中考数学教学指导：如何求解旋转扫过的面积
求在旋转过程中BC边扫过的面积
【6533】
我们知道三角形的内角和是180°，一个平角也是l80°，请你利用以上两个结论完成下列各题：
（1）如图①，延长三角形ABC的边BC到D，请探究∠ACD、∠A、∠B三者之间的关系，请说明理由。
（2）如图②，已知∠A=40°，∠B=21°，∠C=18°，求∠BDC的大小。
（3）如图③，求∠A+∠8+∠C+∠D+∠E的大小。
A.a B.b C.ab D.无法判断
【6537】
在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲乙两城市之间的距离是4.5cm，如果一辆汽车的速度是90千米/时，那么从甲城到乙城需用（ ）小时。
【6538】
动物园售票处规定，一人券2元一张，团体券15元一张（可供10人参观)，六年级（1)班有58人，买门票最少要花（ ）元。
【6534】
下列图形中正方体展开图是（ ）
【6535】
如图，下列说法正确的是
①面积最大的是亚洲；
②南美洲、北美洲、非洲共占面积的50%；
③非洲占总面积1/3
④南美洲的面积是大洋洲面积的2倍
A.①② B.①②③④北美洲
C.①④ D.①②④
【6536】
a和b都是自然数，且0.3a=b，那么a和b的最小公倍数是（ ）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后所得的△AB'C'；
（2）若每个小正方形的边长为1，AB的长为10，求在旋转过程中BC边扫过的面积。
（π取3.14）
【6532】
搬只要赔5角，结果运完后搬运工共得搬运费280元，问搬运时不小心打碎了几只玻璃瓶？
【6539】
已知x，y（均不为0）能满足1/2x=1/3x，那么x，y成（ ）比例，并且x:y=（ ）。
例说计算旋转扫过的面积
ABC OD计算旋转扫过的面积河北 欧阳庆红我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ．解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,∴∠A AB '=∠C '+∠A '=01203090=+，∴.31636041202ππ=⨯⨯='A AB S 扇形例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',图2ACBCBA图1阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030, ∴AD=2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C , ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为图4AHBOC120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.。
线段旋转扫过的图形
课题：§线段旋转扫过的面积泉州市经济技术开发区泉州经济技术开发区实验学校黄立内容分析1．课标要求通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质；能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能利用旋转进行弧长和面积的相关计算。
2．教材分析知识层面：旋转的基本性质：对应线段相等，对应角相等，图形中每一个点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度。
角的动态定义：将一条射线绕着端点旋转一定的角度所形成的图形。
圆的定义的轨迹说：将一条线段绕着一个端点旋转一周所形成的图形。
本课时既承接这三个知识点，又通过图形面积的割补法推导所得线段旋转扫过的面积，也丰富了圆中的计算的相关应用。
能力层面：学生在学习了旋转的基本性质，已经具有观察和操作能力，积累了一定的探索和推理经验，具备进行“探索—猜想—证明”线段旋转扫过的面积的基础。
先通过学生课前分组发现问题，操作观察，思考解决方案，培养学生的创新意识和建模能力；由合情推理得出结论，再演绎推理论证结论的合理性，进一步发展学生推理证明的能力；最后回到课前的问题解决来培养学生的应用意识。
思想层面：线段旋转扫过的面积的探索和论证过程为渗透数学思想方法提供一个发展提高平台：通过对不规则图形的割补为规则图形进行计算，体现化归与转化的思想；通过线段端点在垂足同侧→线段端点在垂足异侧，这个探究过程体现从特殊到一般的思想，有助于培养学生几何直观能力和思维层次性。
3．学情分析（1）学生已经学习了旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说，并且进行了实际操作验证，这为探究线段旋转扫过的面积提供了认知基础。
（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究线段旋转扫过的面积的证明策略及方法提供了情感保障。
（3）学生在探究线段旋转扫过的面积过程中，其认知顺序可能是建构型的。
旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说是其原有知识储备的主要图式，通过对原有图式完全可以建立线段旋转过程的几何模型，进一步探究求面积的割补方法。
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。
以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。
同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。
2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。
可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。
3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。
4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。
这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。
三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。
通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。
篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。
下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。
2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。
3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。
熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。
4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。
三角形旋转体面积的求法
三角形旋转体面积的求法
在数学中，三角形旋转体是指由一个三角形绕着其中一条边旋转而成的立体图形。
要计算三角形旋转体的表面积，可以使用积分来解决这个问题。
首先，我们需要知道三角形的边长和高。
假设三角形的底边长为a，高为h。
现在，我们将三角形绕底边旋转360度，形成一个旋转体。
这个旋转体的表面积可以通过积分来求解。
首先，我们将三角形绕着底边旋转，得到的旋转体可以看作是由无数个小矩形叠加而成的。
每个小矩形的宽度可以看作是一个微小的长度dx，而高度则是三角形的高h。
因此，每个小矩形的面积可以表示为2πxh，其中x是距离底边的距离。
为了计算整个旋转体的表面积，我们需要对所有这些小矩形的面积进行求和。
因此，旋转体的表面积S可以表示为：
S = ∫(0到a) 2πxh dx.
通过对上式进行积分，我们可以得到三角形旋转体的表面积。
这个方法可以用于任意形状的旋转体，只需要根据具体的形状和旋
转轴来确定积分的上下限和积分式。
通过这种方法，我们可以很方便地求解三角形旋转体的表面积，同时也可以推广到其他形状的旋转体，为解决更加复杂的几何问题
提供了一种有效的工具。
中考数学复习指导：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB和点O在同一平面内，将线段AB绕点O旋转，在旋转过程中，线段AB所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O在线段AB上如图1，设AO＝a，BO＝b(a≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OBB'的面积和，故2222S a b a b360360360(2)当180°<α≤360°时，线段AB所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O在线段AB的延长线上如图4，设AO＝a，BO＝b，旋转角度为α．线段AB所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故2222360360360S a b a b 三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故2222360360360S a b a b (2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，OD ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即22222tan 360360S a b h b ．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S＝π（a2－h2）．计算线段AB绕点O旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB旋转所形成的图形．其形状是由线段AB的初始位置、终止位置及点A、B、D（点D是线段AB上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
如何求解旋转扫过的面积
如何求解旋转扫过的面积我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.例2如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ．析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030,∴AD=2121=AO , 根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=2π3例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A．7π3-B．4π3+C ．πD．4π3+析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =， ∴AB=2BC=4,∴AC=,32242222=-=-BC AB ∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C ,∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.AH BOC 1O 1H1A1C。
旋转背景下的面积比值问题——2021年宜昌市中考数学第23题
旋转背景下的面积比值问题——2021年宜昌市中考数学第23题旋转背景下的面积比值问题——2021年宜昌市中考数学第23题作为初中几何三大变换之一的旋转变换，之所以放在九年级学习，是有道理的，按教材编排，先学习的是平移，其次是轴对称，最后是旋转，因为它和后面的章节《圆》联系紧密。
我们在学习旋转时，多数情况下是旋转背景下的全等三角形，再到后来加入了相似三角形，例如“手拉手模型”、“一线三直角模型”等，所以这一类问题的解决，应该从旋转变换的概念开始，旋转中心、旋转方向、旋转角的确定，是成功构造旋转模型的关键，辅助线的作法也多半出自于此。
题目如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE=BC，EF⊥CD，垂足为F，将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°)，得到四边形CB'E'F'，B'E'所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K，E'F'所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD 于点Q，连接B'F'交CD于点O.(1)如图1，求证：四边形BEFC是正方形；(2)如图2，当点Q和点D重合时.①求证：GC=DC；②若OK=1，CO=2，求线段GP的长；(3)如图3，若BM∥F'B'交GP于点M，tan∠G=1/2，求S△GMB：S△CF'H的值.解析：(1)由矩形ABCD以及EF⊥CD可得∠B=∠BCF=∠EFC=90°，再加上BE=BC，得到正方形BEFC；(2)当点Q和点D重合时，围绕旋转中心C，有CB'=CF'，①观察GC与DC，GC和CB'在△GCB'中，DC与CF'在△DCF'中，本小题的目标就是证明这一对全等三角形，我们已经知道这是两个直角三角形，且有一条直角边相等，并且∠GCB'+∠B'CK=90°，∠DCF'+∠B'CK=90°，所以∠GCB'=∠DCF'，于是△GCB'≌△DCF'，最后得到GC=DC；②新增条件OK=1，CO=2，除了能得到CK=3之外，观察△B'OK 和△F'OC，它们是一对相似三角形，并且相似比为1：2，于是可得B'K是正方形边长CF'的一半，即K为B'E'中点；这样可以很容易证明△B'CK≌△E'DK，从而得到CK=DK，再由它进一步证明△GCK≌△PDK，得到GK=PK，即K为PG中点；在得到上述等量关系之后，接下来我们开始求线段长，仍然从已知求得的CK=3出发，它在Rt△B'CK中，并且这个三角形三边之比为1:2:√5，同时看图中Rt△GCK，它与△B'CK相似，因此它的三边之比也满足1:2:√5，所以可求出GK=3√5，最后得到GP=6√5；(3)这种图形中给平行线，明摆着是和相似三角形有关，又给出tan∠G=1/2，看一眼这个角所处的直角三角形，又是1:2:√5的直角三角形，最后求三角形面积的比值，从常规思路出发，三角形面积公式，这两个三角形中，△CF'H是直角三角形，面积相对容易求，并且∠F'CH=∠G，显然Rt△CF'H的三边之比为1:2:√5，设正方形CB'E'F'边长为2a，Rt△CF'H的面积可表示为a²；对于△GMB，它是一个钝角三角形，底和高均未知，不妨先将能表示出来的线段罗列一下，BC=B'C=E'F'=2a，CH=√5a，F'H=a，顺便求得E'H=3a；由BM∥F'B'可得∠BMK=∠F'B'K=45°，所以过点B作BN⊥GP于点N，如下图：先看Rt△GE'H，它的三边之比为1:2:√5，且E'H=3a，于是GH=3√5a，则GB=3√5a-2a-√5a=2√5a-2a，再看Rt△GNB，它与△GE'H相似，所以可求出BN=(2-2√5/5)a，这就是△GMB的高，还可以求出GN=2BN=(4-4√5/5)a；由等腰Rt△BMN可求MN=BN=(2-2√5/5)a，GM=GN-MN=(2-2√5/5)a，这是△GMB的底；现在可以表示出△GMB的面积了，2(1-√5/5)²a²，所以比值为2(1-√5/5)²，化简结果为(12-4√5)/5.这是常规解法，也是从三角形面积公式触发而想到的一条路，有没有别的思路呢？有的.这次的触发点是平行线，BM∥F'B'不妨延长B'F'和CH，交于点L，如下图：仍然设正方形CB'E'F'边长为2a，F'H=a，这一次我们却得到△LF'H∽△LB'C，相似比同样为1:2，因此可求出LH=CH=√5a，用前面的方法同样求出GH=3√5a，可得GL=4√5a，GB=GL-BC-CL=4√5a-2a-2√5a=2√5a-2a；再观察△GMB与△CF'L，可证明它们相似，相似比为GB:CL=1-√5/5，面积比为(1-√5/5)²，由于点H是CL中点，于是△CF'H的面积是△CF'L面积的一半，因此S△GMB:S△CF'H=2(1-√5/5)²，化简结果仍为(12-4√5)/5.解题反思在遇到特殊直角三角形时，灵活运用三边之比不失为一条捷径，若两个直角三角形有一个锐角相等，我们可证明它们为相似三角形，同样也利用这个锐角的三角函数，所以记住一些常见特殊边长比的直角三角形，对解题肯定有好处，例如本题中的边长之比为1:2:√5的直角三角形。
线段旋转的面积问题
线段旋转的面积问题作者：黄栋来源：《中学数学杂志(初中版)》2014年第03期旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS （〗〖JZ〗图12〖TS）〗图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot （β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.所以图7总的面积为：S=S1+S4（0经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.那么弓形面积-重叠部分就是：。
中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积
例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。
中考数学旋转(大题培优易错难题)及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .在由△ ABC中,AB=BC=5, Z B=90%将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点.处,将三角板绕点0旋转,三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于E, F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.〔1〕三角板绕点0旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形？假设能,指出所有情况〔即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长〕：假设不能,请说明理由：〔2〕三角板绕点0旋转,线段0E和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证实：〔3〕假设将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处〔如图③〕,当AP:AC=L4时,PE和PF 有怎样的数量关系？证实你发现的结论.【解析】【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF 的长度,即可推出BF 的长度；【小题2】连接0B,由己知条件推出△ OEB合么OFC,即可推出OE=OF：【小题3］过点P做PM±AB, PN±BC,结合图形推出△ PNF~ & PME, △ APM- △ PNC,继而推出PM： PN=PE： PF, PM： PN=AP： PC,根据条件即可推出PA： AC=PE： PF=1： 4.2 .在平面直角坐标中,边长为2的正方形OA8C的两顶点A、C分别在y轴、X轴的正半轴上,点.在原点.现将正方形.48c绕.点顺时针旋转,当A点一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,A5边交直线〕'='于点M边交汇轴于点N 〔如图〕.〔1〕求边04在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕旋转过程中,当和AC平行时,求正方形O43C旋转的度数:(3)设AM3N的周长为P,在旋转正方形O45C的过程中,〃值是否有变化？请证实你的结论. 【答案】(1)n/2(2) 22.5.⑶周长不会变化,证实见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积：(2)解决此题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出NAOM的度数：(3)利用全等把△ MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45.,/. 0A 旋转了45°.0A在旋转过程中所扫过的面积为土」=-.360 2(2) •/ MNII AC,・•. Z BMN=Z BAC=45% Z BNM=Z BCA=45°./. Z BMN=Z BNM. /. BM=BN.又YBA=BC, A AM=CN.又；OA=OC, Z OAM=Z OCN, △ OAM合△ OCN./. Z A0M=Z CON=- (Z AOC-Z MON ) =- (90°-45°) =22.5°.2 2旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45.-22.5.=22.5..(3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.证实：延长BA交y轴于E点,那么N AOE=45°-Z AOM, Z CON=90°-45°-Z AOM=450-Z AOM,・•. Z AOE=Z CON.又：OA=OC, Z OAE=180o-90o=90°=Z OCN.:, & OAE2 A OCN.「.OE=ON, AE=CN.文:Z MOE=Z MON=45°, 0M=0M,「・△ OME2△ OMN. /. MN=ME=AM+AE.・•, MN=AM+CN,/. p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4...・在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.考点：旋转的性质.3.己知：如图1,将两块全等的含30.角的直角三角板按图所示的方式放置,N 84c=N 8MiC=30°,点8, C, 8］在同一条直线上.(1)求证：AB=2BC(2)如图2,将△ABC绕点C顺时针旋转凌.(0Va<180),在旋转过程中,设AB与AiC. AiB】分别交于点D、E, AC与A】Bi交于点F.当骏等于多少度时,AB与A X B工垂直？请说明理由.〔3〕如图3,当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如下图的位置,使ABIICBi,AB与AK 交于点D,试说明A1D=CD.【答案】〔1〕证实见解析〔2〕当旋转角等于30.时,AB与AiBa垂直.〔3〕理由见解析【解析】试题分析：⑴由等边三角形的性质得八8=88］,又由于8B1=2BC,得出A8=28C;⑵利用AB与AiBi垂直得N AiED=90°,那么N AQE=90°-N Ai=60°,根据对顶角相等得Z BDC=60.,由于N B=60°,利用三角形内角和定理得N A1CB=180°-Z BDC-Z B=60°,所以N ACA】=90.-/AiCB=30.,然后根据旋转的定义得到旋转角等于30.时,AB与AiBi垂直：⑶由于ABIICB］, N ACBF90.,根据平行线的性质得N ADC=90.,在由△ ADC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=L AC,再根据旋转的性质得AC=AC 所以2CD=-AiC,贝ljAiD=CD.2试题解析：（1）.「△488］是等边三角形；AB=BBi•/ 881=2BCAB=2BC〔2〕解：当AB 与AiBi垂直时,Z AiED=90%・•, Z A1DE=90°-Z A F900-30°=60°,Z B=60% ?. Z BCD=60%/. Z ACAi=90°-60c=30°,即当旋转角等于30.时,AB与A】B,垂直.〔3〕 ABII CBi, Z ACBi=90%/. Z CDB=90°,即CD 是△ ABC 的高,设BC=.,AC=.,贝lj由〔1〕得AB=2fl, ,7 ^WRC = — BCxAC = — ABxCD.UBC 2 2即［=k2axeO2 2CD = -b 9即CD=-!-AiC,2 2/. AiD=CD.【点睛】此题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中央的距离相等: 对应点与旋转中央的连线段的夹角等于旋转角.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.4.:在△ ABC中,BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究以下问题：〔1〕如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且N ACB=60.,那么CD=—: 〔2〕如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且N ACB=90.,那么CD=_；〔3〕如图3,当NACB 变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的N ACB的度数.【答案】〔1〕3\产：〔2〕 3、伸-3\4 ㈠〕当NA CB=120.时,CD有最大值是a+b.【解析】【分析】〔1〕a=b=3,且NACB=60.,△ ABC是等边三角形,且CD是等边三角形的高线的2倍,据此即可求解；〔2〕 a=b=6,且NACB=90.,△ ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差：〔3〕以点D为中央,将△ DBC逆时针旋转60.,那么点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.【详解】（1）/ a=b=3,且NACB=60°,「. △ ABC是等边三角形,3//. 0C= 2 ,/. CD=3、3：（2）石-3©〔3〕以点D 为中央,将△ DBC 逆时针旋转60., 那么点B 落在点A,点C 落在点E.连接AE, CE, CD 有最大值是a+b.此题主要考查了等边三角形的性质,以及轴对称的性质,正确理解CD 有最大值的条件, 是解题的关键.5.在△ ABC 中,AB=AC, Z A=30°,将线段BC 绕点B 逆时针旋转60.得到线段BD,再将线 段BD 平移到EF,使点E 在AB 上,点F 在AC 上.〔1〕如图1,直接写出N ABD 和NCFE 的度数；〔2〕在图1中证实:AE=CF ；〔3〕如图2,连接CE,判断4CEF 的形状并加以证实.□ 1 口2【答案】(1)15% 45.： (2)证实见解析：(3) 4CEF 是等腰直角三角形,证实见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到N ABC 的度数,由旋转的性质得到/ DBC 的度 数,从・•・A CDE 为等边三角CE=CD.当点E 、A 、C 不在一条直线上时,有 CD=CE<AE+AC=a+b ；当点E 、A 、C 在一条直线上时,CD 有最大值,CD=CE=a+b ：只有当N ACB=120°时,Z CAE=180%即A 、C 、E 在一条直线上,此时AE 最大【点/. Z ACB=120°, 因此当N ACB=120°时,而得到NABD的度数；根据三角形外角性质即可求得NCFE的度数.(2)连接CD、DF,证实△ BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而ABH FD,证实△ AEF合△ FCD即可得AE=CF.(3)过点E作EG J_CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证实△ CEF是等腰直角三角形.(1) :在△ ABC 中,AB=AC, ZA=30% Z ABC=75°.•将线段BC绕点B逆时针旋转60.得到线段BD,即NDBC=60..NABD=15../. Z CFE=Z A+Z ABD=45°.(2)如图,连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, /. BD=BC, Z CBD=60°. △ BCD是等边三角形.「・CD=BD.・「线段BD平移到EF,・・.EFII BD, EF=BD.四边形BDFE是平行四边形,EF=CD.「AB = AC, Z A=30°, /. Z ABC=Z ACB=75°. /. Z ABD=Z ACD=15°.,•,四边形BDFE是平行四边形…♦・ABH FD. /. Z A=Z CFD.:■ & AEF合△ FCD (AAS)./. AE=CF.(3) ZkCEF是等腰直角三角形,证实如下：如图,过点E作EG_LCF于G,: Z CFE =45°, /. Z FEG=45°. /. EG=FG.1EG =耳AEZ A=30°, NAGE=90°,「・2・1 1EG = £：F FG = KFV AE=CF,「. 2 . /. 2.・.G为CF的中点.「.EG为CF的垂直平分线.EF=EC./. Z CEF=Z FEG=90°.・•.△ CEF是等腰直角三角形.考点：1 •旋转和平移问题：2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质：5.平行四边形的判定和性质：6.全等三角形的判定和性质；7.含30度直角三角形的性质：8.垂直平分线的判定和性质：9.等腰直角三角形的判定.6.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上〔如图1〕.现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交DF于点M, BC边交DG于点N.〔1〕求边DA在旋转过程中所扫过的面积：〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时〔如图2〕,求正方形ABCD旋转的度数；〔3〕如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？清证实你的结论.71【答案】〔1〕2 〔2〕 225°；〔3〕不变化,证实见解析.【解析】试题分析：〔1〕将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时,根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为22.5.〔3〕延长BA交DE轴于H点,通过证实/D4〃三4DCN和/DM〃三4DMN可得结论.〔1〕;A点第一次落在DF上时停止旋转,「.DA旋转了45°.457r x 22 7TDA在旋转过程中所扫过的而积为360― 一2〔2〕 ,/ MN II AC, = ^-BAC = 45° Z./7/VM = ZBC4=45°.乙BMN =乙BNM . BM = BN・•・• • •T7.. BA = BC . AM = CN • ,・・•T7..DA = DC,4AM =乙DCN . ADAM=ADCN• /• • •1"DM = k〔900 - 45°〕 = 22.5°.L ADM=乙CDN . 2••• ・• •厂.旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形ABCD旋转的度数为45°-22.5.= 22.5.⑶不变化,证实如下：如图,延长BA交DE轴于H点,那么LADE = 45° - LADM L CDN = 900 - 45° - L ADM = 450 - L ADM,,.LADE =乙CDN•• •T7.. DA = DC^DAH = 1800-90° = 90° = LDCN . ADAH^ADCN • •• • •.DH = DN f AH = CN•• ♦..〔MDE =乙MDN = 45°刀M = DM . ADMHwADMNv.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CNp = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB + BC = 4,在旋转正方形ABCD的过程中,P值无变化.考点：1 ,而动旋转问题：2.正方形的性质：3,扇形面积的计算：4.全等三角形的判定和性质.7.思维启迪：(1)如图1, A, B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A, B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个方法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P (点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CDII AB,思维探索：(2)在4ABC 和4ADE 中,AC=BC. AE = DE,且AE<AC,Z ACB = Z AED =90.,将△ ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ ADE的位置作为起始位置 (此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为a,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC, PE.①如图2,当△ ADE在起始位置时,猜测：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3,当a = 90.时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证实你的结论：③当a=150.时,假设BC = 3, DE=I,请直接写出PC?的值.【答案】(1) 200： (2)①PC=PE, PC_LPE：②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PC±PE,见解析：@PC2=-1()+ 3-.2【解析】【分析】(1)由CDIIAB,可得NC=NB,根据N APB=N DPC即可证实△ ABP2△ DCP,即可得AB = CD,即可解题.(2)①延长EP交BC于F,易证△ FBP合△ EDP (SAS)可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC=PE, PCXPE.②作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证△ FBP合△ EDP (SAS),结合得BF = DE=AE,再证实△FBCW △ EAC (SAS),可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC = PE, PC±PE.③作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H 点,由旋转旋转可知,Z CAE = 150", DE与BC所成夹角的锐角为30.,得N FBC = N EAC, 同②可证可得PC=PE, PC_LPE,再由己知解三角形得J. EC2=CH2+HE2=1O + 3JJ,即可求出尸C2=9EC2 = 1()-3丫’3 2 2【详解】(1)解:丁CDII AB, J Z C=Z B,在仆ABP和aDCP中,BP = CPZAPB = NDPC,/B = /C:■ & ABP合△ DCP (SAS),DC=AB.AB = 200 米.・•・CD=200米,故答案为：200.(2)①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PCXPE.理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,同(1)理,可知,△ FBP合 & EDP (SAS),/. PF=PE, BF = DE,又,.,AC=BC, AE = DE,FC=EC,又•・・Z ACB = 90\EFC是等腰直角三角形,・/ EP = FP,・・.PC=PE, PCJLPE.®PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC = PE, PC±PE.理由如下：如解图2,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF, 同①理,可知△ FBP2△ EDP (SAS),・・.BF = DE. PE = PF=-EF, 2・/ DE=AE,/. BF = AE,・••当a=90.时,Z EAC=90°,ED II AC, EAII BCFBII AC, Z FBC=90,・•・ Z CBF=Z CAE,在^ FBC和^ EAC中,BF = AE< NCBE = NCAE ,BC = AC:■ & FBC合 ' EAC (SAS),・•. CF = CE, Z FCB = Z EC A,•/ Z ACB = 90°,/. Z FCE = 90°,△ FCE是等腰直角三角形,・/ EP = FP,CP±EP, CP = EP=-EF.2③如解图3,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H点,当a=150.时,由旋转旋转可知,Z CAE = 150°, DE与BC所成夹角的锐角为30.,・•・ Z FBC=Z EAC=a=150°同②可得^ FBP24 EDP (SAS),同②△ FCE是等腰直角三角形,CPJ_EP, CP = EP=』±CE,2在RSAHE 中,NEAH = 30.,AE=DE=1,HE=- , AH=叵,2 2又< AC=AB=3,/. CH=3+正,2・•, EC2=CH2+HE2=IO +3>/3【点睛】此题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30.直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.8.小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ ABC, △ DEF均为等腰直角三角形, 各顶点坐标分别为 A (1, 1) , B (2, 2) , C (2, 1) , D ( 0) , E( 2五,0),〔1〕他们将△ ABC绕C点按顺时针方向旋转45.得到△ AiBiC.请你写出点A］,Bi的坐标,并判断A】C和DF的位置关系：〔2〕他们将△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = 2g?+bx+c±.请你求出符合条件的抛物线解析式：〔3〕他们继续探究,发现将△ ABC绕某个点旋转45,假设旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = x?上,那么可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的所有坐标.A】C和DF的位置关系是平行.〔2〕•/ △ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为^ DEF,2 应x〔扃+>/Ib + c = O①当抛物线经过点D、E时,根据题意可得：｛, ,解得2 应x〔2 回一+ 2回+ c=0b = -12(=8万A y = 2>/2x2-12x+8x/2 .2 五x(近忘b + c = o②当抛物线经过点D、F时,根据题意可得：｛(3①丫372 点,解得I 2 J 2 2b = -llL = 7-72y = 2V2x2-llx+7>/2.2耳〔2⑸+2岳+ c = 0③当抛物线经过点E、F时,根据题意可得：｛〔30丫35/22ax --- +---b + c =-2 2J 乙b = -13'c = 10 应y = 2x/2x2-13x + 10x/2 .〔3〕在旋转过程中,可能有以下情形：①顺时针旋转45.,点A、B落在抛物线上,如答图1所示,易求得点p坐标为〔o, Lz叵〕. 2②顺时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图2所示,设点夕,.的横坐标分别为右,X2,易知此时BC与一、三象限角平分线平行,.•.设直线BC的解析式为y=x+b.联立丫f2与丫=乂+1〕得：x2=x+b,即X? — x-b = 0,「. X]+x? =1,X t x2 =-b ..•.根据题意易得：|x「x」=走,.J 〔Xi-xJ?=：,即 2 2\2 IX] +X2〕 -4x^2 =-..1- l + 4b = i,解得b =一2 8x2-x + - = 0,解得x = ^^x 或x = ^^.8 4 4••1点c的横坐标较小,x = 三口 .42 - *\/2 . 9 3-2近1IX = ------------- 时,y = x = ---------------------- .4 8.p f 2-5/2 3-2V2 .4 8③顺时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图3所示,设点C, A,的横坐标分别为4, X2.易知此时C7V与二、四象限角平分线平行,.•.设直线C7V的解析式为y = -x + b.联立y=x?与y = lX + b 得：x° =-x + b ,即+ x - b = 0 , /. X. +x?=一1, x,x, ="b .••・UA'=1, .•.根据题意易得：|x「x」= WI, ... 〔x「X2〕2 =；,即2 2.1- l+4b = l,解得b =一 2 8, 2 I ] 八-2 + y/2 T -2 - V2..X- + X + —= 0 , 解得X = ------------------ x 或X = ---------------- -8 4 4•・•点C的横坐标较大,「. x = "2+V,2 .4w + V? . 2 3 -2>/2ix = --------------- 时,y = x = ----------------------- .4 8*〕.4 8④逆时针旋转45.,点A、B落在抛物线上.由于逆时针旋转45.后,直线AB与y轴平行,由于与抛物线最多只能有一个交点,故此种情形不存在.⑤逆时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图4所示,与③同理,可求得：P 〔二2 一退,3二2巫〕.4 8⑥逆时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图5所示,与②同理,可求得：p 〔2y,,一y.〕.综上所述,点P的坐标为：〔0,上叵〕,〔三叵,3-2立〕,p〔―2 +点,2 4 8 43-2>/2 2 + 72 3 + 20\8 4 8等图I 答医2 硝； 1 答& 等国【解析】〔1〕由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解.〔2〕首先明确△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为ADEF,然后分三种情况进行讨论,分别计算求解.〔3〕旋转方向有顺时针、逆时针两种可能,落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能,因此共有六种可能的情形,需要分类讨论,防止漏解.考点：旋转变换的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平行线的性质,等腰直角三角形的性质,分类思想的应用.。
初中数学旋转图形面积教案
初中数学旋转图形面积教案1. 知识与技能目标：通过观察生活中的旋转现象，理解旋转图形的概念，掌握旋转图形的性质，并能运用性质解决实际问题。
2. 过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生的空间观念和几何思维能力，提高学生解决几何问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，感受数学与生活的紧密联系。
二、教学内容1. 旋转图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
2. 旋转图形的性质：（1）旋转前后的图形全等；（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
3. 旋转图形的应用：旋转图形的面积计算。
三、教学重点、难点1. 教学重点：旋转图形的性质及应用。
2. 教学难点：旋转图形面积的计算方法。
四、教学过程1. 导入：通过展示生活中的旋转现象，如风车、钟表等，引导学生关注旋转现象，激发学生学习兴趣。
2. 新课讲解：（1）介绍旋转图形的概念，引导学生理解旋转的定义；（2）讲解旋转图形的性质，引导学生通过实际例子感受性质的应用；（3）讲解旋转图形的面积计算方法，引导学生掌握计算技巧。
3. 课堂练习：布置一些有关旋转图形面积的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 拓展与应用：引导学生思考生活中的旋转现象，如衣服的折叠、食品的制作等，运用所学知识解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课堂练习的准确性，评估学生对知识的掌握程度。
3. 拓展与应用：评价学生在解决实际问题时的创造性思维和运用知识的能力。
六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。
同时，关注学生在课堂上的情感态度与价值观的培养，确保学生全面发展。
初中数学旋转求面积教案
初中数学旋转求面积教案教学目标：1. 理解旋转的性质，掌握旋转的基本概念和操作方法。
2. 学会运用旋转求解几何图形的面积。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 旋转的性质和基本概念。
2. 运用旋转求解几何图形的面积。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 几何图形模型或实物模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入旋转的概念：什么是旋转？2. 展示旋转的性质：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解旋转的基本性质：旋转中心、旋转角度、旋转后的位置。
2. 示例讲解：如何运用旋转求解几何图形的面积。
三、课堂练习（15分钟）1. 学生独立完成练习题目，巩固旋转求面积的方法。
2. 老师巡回指导，解答学生的疑问。
四、总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课的主要内容和旋转求面积的方法。
2. 提问学生：旋转求面积的方法还可以应用到哪些场景？3. 展示旋转在实际生活中的应用实例，如旋转门、旋转餐厅等。
教学反思：本节课通过讲解旋转的基本性质和示例讲解，让学生掌握运用旋转求解几何图形的面积的方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题目，巩固所学知识。
在总结与拓展环节，学生能够理解旋转求面积的方法在实际生活中的应用。
整体来说，本节课达到了预期的教学目标。
需要注意的是，在教学过程中，要注重学生的空间想象能力的培养，可以通过展示实物模型或几何模型，帮助学生更好地理解旋转的性质和应用。
此外，可以适当增加一些拓展题目，提高学生的解决问题的能力。
旋转平移面积计算公式
旋转平移面积计算公式在几何学中，旋转和平移是两种常见的变换方式，它们可以用来描述物体在空间中的运动和变形。
对于一个平面图形，当它进行旋转或平移时，其面积也会发生相应的变化。
因此，如何准确地计算旋转和平移后图形的面积，是一个重要的问题。
在本文中，我们将介绍旋转平移面积计算公式，并探讨其应用和意义。
旋转平移面积计算公式的推导。
首先，我们来讨论旋转变换对平面图形面积的影响。
假设有一个平面图形，其面积为A，现在我们对这个图形进行绕某一点旋转一个角度θ，求旋转后图形的面积。
设旋转后的图形面积为A'，那么A'与A之间的关系可以用下面的公式表示：A' = A cos(θ)。
其中，cos(θ)表示旋转角度θ的余弦值。
从上面的公式可以看出，当图形绕某一点逆时针旋转时，其面积会减小；而当图形绕某一点顺时针旋转时，其面积会增大。
这是因为旋转会改变图形的形状和大小，从而影响其面积。
接下来，我们来讨论平移变换对平面图形面积的影响。
假设有一个平面图形，其面积为A，现在我们对这个图形进行平移，求平移后图形的面积。
设平移后的图形面积为A'，那么A'与A之间的关系可以用下面的公式表示：A' = A。
从上面的公式可以看出，平移变换不会改变图形的形状和大小，因此平移后图形的面积与原图形的面积相等。
综上所述，旋转和平移变换会对平面图形的面积产生影响，其影响规律可以用数学公式来描述。
下面我们将讨论如何将旋转和平移变换结合起来，求解旋转平移后图形的面积。
旋转平移面积计算公式的应用。
在实际问题中，我们经常需要对图形进行旋转和平移，然后求解旋转平移后图形的面积。
例如，当我们设计建筑物或制作工艺品时，经常需要对图形进行旋转和平移，然后计算旋转平移后图形的面积，以便确定材料的使用量和成本。
又如，在地理学和地图制作中，我们经常需要对地图进行旋转和平移，然后计算旋转平移后地图的面积，以便确定地理区域的面积和边界。
小圆滚动中扫过的面积计算公式
小圆滚动中扫过的面积计算公式一、小圆滚动中扫过的面积相关概念。
1. 滚动方式。
- 当小圆在平面上滚动时，有不同的滚动情况。
如果是沿着直线滚动，扫过的面积形状相对规则；如果是沿着曲线滚动，情况会复杂一些。
2. 小圆的特征。
- 小圆的半径r是计算扫过面积的重要参数。
二、小圆沿直线滚动扫过的面积。
1. 完整滚动一周。
- 当小圆完整滚动一周时，它扫过的面积由两部分组成：一个长方形和两个半圆（合起来是一个圆）。
- 长方形的长为小圆滚动一周的距离，也就是小圆的周长C = 2π r，宽为小圆的直径2r。
- 所以长方形的面积S_1=2π r×2r = 4π r^2。
- 两个半圆合起来的圆面积S_2=π r^2。
- 那么小圆滚动一周扫过的总面积S = S_1+S_2=4π r^2+π r^2=5π r^2。
2. 滚动多周。
- 如果小圆滚动n周，扫过的面积就是S = 5π r^2× n。
三、小圆沿曲线滚动扫过的面积（以沿大圆滚动为例）1. 小圆在大圆内部滚动。
- 设大圆半径为R，小圆半径为r。
- 当小圆在大圆内部滚动时，小圆滚动一周扫过的面积是一个环形的一部分。
- 小圆滚动的圆心轨迹半径为R - r。
- 小圆滚动一周扫过的面积S=π((R - r + r)^2-(R - r)^2)=π(R^2-(R - r)^2)=π(2Rr - r^2)。
2. 小圆在大圆外部滚动。
- 小圆滚动的圆心轨迹半径为R + r。
- 小圆滚动一周扫过的面积S=π((R + r + r)^2-(R + r)^2)=π((R + 2r)^2-(R +r)^2)=π(2Rr+ 3r^2)。
中考数学复习指导：旋转变换在解题中的妙用
旋转变换在解题中的妙用初中数学中蕴含着许多数学思想和方法，灵活运用好这些思想与方法，才能帮助我们解决问题．本文以旋转变换为例，与大家一起感受将图形旋转的思想方法是如何帮助我们聚集条件，搭建桥梁，从而顺利解题的．一、利用旋转变换，把分散的条件集中到一个三角形中例1 如图1，在△ABC中，CD为AB边上的中线，且AC＝3，BC＝4，CD＝，试判断△ABC的形状．分析本题给出的条件CD与AC.BC间并不在同一三角形中，条件显得分散．但如果把△BCD绕D点旋转180°后，已知的三条线段就都能集中到△ACM中，从而通过旋转集中了条件．例2 如图2，在正方形ABCD中，P为其内部一点，且AP＝1，BP＝，PC＝，求∠APB度数．分析显然已知P点到顶点A,B,C的距离，三个条件也是过于分散，但如果把△ABP 绕B点顺时旋转90°，到△BMC处，则三个条件就可转化到△PMC中，从而由直角三角形性质可求出∠PMC,∠BMP的度数．二、利用旋转变换，把分散的线段集中到一条直线上例3 如图3，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，E,F分别在BC与CD上，求证：EF＝BE＋DF．分析将△ADF旋转到△ABM的位置即可求解．例4 D是正△ABC外一点，且∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，E,F在AB,AC上．求证：EF＝BE＋CF．分析通过旋转可把BE与CF集中到同一直线AC上，然后由△MDF≌△FDE可得所求结论．三、利用旋转变换，把不规则的图形变成规则的图形例5 在△ABC中，∠C＝90°，O为AB中点，将△ABC绕O点逆时针旋转90°，得△DEF，若AC＝6，求重叠部分面积．分析两直角重叠部分为不规则四边形，若用常规方法，则要先求△BPQ面积，再求△BO R面积，然后相减得出重叠部分面积，显然比较麻烦，若用旋转则可达到意想不到的简化效果，作OM⊥PQ,ON⊥BC，把△POM旋转到△R ON位置，则不规则的重叠部分变成了正方形MONQ，由OM为中位线，得ON＝AC＝3，从而S阴＝9．例6 在Rt△ABC中，D,E,F分别在AB.AC.BC上，且DECF为正方形，AD＝6，BD＝8，求S阴．分析本题若从常规角度思考则感觉条件似乎不充分，无从下手，但若把△AED绕D 点顺时旋转90°，则可得阴影部分面积就是△A'BD的面积，且A'D＝AD＝6，∠A'DB＝90，从而有，S阴＝6·8·＝24．。
初中旋转正方形面积教案
初中旋转正方形面积教案教学目标：1. 理解旋转的概念，掌握正方形旋转的性质。
2. 学会计算旋转过程中所扫过的面积。
3. 能够应用旋转的性质解决实际问题。
教学重点：1. 旋转的概念和性质。
2. 计算旋转过程中所扫过的面积。
教学难点：1. 理解旋转过程中所扫过的面积的计算方法。
2. 应用旋转的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 正方形纸张。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入旋转的概念，让学生举例说明生活中常见的旋转现象。
2. 解释正方形旋转的性质，即旋转前后形状和大小不变，位置发生变化。
二、新课（20分钟）1. 讲解正方形绕某一点旋转时，边的长度和角度的变化。
2. 引导学生观察正方形旋转过程中，所扫过的面积的变化。
3. 引导学生通过实际操作，计算正方形旋转过程中所扫过的面积。
4. 总结旋转过程中所扫过的面积的计算方法。
三、练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，计算正方形旋转过程中所扫过的面积。
2. 引导学生通过实际操作，解决实际问题。
四、小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结旋转的概念和性质。
2. 引导学生理解旋转过程中所扫过的面积的计算方法。
教学反思：本节课通过引导学生观察和操作，让学生掌握了正方形旋转的概念和性质，以及旋转过程中所扫过的面积的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与，发挥学生的动手操作能力，提高学生的学习兴趣。
同时，通过练习题和实际问题的解决，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。
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如何求解旋转扫过的面积
我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.
例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠== ，．将其绕B 点顺时针旋转一
周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．
析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.
例2如图，菱形OABC 中，120A = ∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90 ，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ．
析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A = ∠,∴∠AOC=060,
∴∠AOB=21
∠AOC=030,∴AD=2
121=AO , 根据勾股定理得,OD=22AD OA -=2
3, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=
，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090
∴()
OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=
21360130360
39022
ππ阴影
=3121
1243⨯⨯--ππ=2π3-例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠= ，30CAB ∠= ，2BC =，O H ，分别为边
AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120 到11A BC △的位置，则整个旋
转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A
．7π3 B
．4π3+
C ．π
D
．4
π3
+析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,
∵90ACB ∠= ，30CAB ∠= ，2BC =， ∴AB=2BC=4,
∴AC=,32242
2
2
2
=-=-BC AB
∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，
∴OB=1OB =2,CH=32
1
11==AC H C ,
∴BH=()7322
2211211=+=+=H C BC BH ,
易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120 ,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即
3601202BH S π=阴影
360
1202BO π-
=ππ
π=-3437.
A
H B
O
C 1O 1H
1A
1C。