尺规作图由来及局限

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尺规作图的历史和难题

尺规作图的历史和难题中国篇俗话说：“不以规矩，不成方圆”，究竟什么是“规”，什么是“矩”？“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性国际篇古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

尺规作图数学史

初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，很多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一局部）所组成的图形，所以作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点能够画一条直线；⑵ 已知圆心和半径能够作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，假如相交，能够求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺能够画出第一条公法所说的直线；用圆规能够作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规能够求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，假如能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.即使如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，以前使很多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是缺乏以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：假如把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.假如这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下列图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..直角边为1的长度自然就出来了.【解析】具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.）⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c b aD'DC B Acb a【分析】假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置能够确定.从而点C 也能够确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又能够确定，故符合条件的正三角形能够作出.【解析】作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，能够先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过度F 别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求. NM P CB Al。

尺规作图

B D D`
B`
O
C
A
O`
C`
A`
证明：连接DC,D’C’ ,由作法可知在△COD和△C`O`D` 中 OB =O`B` CD =C`D` OC=O`C` △C`O`D`≌△COD(SSS), ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等) 即∠A`O`B`=∠AOB。
3．作已知角的平分线.
∴ ABD ACD ( AAS )
BD CD
C
角平分线上的点至角两边的距离相等
角平分线的性质-2
已知
B D A B ，C D A C ， B D C D
试证明： D 在角平分线上
证明联结AD
在 △ABD 和 △ACD 中 ∵ AD AD
BD CD
B
D B A D C A 90
A
D
∴ ABD ACD (RHS )
BAD CAD
CLeabharlann 得证 D点在角平分线上谁来闯荡江湖,牛刀小试?
（不写已知，求作，作法）
(1)．作线段PQ=BC；
(2)．作∠EDF=∠ABC ； (3)．作射线AG平分∠ABC；
B
A
C
二、利用基本作图作出其它图形
已知两边及其夹角，求作三角形．（不写
尺规作图是起源于古希腊的数学课题
古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。

尺规作图的路径与原理

尺规作图的路径与原理尺规作图的路径与原理闽江学院附属中学杜强⼀、知识回顾1.什么是尺规作图?尺规作图是指⽤⽆刻度的直尺和圆规作图起源起源于古希腊,最初由伊诺⽪迪斯提出,并逐渐形成公约,最后总结在欧⼏⾥得的《⼏何原本》之中。

直尺没有刻度,⽆限长,且只能使⽤直尺的固定⼀侧画直线、射线或线段,不可以⽤于度量长度。

描述：画直线、射线或线段。

例如:画射线OA圆规两脚可以开⾄⽆限宽,量取两点之间的距离,⽤于画圆弧,描述：以某点为圆⼼,某长为半径作弧,与直线(射线、线段或弧)交于某点。

例如:以点C为圆⼼,适当长为半径作弧,交AB于点D和E2.课标要求⑴能⽤尺规完成基本作图①.作⼀条线段等于已知线段;②.作⼀个⾓等于已知⾓;③.作⼀个⾓的平分线;④.作⼀条线段的垂直平分线;⑤.过⼀点作已知直线的垂线。

⑵会利⽤基本作图作三⾓形①已知三边、两边及其夹⾓、两⾓及夹边作三⾓形;②已知底边上的⾼线作等腰三⾓形;③已知⼀直⾓边和斜边作直⾓三⾓形。

⑶会利⽤基本作图完成①过不在同⼀直线上的三点作圆;②作三⾓形的外接圆、内切圆；③作圆的内接正⽅形和正六边形。

⑷尺规作图要求在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图痕迹,不要求写出作法。

3.基本作图五个基本作图名称：①作⼀条线段等于已知线段;②作⼀个⾓等于已知⾓;③作⼀个⾓的平分线;④作⼀条线段的垂直平分线;⑤过⼀点作已知直线的垂线。

五个基本作图要求：在尺规作图中，了解作图的道理,熟悉作图的过程，保留作图痕迹，不要求写出作法。

五个基本作图的作法：①作⼀条线段等于已知线段（七年级上册第四章P126）已知线段a. 求作线段AB,使AB=a作法：(1)画射线AC(2)在射线AC上截取AB=a(以点A为圆⼼,线段a长为半径画弧,交射线AC于点B),则线段AB即为所求②作⼀个⾓等于已知⾓（⼋年级上册第⼗⼆章P36）已知∠AOB. 求作∠AOB',使∠AOB′=∠AOB.作法：(1)以点O为圆⼼,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D(2)画⼀条射线O’A’,以点O'为圆⼼,OC长为半径画弧,交O'A'于点C'(3)以点C'为圆⼼,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D'(4)过点D'画射线O'B’,则∠A'O'B'=∠AOB原理：△OCD≌△O'C'D'（sss）③作⼀个⾓的平分线(⼋年级上册第⼗⼆章P48)已知∠AOB. 求作∠AOB的平分线作法:(1)以点O为圆⼼,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N；MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内(2)分别以点M,N为圆⼼,⼤于1 2部相交于点C；(3)画射线OC,则射线OC即为原理：△OMC≌△O NC（sss）④作⼀条线段的垂直平分线(⼋年级上册第⼗三章P63)已知线段AB. 求作线段AB垂直平分线作法:AB的长为径作弧,两弧相交于C,D (1)分别以点A和点B为圆⼼,⼤于12两点(2)作直线CD,则直线CD即为所求原理：四边形ACBD是菱形注：它也是作直线的垂线和确定线段中点的重要依据⑤过⼀点作已知直线的垂线（⼋年级上册第⼗三章P62）I.已知直线AB和直线AB外⼀点C, 求作AB的垂线,使它经过点C(1)任意取⼀点K,使点K和点C在AB的两旁;(2)以点C为圆⼼,CK长为半径作弧,交AB于点D和EDE的长为半径作弧,两弧相交于点(3)分别以点D和点E为圆⼼,⼤于12F;(4)作直线CF,则直线CF即为所求直线原理：线段DE的垂直平分线∠.已知直线AB和直线AB上⼀点C, 求作AB的垂线,使它经过点C.作法:(1)以点C为圆⼼,适当长为半径作弧,交AB于点D和EDE的长为半径在直线AB的同侧(2)分别以点D和点E为圆⼼,⼤于1 2作弧,两弧相交于点F;(3)作直线CF,则直线CF即为所求直线原理：等腰△DEF三线合⼀⼆、实践提升1.⽜⼑⼩试【练习】如图,已知线段a.求作等边∠ABC,使其边长为a2举⼀反三【变式I】求作⼀个⾓,使它等于60°∴∠ABC为所求作的⾓【变式∠】求作⼀个⾓,使它等于30°(五种作法如下)【变式∠】已知线段AB,以线段AB为斜边,求作R∠ABC,使∠BAC=30°可以类⽐30°⾓的作法:【变式∠】求作⼀个⾓,使它等于45°【变式V】求作⼀个⾓,使它等于75【变式∠】求作⼀个⾓,使它等于120°4.归纳提升三、中考前沿1.真题赏析【2017福州质检·19题】(本题满分8分)如图,在Rt∠ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2以点B为圆⼼,BC长为半径画弧交AB于点D;以点A为圆⼼AD长为半径画弧,交AC于点E,保留的值作图痕迹,并求AEAC注：根据⽂字语⾔，完成尺规作图，再解答【2017福州中考·19题】(本题满分8分)如图,△ABC中,∠ABC=90°,AD⊥BC,垂⾜为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)【2018福州质检·19题】(本题满分8分)如图,在Rt∠ABC中,∠C=90°,∠B=54°,AD是∠ABC的⾓平分线.求作AB 的垂直平分线MN交AD于点E,连接BE;并证明DE=DB. (要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)【2018福建中考·20题】(本题满分8分)求证:相似三⾓形对应边上的中线之⽐等于相似⽐要求:①根据给出的∠ABC及线段A'B’,∠A'（∠A'=∠A),以线段A'B’为⼀边,在给出的图形上⽤尺规作出∠A'B'C',使得∠A'B'C'∠∠ABC,不写作法,保留作图痕迹；②在已有的图形上画出⼀组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程【2019·福州质检20题】(本题满分8分)如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC.求作∠O,使得点O在边AB上,且∠O经过B,D两点;并证明∠O与AC相切.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)【2019福建中考·20题】(本题满分8分)已知∠ABC和点A',如图(1)以点A'为⼀个顶点作∠A'B'C',使得∠A'B'C'∠∠ABC,且∠A'B'C'的⾯积等于∠ABC⾯积的4倍;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)设D,E,F分别是∠ABC三边AB,BC,CA的中点,D’,E',F'分别是你所作的∠A'B'C'三边A'B’,B'C',C'A',的中点,求证:∠DEF∠∠D'E'F'2.总结升华了解：了解中考要求,知晓标准理解理解作图原理,熟悉作法掌握掌握基本作图,解决问题。

尺规作图小史话

尺规作图小史话
山东石少玉
尺规作图有着悠久的历史.这里的“尺”指的是没有刻度的直尺，主要用来在两点间连接一条线段，或将线段向两方延长；这里的“规”指的是“圆规”，是用来画圆的工具.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
在数学史上，首先提出尺规作图限制的是古希腊的安那萨哥拉斯，他因政治上的问题，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其它有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.由于监狱条件简陋，他不可能用规范的圆规作图，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这样尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规来解决问题.但最早以理论形式具体明确这个规定的则是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人们所崇尚的尺规作图规则也一直被遵守并流传下来.
由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的就是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其它工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的制约，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡儿创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明了立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了是无理数，因此化圆为方问题也不可能用尺规作图解决.这才结束了历时两千年的数学难题公案.
1。

《尺规作图》错例分析

《尺规作图》错例分析安徽李庆社平面几何中的所谓基本作图，就是作图工具习惯上限用直尺和圆规两种，也称尺规作图．其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中.于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律.由此可见尺规作图的意义和重要性了．下面通过几个例子，从正、反两个方面来加深理解尺规作图的意义．例1已知两边及其夹角，求作三角形. M已知：，线段，如图，B求作：，使A＝，AB＝，AC＝ A α C N 作法：1、用量角器作MAN＝；a2、在射线AM、AN上分别作线段AB＝，AC＝；b3、连结BC为所求作的三角形剖析：以上作图违背了“基本作图”的规定．尺规作图不得使用量角器．以上错误是使用工具不当所致．正确的作法：1、作MAN＝；a2、在射线AM、AN上分别作线段AB＝，AC＝；3、连结BC为所求作的三角形说明：①一般几何作图题的步骤：已知、求作、作法、证明.在一般情况下，只要求掌握已知、求作、作法三个步骤.②几何作图题的作法的书写规定：在几何作图题中，要反复用到上节学过的基本作图，但不需重复基本作图过程，只要写出是哪个基本作图就可以了.例如“作MAN＝”③作图语言要规范.④基本作图工具是直尺和圆规．例2已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形.已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m.分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然后再作出作法：（1）量得a=5.2cm，b=5.8cm,m=4.8cm,作BC=5.2cm，MC=2.9cm,MB=4.8cm；得；（2）延长线段CM至A，使MA=CM；（3）连接BA，则为所求作的三角形.剖析：以上作法的错误在于使用了刻度尺，测量时不可避免的产生误差，也不符合基本作图的要求．正确的作法：（1）作线段BC＝a,,BM=m；（2）延长线段CM至A，使MA=CM；（3）连接BA，则为所求作的三角形.剖析：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故即可顺利作出.下面再看正确使用尺规作图，解决应用问题一例．例3如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P.分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点.作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE；（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P.则点P为所求作的学校位置.评注：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求.（1）作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹)．(2)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．（3）在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．(4)作线段＝；（2）作∠＝∠；（3）作（射线）平分∠；（5）过点作，垂足为点；（5）作线段的垂直平分线．。

五种基本尺规作图及三大史诗级难题

五种基本尺规作图及三大史诗级难题数学让生活更有趣尺规作图是古希腊几何学中的一项重要内容。

早在公元前5世纪，古希腊数学家们就已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规来作图了。

在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是画两种图形的工具，只有用尺规做出的图形才是可信的。

在历史上，明确提出作图只能使用直尺和圆规的人，首推伊诺皮迪斯，他在公元前465年前后发现，只用没有刻度的直尺和圆规，就可以过已知直线的一个点上作一个角与已知角相等，这件事的重要性在于，它启示人们在尺规的限制下，从理论上去解决这个问题。

五种基本尺规作图1、作一条线段等于已知线段；2、作已知线段的垂直平分线；3、作已知角的角平分线；4、作一个角等于已知角；5、过一点作已知直线的垂线；1、作一条线段等于已知线段已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

2、作已知线段的垂直平分线已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO作法：（１）分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则直线PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线3、作已知角的角平分线已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于线段MN一半为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

4、作一个角等于已知角作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

尺规作图由来及局限ppt课件

直线垂直Ｌ. • （4）任意给定自然数ｎ，作已知线段的
ｎ倍，ｎ等分已知线段.
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• （5）已知线段a,b，可做a+b,a-b,ab,a/b. 接着ra也可做，这里r是正有理数.这样做：设r=p/q,p,q都是自然数，因此ra=pa/q.先做a的p倍，再做pa/q，这样ra就做出来了.
• 如下图：
起源于建筑的需要.
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三等分角
三等分任意角的问题来自正多边形作图.用直尺和圆规二等分一个角是轻而易举的.很自然地，人们会提出三等分一个角的问题.但这却是一个不可能用尺规解决的问题.
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化圆为方
• 公元前5世纪，古希腊哲学家安娜塞格拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎罪”而被判了死刑关进了监狱，在等待执行的过程中，他发现牢房的铁窗是正方形的，而窗外的月亮是圆形的，他不断变化观察的位置发现一会儿圆比正方形大，一会儿圆比正方形小，他就在想，会不会有一时刻，圆的面积与正方形的面积相等呢？这就是著名的“化圆为方”问题的起源.....
次代数数。
以上是尺规作图能解决的，
下面研究能做的是否仅限于此
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尺规作图局限性
• 代数角度：尺规作图是由已知点出发求新的点，根据作图公设3，新的点只可能由直线和直线、直线和圆、圆和圆的交点得到，三种情况分别对应三组方程组：
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显然，上述三个方程组的解可以由系数经过有限次的加减乘除和开平方求得，因此，得到的坐标（数）一定不超过有有理数Q或Q的n阶二次扩域。
画直线。
• 公设2、直线可以任意延长。 • 公设3、以任意点为圆心及任意的距离可

尺规作图方法介绍

二、“尺规作图”可能问题
1、作图公法：
① ② ③ ④ 经过两个已知点可作一直线；已知圆心和半径可作一个圆；若两已知直线相交，可求其交点；若一已知直线和一已知圆相交，可求其交点；
⑤ 若两已知圆相交，可求其交点。
二、“尺规作图”可能问题
2、基本作图
①做一条线段等于已知线段； ②作一角等于已知角； ③平分已知角； ④经过一点作已知直线的垂线； ⑤作线段的垂直平分线。
二、“尺规作图”可能问题
4、最基本的作图表述：
① 过点×，点×作直线××；或作直线××；或作射线××． ② 连结点×、×，或连结××． ③ 延长××到点×，使××=××． ④ 延长××交××于点×． ⑤ 在××上截取××=××． ⑥ 以点×为圆心，××为半径作圆（弧）． ⑦ 以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×． ⑧ 分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×、×．
二、“尺规作图”可能问题
7、几种常见的尺规作图方法
（5）面积割补法例7，过⊿ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分⊿ABC的面积.
三、“尺规作图”不能问题
1、著名的几何三大问题（古典难题）：（1）化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。（2）三等分角问题：三等分一个任意角。（3）倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍。
过不在同一直线上的三点作圆；
作三角形的内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。
（4）在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
五、《数学课程标准》及中考要求
在中考中作图题主要有：
已知三边作三角形，
已知两边及其夹角作三角形；

尺规作图法简介

一、尺规作图在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用(有刻度的)尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB的中点问题，作图的步骤是：1．以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以B为圆心，以同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如F i＝22i＋1的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程x n＋y n＝z n没有正整数解．现在他又猜测F i都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的F i：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如F i=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个F i也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k×p1×p2×…×p s，其中，p1，p2，…，p s是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而3=F0．从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、135°的角三等分并不难，但是任意角就不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．可以取单位圆作代表，其面积即为π．那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、－、×、÷和开方这类运算得到的量．否则叫“不可作几何量”．化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的．因为可作几何量”．这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决．属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60°角为例来分析任意角的三等分问题．为把60°三等分，必然要用尺规作出量cos 20°或sin 20°．以下三角恒等式是我们熟知的：cos 3x＝4cos3x－3cos x，将x＝20°代入，得将cos 20°换写为y，即是三次代数方程：这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示．因而y＝cos 20°也是一个“不可作几何量”．故三等分问题亦属不可能．难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题．不是古希腊人不智，确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来．二、解析几何与微积分数学以两千多年的历史伴随人类文明．从公元前到公元16世纪，几何与代数各自平行发展着，几何则以更大的魅力影响着人类文明．但几何似乎仅是关于形的科学而与数无关；代数则似乎与形无关而仅是关于数的科学．代数与几何难以被联系起来的原因是，人们心目中的数是一个个孤立的定数，因而难以从数想到由无穷多个点连成的线条等图形；而对于形，例如，线段和封闭图形，它们与数的联系似乎仅有由数刻画的长度和面积，因而难以从图形想到数的其他表现能力．把数与形密切联系起来的关键是变量概念的形成；另一个同等重要的问题是把图形如线条视为是由动点形成的．只有变动的数与变动的点联系起来，才使数与形的密切关系被深刻地揭示出来了．这里，决定性的工具是坐标，有了坐标，数就是点，点就是数，变动的点就是变动的数，变动的数就是变动的点，于是变数与图形结合在一块了．真正的困难还在于，任何一个具体的图形都不带有一个坐标在身上，亦即，人们在现实生活中是不能直接看到坐标的．当然，稍稍想一想，生活中也有根本感受不到的坐标存在着．例如，在我们说东、南、西、北的时候，一般是确定的站在某一点来说，比如说“北京在东面”，这对站在兰州的人来讲是对的，对站在济南的人来讲是不对的．同样，站在郑州应当说“武汉在南面”，而站在广州，则只能说“武汉在北面”．这实际上就是有了坐标原点的概念，有了坐标的思想．可是，问题还没有那样简单，还需要有运动的观念，还需要有更精确的描述，才能借以刻画几何图形，才能实现数与形的有效融合．数与形的充分结合才产生解析几何．解析几何的主要创始人笛卡儿的有关工作也经历了一个发展过程，所以解析几何并不是瞬间的、偶然出现的产物．让我们看一个实例．首先，我们回顾一下已知两线段而由尺规作出比例中项的办法，如果两线段一样长，那它们本身就是比例中项．如果不一样，那么，可在较长的线段AC上取一点B，使AB等于较短线段的长．再以AC为直径画圆，然后过B作AC的垂线交圆于D，连接AD，AD即为所求之比例中项．在右图中，我们按以上方式作出了AB与AC的比例中项，即接着，我们容易作出E、F、G、H、…使得如果设AB＝1，AD＝x，上式就变成了从线段看，AD=x时AF=x3，AF＝AD＋DF，若记DF=a，我们得到x3=x+a．反过来看，a作为已知数，容易作出一长度为a的线段DF，根据由以上分析所得之启示可作出AD，那么，AD实际上便是三次方程式x3=x＋a的根．这就是笛卡儿在正式形成其明确的解析几何思想之前的一例，把代数方程与几何结合起来的一例．他还曾利用几何方法探寻四次代数方程求根的方法．这是把几何与代数问题结合的一个方面．另一方面，笛卡儿对几何问题又运用了代数方法，例如，研究几何轨迹的问题．解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时又利用代数的研究方法来研究几何．从进一步的分析还可发现，这种方法其所以十分强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析的方法发现的，许多复杂的几何问题是通过解析方法解决的．这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题．所以，笛卡儿的解析几何具有深远的意义．我们从所熟知的内容来看看解析几何的意义．例如，我们知道椭圆、双曲线、抛物线的标准方程是：y2＝2px我们并不需要画出图形来而只要一看式子就知道它是个什么样子．所谓标准方程，是从代数表达形式来看的，而从几何上看，则是其图形摆得方方正正，例如，标准椭圆方程实际上是其圆心摆在原点，其长短半轴分别与平面的两条坐标轴重合．但是，实际的情况并不总是以标准的形式呈现在我们面前的．直线也有其标准形式，但一般形式是ax＋by＋c＝0；二次曲线的一般方程式是ax2＋2bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0．然后，我们可以通过解析的方法、代数的方法把它们化为标准形式，例如，对二次方程，我们可以通过以下的变换来做这件事情：通过这样的变换，就可以把一般方程化为标准方程．这一过程，这种工作，从表面看来似与几何毫无关系，我们只是在做着代数的工作．通过上面的变换，原来的方程就变为一个新的形式了，现在把它们并列写下来：ax2＋2bxy＋cy2＋dx+ey＋f＝0a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0这成了两个不同的式子，却有3个相等的式子：a+c=a′+c′，换句话说，在前述变换之下，有两个东西不变(对此，我们前面曾提到过)．至此，我们对一般二次代数方程所作的叙述全是代数的，对方程进行代数变换(两种线性变换)，以及这种变换之下的不变量．接下去我们还可以说明，一般二次方程能在变换之下化为标准方程．下面将用全套的几何语言来叙述与以上相关的全套代数涵义，或说明全套代数语言的几何涵义：在给出了一般二次曲线之后，我们总可以通过平移和旋转，把它摆在标准位置上．以椭圆为例，即把它的圆心移到原点来，把它的长短轴移至坐标轴上来，而二次曲线的原形是不变的．可见，用几何的语言来说，也是很简单的．那么，代数的讨论有什么实际的意义呢？在一般地给出了一个二次代数方程后，你很难看出它会是怎样一条曲线，如果一点一点地描绘也不是件简单的事．然而，代数的讨论告诉我们有几个不变式在那里，我们甚至不必最终化成标准表达式，就能由几个不变式看出曲线的类型和性质．这是重要的定性分析．此外，这种分析也使我们能把所有的二次曲线准确无误地详尽无遗地予以归类了．从哲学上说，笛卡儿的解析几何可说是他理性主义的产物．上面以二次曲线为例，表明代数方法与几何问题的结合，产生了最充分的理论说明．笛卡儿们认为世界是十分有秩序有条理的，是可以用方程来表达的．奇异就出在这种有序的世界和有序的运动里面．在解析几何出现后不久，微积分被发现了．微积分与解析几何不仅是伟大的数学发现，而且为近代科学开辟了道路；它们不仅是17世纪的伟大发现，而且在人类文明史上写下了极其灿烂的一页；它们不仅为近代科学开辟了道路，而且它们本身就是划时代的成果．在微积分产生之前，人们已比较普遍地接触这样几类问题：物理方面，求速度、求距离的问题；几何方面，求切线、求长度、求面积、求体积、求物体重心的问题；在各种实际问题中，求极大、极小的问题等．因此，在微积分正式诞生之前，关于极限的思想，关于微分的思想，关于积分的思想，已经零星可见．关于极限的思想在我国古代早已出现．求速度，求切线，这就会接近微分；求距离，求长度和面积、体积，这就会接近积分．古代中国的祖暅原理与近代西方的卡瓦列里原理说的是同一原理，前者先于后者约1100年左右．这一原理当为一般大学生所熟悉：当两立体介入两平行平面之间，又为平行于这两平面的任何一平行平面所截得之截面面积相等时，那么两立体之体积相等．用符号来表达，用同一平面截得两立体之截面面积分别表示为f(x)dx和g(x)dx，原理说的是：当对于所有的x有f(x)dx=g(x)dx时，便有：作为一个著名例子，我们看看半球体积的计算．这一计算，现在看来似乎是轻而易举的，但在没有微积分之前是十分困难的．所以下面的计算方式在当时是很有意义的，它利用了祖暅——卡瓦列里原理．设半球的半径为r．以半球的大圆为底面，球顶朝上．作一平面与底面平行并与底面之距离为h．这个平面截半球所得之截面为一圆，该π(r2－h2)．再看看一个截面半径为r的圆柱，其高度也为r．其下底与上面所说的半球底面摆在一个平面．现在将以此圆柱的上底为底、以下底圆的圆心为顶点作一圆锥．这一圆锥完全含于圆柱，现在把这一圆锥挖去，并考虑被挖去一圆锥的圆柱所形成的立体．当用一平行于底面的平面去截它时，其截面为一圆环，设这一平行于底面的平面距底面h，那么，这一圆环的面积也等于πr2－πh2=π(r2－h2)．可见，这一立体与半球被任何同一平行平面所截之截面面积相等．根据祖暅原理，半球体积应与被挖去一圆锥的圆柱体积相等．而被挖去一圆锥的圆柱体积是：尽管在牛顿和莱布尼茨之前，人们从不同的角度接触到了微分和积分，但是对于微分与积分的关系并没有真正弄清楚．而真正的困难亦在此．很容易明白，加法与减法是互逆的运算，也不难明白，乘法与除法是互逆的运算．开方作为乘方的逆运算，在技术上更困难了；作为指数运算逆运算的对数运算的产生并不容易．逆运算常常带来一些新问题，程序性问题，多值性问题．对于微分与积分之间的联系，认识上更有特殊的困难，这样两个似乎十分不同的两种运算竟然是互逆的，这正是使人惊讶不已的地方，也是使人感到其发现之特别不易的地方．以具体问题来说，求一曲线所围成图形的面积运算怎么会与求这一曲线的切线的运算是互逆的运算呢？微积分的创立正是以发现微分与积分的互逆关系为标志的．如今我们所说的牛顿—莱布尼茨定理即微积分基本定理，讲的就是两者关系．微积分基本定理可主要以微分的形式出现，亦可主要以积分的形式出现．我们分别叙述如下：微分形式．(x)在[a，b]上可微，且积分形式．可微，且发现f(x)的积分的微分正是它自己(在一定条件下即可保证)．只有在这一发现得到之后，才能说微积分产生了，因为这一定理奠定了微积分的理论基础．牛顿的发现在莱布尼茨之前，但发表的时间在莱布尼茨之后，他们两人又确系各自独立的发现，而且背景也有所不同．因此，虽然后来也曾出现过关于发现的优先权的争议，最终的看法却达成一致：牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分的基本定理．微积分的伟大意义可以从4个方面去看．1．对数学自身的作用．自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动．微积分改变了整个数学世界的面貌．牛顿、莱布尼茨17世纪创立的微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力．18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等．在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等．可以说，在有了微积分之后的两、三百年期间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣．微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来．微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义．2．对其他自然科学和工程技术的作用．有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具来加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答．“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学．微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分．19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系．现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道．3．对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑．从机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微积分的思想和方法．如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作．在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度．今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中．在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具．微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用．它对人类物质生活的影响是越来越大．4．对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在人文、社会科学领域亦如此，因而微积分也渗透于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西．哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响到哲学方法，也影响到世界观．辩证唯物主义更关注微积分．马克思十分关心数学，何止是关心，他对数学还曾有过广泛而深入的研究，特别对微积分有专门的研究．马克思在1863年7月6日致恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分．顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果您愿意研究，我准备寄给您一本．”①1865年5月20日，马克思又在给恩格斯的一封信中说到：“在工作之余——西，任何其他读物总是把我赶回写字台来．”②马克思不只研究牛顿、莱布尼茨，而且研究了牛顿、莱布尼茨之后一个多世纪内的一批著名数学家，如达朗贝尔，欧拉，拉格朗日等人．1882年11月22日，马克思在致恩格斯的一封信中还说到：“我未尝不可用同样的态度去对待所谓微分方法的全部发展——这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧拉的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法(但始终是从牛顿—莱布尼茨的原始的基本原理出发的)，——我未尝不可以用这样的话去对待分析的这一整个发展过程，说它在利用几何方法于微分学方面，也就是使之几何形象化方面，实际上并未引起任何实质性的改变．”③马克思那个时代写到了“终于拉格朗日”表明马克思已站在前沿，他可能还未看到柯西、魏尔斯特拉斯的分析方法、极限方法，但也是从“牛顿—莱布尼茨”那里出发的．从1863年的信到1882年的信，从信中表现出来的对微积分越来越深入的分析，可以看出，马克思是多么认真、多么深入又在多么漫长的时间里关注和研究着微积分！我们可以想一想，马克思作为一位哲学家、思想家、经济学家、政治家为何如此深切地关心和深入地研究数学尤其是微积分？再看看恩格斯本人．恩格斯在《自然辩证法》中有一段许多人熟悉的话：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的．”①当然，应当说大体上是由他们发现的，另一位可以说接近这一发现的是牛顿的老师——巴罗．恩格斯还在《反杜林论》这部著作中说到：“因为辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽．在数学中也存在着同样的关系．初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样，而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用．”②事实上，恩格斯不只是注意深入研究微积分，研究数学，他还令人敬佩地广泛地研究了他所处时代的数十个自然科学领域的最新成果．也许，恩格斯是一个杰出的榜样，是从社会文化的角度深刻分析过自然科学的榜样．顺便说说，列宁对于数学，尤其是物理学，也有过浓厚的兴趣．似乎在马克思、恩格斯、列宁之后的马克思主义者很少有这种兴趣，更少有这样深刻的见解．这是不是一种遗憾呢？也许，不一定每位马克思主义者都需要有如此广博而深刻的自然科学见解，也许学识与智慧及其表现形式也不一样．然而，有一点似乎应当是共同的，任何一位真正的马克思主义者必然是对自然科学的各种进步寄予深切关注和满腔热情的支持，并且特别关注它们对社会进步的巨大影响．邓小平具有这样的品质，邓小平亦可算这一方面的典范，虽然他没有可能熟悉现代意义下的微积分，但他把社会文化与自然文化也联系在一起．三、非欧几何直到现在，知道非欧几何的大学生还少得可怜，甚至大学数学专业本科毕业了，学习了大约15年以上的数学，不少人还是不知道非欧几何．这一事实，让人在赞美非欧几何之时多少有些遗憾．为了使我们的叙述更实在些，不能不以尽可能简洁的方式介绍一下有关背景．欧几里得几何在公元前300年就产生了，现在简称欧氏几何．中学生所学的几何基本上是欧氏几何，这种几何已流传两千多年，至今每个学生仍然学习它，多多少少要学习；它的影响遍及世界各国．欧氏几何的主要特征是首开公理方法，不仅是在数学领域，而且是在整个科学领域开创了公理方法．公理方法的基本要点是，从少数几个概念(原始概念)和少数几个命题(原始命题，又称公理)出发；演绎出本学科其他所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌．运用这种方法的学科因而自然地被认为具有最严密的演绎体系，做到了这一点的学科就被认为是严谨的科学，也被认为是十分成熟的学科门类．所以，几何被认为是最早成熟的自然科学分支．由于几何在数学领域长期作为主要的代表，。

尺规作图

古希腊的三大几何难题
• 1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 • 2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 • 3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等
高斯的发现
• 最先突破的是德国数学家高斯（17771855）1796年年仅19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法时，在数学界引起巨大的震憾。
B D D`
B`
O
C
A
O`
C`
A`
• 证明： ,由作法可知 • △C`O`D`≌△COD(SSS), • ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等)， • 即∠A`O`B`=∠AOB。
B
E
C
O
D
A
• 1、在OA和OB上，分别截取OD、OE，使 OD=OE。 • 2、分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C。 • 3、作射线OC。 • 4、OC就是所求的射线。
不幸的挪威数学家阿贝尔
• 此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。 • 阿贝尔简介：
• （阿贝尔：Abel,1802.8~1829.5）任何一部数学家词典中的第一人，是十九世纪最伟大的数学家之一，是挪威空前绝后的最伟大的学者。……后人整理他的遗著花了150年。
· 作一条线段等于已知线段 · 作一个角等于已知角 · 作已知线段的垂直平分线 · 作已知角的角平分线 · 过一点作已知直线的垂线
1、作一个角等于已知角
• 已知： AOB(图1) • 求作： A`O`B`,使 A`O`B`= AOB
B
D D`

中考数学知识点复习：尺规作图全面版

如何利用尺规作图解决最值问题？
最值问题的求解
最值问题是一类求解最优解的问题，可以利用尺规作图来解决。例如，在几何、代数等领域中，经常需要使用尺规作图来求解最值问题。
作图方法
利用尺规作图求解最值问题，需要先了解问题的具体内容，然后根据问题内容进行尺规作图。在作图过程中，需要注意图形绘制的准确性和规范性，以保证求解的准确性。
03
多边形的尺规作图
作已知线段的垂线
01
总结词：通过一个已知点，作已知线段的垂线，是尺规作图
的基础。
02
详细描述
03
04
1. 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的一半为半径画圆弧，得到两个交点。
2. 连接两个交点，得到的直线即为已知线段的垂线。
已知二线段平行的垂线段的中垂线
总结词：找到一个已知的平行线段的中垂线，是尺规作图的进阶技能。
1. 以平行线段的一个端点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与平行线段相交于两点。
详细描述
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知平行线段的中垂线。
作已知直线的平行线
01
总结词：通过一个已知点，作已知直线的平行线，是尺规作图的基本技能之一。
02
详细描述
03
1. 以已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与直线相交于两点。
04
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知直线的平行线。
作已知二线段的中垂线
01 总结词：通过两个已知点，作已知二线段的中垂线，是尺规作图的高级技能。
02
详细描述
Hale Waihona Puke 031. 以两个已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，得到两个交点。
04

中考数学知识点复习：尺规作图全面版本

画图时未按照题目要求进行
原因在于学生未仔细审题，忽略了题目中的限制条件，导致画出的图形不符合题目要求。
尺规作图的难点及解决方法
画等腰三角形
学生难以掌握等腰三角形的画法，解决方法是先画出底边，然后以底边为半径画圆，再画出两个交点作为三角形的顶点。 Nhomakorabea画垂直平分线
学生难以掌握垂直平分线的画法，解决方法是以给定点为圆心，以给定距离为半径画圆，再画出与圆相切的直线。
THANKS
感谢观看
作图与证明题
这类题目通常会要求考生先利用尺规作图，然后进行证明。
尺规作图与综合题
这类题目通常会要求考生利用尺规作图解答一个综合性的问题。
中考中尺规作图的主要考点
角的概念和表示方法。
垂直的概念和性质。
直线、射线、线段的表示方法及其性质。
角平分线的概念和性质。
平行线的概念和性质。
中考中尺规作图的备考策略
画图时忽略了题目中的限制条件
学生在画图时忽略了题目中的限制条件，导致画出的图形不符合题目要求。应对策略是在画图时仔细审题，严格按照题目中的限制条件进行操作。
05
尺规作图的练习题及解析
基础题练习
巩固基本技能
基础题主要考察学生对尺规作图基本技能的掌握，包括圆、线段、角等基本几何元素的作图。
练习题目
尺规作图的本质是利用直尺和圆规的特性，通过一系列的作图步骤来画出所需的图形。
尺规作图广泛应用于数学、工程、艺术等领域。
尺规作图的起源和发展
尺规作图的思想起源于古希腊数学家，如泰勒斯、欧几里得等。
尺规作图在欧几里得的《几何原本》中得到了系统的阐述和推广
。
随着数学的发展，尺规作图逐渐成为一种重要的数学方法，并在现代数学中得到了深入的研究和

小学数学教学中尺规作图的价值及教学策略

数学领域的研究过程离不开工具的辅助和应用。

尺规作图源于古希腊，是研究数学几何的一种尤为重要的方法，也是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称《课标（2022年版）》）中针对小学数学“图形与几何”课程教学的新增内容。

小学阶段的学生没有太強的逻辑思维能力，在学习数学知识时难以在没有外部工具辅助的情况下通过想象构建具体的图形与模型。

在此阶段采用尺规作图法，既可以帮助小学生更加直观地感受和理解课本知识，也可以在锻炼小学生的实际动手操作能力时促进小学生逻辑思维的形成，为他们日后的数学学习奠定基础。

一、尺规作图的诞生与发展从字面意义理解，尺规作图指借助直尺和圆规进行几何图形绘制的一种辅助学习数学的方式，它在“几何与图形”课程教学与学习中具有重要意义。

《课标（2022年版）》将尺规作图的学习从中学阶段提前到了小学阶段，文件要求教师通过尺规作图培养学生的动手能力和几何直观能力，逐步提高学生的核心素养，此举引起了教育行业的广泛关注。

在数学研究领域中，每一种辅助研究的方式都是在历史的不断发展中诞生和完善。

尺规作图的诞生和发展经历了三个主要的历史阶段。

第一个阶段是雅典时期，也是尺规作图兴起的时期，它最初在希腊数学史中出现。

尺规作图主要的两个工具是没有刻度的直尺和圆规，前者可以画出无限延长的直线，后者可以在确定定点后画出不同大小的圆，二者结合则可以画出多种不受限制的结合图形。

在这一阶段，尺规作图凭借要求低和能进行智力训练的特点广受欢迎。

第二个阶段主要以欧几里得在《几何原本》中提出的有关尺规作图的内容为主，他提出了五条尺规作图公设，即过两个不相交的点可以确定一条线段；延长线段可以确定一条直线；一个圆心和一条半径可以确定一个圆；直角相等以及有关三条直线相交的平行公设。

第三个阶段是尺规作图的三大难题。

一是在有一已知圆的基础上做出与之面积相等的正方形；二是只通过没有刻度的直尺和圆规将任意一个确定的角进行三等分；三是在有一已知立方体的基础上作出体积为其两倍的另一立方体。

尺规作图的意义

尺规作图的意义直尺映射在初等几何中的意义，主要有两类遇到的问题:一是假设先给出一个满足一定条件的图，然后研究这个图的一些性质，证明和计算问题都属于这一类；另一种是预先给定一些条件，并要求画出这些条件。

这是绘图问题。

按照某种方法制作所需图纸的过程称为解决图纸问题。

绘图方法自然与绘图工具有关。

自古希腊以来，平面几何中的绘图工具一直使用两种尺子和圆规。

其中，尺子被认为是直而长的，但上面没有刻度。

圆形法则假设它的腿足够长，可以自由地开合。

这种绘图工具的局限性最早是由欧诺派斯(约公元前465年)提出的，后来被柏拉图(公元前427-347年)大力提倡。

柏拉图非常重视数学，强调学习几何在培养逻辑思维能力中的特殊作用，主张绘图工具应受到限制。

反对使用其他机械工具绘图。

此后，欧几里德(约公元前330-275年)在《几何元素》一书中总结了它。

因此，限制使用尺子绘图成为古希腊几何学的黄金法则。

事实上，绘图工具的这种局限性不是个人的爱好或主观意愿，主要有以下两个原因。

1.它与研究对象有关。

因为初等平面几何的研究对象仅限于直线、圆和由它们组成的图形(或它们的一部分)。

有了尺子和圆规，就可以画直线和圆，自然没有必要再添加其他工具。

2。

它与公理系统有关。

在欧几里德几何中，从最基本的假设(定义、公理和公设)出发，通过逻辑推理获得尽可能多的命题。

这里，绘图结论相当于几何证明和几何计算的结论。

欧几里德公理系统中的几个假设也决定了绘图只能限于尺规。

此外，所有可以制作的图形都在欧几里得几何中研究。

任何研究其性质的图形也必须用尺子和圆规制作。

确定绘图工具后，还需要指定如何使用这两种工具。

换句话说，尺子和圆规有什么功能？出于这个原因，在平面几何中一致认为，以下批准的简单作图可以并且只能通过使用直尺和圆规来完成:1。

一条直线可以通过两个已知的点(欧几里德几何公理系统中五个常见的公设之一)；2.以已知的点为圆心，以已知的距离为半径，可以构成一个圆(欧几里德几何公理系统中五个常见的假设之一)；3。

浅谈尺规作图

浅谈尺规作图第一篇：浅谈尺规作图浅谈尺规作图所属县：广西百色市凌云县单位：广西百色市凌云县凌云中学姓名：唐奕清内容提要：尺规作图，具有悠久的历史渊源、丰富的教学意义和现实内涵。

但由于各种原因，尺规作图的教学存在着许多不利因素。

我们需正视困难和问题，寻找解决问题的途径，提高尺规作图的教学质量。

关键词：尺规作图教学意义教学困难提高途径尺规作图，是指有限次使用无刻度的直尺和圆规来解决不同的几何作图问题。

尺规作图有着悠久的历史，古希腊人最早提出了尺规作图。

后经希腊数学家欧几里德在《几何原本》一书中以理论形式加以明确，并被人们一直所遵守，进而流传至今。

在我国，关于尺规作图的教学一直有着优良的教学传统。

根据张景中院士的回忆，在1978年举行的全国中学生数学竞赛中，数学家苏步青就曾写信向主持命题工作的数学大师华罗庚建议，出一道有关尺规作图的题目作为考试试题。

[1]这种重视尺规作图的意识，进一步在《全日制九年义务教育数学课程标准》中得到了体现。

《标准》中明确要求学生能完成一些基本的尺规作图，并能根据一些基本作图探索一些问题；对于尺规作图的过程，要求能写出已知、求作和作法。

尺规作图不仅有悠久的历史渊源，也拥有着丰富的教学意义和现实内涵。

首先，尺规作图能够丰富教学情境，培养学生的实践能力。

众所周知，尺规作图是一种由学生实际执行的操作，具有不可替代的直观性，十分符合让学生自己动手解决问题的教学理念。

在实际教学中，尺规作图是一种情境的创设，即要求在某种条件下，由学生自己动手解决问题。

学生能作出一张符合要求的图形，是一种具有挑战性的创造活动，能够激发学生的创造性。

因此，在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图理应得到足够的重视.[2] 其次，尺规作图能培养学生严谨的学习习惯、严密的逻辑思维和空间想象能力。

尺规作图的一般步骤如下：①要求学生画出草图，假设图形已作出；②根据图形分析画法；③利用尺规严格操作并写出作法；④若要求证明，就给出证明；否则就写出结论。

数学之美平面几何的尺规作

数学之美平面几何的尺规作数学之美：平面几何的尺规作尺规作为数学中的一种传统工具，在平面几何中发挥着重要的作用。

它通过精确的测量和刻度来构造几何图形，为解决各种几何问题提供了一个有效的方法。

本文将介绍数学之美中平面几何的尺规作，并探讨其应用和意义。

一、尺规作的基本原理尺规作的基本原理是通过已知长度的准确测量来构造几何图形。

在平面几何中，我们常用的工具是尺子和直尺。

尺规作的基本步骤包括：确定一个已知长度，使用尺子测量其他线段或角度，通过直尺或尺子上的刻度进行精确划分，最终得到所需几何图形。

二、尺规作的基本应用1. 平分线段尺规作可以用于平分给定的线段。

首先，我们需要确定已知线段的两个端点，然后使用尺子测量其长度。

接下来，我们用直尺连接两个端点，并在这条直尺上划分出与已知线段长度相等的部分。

通过连接已知线段两端点与新划分的点，我们得到了一个平分线段的直线。

2. 垂直线在平面几何中，垂直线是一个重要的概念。

尺规作可以用于构造垂直线。

给定一条线段作为已知线段，我们使用尺子测量其长度，在其上选择一个点作为起点，再选择另一个长度相等的点作为终点。

通过连接起点和终点，我们得到了与已知线段垂直的线。

3. 平行线平行线也是平面几何中的重要概念之一。

尺规作可以用于构造平行线。

给定一条直线作为已知直线，我们使用尺子测量其长度，在其上选择一个点作为起点，再选择另一个长度相等的点作为终点。

通过连接起点和终点，我们可以得到与已知直线平行的直线。

三、尺规作的意义与应用领域尺规作作为一种几何工具，具有重要的意义和广泛的应用领域。

首先，它不仅可以用于解决实际生活中的几何问题，如建筑、绘画等，还可以用于解决数学中的推理和证明问题。

其次，尺规作在发展几何学和培养几何思维方面起到了重要的作用。

通过使用尺规作进行几何图形的构造和推导，不仅可以培养学生的观察力、想象力和创造力，还可以帮助他们理解几何的基本概念和性质。

四、尺规作的局限性与发展虽然尺规作在解决几何问题中具有独特的优势，但它也存在一些局限性。

尺规作图 -作业

浅谈尺规作图在数学教学中的应用（摘要：在中学数学里，尺规作图是占有非常重要的地位，学生是否能学好尺规作图会对数学思维能力的培养产生至关重要影响。

本文浅谈尺规作图在历史中的发展和介绍几种常规的作图方法，分析尺规作图在初等平面几何中的应用，从而在教学中培养学生的思维能力。

关键词：尺规作图、轨迹交点法、代数作图法、旋转法作图、位似法作图、面积割补法作图。

1.尺规作图：尺规作图是起源于古希腊的数学课题。

规定只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

它们是由点、直线、圆三种基本图形复合而成,利用这些图形。

用不带刻度的直尺和圆规，来作一些满足某些要求的几何图形。

尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：（1）、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。

只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；（2）、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成之前构造过的长度。

1.1最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。

一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.1.2历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔，首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题。