1事件的概率 高数

一、随机事件和概率

数学一、数学三和数学四的考试大纲、内容和要求完全一致．

Ⅰ 考试大纲要求

㈠ 考试内容

随机事件和样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

㈡ 考试要求 事件及其概率的基本概念、基本公式和求事件概率的方法．

1、了解基本事件空间（样本空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算及其基本性质；

2、理解事件概率、条件概率的概念和独立性的概念；掌握概率的基本性质和基本运算公式；掌握与条件概率有关的三个基本公式（乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）．

3、掌握计算事件概率的基本计算方法：

(1) 概率的直接计算：古典型概率和几何型概率；

(2) 概率的推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率．

(3) 利用概率分布：利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率．

4、理解两个或多个（随机）试验的独立性的概念，理解独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算．

Ⅱ 考试内容提要

㈠ 随机试验、随机事件与基本事件空间（样本空间）

随机试验——对随机现象观测；样本点（基本事件）ω——试验最基本的结局，基本事件空间（样

本空间）{}ωΩ=——一切基本事件（样本点）ω的集合．随机事件——随机现象的每一种状态或表现，随机试验结果；必然事件Ω——每次试验都一定出现的事件，不可能事件φ——任何一次试验都不出现

的事件．

事件常用前面几个大写拉丁字母 ,,B A 表示；有时用{

} 表示事件，这时括号中用文字或式子描述事件的内容．

数学上，事件是基本事件（样本点）的集合；全集Ω表示必然事件，空集φ表示不可能事件．任何事件A 都可视为基本事件空间Ω的子集：Ω∈A ．

㈡ 事件的关系和运算

1、定义 关系：包含，相等，相容，对立；运算：和（并）、差、交（积）． (1) 包含

B A ⊂，读做“事件B 包含A ”或“A 导致B ”，表示每当A 出现B 也一定出现．

(2) 相等 B A =，读做“事件A 等于B ”或“A 与B 等价”，表示A 与B 或同时出现，或同时不

出现．

(3) 和

B A 或B A +，表示事件“A 与B 至少出现一个”

，称做事件“A 与B 的和或并”；特别， i

i A 或 ∑i

i A

表示事件“ ,,,,21n A A A 至少出现一个”

． (4) 差B A \或B A -，表示事件“A 出现但是B 不出现”，称做A 与B 的差，或A 减B ．

(5) 交

B A 或AB ，表示事件“A 与B 同时出现”

，称做A 与B 的交或积；特别， i

i A 或 n A A A 21

表示事件“,,21A A …, ,n A 同时出现”

． (6) 相容 若φ≠AB

，则称事件“A 和B 相容”

；若φ=AB ，则称“事件A 与B 不相容”； (7) 对立事件 称事件A 和A 互为对立事件，若φΩ==+A A A A ，，即=A {A 不出现}． (8) 完备事件组 ,,,,21n H H H 构成完备事件组，若 )( 21j i H H H H H j i n ≠==++++φΩ， ．

换句话说，如果有限个或可数个事件 ,,,,21n H H H 两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组．

(9) 文氏图 事件的关系和运算可以用所谓文氏图形象地表示出来（见图1.1，题中的矩形表示必然事件Ω）．

A+B A －B AB

A ⊃

B A φ=AB

图1.1 文氏图

2、事件运算的基本性质 对于任意事件A, B, C ,

,,,,21n A A A ，有

(1) 交换律 BA AB A B B A =+=+，．

(2) 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()(；

C AB BC A ABC )()(==．

(3) 分配律 AC AB C B A +=+)(；

() +++=+++n n AA AA A A A 11．

(4) 对偶律

+++==++++==+n n n n A A A A A A A A B A AB B A B A 1111；

，

；；

㈢ 概率的概念和基本性质

1、概率的概念 事件的概率——事件在随机试验中出现的可能性的数值度量．用)(A P 表示事件A 的概率，用{} P 表示事件

{} 的概率．

事件B 关于A 的条件概率定义为

())

()

(A AB A B P P P =

． (1.1)

2、概率的运算法则和基本公式

(1) 规范性 1)(0 0)(1)(≤≤==A P P P ，，φΩ．

(2) 可加性 对于任意有限或可数个两两不相容事件 ,,,,21n A A A ，有

()()()() ++++=++++n n A A A A A A P P P P 2121．

(3) 对立事件的概率 )(1)(A A P P -=．

(4) 减法公式 )()()(AB A B A P P P -=-．

(5) 加法公式 )()()()(AB B A B A P P P P -+=+；

[]．

)()()()()()()()(ABC BC AC AB C B A C B A P P P P P P P P +++-++=++ (6) 乘法公式

()()()()．

，

)()()(12112121-==n n n A A A A A A A A A A A B A AB P P P P P P P

(7) 全概率公式 设n H H H ,,,21 构成完备事件组，则对于任意事件A ，有

∑==n

k k k H A H A 1

)()()(P P P ．

(8) 贝叶斯公式 设n H H H ,,,21 构成完备事件组，则

()()n k H A H H A H A H n

i i i k k k ≤≤=

∑=1 )

()()

()(1

P P P P P ．