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第二十一章 动量矩定理
§21-1 质点系的动量矩
动量矩的定义
设质点A的动量为 mv ，对固定点的矢径为r。
质点动量 mv 对O点的矩 LO MO (mv) r mv
LO Mx( mv )i M y( mv ) j M z( mv )k
z
mv
质点动量对 z 轴的矩
Lz M z (mv) (mv)d
a (P Q)g
r (P Q G)r
二、质点ddL系tOL相O d对dLtCL于C 质ddrtCr心C的p p动rC量 dd矩pt 定d理dLtC
vC
p
rC
又：
vC
p
vC
mvC
0
MO (Fie )
ri
Fie
(rC
dLO dLC
ri)
dt
Fi
e
dt
rC
rC
Fie
Fi e
Fi e
ri
Fi
e
（1） （2）
（1）=（2）
dLC dt
ri
Fi e
ri
Fie
M
e Ci
dLC dt
M
e Ci
质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作 用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。
dLcx
dt
M
e ix
dLcy
dt
例3: 旋转调速器在外伸刚性臂上悬挂两个重量P的小球,初始转
动时角速度0,求当悬挂小球与垂直线夹角为时的角速度.
解:
初始转动时:
L1
2P g
a(a0 )
a
a
夹角为时:
L2
2P g
(a
l sin )2
动量矩守衡定理: L1 L2
P
P
角速度:
(a
a2
l sin )2
0
有心力
mv
M
Ar
h FO
M
O
(mv )
r
mv
常量
1、行星运行轨道必为一平面轨迹
2、M
O
(mv)的大小始终不变，为两倍的
ΔOMA面积
M o (mv) r mv mv h
mvh m ds h 常量 dt
dA 1 ds h 2
dA 1 ds h 常量 dt 2 dt
dA dt
称为面积速度
AB
LO
r
质点系的动量矩
LO
r1
mv1
ri mvi
r2
mv2
rn
mvn
x
O
mvb
d a
y
MO (mvi )
质点系对固定点O的动量矩与对动点动量矩的关系
'
r r r i Q i
dri
drQ
dri
'
dt dt dt
Q为任一动点
vi
vQ
dri
'
dt
LO
( ri
Lz rdmv r 2dm J z
(v r)
LCz J Cz
C
３、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩 LO LC rC p
LOz
LCz
rC
p z
JCz
M
z ( mvC
)
z
ri
dmvi
Mi
xO y
例1： 已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只
滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC
求：两重物的加速度及轮的角加速度。
解：
研究对象为轮、物体A和B。
分析受力， 运动分析
对O点应用动量矩定理
d LO
dt
MOi
Lz
P g
vAr
Q g
vBr
Leabharlann Baidu
G g
r 2
P Q G vr g
得
P Q G r d v Pr Qr
g
dt
Fy
vi
O
Fx
vA
P
G
vB
B
A
Q
a dv (P Q)g dt P Q G
3r)
§21-2 质点系动量矩定理
一、质点系对固定点O的动量矩定理
LO ri mivi
dLO dt
d dt
ri
mi vi
dri
dt
mi vi
ri mi
dvi dt
dLO dt
vi mi vi ri mi ai
ri
Fie
ri
Fii
M
e Oi
dLO
dt
M
e Oi
mi ai
M
i Oi
Fi
Fi e
Fii
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。
投影形式：
dLx dt
M
e xi
dLy dt
M
e yi
dLz dt
M
e zi
例2 已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为 P，B物重为Q，且P>Q。
vi
)dm
( rQ
ri'
)( vQ
dri' dt
)dm
rQ
( vQ
dri' dt
)dm
( ri'
vQ
)dm
( ri'
dri' dt
)dm
dmvi
z
ri
O
Mi
ri rQ
y
Q
( rQ
vi
)dm ( ri'
vQ
)dm
( ri'
dri' dt
)dm
x
其中
rQ
p
的角速度为 ，求系统在该瞬时对O点的动量矩
解：
(LO )OC
JO
1 3
p g
l2
(LO )C
JCC
W g
vC (R
r)
O R
vC
y
rC
1 W r 2 (R r) W (R r)2
x
2g
r
g
W (R r)(2R 3r)
2g
LO
(LO )OC
(LO )C
p 3g
l 2
W 2g
(R
r)(2R
Me iy
dLcz
dt
M
e iz
三、质点系动量矩守恒定理
1、
M
e Oi
0
LO 常量
2、
M
e xi
0
Lx 常量
质点系动量矩守恒
动量矩守恒定理实例
冰上芭蕾
J1 1
J2 2
1 J1= 2 J2 J1> J2, 1 < 2,
地球变迁
J1
J2
1
2
1 J1= 2 J2 J1> J2, 1 < 2,
m(rQC
vQ
)
LQ
ri'
dm
mrQC
LQ
LO
rQ
p
m(rQC
vQ )
LQ
LO
rQ
p
m(rQC
vQ )
讨论：
1、Q点与质点L系O 的 质LC心CrC点重p合：
rQC 0
质点系对任一固定参考点O的动量矩，等于质点系相对
于质心的动量矩与质心系的动量对O点之矩的矢量和
2、当Q为固定点 ： LQ LO
vQ rQ
p
0
3、当Q为固定点与质心C重合： p 0
4、当
rQC // vQ
LO LC
时：
rQC vQ
0
LQ
LO
rQ
p
刚体的动量矩
１、平动刚体对任一固定点O的动量矩
LO ri mivi mrc v
２、定轴转动刚体对转轴的动量矩：
§21-1 质点系的动量矩
动量矩的定义
设质点A的动量为 mv ，对固定点的矢径为r。
质点动量 mv 对O点的矩 LO MO (mv) r mv
LO Mx( mv )i M y( mv ) j M z( mv )k
z
mv
质点动量对 z 轴的矩
Lz M z (mv) (mv)d
a (P Q)g
r (P Q G)r
二、质点ddL系tOL相O d对dLtCL于C 质ddrtCr心C的p p动rC量 dd矩pt 定d理dLtC
vC
p
rC
又：
vC
p
vC
mvC
0
MO (Fie )
ri
Fie
(rC
dLO dLC
ri)
dt
Fi
e
dt
rC
rC
Fie
Fi e
Fi e
ri
Fi
e
（1） （2）
（1）=（2）
dLC dt
ri
Fi e
ri
Fie
M
e Ci
dLC dt
M
e Ci
质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作 用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。
dLcx
dt
M
e ix
dLcy
dt
例3: 旋转调速器在外伸刚性臂上悬挂两个重量P的小球,初始转
动时角速度0,求当悬挂小球与垂直线夹角为时的角速度.
解:
初始转动时:
L1
2P g
a(a0 )
a
a
夹角为时:
L2
2P g
(a
l sin )2
动量矩守衡定理: L1 L2
P
P
角速度:
(a
a2
l sin )2
0
有心力
mv
M
Ar
h FO
M
O
(mv )
r
mv
常量
1、行星运行轨道必为一平面轨迹
2、M
O
(mv)的大小始终不变，为两倍的
ΔOMA面积
M o (mv) r mv mv h
mvh m ds h 常量 dt
dA 1 ds h 2
dA 1 ds h 常量 dt 2 dt
dA dt
称为面积速度
AB
LO
r
质点系的动量矩
LO
r1
mv1
ri mvi
r2
mv2
rn
mvn
x
O
mvb
d a
y
MO (mvi )
质点系对固定点O的动量矩与对动点动量矩的关系
'
r r r i Q i
dri
drQ
dri
'
dt dt dt
Q为任一动点
vi
vQ
dri
'
dt
LO
( ri
Lz rdmv r 2dm J z
(v r)
LCz J Cz
C
３、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩 LO LC rC p
LOz
LCz
rC
p z
JCz
M
z ( mvC
)
z
ri
dmvi
Mi
xO y
例1： 已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只
滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC
求：两重物的加速度及轮的角加速度。
解：
研究对象为轮、物体A和B。
分析受力， 运动分析
对O点应用动量矩定理
d LO
dt
MOi
Lz
P g
vAr
Q g
vBr
Leabharlann Baidu
G g
r 2
P Q G vr g
得
P Q G r d v Pr Qr
g
dt
Fy
vi
O
Fx
vA
P
G
vB
B
A
Q
a dv (P Q)g dt P Q G
3r)
§21-2 质点系动量矩定理
一、质点系对固定点O的动量矩定理
LO ri mivi
dLO dt
d dt
ri
mi vi
dri
dt
mi vi
ri mi
dvi dt
dLO dt
vi mi vi ri mi ai
ri
Fie
ri
Fii
M
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dLO
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M
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M
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Fi
Fi e
Fii
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。
投影形式：
dLx dt
M
e xi
dLy dt
M
e yi
dLz dt
M
e zi
例2 已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为 P，B物重为Q，且P>Q。
vi
)dm
( rQ
ri'
)( vQ
dri' dt
)dm
rQ
( vQ
dri' dt
)dm
( ri'
vQ
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( ri'
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)dm
dmvi
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O
Mi
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y
Q
( rQ
vi
)dm ( ri'
vQ
)dm
( ri'
dri' dt
)dm
x
其中
rQ
p
的角速度为 ，求系统在该瞬时对O点的动量矩
解：
(LO )OC
JO
1 3
p g
l2
(LO )C
JCC
W g
vC (R
r)
O R
vC
y
rC
1 W r 2 (R r) W (R r)2
x
2g
r
g
W (R r)(2R 3r)
2g
LO
(LO )OC
(LO )C
p 3g
l 2
W 2g
(R
r)(2R
Me iy
dLcz
dt
M
e iz
三、质点系动量矩守恒定理
1、
M
e Oi
0
LO 常量
2、
M
e xi
0
Lx 常量
质点系动量矩守恒
动量矩守恒定理实例
冰上芭蕾
J1 1
J2 2
1 J1= 2 J2 J1> J2, 1 < 2,
地球变迁
J1
J2
1
2
1 J1= 2 J2 J1> J2, 1 < 2,
m(rQC
vQ
)
LQ
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LO
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p
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p
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讨论：
1、Q点与质点L系O 的 质LC心CrC点重p合：
rQC 0
质点系对任一固定参考点O的动量矩，等于质点系相对
于质心的动量矩与质心系的动量对O点之矩的矢量和
2、当Q为固定点 ： LQ LO
vQ rQ
p
0
3、当Q为固定点与质心C重合： p 0
4、当
rQC // vQ
LO LC
时：
rQC vQ
0
LQ
LO
rQ
p
刚体的动量矩
１、平动刚体对任一固定点O的动量矩
LO ri mivi mrc v
２、定轴转动刚体对转轴的动量矩：