北师大版八年级数学上册教案《平方根》北师大)
2023八年级数学上册第二章实数2平方根第2课时平方根教案(新版)北师大版
3.信息化资源：教学课件、动画演示、数学视频讲解、在线习题库。
4.教学手段：讲解、示范、引导、讨论、小组合作、练习、反馈。
教学实施过程
1.课前自主探索
教师活动：
-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
学生活动：
-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。
-参与课堂活动：积极参与小组讨论、实际计算练习等活动，体验平方根的运算。
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解平方根的概念和性质。
-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握平方根的运算。
-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
-预习资料：PPT、视频、文档等。
作用与目的：
-帮助学生提前了解平方根的概念和性质，为课堂学习做好准备。
本节课的教学目标包括：理解平方根的概念，掌握平方根的性质，能够熟练运用平方根进行计算。在教学过程中，需要注意引导学生通过观察、思考、探究来理解平方根的概念和性质，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。同时，结合学生的实际情况，适当增加一些与生活实际相关的例题，提高学生的学习兴趣和积极性。
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。通过平方根的概念探究，使学生能够抽象出平方根的定义，理解平方根的本质特征，提升数学抽象能力；通过平方根性质的探究，让学生学会运用逻辑推理的方法，得出平方根的性质，提高逻辑推理能力；同时，通过平方根运算的练习，让学生能够运用平方根解决实际问题，培养数学建模的核心素养。
北师大版 八年级数学上册 平方根 (教案)
1． ， 的算术平方根是__， 的平方根是___；
2． ， ， ， =_______；
3． =， 。
（三）巩固练习
1．下列说法正确的是
① ②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8。
2．下列说法不正确的是（ ） 。
（A）0的平方根是0
（B） 的平方根是
教学设计
二次备课
一、复习旧知 引入新知
方法一：复习引入
1．什么叫算术平方根？
2. 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是3。
3. 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是__ ___。
4. 展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_7_米
5. 到目前为止，我们已学过哪些运算？这些运算之间的关系如何？
教学目标
①了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系。
②进一步明确平方和开平方是互逆的运算关系。
③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力。
教学重点
①了解平方根、开平方的概念。
②了解开方与乘方是互逆的运算，会算术平方根和平方根。
③了解平方根与算术平方根的区别与联系。
二、新课学习
（一）探究新知
填空：
3 =（9）
（－3） =（9 ） （ ） =9 0 =0
（ ） =（ ） （不存在） =－4
（ ） =（ ）
（二）形成概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。而把正的平方根叫做a的算术平方根。
表达式为：若x =a，那么x叫做a的平方根。 记作 。
作业布置
课后习题
八年级数学上册2.2平方根第2课时平方根教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.2平方根第2课时平方根教学设计（新版北师大版）一. 教材分析平方根是八年级数学上册第2.2节的内容，主要介绍了平方根的定义、性质和运算方法。
本节内容是学生进一步理解实数体系的重要环节，也为后续学习二次根式打下基础。
教材通过例题和练习，使学生掌握平方根的概念，能够熟练求一个数的平方根，并理解平方根的性质。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数、无理数等概念，对实数体系有了一定的了解。
但是，学生对于平方根的理解可能还存在困难，需要通过具体的例题和实践活动来加深理解。
同时，学生对于数学符号和公式的记忆还不够牢固，需要在教学中加强巩固。
三. 教学目标1.理解平方根的定义，掌握求一个数的平方根的方法。
2.理解平方根的性质，能够运用平方根解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.平方根的定义和求法。
2.平方根的性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，通过案例分析和实践操作，使学生理解和掌握平方根的概念和性质，通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习上节课的内容，引导学生回忆无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）PPT展示平方根的定义和性质，通过讲解和例题，使学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
3.操练（15分钟）学生独立完成练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）学生分享解题心得，教师总结平方根的求法和性质，帮助学生巩固知识点。
5.拓展（5分钟）通过教学视频或案例，让学生了解平方根在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，加深对平方根的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教案
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教案一. 教材分析《平方根》是北师大版八年级数学上册第2章“实数与平方根”的第2节内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数、无理数的概念，以及算术平方根的基础上，进一步研究平方根的概念和性质。
通过本节内容的学习，学生能够理解平方根的定义，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根在实际生活中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数、无理数的概念，以及算术平方根的知识。
但是，对于平方根的性质和求法，以及平方根在实际生活中的应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握平方根的知识。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.能够运用平方根的知识解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.平方根的概念和性质。
2.求一个数的平方根的方法。
3.平方根在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解和掌握平方根的知识。
2.启发式教学法：通过提问和讨论，激发学生的思考，培养学生的创新能力。
3.实践操作法：通过实际操作，让学生掌握求一个数的平方根的方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作平方根的概念、性质和求法的课件。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用平方根的知识解决。
3.练习题：准备一些有关平方根的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量物体长度、计算土地面积等，引出平方根的概念。
提问：你们知道这些实例中涉及到的数学知识吗？2.呈现（10分钟）展示平方根的定义和性质，引导学生理解和掌握。
同时，介绍求一个数的平方根的方法，如：分解因式法、配方法等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，互相练习求一个数的平方根。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用平方根的知识解决。
北师大版数学八年级上册《算术平方根》教案1
北师大版数学八年级上册《算术平方根》教案1一. 教材分析《算术平方根》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章主要介绍了算术平方根的概念、性质和运算方法。
通过学习本章，学生能够理解算术平方根的定义，掌握求算术平方根的方法，并能够运用算术平方根解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章之前，已经掌握了实数的概念和运算方法，具备了一定的数学基础。
但是，对于算术平方根的概念和运算方法可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解算术平方根的定义，掌握求算术平方根的方法，并能够运用算术平方根解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、思考、交流等方式，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够对数学产生兴趣，培养积极的学习态度，增强自信心。
四. 教学重难点1.重点：算术平方根的定义和求法。
2.难点：算术平方根在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际问题，引发学生的兴趣和思考，培养解决问题的能力。
2.启发式教学法：通过提问和引导，激发学生的思维，引导学生主动探索和发现。
3.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备相关的实例和实际问题，用于引发学生的兴趣和思考。
2.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量物体长度、计算土地面积等，引发学生的兴趣和思考，引出算术平方根的概念。
2.呈现（15分钟）教师通过讲解和展示，介绍算术平方根的定义和性质，让学生初步了解和认识算术平方根。
3.操练（15分钟）教师给出一些算术平方根的题目，学生独立完成，教师进行个别指导和讲解。
通过反复练习，让学生掌握求算术平方根的方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，学生运用算术平方根的知识解决。
通过解决实际问题，巩固学生对算术平方根的理解和掌握。
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案 新版北师大版
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案新版北师大版一. 教材分析平方根是八年级数学上册第2.2节的内容，主要介绍平方根的定义、性质和运算方法。
本节课的内容是学生进一步学习数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和运算能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方和二次根式，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但平方根的概念和性质较为抽象，需要学生通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.理解平方根的定义和性质；2.掌握求一个数的平方根的方法；3.能够运用平方根的概念解决实际问题。
四. 教学重难点1.平方根的定义和性质；2.求一个数的平方根的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在实际问题中感受平方根的概念和性质，提高学生的数学思维和解决问题的能力。
六. 教学准备3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如测量身高、计算面积等，引导学生思考这些实例中是否涉及到平方根的概念。
通过讨论和回答问题，引出平方根的概念。
2.呈现（10分钟）讲解平方根的定义和性质，通过PPT展示相关的例题和解释，让学生理解和掌握平方根的概念。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，互相提问，巩固对平方根的理解。
教师可以提出一些问题，引导学生深入思考。
5.拓展（10分钟）讲解求一个数的平方根的方法，并通过PPT展示相关的例题和解释，让学生掌握求平方根的技巧。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，教师进行补充和讲解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关平方根的练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的重点内容，方便学生复习和记忆。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
希望这份教案能够帮助您更好地进行教学。
北师大版八年级数学上册教案《平方根》
《平方根》◆教材分析“平方根”是“实数”的第一节内容。
由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。
运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。
因此，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。
◆教学目标【知识与能力目标】1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非正负数的算术平方根.3.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.4.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系.【过程与方法目标】1经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法.2经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法，能从相似的事件中找到它们的共同点和不同点.【情感态度价值观目标】学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲. 【教学重点】1了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.2了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方根. 3平方根与算术平方根的区别和联系.【教学难点】1理解算术平方根的概念、性质．2平方根与算术平方根的区别和联系.3负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.一、创设情境，引出课题上节课我们学习了无理数、 了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a 2=2中，2是有理数，而a 是无理数.在前面我们学过若x 2=a ，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.二、探索新知算术平方根的概念和求法.下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：◆ 教学过程◆ 教学重难点◆x2= ，y2= ，z2= ，w2=请大家分析一下，x、y、z、w中哪些是有理数？哪些是无理数？【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术平方根的概念作了开端.【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x、y、w不是有理数，而是无理数，即，.因为22=4.所以z=2，是有理数.若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0=0.下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例1求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，有利于对算术平方根概念的理解.【答案】解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30；（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；（3）因为（7/8）2=49/64，所以49/64的算术平方根是7/8；（4）14.【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.运用新知，深化理解1.填空题.（1，则这个数是. （2）49的算术平方根是.（3）正数的平方为144/25，719的算术平方根为.（4）（-1.44）2的算术平方根为.（5的算术平方根为，= 2.求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：（1）（7.4）2；（2）(-3.9)2；（3）2.25；（4）124.3.自由下落的物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？【教学说明】学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平方根的求法和表示方法.【答案】1.（1）5；（2）2/3；（3）12/5，4/3；（4）1.44；（5）3，0.2.2.（1=7.4；（2=3.9；=1.5；（4=3/2.3.解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，所以=2（秒）即铁球到达地面需要2秒.平方根在我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是（-2）2=4，则-2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.【教学说明】通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.思考探究，获取新知1.平方根、开平方的概念请大家思考两个问题.（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？（2）平方等于4/25的数有几个？平方等于0.64的数呢？【教学说明】学生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平方根的概念有了初步认识.【归纳结论】3的平方等于9，-3的平方也等于9，3是9的算术平方根，-3是9的平方根.平方等于4/25的数有两个，即2/5和-2/5，平方等于0.64的数也有两个，即0.8和-0.8.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根（square root），也叫二次方根，3和-3的平方都等于9，由定义可知3和-3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和-3，9的算术平方根只有一个是3.由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？【教学说明】让学生找出平方根和算术平方根的相同点与不同点，对于正确理解两个不同的概念和学生准确解题很有帮助.【归纳结论】联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.（3）0的平方根、算术平方根都是0.区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示法不同：正数a a（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？【教学说明】使学生明白加与减、乘与除、平方与开平方都是互为逆运算.平方根的性质请大家思考下面的问题：（1）一个正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？【教学说明】通过前面的学习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0；负数没有平方根，加深对平方根概念的理解.【教学说明】由平方根的定义，学生不难得出结果，对于平方根的求法再次加深，以达到熟练运用.运用新知，深化理解1.求下列各数的平方根.1.44，0，8，100/49，441，196，10-42.填空（1）25的平方根是；（2）（-5）2= ；（3）（5）2= .3.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.（1）（-3）2；（2）0；（3）-0.01；（4）-52；（5）-a2；（6）a2-2a+2【教学说明】学生自主完成，加深对平方根概念的理解和检测学生对平方根求法的掌握情况，及时点拨，得以强化.【答案】1.±1.2，0，±，±107，±21，±14，±11002.（1）±5，（2）5，（3）53.有平方根的是：（-3）2，0，a2-2a+2，因为它们都是非负数；-0.01，-52没有平方根，因为它们都是负数；-a2，只有当a=0时它才有平方根.三、归纳总结：1. 本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同学们交流.师生共同回顾平方根和开平方的概念以及只有非负数才有平方根.2.本节课你有哪些收获？还存在哪些不足？【教学说明】引导学生回顾知识点，找出它们之间的联系与区别以及学习过程中存在的不足，便于进一步深化和查漏补缺.略◆教学反思。
北师大版八年级上册第二章实数第二节认识无理数 第一课时算术-平方根教案
第二章第一节认识无理数第一课时算术- 平方根教案一、教学目标1. 掌握平方根的概念，理解无理数的含义。
2. 能够正确地计算平方根，掌握平方根的运算法则。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
二、教学重点和难点教学重点：1. 平方根的概念和运算法则。
2. 无理数的理解和计算。
教学难点：1. 如何理解平方根的概念。
2. 如何正确进行无理数的计算。
三、教学过程1. 复习导入：回顾已学的平方运算和开方运算，引出新的概念。
2. 概念讲解：详细讲解平方根的概念，让学生理解平方根的含义和特点。
3. 运算讲解：选取具有代表性的例题，引导学生掌握平方根的运算法则，让学生能够进行平方根的计算。
4. 探究与发现：引导学生探究无理数的特点，理解无理数的概念，并能够进行无理数的计算。
5. 巩固提高：通过提问、小组讨论等方式，让学生回顾所学知识，巩固记忆。
6. 课堂小结：总结本节课所学的知识点和重点，帮助学生形成清晰的知识框架。
四、教学方法和手段1. 讲解与演示：教师通过讲解和演示，让学生理解平方根的概念和运算法则。
2. 练习与讨论：学生进行课堂练习和小组讨论，加深对平方根和无理数的理解和掌握。
3. 多媒体辅助：使用多媒体设备展示平方根和无理数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：选取适当的练习题，让学生在课堂上进行平方根的计算和无理数的运算，检验学习效果。
2. 课后作业：布置适量的作业题，让学生在家中继续巩固平方根和无理数的知识和技能。
3. 互动评价：学生之间互相评价课堂练习和作业，互相学习和帮助，共同提高。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：提供详细的PPT讲解，帮助学生更好地理解平方根和无理数的概念和性质。
2. 数学软件：使用数学软件展示平方根和无理数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
3. 参考资料：提供相关的数学参考资料，供学生自主学习和研究。
七、结论本节课介绍了平方根的概念和运算法则，以及无理数的特点和计算方法。
北师大版八年级上册2.2.1平方根(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方根的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方根的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方根的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如平方根的符号理解和计算应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，ຫໍສະໝຸດ 组讨论一个与平方根相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量并计算正方形边长，演示平方根的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方根在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.通过估算平方根的练习，发展学生的数学运算和数据分析素养，提高其数学思维和实际应用能力。
4.结合实际问题的解决，激发学生的数学应用意识，培养其跨学科综合运用知识解决问题的能力，增强创新意识和实践能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平方根的定义及其性质：理解非负数平方根的概念，掌握一个非负数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根是0。
另外，实践活动中的分组讨论环节，学生们表现得非常积极。他们能够主动提出问题，并尝试用所学的平方根知识来解决。但同时，我也注意到有些学生在讨论中不够积极，可能是因为他们对问题还不够理解或者缺乏自信。针对这个问题，我计划在接下来的课程中，更多地鼓励和引导这些学生，帮助他们克服困难，增强自信。
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计一. 教材分析《平方根》是北师大版八年级数学上册第2章第2节的内容。
本节主要让学生了解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根的性质。
通过学习本节内容，为学生进一步学习立方根、四次方根等概念打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和运算法则有一定的了解。
但是，平方根的概念和求法对学生来说是一个新的内容，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对平方根的性质有一定的困惑，需要通过大量的练习和讲解来加深理解。
三. 教学目标1.了解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.理解平方根的性质，能够运用平方根的概念和性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
四. 教学重难点1.平方根的概念和求法。
2.平方根的性质和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探索和发现来学习平方根的概念和性质。
2.使用实例和练习，让学生通过动手操作和思考来掌握求一个数的平方根的方法。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，让学生在小组内共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“你们知道什么是乘方吗？乘方和平方有什么关系？”引导学生回顾乘方的概念，为新课的学习做好铺垫。
呈现（15分钟）1.教师通过PPT展示平方根的定义，解释平方根的概念。
2.教师用实例来讲解如何求一个数的平方根，如求9的平方根。
操练（10分钟）1.学生独立完成练习题，求出指定数的平方根。
2.教师选取部分学生的作业进行点评和讲解。
巩固（10分钟）1.学生分组讨论，总结平方根的性质。
2.各小组汇报讨论结果，教师进行点评和讲解。
拓展（10分钟）1.教师提出一些实际问题，让学生运用平方根的概念和性质来解决。
2.学生独立思考和解决问题，教师进行指导。
小结（5分钟）教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结平方根的概念和性质。
八年级数学平方根教案 北师大版 教案
平方根(1)●教学目标(一)教学知识点1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.(二)能力训练要求1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.(三)情感与价值观要求1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手能力.●教学重点了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.●教学难点了解算术平方根的概念、性质.●教学方法导学法.●教具准备投影片两X：第一X：例题(记作§A)；第二X：补充练习(记作§2.2.1 B).●教学过程Ⅰ.新课导入a2=2中，2是有理数，而ax2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.Ⅱ.讲授新课［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.［生］勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.［师］下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空.投影片：(§2.2.1A)根据下图填空x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________［师］请大家思考后回答.［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.［师］请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？［生］x，y，w是无理数，z是有理数.［师］为什么呢？［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2.［师］这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看书后回答.［生］x =2,y =3,z =4,w =5.［师］若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a “a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0.［师］下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.［例1］求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)6449；(4)14. 解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即900=30；(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；(3)因为,6449)87(2=所以6449的算术平方根是87，即876449=； (4)14的算术平方根是14.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？［生］是通过平方来求的.［师］对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.［例2］自由下落的物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为ht 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将hht 2得t 2=4,所以t =4=2(秒)即铁球到达地面需要2秒.［师］下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点.［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数. ［生乙］不对，那14是不是有理数？若是则是，分数还是整数？［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以14不是有理数，而是无理数.［师］大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. ［生甲］噢，算术平方根是正数，如14,5,3,2，2.［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)24=－2对吗？或者4-=－2对吗？ x 的平方等于a ，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.［师］由此看来，定义中的a 和x a (a ≥0)为非负数，这是算术平方根的性质.Ⅲ.课堂练习(一)P 32随堂练习1、2题.(二)补充练习.投影片：(§2.2.1 B)答案：一、1.5 2.32 3.51234 4.1.44 5.3 0.2. 二、(1);5.125.2)3(;9.39.3)9.3()2(;2.74.7222===-=(4)23412=.Ⅳ.课时小结本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.Ⅴ.课后作业P33习题1、3.Ⅵ.活动与探究n倍时，它的边长变为原来的多少倍？2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？解：设原来的正方形边长为a，面积为S1，后来的正方形面积为S2.1.S1=a2，S2=na2(n a)2∴后来的边长(n a)为原来边长的n倍.2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2∴后来的边长10a为原来边长的10倍.●板书设计。
北师大版初二上册平方根(教案)
北师大版初二上册平方根（教案）教学目的知识与技艺：1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会应用这个互逆的关系求某些非正数的算术平方根.进程与方法：在协作交流等活动中,培育协作肉体和创新肉体.情感态度与价值观：积极参与教学活动,开展对数学的猎奇心和求知欲.教学重难点重点：算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个数的算术平方根.难点：对算术平方根的概念和性质的了解.教学预备教员预备：挂图、多媒体课件.先生预备：温习在理数的概念.教学进程一：导入新课[过渡语]知道在理数的存在,上节给出的效果我们需求处置了.导入一:上节课学习了在理数,了解到在理数发生的实践背景和引入的必要性,掌握了在理数的概念,知道有理数和在理数的区别是:有理数是有限小数或有限循环小数,在理数是有限不循环小数.比如上一节课我们做过的:由两个边长为1的小正方形,经过剪一剪,拼一拼,失掉一个边长为a的大的正方形,那么有a2=2,a=,2是有理数,而a是在理数.在前面我们学过:假定x2=a,那么a叫x的平方,反过去x叫a的什么呢?本节课我们一同来学习.导入二:前面我们学习了勾股定理,请大家依据勾股定理,结合图形完成填空:x2=,y2=,z2=,w2=.[设计意图]导入一和导入二都是带着效果进入到这节课的学习,让先生体会到学习算术平方根的必要性.能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得x,y,w的值.【说明】导入一是由上节课〝数怎样又不够用了〞的例子,起到了承上启下的作用,导入二是由先生学习了第一章〝勾股定理〞后的运用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选用导入二.二：构建新知[过渡语]有上一章的勾股定理,我们失掉x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,如何求出x,y,z,w是如今所需求思索的.一、情境引出新概念思绪一:x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,幂和指数,求底数x,y,z,w,你能求出来吗?思绪二:在七年级学习有理数的乘方时,知道自然数的平方,比如12=1,22=4,32=9,…,但是,你能找到哪个数的平方是2吗?哪个数的平方是3吗?哪个数的平方是5吗?那你能估量一下吗?[设计意图]让先生体验概念构成进程,感遭到概念引入的必要性.先生可以预算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数,但无法表示x,y,w,从而激起先生继续往下学习的兴味,进而引入新的运算——开方.【说明】无论是导入一,还是导入二,都会激起先生继续往下学习的兴味,都可以提出异样的效果〝幂和指数,求底数,你能求出来吗?〞二、在下面思索的基础上,明晰概念普通地,假设一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记作√a ,读作〝根号a 〞.特别地,我们规则:0的算术平方根是0,即√0=0.[设计意图] 对算术平方根概念的看法,了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的.三、例题解说例1：求以下各数的算术平方根.(1) 900; (2) 1; (3)4964; (4) 14. 〔解析〕体验求一个正数的算术平方根的进程,应用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让先生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是√14.解:(1)由于302=900,所以900的算术平方根是30,即√900=30.(2)由于12=1,所以1的算术平方根是1,即√1=1.(3)由于(78)2=4964,所以 4964的算术平方根是78, 即 √4964=78. (4)14的算术平方根是√14.[设计意图] 经过对例题的解答,加深先生对算术平方根概念的了解,会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,正数没有算术平方根.体验求一个正数算术平方根的进程,并为下面的实验运用奠定良好的基础.例2：自在下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2.有一铁球从19.6 m高的修建物上自在下落,抵达空中需求多长时间?〔解析〕用算术平方根的知识处置实践效果.应用等式的性质将s=4.9t2停止变形,再用求算术平方根的方法求得标题的解.解:将s=19.6代入公式s=4.9t2,得t2=4,所以t=√4=2(s).即铁球抵达空中需求2 s.【说明】强调实践效果t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结论做铺垫的.观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.[设计意图]让先生看法到算术平方根定义中的两层含义:√a 中的a是一个非正数,a的算术平方根√a也是一个非正数,正数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.再一次深化地看法算术平方根的概念,明白只要非正数才有算术平方根.[知识拓展]算术平方根有如下性质:(1)一个正数a有一个算术平方根,就是√a.(2)0有一个算术平方根,就是0.(3)正数没有算术平方根.(4)√a只需有意义,就表示一个非正数,即√a≥0.(5)√a中的a是一个非正数,即a≥0.三、课堂小结1.算术平方根的概念,式子√a中的双重非负性:一是a≥0,二是√a≥0.2.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;正数没有算术平方根.3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,应用这个互逆运算关系求非正数的算术平方根.四、课堂练习1.假定一个数的算术平方根是√7,那么这个数是. 答案:72.√9的算术平方根是 . 答案:√33.(23)2的算术平方根是 . 答案:234.假定√m +2=2,那么(m +2)2= .解析:此题考察算术平方根的定义,掌握表示方法和实质是关键.故填16.5.求以下各数的算术平方根.36,121144,15,0.64,10-4,√(56)0. 解:√36=6, √121144=1112,√√0.64=0.8,√10-4=10-2, √√225=√15, √(56)0=1. 6.如下图,从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向空中拉一根绳子AC 固定帐篷.假定绳子的长度为5.5米,空中固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米,那么帐篷支撑竿的高是多少米?解:由题意得 AC =5.5米,BC =4.5米,∠ABC =90°,在Rt ΔABC 中,由勾股定理得AB =2-BC 2=√5.52-4.52=√10(米).所以帐篷支撑竿的高是√10米.五、板书设计2.2.1平方根1.情境引出新概念.2.在下面思索的基础上,明晰概念.3.例题解说.六、布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习第1,3题.【选做题】教材习题2.3第3,4题.二、课后作业【基础稳固】1.填空.(1)81的算术平方根是.(2)0.1是的算术平方根.(3)一个正方形的面积变为原来的4倍,它的边长变为原来的倍.(4)一个正方形的面积变为原来的9倍,它的边长变为原来的倍.(5)一个圆的面积变为原来的n倍, 它的半径变为原来的倍.2.求以下各数的算术平方根.1.96106121【才干提升】3.√16的算术平方根,假定5是a+1的算术平方根,那么a=.4.一个数的算术平方根等于它自身的2倍,这个数是.5.x为何值时, √-x2有意义?【拓展探求】6.一个自然数的算术平方根是a,那么该自然数的下一个自然数的算术平方根是()A.a+1B.√a+1C.a2+1D.2+17.求一个正数的算术平方根,有些数可以直接求得,如√4,有些数那么不能直接求得,如√5,但可以经过计算器求得.还有一种方法可以经过一组数的内在联络,运用规律求得,请同窗们观察下表:n 160.16 0.001616016000…√n4 0.4 0.04 40 400 …(1)表中所给的信息中,你能发现什么规律?(请将规律用文字表达出来)(2)运用你发现的规律,探求以下效果.√2.06≈1.435,求以下各数的算术平方根:①0.0206;②206;③20600.【答案与解析】1.(1)9(2)0.01(3)2(4)3(5)√n(解析:设如今圆的半径为R,原来圆的半径为r,那么πR2=nπr2,所以R=√n r.)2.解:√1.96=1.4,√106,√121=11.3.224(解析:√16=4,√4=2;52=a+1,a=24.)4.0或4(解析:设这个数为x,那么√x=2x,所以x=4x2,解得x=0或x=4.)5.解:由题意得-x≥0,所以x≤0.26.D(解析:一个自然数的算术平方根是a,这个自然数是a2,故该自然数的下一个自然数是a2+1,其算术平方根是2+1.)7.解析:(1)从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数思索解答.(2)依据(1)中的规律解答即可.解:(1)被开方数扩展或增加102n 倍,非正数的算术平方根就相应地扩展或增加10n倍;或许说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位,算术平方根的小数点就向左或向右移动n位. (2)①√0.0206=0.1435.②√206=14.35.③√20600=143.5.教学反思本节课经过勾股定理和七年级学过的有理数的平方引入,在先生已有知识的基础上,引入新概念、算术平方根的实质特征.经过练习,可以使先生掌握和了解.由于先生是第一次接触算术平方根,时间短,能够有的先生不能真正地了解和掌握,或许不能掌握实质,给以后的学习带来很多费事.在教学中,依据先生的实践状况,在学缺乏力的状况下,可以对√a的双重非负性的知识停止适当的拓展.教材习题答案随堂练习(教材第27页)1.解:√36=6,√916=34,√√0.81=0.9,-4=1100.2.解:AB=2+BC2=√52+32=√34.3.解:AB=√AC2-BC2=√82-6.42=√4.82=4.8(m).习题2.3(教材第27页)1.解:(1)√49=7. (2)√25196=514. (3)√0.09=0.3. (4)-√64=-8.2.解:它们的算术平方根依次是11,35,1.4,103.3.解:每块地砖的边长是√10.8÷120=√0.09=0.3(m).4.解:设原正方形的边长为a,变化后的正方形的边长为x.①x2=4a2,所以x=2a(负值舍),故边长变为原来的2倍.②x2=9a2,所以x=3a(负值舍),故边长变为原来的3倍.③x2=100a2,所以x=10a(负值舍),故边长变为原来的10倍.④x2=na2,所以x=√n a(负值舍),故边长变为原来的√n倍.素材例题：求以下各数的算术平方根.(1)√16; (2)104; (3)|-169|;(4)(3-π)2.〔解析〕前三个是以不同方式给出的几个数,必需先化简,如(1)中√16=4,(2)中104=10000,(3)中|-169|=169,然后求它们的平方根,(4)题要特别留意判别π与3的大小.解:(1)由于√16=4,所以√16的算术平方根是2.(2)由于104=10000,所以104的算术平方根为100.(3)由于|-169|=169,所以|-169|的算术平方根为13.(4)由于π>3,所以π-3>0,所以(3-π)2的算术平方根为π-3. [解题战略]出现求相似(3-π)2方式的数的算术平方根时,留意判别括号内数的正负.求一个式子的算术平方根时,应先求出这个式子的值,再求这个值的算术平方根.。
北师大版八年级上册数学教案：2.2平方根
北师大版八年级上册数学教案：2.2平方根课题名称：平方根（第一课时）一、教学内容分析^p《平方根》是在学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用。
本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。
本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。
因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
二、教学目标【教学目标】1、掌握平方根与算术平方根的概念，能及时通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
2、通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。
3、鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
【教学重点】平方根的概念，平方与开方互为逆运算，总结出求一个数的平方根的方法。
【教学难点】理解一个正数开平方有两个结果；熟练地某些非负数的平方根；理解平方根与算术平方根的区别和联系三、学习者特征分析^p八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析^p 平方根性质的基础。
四、教学过程1、复习提问，导入新课：2、合作交流，理解概念：3、尝试反馈，领悟新知4、巩固练习：5、课堂小结，作业布置：五、教学策略选择与信息技术融合的设计教师活动预设学生活动设计意图【创设情景感悟新知】首先，用多媒体演示问题情境，即三个问题（1）一个正方形桌面的边长是3尺，求这个桌面的面积是多少平方尺？（2）已知一个正方形的面积是9cm2，求它的边长。
（3）如果一个正方形展厅的地面面积为50平方米，求它的边长。
北师大版初中数学初二上册第二章《平方根》教案
北师大版初中数学初二上册第二章2（一）创设情境，引入新知活动一：复习旧知问题1：老师手中有一正方形图片，若已知边长是3时，同学们说其面积是多少呢？生：32=9 并在黑板上写出.问题2：以上算式属于我们学过的什么运算？在此算式中存在几个量？分别是什么？生：乘方运算；存在三个量；底数、指数和幂.问题3：乘方运确实是明白了哪些量求哪个量的运算？生：底数、指数求幂的运算.活动二：探究新知问题4：若正方形的面积是9时，同学们说其边长是多少呢？师：同学们我们比较这两种运算，有什么区别？生：第一种运算,是明白了底数、指数求幂的运算即乘方运算；第二种运算，是明白了幂、指数求底数的运算.师：专门好，第二种运算确实是今天我们要学习的一种新运算---求一个正数的算术平方根的运算.（板书1）§2.2算术平方根设计意图：通过利用旧知，引入新知.学生乐于去做，敢于发言，同时，让学生感受到，通过自己的探究，“玩”出了专门多意想不到的收成，使数学课不再枯燥.注重了用数学的方法去研究问题，从数学的角度去摸索问题，使数学课更具有数学味，同时，也揭示了本节课的教学重点.问题5：若正方形的面积是3时，同学们说其边长m又是多少呢？m明白吗？生：1.7＜m＜1.8，1.73＜m＜1.74，…；是无限不循环小数.师：同学们，这是我们在小学遇到过“π”的基础上，又一次遇到不能准确的去表示一个数，为了能精确的表示它，我们引进一个新的记号”来表示m，这就好比小学中我们学过的圆周，读作“根号”.率3.1415926…，它确实是一个无限不循环小数，为了能表示它，就用一个符号“π”来表示一样的道理.设计意图：通过自主探究，让学生亲躯体验概念的形成过程, 感受到概念引入的必要性，充分表达了学生的主体作用.结论：像以上算式m2=3中，我们就把正数m叫做3的算术平方根.记”，即作：问题6：请仿照上面表示“若m2=3，则示出下列正数x.(1)x2=3 (2) x2=5 (3) x2=7 (4) x2=a（a＞0）设计意图：算术平方根的概念是由具体到抽象、由专门到一样而形成的．通过问题6的尝试，培养学生抽象概括的能力.（二）多方联动、明白得新知师：现在我们一起来概括算术平方根的定义：（板书2）：一样的，一个正数x的平方等于a，即x2=a，则那个正数x就叫做a的算术平方根.记为“a”读作“根号a”.（板书3）：0的算术平方根是0，即0=0.问题1：用含根号的式子表示下列各数的算术平方根.(多媒体出示)(1) 16 (2) 25 (3) 7 (4) 14（学生独立完成后交流，并不失时机地追问）师：通过此问题，你会有什么新的发觉？=5一样，这些正数能够写成有理数平方的形式，其算术平方根就能够用一个非负有理数表示，而有些正数写不成有理数平方的形式，其算术平方根只能用根号表示，如上面的7和14，它们的算术平方根只能分别写成7、14.设计意图：强化对算术平方根概念的认识，当细则细，为求出数的算术平方根搭建引桥，目的在于慢中求进，扎实有效.师：依照同学们的认识，我们一起来完成例题1.例题1:求下列各数的算术平方根：(多媒体出示)(1)1 (2)900解：（2）（老师板演第2题的解题过程）∵ 302=900∴ 900的算术平方根是30即 =30设计意图：规范学生解题的格式，让学生明确解题的思路.(3)106 (4)6449 解：(4) （老师板演第4题）∴ 的算术平方根是即(5)10 设计意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，摸索利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根能够开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如：10的算术平方根是10.摸索：通过上面的例题，大伙儿摸索一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？(多媒体出示)设计意图：让学生感知平方运算和求正数的算术平方根是互逆的关系．问题2：仿照“例题1”，请同学们自己编写两道类似的题目，供其他同学解答.设计意图：要把所学的新知识，融入到自己已有的知识结构中来，通过编题，增进学生对概念的明白得，力求做到学以致用，举一反三. 师：同学们，我们都能编题了，真了不得！看来下面的实际问题已不在话下.（出示例题2） 900例题2：自由下落的物体的高度h(米)与下落时刻t(秒)的关系为h= 4.9 t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时刻？(多媒体出示)（多媒体演示解题过程）解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，因此t=4=2(秒)，即铁球到达地面需要2秒.设计意图：用算术平方根的知识解决实际问题，把数学与生活实施了链接，以增进学生对数学价值的体悟．问题3：7-有意义吗? 什么缘故? (多媒体出示)分析：7-无意义,因为任何数的平方差不多上非负数,即a2≥0，故7-无意义.（板书4）：性质算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a(a≥0)为非负数，这是算术平方根的一条专门重要的性质.设计意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．师：现在，同学们对算术平方根的认识能够说差不多较为全面，事实到底如何呢？小试牛刀，看看自己的身手吧！（三）自主运用、强化新知1.填空：(多媒体出示)(1)94的算术平方根是_________.(2)719的算术平方根为_________.(3)81的算术平方根为_________.设计意图：通过三个递进式的填空题，检测学生对算术平方根概念的把握情形，并通过（3）小题突出审题意识、优化学生的思维适应.2.若一个正方形的边长为3时，当面积扩大原先的4倍后，其大正方形的边长b变为原先的多少倍？(多媒体出示)解：∵b2 = 4×32 =36366b∴==即：大正方形的边长是原先边长的2倍.3．请同学们写出一些数的算术平方根，使它分别是整数、分数、无限不循环小数.(多媒体出示)设计意图：通过如此的开放式训练，使学生对算术平方根概念的认识和明白得得到升华，让学生再一次品尝到成功的欢乐.在师生互动的过程中，将课堂推向了高潮，把难以明白得的知识，像剥竹笋一样一层一层的剥开，使学生眼前豁然一亮.同时，也突破了本节课的教学难点.师：同学们说的都专门好，看来我们通过今天的学习，有了专门多的收成.（四）合作交流、归纳总结同学们，通过本节课的共同学习，请你从知识、方法与情感等方面谈一谈自己的认识.师：这节课要紧就平方根中的算术平方根进行讨论,•求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方正好是互逆的过程，因此，求正数的算术平方根实际上能够转化为求一个数的平方运算. 只只是，只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根.设计意图：通过回忆、梳理、反思，使学生对所学知识得到充分的消化和吸取，理顺了各知识点间的关系.老师重点从以下几个方面进行强调：1.算术平方根概念引入的重要性，专门是让学生经历概念的形成过程以及里面所包蕴的数学思想；2.算术平方根概念应用的广泛性；3.倡导学生善于发觉、勇于探究、敢于创新.（五）布置作业，自我巩固1.必做题：P40习题1、2、3.2.选做题：（1）一个正方形的面积为原先的100倍时，它的边长变为原先的多少倍？（2）一个正方形的面积变为原先的n倍时，它的边长变为原先的多少倍？设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的进展，加深学生对“公式”的进一步明白得的同时，扩展学生的思维，让优秀生有舒展的舞台.附课外阅读材料:“根号的由来”现在，我们都习以为常地使用根号（如等等），并感到它使用起来既简明又方便，那么，根号是如何样产生和演变成现在这种模样的呢？古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根；印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka；阿拉伯人用表示；1840年前后，德国人用一个点“.”来表示平方根，两点“..”表示4次方根，三个点“...”表示立方根，比如,.3、..3、...3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根。
2022秋八年级数学上册第二章实数2.2平方根1算术平方根教案新版北师大版
2.2.1 算术平方根一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．三、教学过程设计本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．本节课教学流程为：第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：问题情境 初步探究 反馈练习 学习小结 作业布置 深入探究=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？ 目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的． 内容3：简单运用 巩固概念例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900； (2) 1； (3) 6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=；(4)14的算术平方根是14． 内容4：回解课堂引入问题 22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)．即铁球到达地面需要2秒．说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的． 内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根． 第四环节：反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ；4．若22=+m ，则=+2)2(m ． 二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1．7；2．3；3．32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1． 三、解：由题意得 AC ＝5.5米，BC ＝4.5米，∠ABC ＝90°，在R t △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB (米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3四、教学设计反思1．细讲概念、强化训练要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，”的“正数x ”，即被开方数是正的，由平方的意义，a 也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2．发展思维、适度拓展 在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a 的双重非负性的知识进行适当的拓展.。
北师大版初二上册 2.2.2 平方根(教案)
北师大版初二上册2传授目标知识与技术：1.明白数的平方根、开平方的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.2.明白开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的干系求某些非负数的平方根.历程与要领：履历平方根概念的形成历程,成长求同和求异的思想,议决比较,进步思考标题、辨析标题的能力.情绪态度与代价观：在学习的历程中,养成严谨的科学态度.传授重难点重点：1.数的平方根的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.2.(√a)2=a(a≥0)的得出和应用.难点：1.开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的干系求某些非负数的平方根.2.(√a)2=a(a≥0)和2=|a|的区别和关联.传授准备西席准备：练习题的多媒体课件.学生准备：温习算术平方根的概念.传授历程一、导入新课[过渡语] 上节学习了算术平方根,首先我们温习一下. 导入一:1.什么叫算术平方根?3的平方即是9,那么9的算术平方根便是3.25的平方即是 425,那么425的算术平方根便是25. 展厅的地面为正方形,其面积为49平方米,则其边长为7米. 2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的干系怎样? 平方有没有逆运算?平方与算术平方根之间是什么干系?【比方】正方形ABCD 的面积为1,则边长为1.将它扩展,若其面积变为原来的2倍,则边长为√若其面积变为原来的3倍,则边长为√3;若其面积变为原来的n 倍,则边长为√n .导入二:【标题】平方即是9,425,49的数还有吗? 回忆在七年级学习有理数的平方时,我们是怎样找到平方即是9,425,49的数的?根据平方的定义,32=9,(-3)2=9,(25)2=425,(-25)2=425,72=49,(-7)2=49.[设计意图] 这一环节主要是温习旧知识和发起标题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的干系,让学生在几多图形中明白、熟悉它们的互化干系.并把上节课的思考题制作成Flash情形引入,增加动画效果.借助多媒体吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣.【说明】数学知识源于生活,并办事于生活.这两种要领议决生活中的具体标题激发学生的学习兴趣,并让他们产生办理标题的猛烈欲望.二、构建新知一、互助探究思路一：[过渡语]根据我们的实践,平方为9的数不只有3,那请同砚们填写下面的空.填空.形成概念:一般地,要是一个数x的平方即是a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).表达式为:若x2=a,则x叫做a的平方根.记作±√a.【比方】(±4)2 =16,则+4和-4都是16的平方根,即16的平方根是±4.4是16的算术平方根.【结论】一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.【定义】求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数.思路二:火线我们学习算术平方根,知道9的算术平方根是3,根据七年级我们学过的平方的意义,-3的平方也是9,也便是说,平方为9的数有两个:3和-3.一个正数a的算术平方根有一个,议决进一步的思考知道平方为a的数有两个,别的一个我们也不能把它给丢了,本日再学习一个平方根的概念.[过渡语]知道了平方根的定义,和我们上一节学习的算术平方根的关联和区别是什么呢?给出几组具体的数据,由平方探知开平方与平方的互逆干系.平方根与算术平方根的关联与区别.【关联】1.包含干系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根是0,算术平方根也是0.【区别】1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根.2.表示法不同:平方根表示为±√a,而算术平方根表示为√a.[设计意图]形成“平方根”的概念.在枚举一些具体数据的感性明白的基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义,并让学生特殊熟练地举行平方和平方根之间的互化,并明白它们之间的互逆干系,辨析概念“平方根”与“算术平方根”的区别与关联,使之与上节课精密关联.由于遵循了从具体到抽象的历程,注重学生原有认知基础的回顾,并和原有的概念举行了比较与辨析,因此,学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠.【说明】平方根与算术平方根的区别是本节课的一浩劫点,也是学生通常简略出错的地方.对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握.二、例题讲解(课本例3)求下列各数的平方根.(1)64;(2)49121;(3)0.0004;(4)(-25)2;(5) 11.解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±√64=±8.(2)因为(±711)2=49121,所以49121的平方根是±711,即±√49121=±711.(3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±√0.0004=±0.02.(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25, 即±√(-25)2=±25.(5)11的平方根是±√11.[设计意图]议决例题的讲解,要修业生能正确掌握平方根的文字说理及标记化的表达.能熟练地求出一个数的平方根,然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.[知识拓展]平方根的性质:(1)一个正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根“√a”,另一个是“-√a”,它们互为相反数,合起来记作“±√a”,读作“正、负根号a”.比方:5的平方根是±√5.(2)0的平方根是0.(3)负数没有平方根.三、讲堂总结1.平方根的概念:若x2=a,则x叫做a的平方根,x=±√a.2.平方根的个数:正数有2个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根.3.平方与开平方之间的干系.4.求平方根的要领:求一个数的平方根便是转化为寻找哪个数的平方即是这个数.四、讲堂练习的1.(-5)2的平方根是,√81的算术平方根是,49平方根是. 答案:±53±232.(√64)2=,√(-5)2=,±√64=,√0.04=. 答案:645±80.23.√a2=,当a≥0时,(√a)2=. 答案:|a|a4.下列说法正确的是.①-3是√81的一个平方根;②25的平方根是5;③-36的平方根是-6;④平方根即是0的数是0;⑤64的平方根是8.答案:①④5.下列说法不正确的是()A.0的平方根是0B.(-2)2的平方根是±2C.负数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数答案:C五、板书设计2.2.2平方根1.平方根.2.平方根与算术平方根的关联与区别.3.例题讲解.六、布置作业一、课本作业【必做题】课本随堂练习第1,2题.【选做题】课本习题2.4第6题.二、课后作业【基础稳固】1.代数式x2+1,√x,|y|,(m-1)2中,一定是正数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列说法中,错误的是()A.4的算术平方根是2B.√81的平方根是±3C.121的平方根是±11D.-1的平方根是±13.(-6)2的算术平方根是.4.2的平方根是.5.若2-a,则a 0.的平方根和算术平方根.6.求279【能力提拔】7.求下列各式中的x.(1)(x-1)2=4;(2)4x2-2=14.8.5+√的小数部分为a,5-√b,求a+b的值.【拓展探究】9.要是一个非负数的平方根是2a+1与a-3,求a的值.10.已知ΔABC的三边长分别为a,b,c,且a,b,c满足√a-3+|b-4|+c2-6c+9=0,试鉴别ΔABC的形状,并求ΔABC的周长. 11.已知实数a,b满足b2+√a-4+9=6b.(1)若a,b为ΔABC的双方长,求第三边长c的取值范畴;(2)若a,b为ΔABC的双方长,第三边长c即是5,求ΔABC的面积.【答案与剖析】1.A(剖析:只有x2+1一定是正数.)2.D(剖析:负数没有平方根.)3.6(剖析:(-6)2=36.)4.±√剖析:根据平方根的定义解题.)5.≤(剖析:当a≥0时,√a2=a;当a<0时,√a2=-a.等号在a<0上也可以.)6.解:279=259,259的平方根为±53,259的算术平方根为53.7.解:(1)x-1=±2,所以x=3或-1. (2)4x2=16,x2=4,x=±2.8.解:因为3<√所以5+√的整数部分为8,5-√为1,所以5+√11的小数部分a=5+√11-8=√11-3,5-√11的小数部分b=5-√11-1=4-√11,所以a+b=√11-3+4-√11=1.9.解:因为一个非负数的平方根是2a+1与a-3,由平方根的性质,得.2a+1+a-3=0,所以a=2310.解:ΔABC为等腰三角形.理由如下:由√a-3+|b-4|+c2-6c+9=0,得√a-3+|b-4|+(c-3)2=0,由非负数的性质,得a-3=0,b-4=0,c-3=0,解得a=3,b=4,c=3,所以ΔABC为等腰三角形,周长为10.11.解:(1)b2+√a-4+9=6b,整理得(b-3)2+√a-4=0,所以b=3,a=4,所以第三边长c的取值范畴为1<c<7. (2)由勾股定理的逆定理,得ΔABC 为直角三角形,a,b为直角边长,所以ΔABC的面积为6.传授反思本节课注重概念的形成历程,让学生在概念的形成历程中,逐步理解所学的概念.经太过析,掌握其本质特性、概念的形成历程,对进步学生的思维水平是很必要的.所以在学习平方根的概念时,对正数有两个平方根学生不太简略接纳,往往丢掉负的平方根,为此,在平方根的引入时,多提了一些具体的标题,引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.本节课只部署了一道例题和几个想一想,围绕“平方根”这一知识点举行各种题型的变式练习,可能有的学生不能很好地掌握平方根这一概念.“平方根”这一知识点不易理解和掌握,对此可以举行各种题型的变式练习.固然,选题要有条理,有梯度.课本习题答案随堂练习(课本第29页)1.解:±√1.44=±1.2,±√0=0,±√8,± √10049=±107,±√441=±21,±√196=±14,±√10-4=±1100.2.(1)±5 (2)5 (3)53.解:当a =5,b =12时,√a 2+b 2=√52+122=13.习题2.4(课本第29页)1.解:它们的平方根依次是±13,±10-3,±47,±32,±√18.2.提示:(1)19. (2)-11. (3)14或-14.3.解:(1)x =±59. (2)x =±√6.4.解:(1)4. (2)4. (3)0.8.5.解:当c =25,b =24时, √= √(25+24)×(25-24)=√49=7.6.解:不一定.当a ≥0时,2a ;当a <0时,2-a.素材例1：已知|x -12|+(y +2)2+ √z +32=0,求x +y +z 的值.解:因为|x -12|≥0,(y +2)2≥0, √z +32≥0,且|x -12|+(y +2)2+ √z +32=0 ,所以|x -12|=0,(y +2)2=0, √z +32=0,解得x =12,y =-2,z =-32,所以x +y +z =-3.例2： 若x ,y 满足√2x -1+√1−2x +y =5,求xy 的值. 解:因为2x-1≥0,1-2x ≥0,所以 2x-1=0,解得 x =12. 当 x =12时,y =5, 所以 xy =12×5=52. 例3： 求x +√中的x.解:因为x-5≥0,√x -5=5-x ≥0 ,所以x =5.例4：ΔABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且a ,b 满足√a -1+b 2-4b +4=0,求c 的取值范畴.解:由√a -1+b 2-4b +4=0,可得√a -1+(b-2)2=0.因为 √a -1≥0,(b-2)2≥0,所以√a -1=0,(b-2)2=0,所以a =1,b =2.由三角形三边干系定理有b-a<c<b+a,即1<c<3.例5：设a,b,c都是实数,且满足(2-a)2+√a2+b+c+|c+8|=0,ax2+bx+c=0,求式子x2+2x的算术平方根.解:由题意得2-a=0,a2+b+c=0,c+8=0,∴a=2,c=-8,b=4,∴2x2+4x-8=0,∴x2+2x=4,∴式子x2+2x的算术平方根为2.。
北师大版八年级数学上册：22平方根教学设计
（3）例题讲解：精选典型例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用平方根知识解决问题。
（4）练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题技巧。
（5）课堂小结：总结本节课的主要内容和收获，强化学生对平方根的认识。
北师大版八年级数学上册：22平方根教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解平方根的概念，掌握平方根的表示方法和性质。
-学生能够明确平方根的定义，即一个数的平方根是另一个数的平方，反之亦然。
-学会使用根号表示平方根，并能正确书写。
-掌握基本的平方根性质，如正数的平方根有两个且互为相反数，0的平方根是0，负数没有实数平方根。
-采用多元化评价方式，如口头提问、书面作业、小组展示等，全面了解学生的学习情况。
-鼓励学生自我评价和互评，培养他们的自我反思能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中的实例，如建筑物的面积、物体的速度等，涉及平方根的计算。
-提问学生：“我们之前学习过平方，今天我们要学习一个与平方相关的新概念——平方根。你们知道平方根是什么吗？它在生活中有哪些应用呢？”
-写一篇小短文，描述平方根在这个问题中的作用和意义。
3.拓展提高：
-完成22.2节中的思考题，挑战一元二次方程的求解，特别是含有平方根的方程。
-探索平方根在其他学科领域的应用，如物理学中的运动学公式、几何学中的勾股定理等，并撰写简要报告。
4.小组合作任务：
-小组讨论课本22.3节中的例题，共同分析解题思路和方法。
-小组合作任务中，每个成员都要积极参与，共同完成任务。
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《平方根》平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，引导学生建立清晰的概念系统，有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中。
【知识与能力目标】1．能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。
2．知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。
3表示的是非负数a 的平方根。
【过程与方法目标】1．通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别；2．在学习开平方运算求一个数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系。
【情感态度价值观目标】进一步感受到所学数学知识之间的内在联系。
【教学重点】平方根和算术平方根的概念和求法.【教学难点】弄清平方根与算术平方根的意义有两个边长为1的正方形，剪刀。
一、创设情境我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如个面积为 50 平方米的正方形展厅，它的边长应是多少?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方.这节课我们就要学习开方运算和平方根。
二、探索新知（1）计算:42，(－4)2； 23()5，23()5；(10)2，(-10)202（2）如果x 2=16，则x 等于多少？因为42=16所以x=4；又因为(－4)2=16，所以x=－4.4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2=16。
因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。
一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。
就是说，如果x 2=a,那么x 就叫做a 的平方根。
比如100的平方根是10与－10。
因为(±10)2=100,所以10与－10是100的平方根。
你能说出49，144的平方根吗？ 三、小结归纳1．当一个正数和一个负数互为相反数时，它们的平方有什么关系？ 2．正数有平方根吗？如果有，有几个？它们的有什么关系？ 3．0有平方根吗？如果有，它是什么数？ 4．负数有平方根吗？学生独自思考，通过具体实例弄懂上述问题，然后总结出： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。
一个正数 a 的正的平方根， 用符号“a ” 表示，a 叫做被开方数，2 叫做根指数。
正数a 的负的平方根，用符号“－a ”表示。
这两个平方根合起来可以记作“±a ”。
这里，符号“a ”读作“二次根式”，±a 读作“二次根号 a ”。
根指数是 2 时，通常将这个 2 省略不写，如，2a 记作a ，读作“根号 a ”；±2a 记作±a ，读作“正、负根号 a ”。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
例１．求下列各数的平方根： （１）8； （２）36121；（３）0.64； （４）2)6.2(- 解：（１）因为 2(9)81±=， 所以 144的平方根是±19。
即 9=±。
（２）因为 2636()11121±=， 所以 36121的平方根是±611。
即 611=±． （３）因为 64.0)8.0(2=±，所以 0.64的平方根是±0.8。
即 8.064.0±=±。
（4）6.276.6)6.2(2±=±=-±。
四、巩固练习1．下列各式中哪些有意义哪些？哪些无意义？(1)5；(2)－2；(3)4-；(4)2)3(-；(5)310-.2．判断下列各题正确与错误，并将错误改正。
(1)231⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31；(2)|－9|没有平方根； (3)16=±4；(4)2)2(-=－2；(5) 2)3(-=－3；(6)232-=32；(7)2101⎪⎭⎫⎝⎛-的平方根是101±；(8)－52-是254的算术平方根； (9)－(－32)是94的算术平方根； (10)－43-是169的一个平方根 。
3．还应下列各数的平方根及算术平方根； (1)10,000; (2)7.29; (3)289121; (4)12511。
4．求下列各式的值：(1)1; (2)－94;(3)21.1; (4)－232⎪⎭⎫⎝⎛-。
五、归纳总结这一节课的主要内容是：开方与平方逆运算；平方根的定义；平方根的性质；平方根的符号表示与读法；开平方运算。
六、板书设计略。
《算术平方根》九江三中 耿文勇学生对数的认识由有理数扩展到实数范围,而本课是学习无理数的前提,是学习实数的衔接与过度,通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维,算术平方根的学习为后面的平方根学习以及立方根的学习奠定坚实的基础。
【知识与能力目标】1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根。
2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆关系求某些非负 数的算术平方根。
3.了解算术平方根的性质。
【过程与方法目标】1.加强概念形成的教学，提高学生的思维水平。
2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神。
【情感态度价值观目标】1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲。
2.训练学生动脑，动口和动手的能力。
【教学重点】算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。
【教学难点】算术平方根的概念，性质。
多媒体课件，白板。
1. 从身边小事儿说起，请同学们欣赏本课导图，并回答问题。
学校为了趣味接力比赛,要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,这个正方形场地的边长应为多少?2. 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，她想裁出一块面积为25分米2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？（谁来说 这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？）二.合作探究 1.这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积 求边长的问题。
（通过解决这个问题，我们就引出了算术平方根的概念。
） 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根。
正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根。
说说6和36这两个数？……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正）说说1和1这两个数？（师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10， 另一面写1－10的平方.生任意抽一张卡片，让其他学生回答平方或算术平方根。
） 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？ 揭示课题。
2.什么是算术平方根呢？（出示算术平方根的定义）请大家把算术平方根概念理解 着读两遍。
（生读）3.讲解算术平方根的双重非负性。
探究a ：（1）a 可以取任何数吗？ （2）a 是什么数？目的：进一步明确a 在什么情况下有意义，什么情况下无意义，理解算术平方根的双重非负性。
4.练一练（1）下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？（2）如果3b-6没有算术平方根,则b ; （3）下列各式有意义的条件是什么？5.小结以上我们学习了算术平方根，会用跟号表示出算术平方根，并且能求出一个非负数的算术平方根。
接下来我们做一些习题。
三.巩固提高1.小游戏，记忆1—20的平方。
2.能力提升 （1）判断题 ①41的算术平方根是21± 。
（ ） ②5是()25-的算术平方根。
（ ）③一个正数的算术平方根总小于它本身。
（ ） ④-64的算术平方根是8。
( ) （2）填空题① 正数的算术平方根是（ ）数，0的算术平方根是( )，算术平方根等于它 本身的数是( )。
② ( -4 )2的算术平方根是( )。
③491的算术平方根的相反数的绝对值是( )。
（3）回答下列各数的算术平方根 0.000 001 3.强化练习（1）若x ²=16，则5-x 的算术平方根是_______ 。
();3;3;3;52---（2）若4a+1的算术平方根是5，则a ²的算术平方根是______。
（3）的算术平方根等于______ 。
4.综合运用 已知（x-2）2+3-y +4-z =0，求2x-3y+z 的值。
5.能力提高（1）64 -36的算术平方根是 。
（2）若9-a +41-b =0，则a=_____,b=_____。
(3)已知y=x -2+2-x +3=0,求xy 的算术平方根。
四.总结同学们，这节课你学会了什么？（学生总结，进一步梳理知识） 五.布置作业略。
36。