高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案
2023届高三数学一轮复习专题 解三角形 讲义 (解析版)
单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。
教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。
如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。
表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。
问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。
重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。
3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。
再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。
3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。
“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。
环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。
《一轮复习教学案第三章三角函数解三角形第六节解三角形》优秀教案
第六节解三角形☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。
变式：a＝2R in A，b＝2R in B，c＝2R in C。
a∶b∶c＝in A∶in B∶in C。
2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc co A；b2＝a2＋c2－2ac co B；c2＝a2＋b2－2ab co C。
变式：co A＝错误!；co B＝错误!；co C＝错误!。
in2A＝in2B＋in2C－2in B in C co A。
3．解三角形1已知三边a，b，c。
运用余弦定理可求三角A，B，C。
2已知两边a，b及夹角C。
运用余弦定理可求第三边c。
3已知两边a，b及一边对角A。
先用正弦定理，求in B，in B＝错误!。
①A为锐角时，若ab，一解。
4已知一边a及两角A，B或B，C用正弦定理，先求出一边，后求另一边。
4．三角形常用面积公式1S＝错误!a·h a h a表示a边上的高。
2S＝错误!ab in C＝错误!ac in B＝错误!bc in A＝错误!。
3S＝错误!ra＋b＋cr为内切圆半径。
微点提醒1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量其中至少有一边就可解三角形。
2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理余弦定理实施边、角转换。
3．当a2＋b2<c2时判断三角形的形状，由co C＝错误!<0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。
小|题|快|练一、走进教材1．必修510A2A2A2A20A32A2A2A a A A A A2a c a c2A2C2A2A22A2a3a2a2a2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于________。
32021·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m。
高考数学一轮复习 第四章 第八节 解三角形的综合应用教案 文(含解析)
第八节解三角形的综合应用1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α.(如图(b))3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．[小题体验]1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______ m.答案：5022．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________ n mile.答案：56易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[小题纠偏]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案：130°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°考点一测量高度问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·昆山模拟)如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，则塔高AB＝________m.解析：设塔高AB＝h，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝3h，在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos 60°，即3h2＝400＋h2－20h，解得h＝10.答案：10[由题悟法]求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时应用]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD ＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6. 所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan∠AEF＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝(202＋1)m.答案：202＋1考点二 测量距离问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[题点全练]角度一：两点都不可到达1．(2019·苏州调研)要测量河对岸两个建筑物A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________km.解析：在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3. 在△BCD 中，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝60°，∴由正弦定理，CDsin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，解得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝3＋8＋434－2×3×6＋22×6－24＝5，∴AB ＝ 5. 答案：5角度二：两点不相通的距离2．如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，所以AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.所以AB ＝200 7 (m)． 即A ，B 两点间的距离为200 7 m.答案：200 7角度三：两点间可视但有一点不可到达3．如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m.解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsin C ＝AC sin B ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.答案：206[通法在握]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[演练冲关]1．(2019·如东中学测试)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O 沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.解析：连结OC(图略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.答案：5072．(2018·常州调研)一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2. 答案：302考点三 测量角度问题 重点保分型考点——师生共研[典例引领]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsi n 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. [由题悟法]解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[即时应用]如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，解得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m.解析：设山高CD为x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，＝3x.在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD而AB＝AD－BD＝(3－1)x＝100.解得x＝1003－1＝50(3＋1)．答案：50(3＋1)3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 2 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．解析：根据题意画出图形，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝400(8＋43)＝400(6＋2)2，∴AC＝20(6＋2)．故所求航行的路程为20(6＋2)海里．答案：20(6＋2)4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km则由余弦定理知9＝x2＋4－4x cos 120°，因为x＞0，所以x＝6－1.答案：6－15.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：326．(2018·天一中学检测)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE ＝50x ，所以y 2＝(200－80x )2＋(50x )2－2×(200－80x )·50x ·cos 60°整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，所以当x ＝7043时y 2最小． 答案：7043二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里． 解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里)．答案：1022．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：623．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A ，B两处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿的距离为________海里．解析：由题意可知CD ＝40，∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠ADC ＝105°，∴∠CAD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得AD sin 30°＝40sin 45°， ∴AD ＝202，在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BD ＝2CD ＝40 2.在△ABD 中，由余弦定理，得AB ＝ 800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6. 故A ，B 两处岛屿的距离为206海里．答案：2064．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m. 解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：505．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为________．解析：由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0， 因为0＜A ＜π，所以0＜A ＜π2. 又a 为最大边，所以A ＞π3. 因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 6. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船间的距离是________km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min 时，甲船到达M 点，乙船到达N 点，由题意知AM ＝8×14＝2(km)，BN ＝12×14＝3(km)，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos 120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．答案：137．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ， 所以AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝20 3 m. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m. 因为国歌时长为50 s ，所以升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案：0.68．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.解析：在△ABC 中，由正弦定理可知BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin 45°－15°＝50(6－2)(m)． 在△BCD 中，由正弦定理可知sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD＝506－2sin 45°50＝3－1. 由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.答案：3－19．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3. 在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000， 所以DE ＝1007.答：甲、乙两人之间的距离为1007 m.(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ.在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DEsin ∠DBE， 即200－2y cos θsin θ＝y sin 60°， 所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2， 所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3. 答：甲、乙之间的最小距离为50 3 m.10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C 处，且与岛A 相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B 处追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝10×2＝20，AC ＝12，∠ACB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，解得BC ＝28， 所以该军舰艇的速度为BC 2＝14海里/小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°， 即sin α＝AB sin 120°BC ＝20×3228＝5314. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB ， 所以BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． 因为CD ⊥AD ，所以CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350.故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 6502．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l 1，l 2，公园管理中心位于点O 正南方2 km l 1上的A 处，现计划在l 2即点O 北偏东45°方向，观光路l 2路旁B 处修建一公园服务中心．(1)若为方便管理，使AB 两点之间的直线距离不大于2 5 km ，求OB 长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l 1，l 2上分别选点M ，N ，修建一条小路MN .因环境需要，以O 为圆心，22km 为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M ，N 的位置，使M ，N 之间的距离最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝2，OB ＝x ，∠AOB ＝135°， 根据余弦定理得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 135°， ∴22＋x2－2×x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22≤(25)2， 即x 2＋22x －16≤0，解得－42≤x ≤22， ∵x ≥0，∴0≤x ≤22，故OB 长度的取值范围为[0,2 2 ]．(2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连结OC ，则OC ⊥MN .设OM ＝a ，ON ＝b ，MN ＝c ，在△OMN 中，∵12MN ·OC ＝12·OM ·ON ·sin 135°，∴12·22c ＝12·22ab ，即c ＝ab ， 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 135°＝a 2＋b 2＋2ab ≥(2＋2)ab ＝(2＋2)c ，解得c ≥2＋2，当且仅当a ＝b ＝2＋2时，c 取得最小值2＋ 2.∴M ，N 与点O 的距离均为2＋ 2 km 时，M ，N 之间的距离最短，最短距离为(2＋2)km.命题点一 简单的三角恒等变换 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：322．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3. 答案：33．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：754．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－125．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sin α＝13，则cos 2α＝________.解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：796．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：(1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.命题点二 解三角形1．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD＝1，则4a ＋c 的最小值为________．解析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．答案：21733．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案：2334．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.5．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60° (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.6．(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27 .所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cosC ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC ＝ACsin B×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．命题点三 三角综合问题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－3322．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是 sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12 sin 2B ＝sin B cos B .因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.3．(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由余弦定理及题设得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0＜∠B ＜π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0＜∠A ＜3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.。
高三数学一轮复习 第八节 解三角形教案 新人教版
第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC△中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．4．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ． 6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b【范例解析】例1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====． （2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 24A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状． 分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，3π 2233化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）． （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数； （2）求221211y S S =+的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG ＝2323⨯＝，∠MAG ＝6π， 由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋） 则S 1＝12GM ∙GA ∙sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα） 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．AB CNMGαD例3例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=（2）解：AC，2sin βαββ∴===(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a=，则c o s B =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范围 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 7． ABC ∆的三个内角为ABC 、、，则cos 2cos 2B CA ++的最大值为． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sin sin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ； ④ C B A 222sin cos cos =+．其中正确的序号有______②④_____． 9．如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形； ②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形； ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形．BDCαβ A例433- 34 25(,)3+∞ 332其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=． （Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===2217cos 22cos 12125B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=⨯= 11．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x xππππ⎛⎫⎫=++<+<⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当xππ+=62，即xπ=3时，y取得最大值12．在ABC∆中，1tan4A=，3tan5B=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC∆解：（Ⅰ）π()C A B=-+，1345tan tan()113145C A B+∴=-+=-=--⨯．又0πC<<，3π4C∴=．（Ⅱ）34C=π，AB∴边最大，即AB=．又tan tan0A B A Bπ⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sin cos1AAAA A⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π2A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin17A=．由sin sinAB BCC A=得：sin2sinABC ABC==所以，最小边BC．。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 必刷大题9 解三角形
(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsin B，求S.
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由 S＝6bsin B，根据面积公式得 6bsin B＝12acsin B＝3asin B， 所以a＝2b. 由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝12， 整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36， 所以 b＝2 3，a＝4 3. 所以△ABC 的面积 S＝12absin C＝12×4 3×2 3sin π3＝6 3.
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(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4 km，求养殖区△ABC面积(单位： km2)的取值范围.
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因为AB＝4，∠BAC＝60°， 所以△ABC 的面积 S＝12AB·ACsin∠BAC＝ 3AC. 在△ABC 中，由正弦定理可得sin∠ABACB＝sin∠ACABC， 则 AC＝ABsisni∠n∠ACABBC＝4sin1si2n0∠°－AC∠BACB＝tan∠ 2 A3CB＋2. 因为△ABC 是锐角三角形，所以00°°<<∠ 12A0°C－B<∠9A0°C，B<90°，
1－2
5
52＝
55，
sin∠ADC＝sin∠ACB－4π
＝ 22(sin∠ACB－cos∠ACB)＝ 22×255－ 55＝ 1100，
在△ACD 中，由正弦定理得sin∠CDDAC＝sinπ－A∠D ACB＝sin∠ACADC，
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即CD2 ＝ A1C0＝2105＝5 5，解得 CD＝5 210，AC＝522， 2 10 5
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2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，4 5 a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C).
高三数学一轮复习 专题二 第二讲 三角变换与解三角形教案
第二讲 三角变换与解三角形一、三角变换与求值例1、化简sin sin cos cos cos cos 22221222αβαβαβ⋅+⋅-⋅ 分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。
观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。
解法一：（复角单角，从“角”入手）→ 原式=⋅+⋅-⋅--sin sin cos cos (cos )(cos )222222122121αβαβαβ =⋅+⋅-⋅--+sin sin cos cos (cos cos cos cos )22222222124221αβαβαβαβ=⋅-⋅++-sin sin cos cos cos cos 22222212αβαβαβ=⋅++-sin sin cos sin cos 2222212αβαββ =+-2sin cos ββ212=-=11212 解法二：（从“名”入手，异名化同名） 原式=⋅+-⋅-⋅sin sin (sin )cos cos cos 222211222αβαβαβ =---⋅cos sin (cos sin )cos cos 22221222βαββαβ =-⋅-⋅cos sin cos cos cos 2221222βαβαβ =-⋅+cos cos (sin cos )222122ββαα =+-+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥1222121222cos cos sin (sin )ββαα =+-=12212212cos cos ββ 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=-⋅-++⋅+-⋅1221221221221222cos cos cos cos cos cos αβαβαβ=+⋅--++⋅++14122221412222(cos cos cos cos )(cos cos cos cos )αβαβαβαβ βα2cos 2cos 21⋅⋅-=+=141412 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=⋅-⋅+⋅⋅⋅-⋅(sin sin cos cos )sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβ221222 βαβαβα2cos 2cos 212sin 2sin 21)(cos 2⋅-⋅++= =+-⋅+cos ()cos()21222αβαβ []1)(cos 221)(cos 22-+⋅-+=βαβα=12 ［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。
高三数学第一轮复习 解三角形教案
高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。
在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。
本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。
一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。
(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。
3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。
二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。
2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。
(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。
三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。
(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。
2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。
(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。
(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。
四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。
2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。
3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。
通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。
高中高三一轮总结复习解三角形学案
§1.1 正弦定理2014 高考导航考纲展现备考指南1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 问题是高考考察的热门．简单的三角形胸怀问题 .2.常与三角恒等变换相联合，综合考察三角形中的边与角、三角形形状的判断等 .复习过程一、课前准备试验 ：固定ABC的边CB及 B ，使边AC绕着极点C 转动．思虑 ：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有如何的数目关系？明显，边 AB 的长度跟着其对角C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来？二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中， 我们已学过如何解直角三角形， 下边就第一来商讨直 角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB =c ， 依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc进而在直角三角形 ABC 中，a bc ．sin A sin Bsin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= asin B bsin A ，则 a bsin A ，sin B同理可得c b，sin C sin B进而a b c．sin A sin B sin C近似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试导.新知 ：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即a bc ．sin Asin Bsin C试一试 ：（1）在 ABC 中，必定建立的等式是（ ）．A ． asin A bsin BB . acosA bcosBC . a sin B b sin AD . a cosB b cosA（2）已知△ ABC 中， a ＝ 4， b ＝8，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于．[理解定理 ]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比率系数为同一正数，即存在正数 k 使 a k sin A ，， c k sinC ；（2） a b cc bac．sin A sin B 等价于，sin B ，sin C sin Csin A sin C（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如a bsin A ；b ．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值， 如 sin Aasin B ； sinC ． b（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作 解三角形 ．※ 典型例题例 1. 在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ， a 42cm ，解三角形．变式 ：在 ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm ，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a2,求 b和 B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 ,c1, 求a 和A, C ．三、总结提高※ 学习小结1. 正弦定理：a b c sin A sin B sin C2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法 .3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．※ 知识拓展a b c2R ，此中2R为外接圆直径. sin A sin B sin C学习评论※ 自我评论 你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 在 ABC 中，若cos A b，则 ABC 是（） .cos B aA ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ ABC 中， A ∶ B ∶ C ＝ 1∶1∶ 4， 则 a ∶ b ∶ c 等于（） . A ． 1∶ 1∶ 4B ． 1∶ 1∶ 2C ． 1∶1∶3D ． 2∶ 2∶ 33. 在△ ABC 中，若 A. A B C. A ≥Bsin B. D.A sinB ，则 A 与 B 的大小关系为（A BA 、B 的大小关系不可以确立） .4. 已知 ABC 中， sin A :sin B :sin C 1: 2:3 ，则 a :b :c = ．5. 已知 ABC 中，A 60 ， a 3 ，则a b c =．sin A sin B sin C课后作业1. 已知△ ABC 中， AB ＝ 6，∠ A ＝ 30°，∠ B ＝ 120 ，解此三角形．2. 已知△ ABC 中， sinA ∶ sinB ∶sinC ＝ k ∶ (k ＋ 1)∶ 2k (k ≠0) ，务实数 k 的取值范围为．§1.2余弦定理2014 高考导航考纲展现备考指南1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些问题是高考考察的热门．简单的三角形胸怀问题 . 2.常与三角恒等变换相联合，综合考察三角形中的边与角、三角形形状的判断等 .复习过程一、课前准备复习 1 ：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即= =．复习 2：在△ ABC 中，已知c10 ，A=45，C=30，解此三角形．思虑：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 研究新知问题：在ABC 中， AB 、 BC 、 CA 的长分别为c、a、 b .∵ AC ， C∴ AC AC b aA c B同理可得：a2 b 2 c2 2 b cco s ，Ac2 a2 b2 2abcos C ．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其余两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思虑：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角？从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b 2 c2 a2 ，，2bc．[理解定理 ]2 2 2（1）若 C= 90 ，则 cosC ，这时 c a b由此可知余弦定理是勾股定理的推行，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角．试一试：（1）△ ABC 中， a 3 3 ，c 2 ，B 150 ，求 b ．（2）△ ABC 中，a 2 ，b 2 ， c 3 1 ，求A．※ 典型例题例 1. 在△ ABC 中，已知 a 3 ， b 2 ， B 45 ，求 A,C 和 c ．变式：在△ ABC 中，若 AB＝ 5 ， AC＝ 5，且 cosC＝9，则 BC＝ ________．10例 2. 在△ ABC 中，已知三边长 a 3 ， b 4 ，c37，求三角形的最大内角．变式：在ABC 中，若 a 2 b 2c2bc ，求角 A．三、总结提高※ 学习小结1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ ABC 中，若 a2 b2 c2 ，则角 C 是直角；2 2 2，则角 C 是钝角；若 a b c若 a2 b2 c2 ，则角 C 是锐角．学习评论※ 自我评论你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 已知 a＝ 3 ， c＝ 2，B＝ 150°，则边 b 的长为（）.A. 34B. 34C.2222 2D.22. 已知三角形的三边长分别为3、 5、7，则最大角为（） .A ． 60 B． 75 C． 120D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、 3、 x，则 x 的取值范围是（） .A ． 5 x 13 B． 13 ＜ x＜ 5C． 2＜ x＜ 5 D ． 5 ＜ x＜54. 在△ ABC 中， | AB |＝ 3，| AC |＝ 2， AB 与 AC 的夹角为60°，则 | AB － AC |＝ ________．5. 在△ ABC 中，已知三边a、 b、 c 知足b2 a2 c2 ab ，则∠C等于．课后作业1.在△ ABC 中，已知 a＝ 7， b＝8， cosC＝13，求最大角的余弦值．142. 在△ ABC 中， AB＝ 5， BC＝ 7， AC＝ 8，求 AB BC 的值 .§1.3 正弦定理和余弦定理（练习）2014 高考导航考纲展现备考指南1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些问题是高考考察的热门．简单的三角形胸怀问题 . 2.常与三角恒等变换相联合，综合考察三角形中的边与角、三角形形状的判断等 .复习过程一、课前准备复习 1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习 2：在△ ABC 中，已知A＝，a＝25 2 ， b＝ 50 2 ，解此三角形．6二、新课导学※ 学习研究研究：在△ ABC 中，已知以下条件，解三角形.①A＝， a＝25， b＝ 50 2 ； 6②A＝， a＝50 6， b＝ 50 2 ；63③A＝，a＝50，b＝502 .6思虑：解的个数状况为什么会发生变化？新知：用以以下图示剖析解的状况（ A 为锐角时）．已知边 a,b 和 AC C C Cb b b b aa a a aA A AAH B B1 H B2 H Ba<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b a b无解仅有一个解有两个解仅有一个解试一试：1.用图示剖析（ A 为直角时）解的状况？2．用图示剖析（ A 为钝角时）解的状况？※ 典型例题例 1. 在ABC 中，已知a80 ， b 100 ， A 45 ，试判断此三角形的解的状况．变式：在ABC 中，若a 1 ，c 1 ， C 40 ，则切合题意的 b 的值有_____个．2例 2. 在ABC 中，A 60 ， b 1 ， c 2 ，求 a b c 的值．sin A sin B sin C变式：在ABC 中，若a 55， b 16 ，且1absin C 220 3 ，求角 C．2三、总结提高※ 学习小结1.已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2.已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3.已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4.已知三角形两边和此中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种状况）．※ 知识拓展在ABC 中，已知 a,b, A ，议论三角形解的状况能有且只有一解；不然无解；②当 A 为锐角时，假如 a ≥ b ，那么只有一解；假如 a b ，那么能够分下边三种状况来议论：（1）若a b sinA ，则有两解；（2）若a b sinA ，则只有一解；：①当A 为钝角或直角时，一定 a b 才（3）若a bsin A ，则无解．学习评论※ 自我评论你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 已知 a、b 为△ ABC 的边， A、B 分别是 a、b 的对角，且sin A2 ，则 ab的值 =（）. sin B 3 bA. 1B. 2C.4D. 53 3 3 32. 已知在△ ABC 中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ 3∶5∶ 7，那么这个三角形的最大角是（） .A ．135°B． 90°C．120° D． 150°3. 假如将直角三角形三边增添相同的长度，则新三角形形状为（） .A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添长度决定4. 在△ ABC 中， sinA:sinB:sinC＝4:5:6 ，则 cosB＝．5. 已知△ ABC 中，b cosC c cosB ，试判断△ABC的形状．课后作业1. 在 ABC 中， a xcm ，b 2cm，B 45，假如利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围．2. 在ABC 中，其三边分别为a、 b、 c，且知足1absin C a 2 b2 c2 ，求角 C．2 4。
人教A版高中数学 高三一轮 3-7 解三角形教案 精品
高三一轮 3.7 解三角形
【教学目标】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，
求三角形的面积及解三角形的具体应用问题。
【重点难点】
1.教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600
故由正弦定理得600
sin 45°＝BC
sin 30°，解得BC＝300
A，B间距离为________
处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方
cos θ的值为________．
＝40，AC＝20，∠BAC
的同侧，选定一点C，测出AC
，∠CAB＝105°，则A，。
高考数学一轮复习 5.4 解斜三角形教案
高考数学一轮复习 5.4 解斜三角形教案●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =cab ac 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是A.sin A +cos A =51 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角.由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 A.231+ B.1+3 C.232+D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5）●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sinB （sin B +sinC ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sinC ⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sin B sin （A +B ） ⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ）⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ）， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A=bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bbc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b bc 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1， 所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】 （2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53.∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 【例3】 （2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a Ab sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B .∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B .∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练 夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF. ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°4.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bcac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab .∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222cbc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是A.b =20，A =45°，C =80°B.a =30，c =28，B =60°C.a =14，b =16，A =45°D.a =12，c =15，A =120° 解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sin B =724.因而B 有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB B cos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7，∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2.7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab=23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ） =3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围.解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =kx a ，sin C =xa（图略），且由正弦定理得sin B =axsin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =222222sin kx Akx x x k -+=21（k +k 1－sin A ），所以k +k1=sin A +2cos A ≤2221+=5.所以k 2－5k +1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°.则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10，ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10=）（αα-︒⋅45sin sin 100=）（αααsin 22cos 22sin 100-=）（αα2cos 1422sin 42100--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-， 当且仅当α=22°30′时，“=”成立. 所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立. 所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C. 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补. ●教师下载中心 教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 拓展题例【例1】 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A-+cos cos sin 2.（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2=cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2=cot A +CB CB C B sin sin sin cos cos sin +=cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.【例2】 在△ABC 中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a =abcb a ca b ac c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式创新教学案(含
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式[考纲解读] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，并能熟练应用同角三角函数关系进行化简求值．(重点)2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限〞的含义，并能利用诱导公式进行化简．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2021年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.对应学生用书P0631.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01 sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02 sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式一 二三四五 六 角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－α π2＋α 正弦sin α01 －sin α 02 －sin α 03sin α 04cos α 05 cos α 余弦cos α06 －cos α07cos α 08 －cos α 09sin α10 －sin α正切tan α11 tan α12 －tan α13 －tan α ——口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1．概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)假设α∈R ，那么tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)假设sin α＝55，π2<α<π，那么tan α＝________. 答案 －12解析 因为sin α＝55，π2<α<π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案 －cos α解析 原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin 2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案 －12－12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么sin(π＋α)＝________.答案 －45解析 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.对应学生用书P063题型 一 同角三角函数关系式的应用角度1 化简与求值1．(2019·某某模拟)角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 由任意角三角函数的定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，所以3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)．整理得2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2019·某某石室中学模拟)α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，那么cos α－sin α＝( )A.75 B ．－75C ．±75D.2425答案 B解析 因为sin α＋cos α＝15，所以(sin α＋cos α)2＝125，即1＋2sin αcos α＝125，所以2sin αcos α＝－2425.所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.又因为α为第二象限角．所以cos α<0，sin α>0.所以cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－75.角度3“齐次式〞问题3．sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，那么cos 2α＋sin αcos α的值是() A.35 B ．－35C ．－3D ．3 答案 A 解析 因为sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，所以tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，所以cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35.1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．如举例说明1.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系〞公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α之间的关系问题(1)方法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关注点：根据角α终边的位置确定sin α＋cos α，sin α－cos α的符号．如举例说明2.3．sin α，cos α的齐次式的解法 (1)常见的结构①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切〞代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)巧用“1〞的变换：1＝sin 2α＋cos 2α.如举例说明3.1．假设α是第二象限角，那么tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 2．假设sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，那么sin αcos α的值等于( ) A ．－25B ．－15C.25或－25D.25答案 A解析 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，那么tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 3．α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin αcos α＝229，那么sin α－cos α＝________.(提示(22－1)2＝9－42)答案1－223解析 因为sin αcos α＝229，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－429＝9－429＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－132.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝1－223.题型 二 诱导公式的应用1．化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案 C解析 原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2．(2019·某某六校教育研究会联考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.255 B ．－255C.55D ．－55 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－55. 3．假设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值为________．答案 0 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(1)诱导公式的两个应用方向与原那么①求值，化角的原那么与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原那么与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明2中⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2.1．(2020·某某高三摸底)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 因为角α的终边经过点P (3,4)． 所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1010π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2．k ∈Z ，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝________.答案 －1解析 当k 为偶数时，原式＝sin －αcos －π－αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，原式＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型 三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用1．(2019·某某模拟)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C ．－32D.32答案 C 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1008π＋3π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.2．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，那么C 等于( )A.π3 B.π4 C.π2D.2π3答案 C解析 因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6.因为cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ，所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π，所以B ＝π3，所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.应选C. 3．(2019·某某六中第一次阶段性检测)f (α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan π＋α－cos π－α2－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos π－α＋cos 2π－α.(1)化简f (α)；(2)假设－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值X 围．解 (1)f (α)＝cos αtan α＋cos α2－1－4cos α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z .∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3.同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3.(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性．1．(2019·某某八校联考)sin(π＋α)＝－13，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝() A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2答案 D解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13，所以cos α＝±1－sin 2α＝±223， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 2.1＋2sin π－3cos π＋3化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.3．tan100°＝k ，那么sin80°的值等于( ) A.k1＋k2B ．－k1＋k2kk答案 B解析 由得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.对应学生用书P277组 基础关1．计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( )A ．－1B ．1C ．0 D.12－32答案 A 解析 sin 11π6＋cos 10π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.2．sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，那么θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝sin θcos θ＝ 3.又因为|θ|<π2，所以θ＝π3. 3．cos31°＝a ，那么sin239°·tan149°的值是( ) A.1－a2aB.1－a 2a答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.4．假设0≤2x ≤2π，那么使1－sin 22x ＝cos2x 成立的x 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π答案 D解析 显然cos2x ≥0，因为0≤2x ≤2π，所以0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π.5．(2019·某某二中模拟)角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，那么sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2答案 D 解析 因为r ＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos2.6．假设sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，那么m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5答案 B解析 由得Δ＝(2m )2－4×4×m ＝4m (m －4)≥0，所以m ≤0或m ≥4，排除A ，C.又因为sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1－5或m ＝1＋5(舍去)．7．tan α＝3，那么1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 因为tan α＝3，所以1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1 ＝32＋1＋2×332－1＝2. 8．化简：(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝________. 答案 1解析 (1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.9．化简：sin α＋πcos π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αtan －αcos 3－α－2π＝________. 答案 －1解析 原式＝－sin α－cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－tan αcos 3α＝sin αcos αcos α－sin αcos αcos 3α＝sin αcos 2α－sin αcos 2α＝－1. 10．cos(75°＋α)＝13，那么sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．答案 －23解析 因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－23.组 能力关1．2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝( )A.22B ．－22C. 2 D ．－ 2答案 A解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，所以tan θtan 2θ＋1＝23，解得tan θ＝22(tan θ＝2，舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tan θ为小于1的正数)．2．(2019·某某模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.3．－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，那么1cos 2α－sin 2α的值为() A.75 B.257 C.725D.2425答案 B解析 因为－π2<α<0，所以cos α>0，sin α<0，可得cos α－sin α>0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 4．(2020·某某摸底)假设1＋cos αsin α＝2，那么cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95答案 C解析 因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1.整理得5sin 2α－4sin α＝0，因为sin α≠0，所以sin α＝45.所以cos α＝2sin α－1＝35.所以cos α－3sin α＝35－125＝－95.5．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( )A.223B.13 C ．－13D ．－223答案 D 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.6．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析 因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1， 设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 那么S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5. 7．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且满足 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，那么cos 2α＋2sin2α＝________.答案 95解析 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝1－sin α1－sin α1＋sin α1－sin α＋1cos α＝1－sin α－cos α＋1cos α＝sin αcos α，那么sin αcos α＝2，tan α＝2，而cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝95. 8．sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 那么原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 那么原式＝1sin αcos α＝－52.。
高三数学一轮复习解三角形教案
芯衣州星海市涌泉学校解三角形〔1〕一、课前检测1.设函数.sin )32cos()(2x x x f ++=π〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最大值和最小正周期；〔Ⅱ〕设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，假设31cos =B ，41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin 的值. 解：〔Ⅰ〕x x x f 2sin )32cos()(++=π 22cos 13sin 2sin 3cos2cos x x x -+-=ππ……4分 .2sin 2321x -=……5分 所以函数)(x f 的最大值为231+,最小正周期为π.7分 〔Ⅱ〕41sin 2321)2(-=-=C C f ，所以，23sin =C ，9分因为C 为锐角,所以.3π=C …10分又因为在ABC ∆中，31cos =B ，所以332sin =B ，所以……11分 C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=.6322233121232+=⨯+⨯=13分 2.函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如下列图.〔Ⅰ〕求,ωϕ的值； 〔Ⅱ〕设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间. 解：〔Ⅰ〕由图可知πππ=-=)42(4T ,22==T πω，………2分 又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=- πϕ<||2πϕ-=∴，…4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π…6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =…9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……13分 3.α为锐角，且tan()24πα+=.〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求sin 2cos sin cos 2αααα-的值. 解：〔Ⅰ〕1tan tan()41tan πααα++=-，…………2分 所以1tan 21tan αα+=-，1tan 22tan αα+=-， 所以1tan 3α=.……………5分 〔Ⅱ〕2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--= 2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.……8分 因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，………10分又α为锐角，所以sin α=，所以sin 2cos sin cos 2αααα-=.………12分 二、知识梳理〔一).三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1．角与角关系：A+B+C=π，由A ＝π－〔B ＋C 〕可得：1〕sinA ＝sin 〔B ＋C 〕，cosA ＝－cos 〔B ＋C 〕．2〕222C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．2．边与边关系：a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ，a －b<c ，b －c<a ，c －a>b ．3．边与角关系：1〕正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin === 变式有：①C B A cb a sin :sin :sin ::=； ②C Rc B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===； ③CB A c b aC c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===； ④C B A c b a sin :sin :sin ::=。
高考数学一轮复习《解三角形》教案
福建省长泰一中高考数学一轮复习《解三角形》教案（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1：(1)A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ． 解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin A B C a b c A b S A B C++∠===++ 则= ．解：3提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△AB C 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝Csin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2 ⇒∠A＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。
高考数学复习 三角问题的题型与方法教案 苏教版
三角问题的题型与方法一．复习目标：1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．二．考试要求：1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。
6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。
三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析（一）三角变换公式的使用特点1．同角三角函数关系式(1)理解公式中“同角”的含义．(2)明确公式成立的条件。
例如，tan2α+1=sec2α，当且仅当 ≠k(3)掌握公式的变形．特别需要指出的是 sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα．它使得“弦”可以用“切”来表示．(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法．(5)几个常用关系式①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示．)同理可以由sin α-cos α或sin α·cos α推出其余两式．②21sin 1sin 2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． ③当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<．2．诱导公式(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角． (2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定．(3)sin(k π+α)=(-1)k sin α；cos(k π+α)=(-1)k cos α(k∈Z)． ⑷熟记关系式sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3．两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用． (2)公式的变形应用要熟悉． 熟记：tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan α·tan β)，它体现了两个角正切的和与积的关系．(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．4．倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．如已知sin α，cos α，tan α求cos2α时，应分别选择cos2α=1-(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．对sin3α，cos3α的公式应记住．(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，5．和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．(3)对下列关系式要熟记：6．三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．7．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点．(1)角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．r为三角形内切圆半径，p为周长之半．在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．(4)在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°．△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列． 8．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）． （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ．（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +．（4）△＝2R 2sin A sin B sin C ． （R 为外接圆半径） （5）△＝Rabc 4． （6）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ． （7）△＝r ·s ．9．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ．（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2．（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ， tg A ＝ctg B ＝b a ，ctg A ＝tg B ＝ab．10．斜三角形中各元素间的关系:如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边．（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π．（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.RCcB b A a 2sin sin sin === （R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．（4）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．11．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． （1）角与角关系：A +B +C = π，（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ．（3）边与角关系：正弦定理 R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）． 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cosC ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．它们的变形形式有：a = 2R sin A ，baB A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=． （4）面积公式：A bcB acC ab ch bh ah S c b a sin 21sin 21sin 21212121======∆． 解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ． （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ． （二）三角函数性质的分析1．三角函数的定义域这两种表示法都需要掌握．即角x 不能取终边在y 轴上的角．函数y=cotx 的定义域是x≠π或(k π，k π+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x 不能取终边在x 轴上的角．(2)函数y=secx 、y=cscx 的定义域分别与y=tanx 、y=cotx 相同． 2．三角函数的值域(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx 、y=secx 的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．常用的一些函数的值域要熟记．③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)．3．三角函数的周期性(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx 的周期，最小正周期是2π．同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．4．三角函数的奇偶性，单调性研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．5．三角函数的图象(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象．(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx 图象的对称中心分别为∈Z)的直线．（三）思想方法1.三角函数恒等变形的基本策略。
高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案
学生姓姓名填写时间名学科数学年级高三教材版本人教 A版自己课时统第（）课时阶段察看期□：第（）周保护期□计共（）课时课题名课时计2上课时解三角形题型概括总结复习称划间同步教课知识内教课目容标个性化学习问题解决教课重点教课难点教师活动一、知识点复习1、正弦定理及其变形2、正弦定理合用状况：教课过（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的状况）程已知 a， b 和 A，求 B 时的解的状况 :假如 sin A≥ sin B，则 B 有独一解；假如 sin A<sin B<1，则 B 有两解；B，则 B 有独一解；假如 B ，则 B无解.假如 sin =1sin >13、余弦定理及其推论4、余弦定理合用状况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式（ 1） S（2） SABCABC1底 高 ；21ab sin C1bc sin A1casin B （两边夹一角）；2226、三角形中常用结论（1） a b c,b c a,a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2） 在 ABC 中， A B a b sin A sin B(即大边对大角，大角对大边）（3）在△ ABC 中，A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)= －cosC ；tan(A+B)= －tanC 。
sinA Bcos C , cosAB sin C22227、两角和与差公式、二倍角公式（略） 8、实质问题中的常用角（1）仰角和俯角在视野和水平线所成的角中，视野在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方向角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方向角为α（如图②）注：仰角、俯角、方向角的差别是： 三者的参照不一样。
仰角与俯角是相关于水平线而言的，而方向角是相关于正北方向而言的。
（3）方向角：相关于某一正方向的水平角（如图③）oo①北偏东即由指北方向顺时针旋转抵达目标方向；oo②北偏本即由指北方向逆时针旋转 抵达目标方向；③南偏本等其余方向角近似。
高中数学 高三一轮 3.7 解三角形【教案】
高三一轮 3.7 解三角形【教学目标】1。
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2。
本部分是高考中的重点考查内容,主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积及解三角形的具体应用问题.【重点难点】1。
教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】cos A ≠..的最大值ac 0B <∠(2)(1)2cos 由可知A =-02cos A A <∠+7.(20162cos (cos 全国课标已知C a ((((1)2cos cos 2cos sin sin (0,C a C A A B A C π++∴+∈(2)c =若2(2)7a =由余弦定理即1∠A为锐角∠A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a〈b a≥b a〉b 解的个数一解两解一解一解知识点3 三角形常用面积公式(1)S＝错误!a·h a(h a表示边a上的高）;(2）S＝12ab sin C＝12ac sin B＝错误!bc sin A；(3）S＝错误!r(a＋b＋c)（r为内切圆半径)．名师点睛：1．必会结论引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理识别能力和解题效率。
教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构.1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.【解析】由题意，在△ABC 中,∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°。
高考数学一轮复习 解三角形教案 理 教案
图二abc CBA图一cabA BC某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习解三角形教案理知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在Rt ABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。
（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC 中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B 、C的对边。
（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C=；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanCsin； cos；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即=2R (2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2R；；；；；a：b：c=（4）、余弦定理：=-2bccosA; =-2accosB;-2abcosC;余弦定理变形：cosA= ; cosB=; cosC=3、三角形的面积公式：（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）（2）、=absinC=bcsinA=casinB（3）、=2=（4）、=；（5）、=rs（r为内切圆半径，）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。
5、实际问题中的应用。
（1）、仰角和俯角：（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。
（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。
第04讲 解三角形(八大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
sin
cos
（2）由题意可知cos =
= sinsin，所以sin( − )sin = sinsincos，
即sincossin − cossinsin = sinsincos，
2 + 2 −2
2
− ⋅
2 + 2 −2
【解析】 − cos < 0，
在三角形中sin > 0，
所以由正弦定理可得2sin − 2sincos < 0
所以cos < 0，
所以sin − sincos < 0，
所以为钝角，
所以sin( + ) − sincos < 0，
所以sincos + cossin − sincos < 0，
∴△ 为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
）
题型三：判断三角形的形状
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）在△ 中，角，，的对边分别为，，，且 − cos < 0，则△
形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
所以sincos < 0，
2024
高考一轮复习讲练测
第04讲 解三角形
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
（1）掌握正弦定理、余弦定
理及其变形．
高三数学一轮复习精析教案34《解三角形》
第27讲 解三角形一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题三．【要点精讲】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝cb，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
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（2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式
（1）高底⨯⨯=
∆21
ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===∆（两边夹一角）；
6、三角形中常用结论
（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2
sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+
7、两角和与差公式、二倍角公式（略） 8、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 9、ΔABC 的面积公式
（1）
1
()2a a S a h h a =
表示边上的高；
（2）
111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R =
===为外接圆半径； （3）
1
()()2S r a b c r =
++为内切圆半径。
二、典型例题
题型1 边角互化
[例1 ]在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为 【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a 、b 、c 依次为3、5、7，则
cosC=2222a b c ab +-=222357235+-⨯⨯=1
2
-
因为0C π，所以C=2
3
π
在△ABC 中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是
（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3π
π
[例2 ] 若a 、b 、c 是ABC ∆的三边，222222)()(c x a c b x b x f +-++=，则函数)(x f 的图象与x 轴【 】
A 、有两个交点
B 、有一个交点
C 、没有交点
D 、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以
222()2cos f x b x bc A x c =++=2222(cos )cos bx c A c c A ++-，因为2cos A
1,所以
222cos c c A -0，因此()f x 0恒成立，所以其图像与X 轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在ABC ∆中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A 、7=a ，14=b ，︒=30A ；
B 、25=b ，30=c ，︒=150
C ； C 、4=b ，5=c ，︒=30B ；
D 、6=a ，3=b ，︒=60B 。
题型3 面积问题
[例4] ABC ∆的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为
【解析】设△ABC 的三边分别：x －4、x 、x ＋4，
∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x ＋4﹚²=﹙x －4﹚²＋x²－2×﹙x －4﹚×x×cos120°，解得：
x=10
∴△ABC 三边分别为6、10、14。
113sin 610153222
ABC
S
ab C ∴=
=⨯⨯⨯= 题型4 判断三角形形状
[例5] 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+--
222cos sin 2cos sin a A B b B A ∴=
由正弦定理，即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =
sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B ∴-=
sin 2sin 2A B ∴= 由0
2,22A B
π，得22A B =或22A B π=-
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
方法二：同上可得222cos sin 2cos sin a A B b B A =
由正、余弦定理，即得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac
+-+-=
22222222()()a b c a b a c b ∴+-=+-
即22222()()0a b c a b ---=
a b ∴=或222c a b =+
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。
（边化角）
1在△ABC 中，bCosA=acosB ，则三角形为( )
A 直角三角形
B 锐角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形
2在△ABC 中，若a2＞b2+c2，则△ABC 为；若a2=b2+c2，则△ABC 为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC 为
3在△ABC 中，sinA=2cosBsinC ，则三角形为 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin sin sin ()A C p B p R +=∈且21
4
ac b =
（1）当5
,14
p b ==时，求,a c 的值；
（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围。
【解析】（1）由题设并由正弦定理，得51,44a c ac +==，解得，11,4a c ==或1
,14
a c ==
（2）由余弦定理，
2
题型6、解三角形的实际应用
如图，甲船以每小时
处时，乙船航行到甲船的北偏西
是等边三角形，
222
A B A B A B
=+-
102．
A
A 120 105
甲。