六年级下册奥数- 计算综合

第24讲计算综合

计算问题是学习数学必不可少的一个环节。无论是要学好课内知识，还是要学好奥林匹克数学，解决好计算问题，都是一个很重要的因素。要掌握较复杂的各类计算，不仅需要熟练的掌握各类运算法则、定律、性质，还需要掌握各类运算的技巧。关键要对题目进行认真的观察，识别算式的特点及各数之间的关系，巧妙、灵活地运用运算定律，使计算变得简单易行。因此，解决好计算问题，对于开拓学生的视野，启迪学生的思维，培养学生综合应用知识的能力，将会起到重要的作用。

一、利用法则进行运算

在很多的数学竞赛中，经常出现这样一类的运算。从算式的特征和各数的关系上，并不具备简算和巧算的特点。这类计算通常是考察同学们的运算能力。这类题目通常数目较大，并且计算较繁琐，在解题的过程中需要同学们要有足够的耐心，并且要具有扎实的基本功。

例1 计算：

分析：这道题目计算步骤较多，同时又不具备简算和巧算的条件，主要是考察同学们的计算能力。但在计算的过程中，同学们也要注意合理地运用法则，恰当地使用通分和约分及分数和小数转化的手段，从而使计算变得相对简单，提高计算的准确性。

解答：

说明：本道例题选自《第八届华罗庚金杯复赛》的第一题，不难看出要准确地解答这道题目，要求学生具备扎实的基本功。但是“硬算”并不等于傻算。如果能像解答中合理的控制分数与小数的转化，掌握好约分和通分的时机，也可以使解答变得相对简单。

二、合理、灵活地运用所学的定律和性质进行计算

在较复杂的运算中，利用所学的运算定律和性质进行简算和巧算，是很常见的一种变化类型。由于一般情况下数比较大，运算比较复杂，因此要求学生要善于观察数与运算符号的特点。抓住它们之间的联系，合理地运用定律和性质。

例2计算：

分析：这道例题初看时，并不具备简算的特点，但是仔细观察可以看出两步乘法运算中分数的分母都是19；并且两步乘法运算之间的运算是加法，具备乘法分配率逆运算的运算特征。如果能找出公因数，就可以进行简算。进一步观察可以看出；

，从而发现公因数，因此可以利用乘法分配率进行运算。

解答：

说明：竞赛中的题目，通常难度都较大，需要同学们要善于捕捉题目中可利用的条件。只有善于观察的人，才有可能找到解题的捷径。但是值得注意的是运用定理和性质必须要合理，不能够为了简算随意编造，这样反而会适得其反。

三、学会使用完全平方公式和平方差公式

完全平方公式和平方差公式在小学的课程并不要求掌握，但是在小学的数学竞赛的计算中，它们却起着相当重要的作用。这就要求同学们很好的了解并掌握它们。学会使用这两个公式，将使一些看似复杂的计算变得相对简单。下面我们首先了解这两个公式的具体内容：

平方差公式：

完全平方公式：

在使用这两个公式时，既可以正向使用，又可以逆向使用。值得注意的是在使用时，同学们一定要注意计算过程中运算的特点和数的特征。只有恰当地合理地使用公式，才会起到事半功倍的效果。

例3

分析：不难看出这道题如果按部就班的进行计算，将会非常复杂。了解了平方差公式的特点，就可以发现恰好符合平方差公式的特征。利用公式对算式进行转化，将会使计算变得简单。

解答：

说明：可以看出，由于合理地利用了平方差公式对算式进行了转化，从而使计算变得相对简单。但要注意的是（100+99）×（100－99）并没有立刻计算成199，而是在计算时充分利用了数列的特点，将计算转化成了1至100的等差数列，从而使计算变得更加简单。因此，在使用公式的时候要相对灵活，随时观察运算的特征，善于抓住任何可利用的有利条件。

例4计算：

分析：这道题数目很大，按常规进行计算很难解决。尤其是题目中的两个平方数，更是难于计算出结果，分子和分母之间又不具备公因数，不能通过约分使数目简化。这样一道看似无法解决的题目，如果利用完全平方公式进行合理的转化，就可以使它得以解决。

分母中的200220022可以看成(20022000+2)2=20020002+2×2×20022000+22，这时，分母中的20022002就利用完全平方公式转化成了20022000，再加上分母中本身含有的1个20022000，就可以将分母进一步进行转化，从而确定分母与分子之间的联系，使计算简化，并且得以进行。

解答：

说明：本道例题选自2002年我爱数学少年夏令营计算竞赛的第7题。在解答的过程中，巧妙的利用了完全平方公式。通过合理的转化，使分母中的20022002转化成了20022000，并在此基础上又进行了二次转化，从而得到了分子与分母的公因数20022001，通过约分使计算

得以进行。题目中公式的使用，隐蔽性很强，需要同学们很好的观察分子与分母数的特征，并根据数之间的联系及运算的特点，合理的选择公式进行使用。

四、巧用字母进行计算

在我们常见的复杂计算中，很多计算数目很大，或者运算很烦琐。其中有一类情况，就是算式中部分运算或数目相同或相近。在这种情况下，完全可以利用字母来代替这些相同或相近的运算或数目，从而使运算简化。

例5计算：

分析：通过观察不难发现，算式中有许多运算和数，多次重复的出现。如果按正常情况展开计算，不仅繁琐，而且很容易出现重复或遗漏。容易造成不必要的错误。如果利用字母来代定相同的算式，并且利用字母来进行计算。不仅可以使计算简化，避免了重复的环节，而且大大降低了运算的难度、减少了出错的可能。

解答：设；。

说明：从解答可以看出，利用字母进行计算，减少了中间的环节，降低了错误率。但值得注意的是，设定字母要恰当，不是越多越好，设定字母的数量要根据需要，以能够使计算简化为标准。在这道例题中，设定一个或两个字母均可以。设定字母过多，有时不能达到简算的目的。

五、要善于运用转化

在前面的例题中，其实我们已经多次提到过转化的问题。合理的利用定律和性质对运算进行拆解或合并，转化运算的形式，从而使计算简化。这里，我们再次强调转化的问题，主要是指在解题过程中，合理的转化问题的途径。通常在没有定律和性质可以利用的前提下，通过转化问题，使复杂的计算得以解决。

例6计算：

分析：这道题目通过观察不难看出，通分是一个很困难的环节，如果2的次方数再大一些，解决起来就更加困难。同时，并不具备性质和定律可以使计算简化。这时，我们不妨通过转化问题，使计算得以简化。如果我们给算式乘2可以发现算式中每一个加数都相应扩大，再利用错位加减法减去原式，抵消掉中间项。从而使看似简单的问题变得简单了。

解答：

说明：通过例题的分析和解答可以发现，利用问题的转化，计算变得简单了。这需要同学们在遇到计算困难时，要随时具有转化的意识。只要善于把复杂的问题进行合理的转化，才有可能使复杂的问题得以解决。

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