高三数学 数列求和专题复习课件
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(1)求 a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前 n 项和．
[练习] (2013·山东高考) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4＝4S2， a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn }满足ba11＋ba22＋…＋bann ＝1－21n ，n ∈N*， 求{bn}的前 n 项和 Tn.
n2 2
n
,n
N *.
(1)求数列an 的通项公式；
（2）设bn 2an (1)n an , 求数列bn的前2n项和。
感悟高考
[典例] (2013·安徽高考)设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝ 8，且对任意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x －an＋2sin x 满足 f′π2＝0.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ n2＋n .
n(n 1)(2n 1)
(4)12＋22＋32＋42＋…＋n2＝
6；
(5)13＋23＋33＋43＋…＋n3＝
[
n(n 2
1)
]；2
二、并项求和法
[典例分析] 若 Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，
则 S50＝__-_2_5____.
1、数列{an}的通项公式是 an＝
n
1 ＋
，前 n＋1
n
项和为
9，则
n
B 等于( )
A．9 B．99
C．10 D．100
2．(2014·江南十校联考)已知函数 f(x)＝xa 的图像过点(4,2)，令
an＝fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则
S2 013＝
C( )
A.wk.baidu.com2 012－1
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2an＋21an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
四、裂项相消法求和（一）
1、已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足 bn＝
1
n
log3an，则数列 bnbn＋1 的前 n 项和 Sn＝___n_＋__1__.
2、等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且 a3－a2＝8，又 a1、a5
的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝log4an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，是否存在正整
数 k，使得 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <k 对任意 n∈N*恒成立．若
S1 S2 S3
Sn
存在，求出正整数 k 的最小值；不存在，请说明理由．
四、裂项相消法求和（二）
数列求和专题
一、公式法求和
1．等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d ；
2．等比数列的前 n 项和公式 Sn＝na1a1－1－，aqnqq＝＝1，a111－－qqn ，q≠1.
3．一些常见数列的前 n 项和公式
nn＋1 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 ；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ n2 ；
B. 2 013－1
C. 2 014－1
D. 2 014＋1
常用的拆项方法
(1)nn1＋k＝1k1n－n＋1 k
(2)
1 n＋k＋
n＝1k(
n＋k－
n)
(3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1 (4)nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2
五、错位相减法求和
[典例](2013·湖南高考) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn， n∈N*.
3
130
三、分组求和法
[典例分析]
若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋n2－1， 则数列{an}的前 n 项和为_2_n1__n__n_(n_．1)6(2n 1) 2
[针对训练]
求值： (a 1) （a2 2) (an n)
感悟高考
（2014湖南文科16题）
已知数列an 的前n项和S n
一个数列的前 n 项和，可两两（或若干项）结合求解， 则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用 两项合并求解．
[针对训练]
1、若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n·(3n－2)，
D 则 a1＋a2＋…＋a10＝ ( )
A．15 B．12 C．－12 D．－15
2、Sn 12 22 32 42 (1)n1 n2
(2)求数列{nan}的前 n 项和．
[练习] (2013·山东高考) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4＝4S2， a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn }满足ba11＋ba22＋…＋bann ＝1－21n ，n ∈N*， 求{bn}的前 n 项和 Tn.
n2 2
n
,n
N *.
(1)求数列an 的通项公式；
（2）设bn 2an (1)n an , 求数列bn的前2n项和。
感悟高考
[典例] (2013·安徽高考)设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝ 8，且对任意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x －an＋2sin x 满足 f′π2＝0.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ n2＋n .
n(n 1)(2n 1)
(4)12＋22＋32＋42＋…＋n2＝
6；
(5)13＋23＋33＋43＋…＋n3＝
[
n(n 2
1)
]；2
二、并项求和法
[典例分析] 若 Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，
则 S50＝__-_2_5____.
1、数列{an}的通项公式是 an＝
n
1 ＋
，前 n＋1
n
项和为
9，则
n
B 等于( )
A．9 B．99
C．10 D．100
2．(2014·江南十校联考)已知函数 f(x)＝xa 的图像过点(4,2)，令
an＝fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则
S2 013＝
C( )
A.wk.baidu.com2 012－1
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2an＋21an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
四、裂项相消法求和（一）
1、已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足 bn＝
1
n
log3an，则数列 bnbn＋1 的前 n 项和 Sn＝___n_＋__1__.
2、等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且 a3－a2＝8，又 a1、a5
的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝log4an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，是否存在正整
数 k，使得 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <k 对任意 n∈N*恒成立．若
S1 S2 S3
Sn
存在，求出正整数 k 的最小值；不存在，请说明理由．
四、裂项相消法求和（二）
数列求和专题
一、公式法求和
1．等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d ；
2．等比数列的前 n 项和公式 Sn＝na1a1－1－，aqnqq＝＝1，a111－－qqn ，q≠1.
3．一些常见数列的前 n 项和公式
nn＋1 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 ；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ n2 ；
B. 2 013－1
C. 2 014－1
D. 2 014＋1
常用的拆项方法
(1)nn1＋k＝1k1n－n＋1 k
(2)
1 n＋k＋
n＝1k(
n＋k－
n)
(3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1 (4)nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2
五、错位相减法求和
[典例](2013·湖南高考) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn， n∈N*.
3
130
三、分组求和法
[典例分析]
若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋n2－1， 则数列{an}的前 n 项和为_2_n1__n__n_(n_．1)6(2n 1) 2
[针对训练]
求值： (a 1) （a2 2) (an n)
感悟高考
（2014湖南文科16题）
已知数列an 的前n项和S n
一个数列的前 n 项和，可两两（或若干项）结合求解， 则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用 两项合并求解．
[针对训练]
1、若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n·(3n－2)，
D 则 a1＋a2＋…＋a10＝ ( )
A．15 B．12 C．－12 D．－15
2、Sn 12 22 32 42 (1)n1 n2