市医护人员和医疗、生活物资严重短缺，其他兄弟省市纷纷驰援武汉等地。某运输队50辆汽车载满物资急赴武汉，如图是汽车经过某地时速度的频率分布直方图，则这50辆汽车速度中位数的估计值是_______________.
【详解】（1) ，
。
；
又，，
即对称中心是 .
（2) ，，
又为锐角三角形,
且 ,
即，，
得到，
而在中，，
即，
，
。
【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力,难度较易.

湖南省八校2020届高三毕业班调研联考数学(理)试卷 Word版含答案

绝密★启用前湖南省八校2020届高三毕业班调研联考数学（理）试卷本试题卷共23题(含选考题)。

考试时间：120分钟满分：150分命题人：lh 、lwz注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自已的姓名、准考证号和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第I 卷（选择题）一、选择题。

(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分。

在每小题的四个选项中只有一个选项最符合题目要求。

)1．已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则（）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2．已知()21i z-= 1i +（i 为虚数单位），则复数z=（）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（）A. 最低温与最高位为正相关B. 每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（）A. 7B. 8C. 15D. 16 5．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x=+>,则()1f -=( )A. -2B. 0C. 1D. 26．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7．三次函数1223)(23++-=x x ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行，则)(x f 在区间)3,1(上的最小值是（） A ．38 B ．611 C ．311 D ．358．已知()002sin13,2sin77a =， 1a b -=， a 与a b -的夹角为3π，则•a b =（）A. 2B. 3C. 4D. 59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（） A ．28yx = B ．28x y = C ．24yx = D ．24x y =10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A. 2B. 4C. 2D. 4+11．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>，点M ， N ， F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（）A. 121212．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（）A. 在线段上存在一定点，使得的长度是定值B. 点在某个球面上运动C. 对于任意位置，二面角始终大于二面角D. 存在某个位置，使得直线与所成角为第II 卷（非选择题）二、填空题。

浙江省2020届高三新高考名校联考信息卷(八)数学 Word版含解析

浙江新高考名校联考信息卷（八）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2560A x x x =--<，{}133x B x +=<，则()R B A ⋂=（）A. {}06x x <<B. {}10x x -<≤C. {}06x x ≤<D.{}0x x <【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A 、B ，再求出集合B 的补集，最后进行交运算，要注意是否能取到端点值．【详解】由2560x x --<，解得16x -<<，所以{}16A x x =-<<．由133x +<，得0x <，所以{}0B x x =<，所以{}0RB x x =≥，所以(){}R06B A x x ⋂=≤<，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的交、补运算，考查考生的运算求解能力及对基础知识的掌握情况．2.已知复数1z bi =+满足z zi z z⋅=--，其中z 为复数z 的共轭复数，则实数b =（） A. 1- B. 2C. 1D. 1或1-【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到21z z b ⋅=+，2z z bi -=，代入已知等式，即可求得实数b 的值．【详解】由题意得1z bi =-，所以221z z bi z z b-=⎧⎨⋅=+⎩，所以由z zi z z ⋅=--，得22122b bi b +=-=，得1b =．故选：C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等，考查考生对复数四则运算的掌握情况及运算求解能力，属于基础题. 3.函数()s ln co 2xxf x =的大致图象可能是（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】由()s ln co 2xxf x =，得x ∈R ，0x ≠且1x ≠±，故排除选项A 、B ． ()()()cos 2cos 2ln ln x xf x f x x x--===-，所以，函数()y f x =为偶函数，故排除D ，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质等，对考生的识图能力要求较高，属于中等题. 4.已知,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（） A. 33a b >B.11a b< C. 22a b >D.||a b b >+【答案】D 【解析】【分析】：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A 项是充要条件，B,C 是既不充分也不必要条件，只有D 项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果. 【详解】对于A ，根据函数3y x =的单调性可知，33a b a b >⇔>，是充要条件；对于B ，11a b <时，可以得到0a bab->，对应的结果为当0ab >时，a b >；当0ab <时，a b <，所以其为既不充分也不必要条件；对于C ，由22a b >，可以得到a b >，对于,a b 的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C ，经分析，当a b b >+时，得到,a b b b a b >+≥∴>,充分性成立，当a b >时，a b b >+不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.5.()4222111x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为（） A. 1 B. 4 C. 1- D. 4-【答案】A 【解析】【分析】将()421x -利用二项式定理展开，由此可求得()4222111x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数. 【详解】()()4222864222111114641x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以展开式中6x 的系数为6141--=．故选：A.【点睛】本题主要考查二项武定理，考查考生灵活处理问题的能力、运算求解能力，属于中等题.6.某空间几何体的三视图如图所示，其体积为1，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A. 1 5C.212D. 3【答案】D【解析】【分析】根据“长对正、宽相等、高平齐”还原该几何体，根据其体积为1求出x 的值，进而求出各个面的面积，得到答案．【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -，其中PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，22AB AD BC ===，PA x =．由该几何体的体积为1，得()1221132x +⨯⨯⨯=，解得1x =，故11212PABPADSS==⨯⨯=，151522PBCS =⨯⨯=，()12232ABCD S +⨯==四边形，()22162165222PCDS⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，故该几何体的各个面中最大面的面积为3，故选：D ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的面积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中等题.7.如图，1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上的点，Q 是线段1PF 上靠近1F 的三等分点，2PQF 为正三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.2 B.3 C.23D.7 【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到1PF \2PF ，再在12PF F △中运用余弦定理得到a 、c 的关系，进而求得椭圆的离心率．【详解】由椭圆的定义知，122PF PF a +=，则2322PQ PF a +=，因为2PQF 为正三角形，所以245a PF =，165aPF =．在12PF F △中，由余弦定理得22216364642cos60252555a a c a a ︒=+-⨯⨯⨯22825a =，则2725e =，7e ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.8.如图1，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 和CD 的中点，分别沿AE 、EF 、AF 将ABE △、ECF △、AFD 折起，使B 、C 、D 三点重合于P 点，如图2所示．设异面直线AP 与EF 所成的角为α，二面角E AP F --、A EF P --的大小分别为β、γ则下列说法正确的是（）A. γβα<<B. βγα<<C. γβα<=D.γβα=<【答案】C【解析】【分析】根据翻折的性质将所求的空间角转化为平面角，比较这三个角的大小即可．【详解】由翻折的性质易知，AP PE ⊥，AP PF ⊥，故AP ⊥平面PEF ，所以AP EF ⊥，即90α=．由AP PE ⊥，AP PF ⊥可知二面角E AP F --的平面角为EPF ∠，易知EPF 为等腰直角三角形，且90EPF ︒∠=．取EF 的中点M ，连接PM 、AM ，如图．易知二直角A F EF P ---的平面角为PMA ∠，显然PMA ∠为锐角，故γβα<=，故选：C ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、二面角，考查考生的空间想象能力，属于中等题. 9.已知m 、n 是两个非零向量，1m =，23m n +=，则2m n n ++的最大值为（） 510 C. 5D. 10【答案】C 【解析】【分析】可以用n 表示2m n n ++，然后令5sin n θ=，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得到()s 25in m n n θϕ=+++，其中1tan 2ϕ=，从而研究其最值即可.【详解】1m =，23m n +=，()2224419m nn m n +=+⋅+=，22n m n ∴+⋅=，()222225m nm m n n n ∴+=+⋅+=-，2252m n n n n ∴++=-+．令5sin n θ=，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()5cos s 2n 5in m n n θθθϕ=+=+++，其中1tan 2ϕ=，故2m n n ++的最大值为5．故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的模、向量的运算等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，属于中等题.10.已知正项数列{}n a 满足11a =，()112ln 1n n n n a a a a ++=++，则10a 的取值范围是（）A. 101120461024a << B.101110251024a << C. 10111023512a << D. 1011513512a << 【答案】C 【解析】【分析】先利用导数的知识得到()()ln 10x x x +<>，并利用此不等式对题干中的等式进行放缩，得到当2n ≥时，121n na >-，再利用()ln 10n a +>对题干中的等式进行放缩，得到2n ≥时，112n n a -<，从而得到10a 的取值范围．【详解】令()()ln 1f x x x =+-，则当0x >时，()11011x f x x x'=-=-<++，所以函数()y f x =在()0,∞+上单调递减，故()()(0)00f x f x <=>，即()()ln 10x x x +<>．因为0n a >，所以()11112ln 12n n n n n n n a a a a a a a +++++⋅=+<+⋅，即()12n n n a a a +<+，所以1121212n n n n n n n a a a a a a a +++<⇒>⇒++11111211n n n a a a ++⎛⎫>⇒+>+ ⎪⎝⎭，故当2n ≥时，11111212n n n a a -⎛⎫+<+= ⎪⎝⎭，所以当2n ≥时，101011121211023n n a a >⇒>=--．由0n a >，得()ln 10n a +>，故()1112ln 12n n n n n a a a a a +++=++>，即112n n a a +<，故当2n ≥时，1110111122512n n n a a a --⎛⎫<=⇒< ⎪⎝⎭，故10111023512a <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查导数、放缩法的应用等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知1sin 3θ=-，tan 0θ>，则cos θ=________，sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】(1).【解析】【分析】确定角θ的终边所在的象限，利用同角三角函数的基本关系可求得cos θ的值，利用二倍角公式及差角的正弦公式可求得sin 26πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为1sin 03θ=-<，tan 0θ>，所以θ为第三象限角，所以cos 3θ==-，所以sin 22sin cos 9θθθ==，27cos212sin 9θθ=-=，故1717sin 22cos 2622929218πθθθ⎛⎫-=-=-⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：3-. 【点睛】本题主要考三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，考查化归与转化思想，属于基础题.12.已知x 、y 满足约束条件2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则约束条件表示平面区域的面积为________，目标函数x y 的最大值为________．【答案】 (1). 20 (2). 4 【解析】【分析】作出可行域，计算三角形区域的面积，然后从目标函数的几何意义入手，数形结合即可求解目标函数的最大值．【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知()8,8C 、()4,0A 、()0,2B ，过点B 作x 轴的平行线，交AC 于点D ，易知()5,2D ，所以ABC 的面积158202S =⨯⨯=．令z x y =-，作出直线0x y -=并平移，数形结合知，z 在点B 处取得最小值2-，在点A 处取得最大值4，故目标函数x y 的最大值为4．故答案为：20；4.【点睛】本题主要考查线性规划问题，考查考生对数形结合思想方法的运用能力，属于基础题.13.已知随机变量ξ的所有可能取值为m 、n ，其中()()2m nP m P n ξξ+====，则E ξ=________；当D ξ取最小值时，mn = ________．【答案】 (1). 12 (2). 14【解析】【分析】由分布列的性质可得1m n +=，然后利用数学期望公式可计算出E ξ的值，并计算出D ξ的表达式，利用二次函数的基本性质可求得D ξ的最小值及其对应的mn 的值.【详解】由分布列的性质得122m n m n+++=，即1m n +=，所以()2222m n m n m n E m n ξ+++=⋅+⋅=12=，2222211111111112222222220D m n m m m ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=-⨯+--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝≥⎭，当且仅当12m n ==时等号成立，此时14mn =．故答案为：12；14.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的数学期望和方差等，考查的数学核心素养是数学运算，属于中等题.14.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知BD AC ⊥，D 为垂足，7a =，8b =，tan ABC ∠=-BD =________．【解析】【分析】根据tan ABC ∠=-sin ABC ∠、cos ABC ∠，并由正弦定理求出角A ，再由两角和的正弦公式求出sin C ，解直角三角形即可.【详解】在ABC中，22sin tan cos sin cos 1sin 0ABC ABC ABC ABC ABC ABC ∠⎧∠==-⎪∠⎪∠+∠=⎨⎪∠>⎪⎩，sin 71cos 7ABC ABC ⎧∠=⎪⎪∴⎨⎪∠=-⎪⎩，由正弦定理得7sin A =，sin 2A ∴=．,2ABC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，3A π∴=．在ABC 中，1sin sin()sin cos cos sin 7C A ABC A ABC A ABC ⎛⎫=+∠=∠+∠=- ⎪⎝⎭12714+⨯=，∴sin 7142BD a C =⋅=⨯=．故答案为：2. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正、余弦定理等知识，综合考查考生的运算求解能力、化归与转化能力，属于中等题.15.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足条件：①()()4f x f x =+；②()cos ,0221,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩．则()()2018f f =________；若方程()0f x k -=在(]2018,2018-上有3027个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】 (1). 12 (2). 10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】根据条件()()4f x f x =+推得函数()y f x =是周期为4的函数，结合函数解析式可求得()()2018f f 的值；作出函数()y f x =在(]2,2-上的图象，数形结合即可求解．【详解】因为()()4f x f x =+，所以()y f x =是周期为4的函数，故()()()()()12018212ff f f f ==-=．作出函数在(2,2]-上图象如图所示，由图可知，当102k <≤时，方程()0f x k -=在(]2,2-上有3个根，而函数()y f x =在(]2018,2018-上有1009个周期，所以方程()0f x k -=在(]2018,2018-上恰有3027个根，则每个周期内有三个根，所以k的取值范围为1 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：12；10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查考生用数形结合思想解题的意识与能力，属于中等题.16.某学校将一块长方形空地分成如图所示的八块，计划在这八块空地上种花．已知空地1、2上已经种了a花，其余空地需从A、B、C、D、E这5种花中选择若干种进行种植，要求每块空地只种一种花，且有公共顶点的两块空地种的花不能相同，则不同的种植方案有________种．【答案】1080【解析】分析】先考虑中间“田”字格的种植方案，然后考虑两边剩余的每块空地的种植方案的种数，利用分步乘法计数原理可求得结果.【详解】先考虑中间“田”字格的种植方案，共有45120A=（种），两边剩余的每块空地的种植方案的种数均为133C=，所以不同的种植方案有120331080⨯⨯=（种）．故答案为：1080.【点睛】本题主要考查排列组合问题，考查考生运用计数原理解决实际问题的能力，对分类讨论思想及运算求解能力提出了较高的要求，属于中等题.17.已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使2PF 、1PF 、12F F 成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】)2⎡+∞⎣ 【解析】【分析】根据2PF 、1PF 、12F F 成等比数列，得到21212PF PF F F =⋅，再根据点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得到122PF PF a -=，因此可以用a 、c 表示1PF 或2PF ，最后根据双曲线右支上的点到焦点的距离的取值范围，即1PF c a ≥+或2PF c a ≥-，得到关于e 的不等式，进而求出e 的取值范围．【详解】令1PF m =，2PF n =，则由2PF 、1PF 、12F F 成等比数列，得212m n F F =．又2m n a -=，122F F c =，所以()222m m a c =-，即2240m cm ac -+=，则24160c ac ∆=->，m c =>0∆，得4e >．又由m c a ≥+a ≥，224c ac a ≥-，2410e e --≥，所以2e ≥+故答案为：)2⎡+∞⎣.【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知函数()22sin 2f x x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,ϕπ∈．（1）当6π=ϕ时，求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 的最大值是32，求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）12f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）先代入6π=ϕ，再化简函数()y f x =的解析式，最后根据余弦函数的单调性求出()y f x =的单调递增区间；（2）根据题意及辅助角公式得到等式2211222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可得2ϕπ=，将ϕ代入()y f x =，求值即可．【详解】（1）当6π=ϕ时()22cos 2161cos 2sin 1222x x f x x x ππ⎤⎛⎫++ ⎪⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦=++=+ ⎪⎝⎭1111112cos2cos22cos 22622442232x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令22223k k x πππππ≤≤+++，k Z ∈，得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，故当6π=ϕ时，函数()y f x =的单调递增区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()()11112cos 2cos cos 2sin 22222222f x x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为函数()y f x =的最大值是32，所以22112ϕϕ⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 0ϕ=．又[)0,ϕπ∈，所以2ϕπ=，所以()1sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1122f π-⎛⎫=⎪⎝⎭．【点睛】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，属于中等题.19.如图，四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2BCD π∠=，2BC DC ==，4AB =，四边形CDFE 为正方形．（1）若EC BC ⊥，求证：AD BF ⊥；（2）若27=AE AE 与平面CDFE 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）2114. 【解析】【分析】（1）要证明线线垂直，可借助线面垂直进行证明；（2）先证明平面BCE ⊥平面CDFE ，再求出点B 到平面CEFD 的距离，确定A 到平面CEFD 的距离即B 到平面CEFD 的距离，最后在直角三角形中求解．【详解】（1）由四边形CDFE 为正方形，可得EC DC ⊥， EC BC ⊥，DCBC C =，EC ∴⊥平面ABCD ．又//FD EC ，FD ∴⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，FD AD ∴⊥．连接BD ，2BC CD ==，2BCD π∠=，22DB ∴=4AB =，且易知22AD =，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥．又FD AD ⊥，DB FD D ⋂=，AD ∴⊥平面BDF ，又FB ⊂平面BDF ，∴AD BF ⊥；（2）连接BE ，CD BC ⊥，CD CE ⊥，且BC CE C =，CD 平面BCE ，又CD ⊂平面CDFE ，∴平面BCE ⊥平面CDFE ．//AB CD ，AB ∴⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，AB BE ∴⊥，又4AB =，=AEBE ∴=．在等腰三角形BCE 中，易得6BEC π∠=，过B 作BG EC ⊥交EC 的延长线于点G，则BG =//AB CD ，A ∴、B 到平面CEFD 的距离相等，A ∴到平面CEFD的距离d BG ==设AE 与平面CEFD 所成的角为α，则sin 14d AE α===．【点睛】本题主要考查直线与平面垂直、直线与直线垂直、直线与平面所成的角等，考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中等题.20.已知等差数列{}n b 满足32b =，251681b b b b =++，数列{}n a 的前n 项和2124n n S b +=⋅-，*n N ∈．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在正数k ，使226936n n kT n a n n >-+对一切*n N ∈恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）12n n a +=，31222n n n b -+=+=；（2）()2,+∞. 【解析】【分析】（1）先根据等差数列的性质求出53b =，再根据32b =求出等差数列{}n b 的通项公式，最后根据n S 和n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式；（2）先运用错位相减法求出n T ，再分离参数，最后运用基本不等式求解即可．【详解】（1）因为数列{}n b 是等差数列，所以1845b b b b +=+，45653b b b b ++=，由251681b b b b =++，得25513b b =，所以53b =．又32b =，所以公差12d =，所以31222n n n b -+=+=，11b =，所以224n n S +=-．当1n =时，311244a S ==-=，当2n ≥时，211124242n n n n n n a S S +++-=-=--+=，经检验，当1n =时也满足上式，所以12n n a +=；（2）由（1）得，()112122n n n n n a b n ++=⋅=+⋅，所以()12322324212n n T n =⨯+⨯++++⨯⨯，①()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()()()123111412422212412212n nn n n nT n n n -+++--=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅-，所以12n n T n +=⋅．因为不等式226936n n kT n a n n >-+对一切*n N ∈恒成立，所以26936n k n n >-+对一切*n N ∈恒成立，即6369k n n>+-对一切*n N ∈恒成立．令()6369g n n n =+-，*n N ∈，则()62369g n n n=≤=+-，当且仅当6n =时等号成立，所以()max 2g n =，所以2k >，故k 的取值范围是()2,+∞．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，错位相减法求和等，考查考生处理不等式恒成立问题的能力，属于中等题.21.如图，已知直线():0m y t t =>交抛物线2:4M x y =于A 、D 两点（点A 在点D 左侧），过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使得直线l 与抛物线M 在点D 处的切线平行，设直线l 与抛物线M 交于B 、C 两点．（1）记直线AC 、AB 的斜率分别为AC k 、AB k ，证明：0AC AB k k +=；（2）若AC AB ⊥，求BCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）16. 【解析】【分析】（1）设2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义及直线的斜率公式求解；（2）根据AC AB ⊥及0AC AB k k +=，可得45CAD BAD ∠=∠=，表示出AB 、AC ，再表示出2BC ，得到128x x -=，设线段BC 的中点为N ，求出()212116DN x x =-，最后根据BC 的中点N 与点D 的连线平行于y 轴，得1212BCDS DN x x =⋅-，从而得结果．【详解】（1）由24x y =得，214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012l k x =．由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2212120121114442l x x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．因为2210101011444ACx x x x kx x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+，所以()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==；（2）由0AC AB k k +=且AC AB ⊥可知，45CAD BAD ∠=∠=，不妨设点C 在AD 上方，则21x x <，直线AB 的方程为()20014y x x x -=-+．由()2002144y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩，得点B 的坐标为()20044,4x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．所以)()00042AB x x =---=-，同理可得02AC =+．所以())()222220012121641B x x x x x C A ⎛⎫=+=-=+⋅- ⎪⎝⎭，得128x x -=．设线段BC 的中点为N ，则点N 的坐标为221212,28x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即22120,8x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，连接DN ，易知()()2222121212||81616x x x x x x DN +-+=-=，所以312121116232BCDSDN x x x x =⋅-=-=．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，两直线的位置关系，三角形的面积等，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于难题.22.已知函数()()221x ax f x x a R e=--∈．（1）若()f x 在()2,+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）证明：当2a ≥时，不等式()32xe f x ax <在[]0,2x ∈上恒成立．【答案】（1）)32,e ⎡-+∞⎣；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题意得出()0f x '≥对任意的()2,x ∈+∞恒成立，利用参变量分离法得出22x e a x -≤-在()2,+∞上恒成立．构造函数()()222xe g x x x =>-，利用导数求出函数()y g x =的最小值，由此可得出实数a 的取值范围；（2）分(]1,2x ∈和[]0,1x ∈来证明不等式()32x e f x ax <成立，在(]1,2x ∈时显然成立，在[]0,1x ∈时，可考虑证2()2x e f x ax ≤，即证2113x e a x ⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭，构造函数()211x h x e x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，利用导数分析函数()y h x =的单调性与最值，即可得证. 【详解】（1）因为()221x ax f x x e =--，所以()222222x x x ax ax xe ax ax f x x e e--+'=-=．因为函数()y f x =在()2,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()2,+∞上恒成立，即2220x xe ax ax +≥-在()2,+∞上恒成立，即22xe a x -≤-在()2,+∞上恒成立．令()()222x e g x x x =>-，则()()()()()222222322x x x e x e e x g x x x ---'==--，所以当()2,3x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增．所以()()3min 32g x g e ==，所以32a e -≤，即32a e ≥-，故a 的取值范围为)32,e ⎡-+∞⎣；（2）显然，当2a ≥时，3()02x e f x ax <≤在[]0,1x ∈上恒成立．当(]1,2x ∈时，3222ax ax >，所以可考虑证2()2x e f x ax ≤，即证2113x e a x ⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭．令()211x h x e x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则()23121x h x e xx ⎛⎫'=-+⋅ ⎪⎝⎭，当(]1,2x ∈时，2110x->，()0h x '>，即函数()y h x =在(]1,2上单调递增，所以当(]1,2x ∈时，()()(223326344h x h e a ≤=<⨯=≤，所以当(]1,2x ∈时，()32x e f x ax <．综上，当2a ≥时，不等式()32x e f x ax <在[]0,2x ∈上恒成立．【点睛】本题主要考查导数的运算、函数的单调性等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，属于难题.。

2020年5月陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷数学(理)试卷及解析

【详解】（1）设等比数列的公比为 ,由题意得
,
解之得（舍去）,
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）得 ,
∴ ,
∴ ,
∴不等式 ,
即 ,
得
∴ （舍去）,或（）,
故使得成立的正整数的最小值为 .
18.某单位招聘职员,共有三轮考核,每轮考核回答一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是、、 .且各轮问题能否正确回答互不影响.
所以 ,
解得 ,
所以 ,
可得 ,切点为 ,斜率 ,
所以切线为：
故选：A
8.执行如图所示程序框图,若输入的 , ,则输出的是（）.
A. 15B.16C. 17D. 18
【答案】B
【解析】
按程序框图运行即可得到正确答案.
【详解】第一步： , , , , , , , 不成立,
第二步： , , , , 不成立,
【详解】（1）证明：因为四边形为菱形,
所以 ,∵ 平面 ,
所以 , ,
故平面 ,又平面 ,
所以平面平面 .
（2）解：设 ,则 ,得 .
在菱形中,由 , ,
可得 , ,
过作直线平面 ,以为原点,直线为轴,
直线为轴, 为轴建立空间直角坐标系 .
则 , , , , , , ,
,
设 ,（）
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
【答案】（1）；（2） .
【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25,再根据将普通方程化为极坐标方程：（2）将代入得得 ,也可利用直角坐标方程求交点,再转化为极坐标

2020年陕西省西安市八校高考(理科)数学联考试卷 (解析版)

2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。

江苏省2020届高三上学期八校联考数学(理)试题 (含答案)

江苏省2020届高三上学期八校联考模拟试卷数学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B＝．答案：{1，5} 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝．答案：2i 3-+3．如图伪代码的输出结果为．答案：114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为．答案：10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为．答案：146．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为．答案：﹣27．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是．答案：1sin()26y x π=-S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ．答案：79．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为．答案：10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r ，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝．答案：1412．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ．答案：21113．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是．答案：e14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是．答案：0a <或1a =二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分，且EF ＝DC ＝12AB ．故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35．（1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，3)，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b ＝53，求a 的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C＝152． ………4分又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45．所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． ………6分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分所以B ＝3π． ………………10分所以3314433sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=----12分由正弦定理，53433sin sin 4333a b a A B =⇒=⇒=++------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设， -------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值，此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分令，即，因，所以，-------12分当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明；（2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n ]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x x x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x <21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。

安徽省示范高中(皖江八校)2020届高三第八联考数学理试题Word版含解析

安徽省示范高中（皖江八校）2020届高三第八联考数学理试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,,若,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题3是方程的一个根，从而得到由此能求出集合．详解：∵，∴，即，∴故选B.点睛：本题考查集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2. 已知是的共轭复数,且,则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，则，由此可求出.详解：设，则，∴．故选D.点睛：本题考查了复数的定义和复数的模以及共轭复数的定义，属于基础题．3. 已知等差数列的前项和为,且,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由得，由等差数列的性质可得，又，则，由此可求出详解：由得，,又，∴，即.故选C.点睛：本题考查等差数列的有关性质，属中档题.4. 【安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考】如下图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元 .D. 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.【答案】D【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5. 已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由对称性分析可得点在双曲线上，代入求得，计算离心率.详解：由双曲线对称性可知，点在双曲线上，且点一定不再双曲线上，则点在双曲线上，代入可得，则，所以，故选C.点睛：本题解题的关键是能够根据对称性判断出哪三个点在双曲线上，进而求解的值，利用公式求出离心率.6. 执行如下图所示的程序框图,则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据框图的流程依次运行程序，直到满足条件s≤-1，确定输出的i值即可得解．详解：否；否；否；否；是，输出故选B．点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．7. 已知满足时, 的最大值为,则直线过定点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点............................故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．8. 2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．详解：如图，时间轴点所示，概率为故选C.点睛：本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题．9. 设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：取中点，则，进而得到，从而确定点的位置，进而求得的面积与的面积之比．详解：如图，取中点，，则，∴，∵，∴，∴.故选A.点睛：本题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．属基础题．10. 函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（）A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】分析：由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.故选B.点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定与是否为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．11. 某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，可知是直线与面的交点，也是直线与直线的交点没有此可求三棱锥外接球的半径，得到棱锥的外接球的表面积详解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，又点到距离相等，∴点又在线段的垂直平分面上，故是直线与面的交点，可知是直线与直线的交点（分别是左侧正方体对棱的中点）∴，，故三棱锥外接球的半径，表面积为.故选A.点睛：本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题得，令，，利用导数性质能求出实数的取值范围．详解：由，得，得，即，令，，则，显然是函数的唯一零点，易得，∴，即.故选D.点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上.13. 的值为__________．【答案】1【解析】分析：由，即两角差的余弦公式展开即可求值．详解：原式即答案为1 .点睛：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键，属基础题．14. 已知则__________．【答案】24【解析】分析：由题意根据，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．详解：由题意根据，.即答案为24 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．15. 是抛物线上一点, 是抛物线的焦点, 为坐标原点着是抛物线的准线与轴的交点,则__________．【答案】【解析】分析：设，得，所以，由向量的夹角公式可求. 详解：由抛物线的对称性不妨设，则，得，因为，所以，可得，，所以.点睛：本题考查抛物线的方程与定义，考查向量的夹角公式的应用，属基础题．16. 设为数列的前项和,已知,对任意 ,都有,则的最小值为__________．【答案】30【解析】分析：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，由此得到，由可得，利用基本不等式可求的最小值.详解：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴，，∴当且仅当即时，等号成立，点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用基本不等式求函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的制定区域内.17. 在锐角中,（I）求角；(Ⅱ)若,求的取值范围.【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据余弦定理化简所给条件可得，所以，根据角的范围可得角A；（Ⅱ）由题根据所给条件可得，根据正弦定理可得，所以，然后根据可得bc的范围．试题解析：（1）由且4分（2）又8分12分考点：正弦定理、余弦定理的应用18. 如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形, 是的中点,且,.(I)证明: ；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值 .【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）设法证明四边形是平行四边形，则，由即可求出证明，（Ⅱ）以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值 .．详解：(Ⅰ)如图1所示，连接交于点，连接.∵四边形是正方形，∴是的中点又已知是的中点，∴又∵且，∴即四边形是平行四边形，∴，∵，∴(Ⅱ) 如图2所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，令，则，，∴，，，设平面的法向量为，则由，，可得：，可令，则，∴平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则.点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间向量、线面角、线面平行的判定定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19. 2017年5月,来自“一带一路”沿线的国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内个人口超过万的超大城市和个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取个城市,全是小城市的概率为.(I)求的值;(Ⅱ)若一次抽取个城市,则:①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望; ②取出个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）①见解析②【解析】分析：（Ⅰ）根据题意，共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，由古典概型可求全是小城市的概率；（Ⅱ）①.，根据超几何分布可得到的分布列和期望;②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；由此可求全为超大城市的概率详解：（Ⅰ）共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，故全是小城市的概率是， ∴，∴，故.（Ⅱ）①.；；；；.故的分布列为.②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；故全为超大城市的概率为.点睛：本题考查古典概型的概率，离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布分布的性质的合理运用．20. 已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为，过点的动直线被椭圆所截得的线段长度的最小值为 .(I)求椭圆的方程;(Ⅱ) 是椭圆上异于顶点的一点,且直线是线段延长线上一点,且，的半径为是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求出取得最大值时直线的斜率 .【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.【解析】分析：（Ⅰ）由已知，可得，解得设椭圆方程：，当直线斜率不存在时，线段长为；当直线斜率存在时，设方程：，由弦长公式可得的长小于，易知当时，的最小值为，从而，由此得到椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而的半径，又直线的方程为，可得，由题意可知，要求的最大值，即求的最小值，由题意可知，转化为关于的函数，换元后利用配方法可得的最大值,以及取得最大值时直线的斜率 .详解：（Ⅰ）由已知，可得.又由，可得，解得设椭圆方程：，当直线斜率不存在时，线段长为；当直线斜率存在时，设方程：，由，得，从而，易知当时，的最小值为，从而，因此，椭圆的方程为：.（Ⅱ）由第（Ⅰ）问知，，而的半径，又直线的方程为，由，得，因此，由题意可知，要求的最大值，即求的最小值而，令，则，因此,，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以的最大值为.综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.点睛：本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．21. 已知函数(I)若,函数的极大值为,求实数的值；(Ⅱ)若对任意的在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）【解析】分析：（1）求出导函数，对分类讨论，根据单调性判断函数的极大值，确定的值即可；（2）构造关于的函数令，，则对恒成立等价于，即，对恒成立，把问题转化为最值问题，对分类讨论得出的范围即可．详解：（Ⅰ）由题意，.①当时，，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减.所以的极大值为，不合题意.②当时，，令，得；，得或，所以在单调递增，，单调递减.所以的极大值为，得.综上所述.（Ⅱ）令，，当时，，则对恒成立等价于，即，对恒成立.①当时，，，，此时，不合题意.②当时，令，，则，其中，，令，则在区间上单调递增，时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立.时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意.综上所述，.点睛：本题考查了导函数的综合应用和函数的构造，二次求导问题，综合性强，难度较大请考生从第22、23题中任选一题做答,井用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂，按本选考题的首题进行评分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求的极坐标方程;(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为,求的面积.【答案】(Ⅰ) ，（Ⅱ）【解析】分析：(1)将代入可得其极坐标方程;(2)分别将代入的极坐标方程，可求得的值，进而计算的面积.详解：（Ⅰ）因为，，所以的极坐标方程为，即，的极坐标方程为.（Ⅱ）代入，得，解得.代入，得，解得.故的面积为.点睛：本题着重考察直角坐标方程与极坐标方程的互化，三角形的面积问题可以利用面积公式或者转化成弦长问题和点到直线的距离解决.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数(I)若不等式的解集为，求实数的值;(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 或（Ⅱ）【解析】分析：(1)根据的表达式求出，再解绝对值不等式;(2)由绝对值的性质可得，则原问题转化为恒成立，即恒成立，反表示出，求出的最大值即可.详解：（Ⅰ），由条件得，得或，∴，即或.（Ⅱ）原不等式等价于恒成立，而，∴，则恒成立，∵，∴，等号成立当且仅当时成立.点睛：(1)对于两侧都含有绝对值的不等式可以采用平方的策略去掉绝对值；（2）充分利用定理将问题转化为求函数最值问题.。

2020年高考名校名师仿真模拟联考试题(新课标全国卷)—理科数学答案(08)

2020年高考名校仿真模拟联考试题(新课标全国卷)理科数学(八)答案1．D 【解析】3i (3i)(2i)1i 2i (2i)(2i)---==-++-，故选D ． 2．C 【解析】由题可知t ∈(-2，1)，所以2[,4)x t a a a =-∈--，所以{|4}B x a x a =--≤≤，由A B ⊆，得241a a --⎧⎨-⎩≤≥，解得23a ≤≤，故选C ． 3．D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则由题意，得42245516128a a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，两式相除，解得2q =，所以21617a =，故选D ． 4．B 【解析】由题意可得，(0.002 4+0.003 6+x +0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50=1，解得x =0.006 0，所以前三组的人数之比为0.002 4：0.003 6：0.006 0=2：3：5，故应从[100，150)内抽取的人数为10×3235++=3，故选B ．5．C 【解析】由题意，可得242T ππ=⨯=，则24T πω==，()sin(4)3f x x π=+，于是由242232k x k πππππ-+++≤≤(k ∈Z )，得()f x 的单调递增区间为[5242k ππ-+，242k ππ+] (k ∈Z )，故选C ． 6．A 【解析】执行程序框图，2x =，143M =，不满足*M ∈N ，3x =，327M =，不满足*M ∈N ，4x =，8615M =，不满足*M ∈N ，5x =，8M =，满足*M ∈N ，此时退出循环，所以输出的8M =，故选A ．7．A 【解析】由三视图知，该几何体可看作一个三棱柱与一个圆柱的34构成的组合体，如图，其中三棱柱的底面是直角边为4的等腰直角三角形、高为4，圆柱的底面半径为4、高为4，所以该几何体的表面积2133442442244244S ππ=⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯1648π=+，故选A ．8．C 【解析】二项式282(ax +的展开式的通项公式为82182C (()r r r r T ax -+=，令3r =，得35382C )5622a ⨯⨯=2a =，所以22112113(cos )(cos )(sin )122ax x dx x x dx x x ππππ-=-=-=⎰⎰，故选C ．9．B 【解析】()()(1)x x x f x e x a e x a e '=+-=-+，则2(2)(3)f a e '=-，2(2)(1)f a e -'-=-+，由题意得，22(3)[(1)]3a e a e --⨯-+=-，即220a a -=，结合0a >，得2a =，所以()(2)xf x x e =-，()(1)xf x x e '=-，则(2)0f =，2(2)f e '=，于是切线1l 的方程为2(2)y e x =-，令0y =，得2x =，令0x =，得22y e =-，所以切线1l 与坐标轴围成的三角形的面积为2212|2|22e e ⨯⨯-=，故选B ． 10．A 【解析】由222221x y a b by a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x c =±，所以2(,)b P c a -，2(,)b Q c a ．因为(,0)A a ，所以2(,)b AP c a a=--u u u r ，2(,)b AQ c a a =-u u u r ．又122PAF QAF π∠+∠<，所以2PAQ ππ<∠<，则0AP AQ ⋅<u u u r u u u r，即22()()0b b c a c a a a ---+⨯<，整理，得42220b a c a-+<．因为222c a b -=，所以4220b b a-+<，所以221b a <，所以双曲线C 的离心率21()2c be a a==+1e >，所以12e <<A ． 11．A 【解析】因为F 为AB 的中点，CA CB =，所以CF AB ⊥．因为平面ABDE ⊥平面ABC ，所以CF ⊥平面ABDE ，则CF FD ⊥，CF FG ⊥．易知在矩形ABDE 中，2223FG AF AG =+=，2226FD FB BD =+=，2229DG GE ED =+=，所以222DG GF FD =+，则GF FD ⊥，因为点F ，C ，D ，G 均在球O 上，所以以F 为顶点，FC ，FD ，FG 为相邻棱的长方体的所有顶点均在球O 上，则球O 的直径222211R FC FD FG =++=，即11R =，则球O 的体积3344111111()3326V R πππ==⋅=，故选A ． 12．B 【解析】函数()()2g x f x mx m =-+的零点即方程()(2)f x m x =-的根，∴|21|,2()32,21x x f x m x x x ⎧-<⎪==⎨->⎪-⎩，根据题意可知直线y m =与函数|21|,23,21x x y x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图，由图可知当01m <<时，两个函数图象有三个不同的交点，即函数()()2g x f x mx m =-+有三个不同的零点，故选B ．13．3332p =，解得3p = 14．132【解析】解法一由正六边形的性质知，12FQ BC =u u u r u u u r ，2AF CD CP ==u u u r u u u r u u u r ，则由题意，得122AQ AF FQ CP BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，BP BC CP =+u u ur u u u r u u u r ，∴22151(2)()2||||222AQ BP CP BC CP BC CP CP BC BC ⋅=+⋅+=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2251132112cos602224=⨯+⨯⨯+⨯=o ．解法二以A 为坐标原点，AB u u u r ，AE u u u r的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，0)，B (2，0)，E (0，23)，F (-1，3)，C(3，3)，D(2，23)，∴133(,)22Q -，533(,22P ），133(,)22AQ =-u u u r ，133(,)22BP =u u u r ， ∴12713442AQ BP ⋅=-+=u u u r u u u r ．15．7 440【解析】设生产毛绒小猪x 个，毛绒小狗y 个，则由题意，得1200720144000251530003092700,x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪∈⎩N≤≤≤，即53600103900,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪∈⎩N≤≤，销售额6436z x y =+．作出可行域，如图中阴影部分包含的整数点，由图象知，当6436z x y =+经过点A (60，100)时取得最大值，即max 6460361007440z =⨯+⨯=．16．121【解析】由3122n n n a a ++=+，得11242n n n a a ++=+⋅，所以11422n nn n a a ++=+，即11422n n n na a ++-=，即14n n c c +-=，所以数列{}n c 是首项为1142a c ==，公差为4的等差数列，故44(1)4n c n n =+-=．所以111n n nb n nc c n n+===++++于是121)1n n T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+．110>，解得120n >，故使10n T >的n 的最小值为121． 17．【解析】(1)∵2BC CD ==，BCD ∠=120°，∴CBD BCD ∠=∠=30°，∴ABD CBD ∠=∠=30°．在BCD ∆中，由余弦定理，得BD ===在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB ADADB ABD=∠∠，∴sin sin 2AB ADB ABD AD ∠=⋅∠=， ∴ADB ∠=45°，∴BAD ∠=105°．又sin105sin 75sin 45cos30cos 45sin 30==+=oooooo∴ABD ∆的外接圆直径2sin 4BDR BAD===∠∴ABD ∆的外接圆半径R = (2)在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD=∠∠，∴sin 6sin 4BD ADBAB BAD⋅∠===-∠ 又2ABC ABD ∠=∠==60°， ∴ABC ∆的面积11sin (621)222S AB BC ABC =⋅∠=-⨯⨯=． 18．【解析】(1)由题意知BD AC ⊥．设AC 交BD 于点O ，连接OF ，易知BD =12EF BD DO ===，又EF BD ∥，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴DE FO ∥，又DE BD ⊥，∴BD FO ⊥．。

【精准解析】陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题

【详解】对于
A,B
两个选项，
f
π 2
0
，不符合图像，排除
A,B
选项.对于
C
选项，
f 1 e cos1 1，不符合图像，排除 C 选项，故选 D.
【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属
于基础题.
6. 设 e1, e2 是平面内两个不共线的向量， AB (a 1)e1 e2, AC be1 2e2 （a＞0，b＞0），
A. 1 2i
【答案】A
B. 1 2i
C. 2 i
D. 2 3i
【解析】
【分析】
由题意可得 a2 1 a2 5 ，解得 a 1或 a 2 ，据此可知 z 1 2i 或 z 2 i ，结合
共轭复数的特征确定 z 的值即可.
【详解】由 z z 5 可得 a2 1 a2 5 ，解得 a 1或 a 2 ，
3 2
sin
2x
sin
2x
6
1 2
，
f (x) 的最大值是 3 ，A 正确． 2
x0
5 6
,
4 3
时，
2x
6
11 6
, 17 6
，
sin
2
x
6
1 2
，
f
(x)
0
无解，B
正确；
-7-
x [ 6
,
2
] 时，
2x
6
2
，7 6
，
f
(x)
递减，C
正确；
f
5 12
sin
1 2
2
2
2 2
5 5
2