高考数学二模试题2015年黄浦区二模(理科)文科含答案

2015年黄浦区第二次高三数学质量检测
数学试卷（理科）
注意：1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3.本试卷共23道试题，满分150，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题题满分56分）本大题共有14题；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数()()()
2lg 31
x f x x x -=-+
+的定义域是 .
2.函数()
22log 1y x =-的单调递减区间是 .
3.已知集合{}
{}2|160,,|3,A x x x R B x x a x R =-≤∈=-≤∈，若B A ⊆，则正实数a 的取值范围是 .
4.若二次函数()222231y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数，则函数()()21,m f x x mx x x R =-+≤∈的反函数()1f x -= .
5.已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点
()()3,40,P a a a a R -≠∈，则cos2α的值是 .
6.在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2222sin a b c bc A =+-，则A ∠= .
7.在等差数列{}n a 中，若8103,1,9m a a a =-==，则正整数m = . 8.已知点()()2,31,4A B --、，则直线AB 的点法向量式方程是 . 9.已知抛物线2
16y x =的焦点与双曲线()22
21012
x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近
线方程是 .
10.已知AB 是球O 的一条直径，点1O 是AB 上一点，若14OO =，平面α过点1O 且垂直
AB ，截得圆1O ，当圆1O 的面积为9π时，则球O 的表面积是 .
11.若二次函数()y f x =对一切x R ∈恒有()2224245x x f x x x -+≤≤-+成立，且
()527f =，则()11f = .
12.在平面直角坐标系中，直线3:32x t l y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t R ∈），圆2cos :22sin x C y θ
θ=⎧⎨=+⎩
（θ
是参数，[)0,2θπ∈），则圆心到直线的距离是 .
13.一个不透明的袋子里装有外形和地质完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球记4分，若用随机变量ξ表示随机摸一个球的得分，则随机变量ξ的数学期望E ξ的值是 分.
14.已知点()()4,02,2B C 、，平面直角坐标系上的动点P 满足OP OB OC λμ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r
（其中O
是坐标原点，且1,1a b λμ<≤<≤），若动点P 组成的区域的面积为8，则a b +的最小值是 .4
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号处，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律不得分. 15.在空间中，下列命题正确的是（ ）
A ．若两直线,a b 与直线l 所成的角相等，那么//a b
B ．空间不同的三点A 、B 、
C 确定一个平面
C. 如果直线//l 平面α且//l 平面β，那么//αβ
D ．若直线a 与平面M 没有公共点，则直线//a 平面M
16.设实数1212,,,a a b b 均不为0，则“1122=a b
a b 成立”是“关于x 的不等式110a x b +>与220
a x
b +>的解集相同”的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
17.若复数z 同时满足2,z z i z iz -==，则z = （i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数）（ ） A.1i - B.i C.1i -- D.1i -+
18.已知数列{}n a 共有5项，满足123450a a a a a >>>>≥，且对任意i 、j ()15i j ≤≤≤有
i j a a -仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：
（1）50a = （2）414a a = （3）数列{}n a 是等差数列 （4）集合{}
,15i j A x x a a i j ==+≤≤≤中共有9个元素.
则其中真命题的序号是（ ）
A. （1）（2）（3）（4） B （1）（4） C.（2）（3） D.（1）（3）（4）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -.
（1）若11A C 的中点为1O ，求求异面直线1BO 与11A D 所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）求点D 到平面11A BC 的距离d .
20. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.
已知函数(
)1sin 21,2g x x x x R =+∈，函数()f x 与函数()g x 的图像关于原点对称
（1）求()y f x =的解析式；
（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.
21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
有一块铁皮零件，其形状是由边长为40cm 的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形，其中12AF =cm ，10BF =cm ，如图所示，现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN ，使得矩形的相邻两边分别落在,CD DE 上，另一个顶点P 落在边CB 或BA 边上，设DM x =cm ，矩形DMPN 的面积为y 2cm .
（1）试求出矩形铁皮DMPN 的面积y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）试问如何截取（即x 取何值时），可使得到的矩形DMPN 的面积最大？
A B C
D 1A 1
C 1
D
22.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.
已知数列{}n a 满足11
2
a =
，对任意的*,N m p ∈，都有m p m p a a a +=⋅. （1）求数列{}()
*N n a n ∈的递推公式； （2）数列{}n b 满足()()1
*312231N 21212121
n n n n
b b b b a n +=-+++-∈++++L ，求数列{}n b 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}()
*N n c n ∈是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由.
23.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知点()1F 、)
2F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=u u u r u u u u r
，
设动点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()2
2:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r
的取值范围；
（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r
（O 是坐标原点），试证明：直线AB
与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程.
文科试卷
0,24 23-（2）[]。