繁分数-教师版
繁分数的运算
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 182621358 1333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=712372317 461224 1488128 131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6 910()52719950.51995 19(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.5 9() 519950.419950.5 191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987 -+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少【分析与解】方法一：1118x68114x112x711 1+11148x62+214x1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有11131118821x4+==+++，所以18222133x4+==++；所以13x42+=，那么x=．5．求944,43,443,...,44 (43)个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44 (43)++个=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44 (49)++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个=1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个=914111.1009=49382715919⨯-个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=；再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=；再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．所以，这10个数的和为91．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○=○=．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：△=△=．请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)( 2.25)3104⨯+【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1【分析与解】因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如．那么在所有这种数中。
著名机构六年级数学秋季班讲义第5讲 工程问题与繁分数(教师版)
工程问题一、工程问题：1、由两个或两个以上单位（或人），共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”。
2、题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“1”表示（即整体思想），并用“1÷工作时间”推算工作效率，用一个分数单位1n⎛⎫⎪⎝⎭表示。
3、基本数量关系与一般工作问题完全相同，即总工程量÷工作效率=工作时间；总工程量÷工作时间=工作效率【例 1】【基础】一项工作，甲队独做需要10天，乙队独修需要12天两队合作几天修完？【分析】1111601()110126011÷+=÷=（天）【提高、尖子】铺设一条公路，单独由甲队完成需要20天，由乙队单独完成需要30天，由丙队单独完成需要60天，现在希望能尽快修好这条路，让甲、乙、丙三队一起铺设，需要几天可以完成？甲队的工作效率为112020÷=；乙队的工作效率为113030÷=；丙队的工作效率为116060÷=现在由甲、乙、丙三队合作完成，每天的工作效率是他们三队的效率之和111120306010++=现在需要111010÷=天铺设成这条路。
第五讲工程问题与繁分数【例 2】【基础】有一项工程甲队单独做需要10天时间，甲、乙两队合做需要4天，问：1）乙队单独做，要到第几天才能完成？2）如果甲先做3天，然后两队合做，还需要几天能够完成？【分析】由题目可知，甲单独做的工作效率为111010÷=；甲、乙两队合做的工作效率为1144÷=1）可以求出乙队的工作效率为113 41020-=；所以乙队单独做需要3202 162033÷==2）如果甲先做了3天，已经完成了工程的133 1010⨯=剩下的3711010-=由甲、乙两人合做，需要712842104105÷==【尖子】有一项工程，甲队单独做63天，再由乙做28天可完成，如果甲、乙合做需48天完成，现在甲先做42天，然后由乙来完成，还需要几天？【分析】根据题意，甲、乙合做48天完成，第一次与之相比，甲多做了15天，而乙少做20天，都恰好完成了全部工作所以甲工程队做15天的量等于乙工程队做20天的量即所以甲工程队做3天的量等于乙工程队做4天的量现在甲先做了42天，比两人合做时少做了6天，应该由乙来补上这部分工作根据工作效率之比，乙需要6348÷⨯=天完成；那么乙还要工作48856+=天【例 3】【基础、提高】一项工程，甲、乙合作需要12天完成，乙、丙合作需要15天完成，甲、丙合作需要20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作需要几天完成？【分析】由题目知，甲乙的工作效率之和为112；乙丙的工作效率之和为115；甲丙的工作效率之和为1 20将三者相加，恰好是甲乙丙三队的工作效率之和的两倍，1111 1215205 ++=所以三队合作需11(2)105÷÷=天【提高、尖子】有一条公路，甲队独修10天，乙队独修12天，丙队独修15天，现在让3个队合修，但中途甲队撤离出去到外地工作，结果用了6天才把这条公路修完。
校本教材配套课件—繁分数的计算(托起美的数学)
人 教 版 校本学 科
六年 级 第 一学期 课题：繁分数的计算 授课人：付涛 日期：2016.9
什么是繁分数?
根据实际问题列出的分数， 有时它的分子或分母里又含 有分数，或者分子和分母里 都含有分数，我们把这样的 分数叫做繁分数。
1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋…＋ 2 2 2 3 3 3 3 3 100 100 100
分数除法的表达式
1 5 3 2 7 7 7 10 5 （4 +8 ）÷ （1-4 ×5 ）=8 ÷ = × = 10 8 7 4
繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质， 经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍 数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母 的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的 分母，然后通过计算化为最简分数或整数。
1998+1997×1999 = 1998+1997×1999
=1
南开区宜宾里小学
连分数
1 4+ 3+ 1 1 1 2+ 2+…
1+
1 1+ 2+ 1 1 1 3+4
= 1+
1 1 4 2+ 13
1 30 = 43 = 43 30
例 1：
1998+1997×1999 1998+1997×1999 = 1997×1999+1999-1 1998×1999-1
2 3 2 33 2 2 3 4 -3 （ 4 -3 ）× 12 （ 4 -3 ）× 12 43 -3 56-45 11 11 1 33 44 56-45 3 4 4 == == = = = 88 30+58 1 5 1 5 1 5 30+58 88 8 22 +4 ）× 12 22 +4 +46 （ 2 （ +4 ）× 12 2 6 2 6 2 6
繁分数运算
7 7 10
10、A10
例3
计算：
4
2 3
0.75
3
9 13
÷
34
2
＝________.
5
4 45
-4
1 6
5
8 15
7
解
原式＝
14 3
3 4
48 13
4
49 45
-4
1 6
83 15
÷
34
2 7
＝
65
12 83
90
48
13 15
83
×
7 240
＝
20 1 6
×
7 240
＝
120 1
思维推理
转化思想：原式＝3+
1
3
1 10
＝3+
1 3 3
10
＝3+
1 33 10
＝3+ 10 33
＝ 3 10 33
3
7、A7
例 1 (2005 年武汉“明心奥数”挑战赛试题)分数 37 可写成 2+ 1 的形势，则 x
13
x 1
y1
z
＝________，y＝________，z＝________.
2- 5
2- 5
2 - 5 2 - 125 121 121 121
3 6
3 48
123
123 123
25
25
25
8
6、A6 ★★最常见常考的例题
计算：3+ 1 (2008 年第六届“创新杯”邀请赛试题 3 1 3 1 3
类似题：2005 年西铁一中初一分班
Hale Waihona Puke 试题/2007 年香港圣公会试题/2006 年甘肃省第 14 届数学冬令营试题)
小学数学人教新版六年级上册奥数系列讲座：繁分数的运算(含答案解析)
小学数学人教新版六年级上册实用资料繁分数的运算繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 18262 13581333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6 910() 52719950.51995 19(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.5 9() 519950.419950.5 191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987 -+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少?【分析与解】方法一：1118x68114x112x711 1+11148x62+214x1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有1113 11188 21x4+==+++，所以18222133x4+==++；所以13x42+=，那么x=1.25．5．求944,43,443,...,44 (43)123个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44 (43)++123个={1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个={104444444...44 (49)++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-123个=1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--14243个=914111.1009=49382715919⨯-14243个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=；再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=；再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)( 2.25)3104⨯+V d d V 【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少?【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?【分析与解】 因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l ，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。
繁分数 -教师版
式，我们不妨先将分母进行计算整理，看一看能不能发现规律。然后考虑运用一些计算的法则、技巧算出结果。
解答：原式=
=
=2×（ ）
=2×（ ）
=2×（ ）
=
说明：有些题目一开始虽然看不出能利用简便方法进行计算，我们可以先按照计算的顺序进行计算整理，在计算过程中，随时发现可以简便计算时再进行简便计算。例如此题，开始时完全按照计算的方法将分母进行计算整理，然后，根据分数与除法的关系，将此题转变为分子是2的繁分数，再根据乘法分配率，将2提出，再将括号中进行整理后，得到结果。
例6计算：
分析：观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循。分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相减，可以根据减法性质将括号打开进行计算。
解答：分母=（1+2+3+…+10）×2-10=100
分子= 2
=
=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+（100-99）（100+99）
第一讲 繁分数（教师版）
课题
第一讲 繁分数
授课时间及时段：2013-9-710-12
教学内容
分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数。繁分数的运算过程就是化简的过程，要分别对分子和分母逐步进行计算，这需要扎实的基本功：概念清楚，运算迅速正确，而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法，化“繁”为“简”。
?
?
练习题
1．计算：
解答：原式
=
2．计算：
解答：原式=
3．已知： ，求a=？
提示：此题可用倒推法解答，a=2。
繁分数的运算完整版
繁分数的运算HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 182621358 1333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=712372317 461224 1488128 131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6 910() 52719950.51995 19(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.5 9() 519950.419950.5 191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987 -+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少?【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4+====+++++++ 交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有11131118821x 4+==+++，所以18222133x 4+==++；所以13x 42+=，那么x =1.25．5．求944,43,443,...,44...43个这10个数的和．【分析与解】方法一：=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44...49++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个 =1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个 =914111.1009=49382715919⨯-个. 方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为+=；16218再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155 (0.625)(0.4)33384 1235(0.3)( 2.25) 3104⨯+【分析与解】原式8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少?【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1【分析与解】因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。
繁分数的运算之欧阳家百创编
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．欧阳家百（2021.03.07）1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可． 5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 182621358 1333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=712372317 461224 1488128 131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6 910() 52719950.51995 19(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.5 9() 519950.419950.5 191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987 -+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少?【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有11131118821x 4+==+++，所以18222133x 4+==++；所以13x 42+=，那么x =1.25．5．求944,43,443,...,44 (43)个这10个数的和．【分析与解】方法一：=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44 (49)++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个=1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个=914111.1009=49382715919⨯-个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=；再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=；再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155 (0.625)(0.4)33384 1235(0.3)( 2.25) 3104⨯+【分析与解】原式8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少?【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?【分析与解】因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如 1.892915929．那么在所有这种数中。
第26讲繁分数的计算带答案
第二十六讲繁分数的计算--------巧取倒数法【知识要点】一个分数的分子或分母还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数.通常无法用运算定律和运算性质进行计算,因此繁分数的运算过程就是化简的过程,要分别对分子和分母逐步进行计算,其间需要扎实的基本功：概念清楚,运算迅速正确,而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法,化“繁”为“简”.繁分数由分子部分、分母部分和分隔分子与分母的主分数线三部分构成.繁分数化简的目的是使分子部分与分母部分都不再含有分数.连分数是一类特殊的繁分数,它的化简也用到繁分数化简的方法.【典型例题】例1计算11413123---(1995年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)解析从下往上,依层化简125131221;33;3335/355-==-=-=154311244;.4312/512124312-=-==练习一1.试计算114131212-+-+(1997年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)解析原式1111511456 444131533423==== ---++-.2.计算111121345++++(1998年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)解析原式111157116822511112115722568321====++++++.例2已知==+++xx则,1184112111.(1999年小学数学奥林匹克决赛试题)解析181313,11,;111118812221444x xx=∴+=+=+++++++进而我们有:1222,134x+=++12135,,.134244x xx=+==+练习二1.已知:==+++xx则,2518412111.(2000年北大少年数学邀请赛第二试试题)解析因为1181257171184,11,,22,11112518181877122421444xx xx=∴+==+=+==+++++++++14173,,.74424x xx=+==+注1 可以将上述过程简化为以下计算:25718473131,2,1,.1818774442x x=+=+=+=+=2.已知167,196121314xx=++++求的值.解析962967929291;676729299922=1+;=2+;=3+;=4+所以2x=.【课后精练与思考题】计算53793649++-(1996年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)解析5552533337936363657679(79)5115553649+=+=+=+⨯+⨯+⨯-.1。
繁分数的运算
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：711471826213581333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少?【分析与解】方法一：1118x68114x112x7111+11148x62+214x1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有11131118821x4+==+++，所以18222133x4+==++；所以13x42+=，那么x=1.25．5．求944,43,443,...,44...43个这10个数的和．【分析与解】方法一： 944+43+443...44...43++个=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44...49++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个 =1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个 =914111.1009=49382715919⨯-个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)( 2.25)3104⨯+【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少?【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 【分析与解】因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。
教师培训相关-dl测试定级对照表
E级
完全平方数的性质（一）--利用奇数个因数性质解题
E级
圆的周长--周长关系
E级
数表规律（一）--数组求和问题
D级
素数与合数--利用偶素数只有2的特点
D级
加乘原理-涂色问题--相邻不同色
D级
分组法(二)--百僧分馍(1)
D级
繁分数--普通繁分数
E级
余数性质--多步计算
E级
圆的周长--周长关系
E级
扇形的面积--直接计算
D级
其余任何情况
E级
总结
没有全部掌握，那么定级为较低等级。其余情况定到较高等级。
C级
数表规律（一）--数组出现次数问题
D级
素数与合数--组素数
D级
加乘原理-排队问题--一人特殊
D级
加乘原理-涂色问题--相邻不同色
D级
数表规律（一）--数组出现次数问题
D级
素数与合数--组素数
D级
加乘原理-排队问题--一人特殊
D级
加乘原理-涂色问题--相邻不同色
D级
繁分数--普通繁分数
E级
余数性质--可乘性
B级
巧求面积-割补法--切割求面积
B级
列表法--用列表法枚举
B级
整数巧算-二次提取公因数--二次提取公因数
C级
假设法(一)--鸡兔的头和脚和
C级
盈亏型--盈亏型
C级
两者容斥--基础题
C级
整数巧算-二次提取公因数--二次提取公因数
C级
假设法(一)--鸡兔的头和脚和
C级
盈亏型--盈亏型
C级
两者容斥--基础题
测试情况
不考虑测试情况
“繁分数”教学步骤
“繁分数”教学步骤
秦兴;文金声;孙炼;郭神付;宋祖铨;郑远俊;徐井琛
【期刊名称】《湖南教育：上旬》
【年(卷),期】1992(000)008
【摘要】二、自学课本,从"一个数"起,自学到都是"繁分数"止.自学后,引导学生抽
象出以下两点知识:①一个分数,它的分子、分母里又含有分数的,叫做繁分数;②繁分数与最简分数相比,它们都有分子、分母和分数线,都和除法有相同的关系,但繁分数的分子、分母里又含有分数,它不只有一条分数线.三、化简指导.重点指导学生观察、分析繁分数分子和分母的特点,选取不同的化简方法,以培养学生思维的灵活性和敏
捷性.1.分子、分母中只含一个数的,利用分数与除法的关系或者分数的基本性质化
简较简便.如:
【总页数】1页(P46-46)
【作者】秦兴;文金声;孙炼;郭神付;宋祖铨;郑远俊;徐井琛
【作者单位】[1]山西长治市城区教研室;[2]湘西自治州教科所;[3]沅陵县教研室;[4]临武县教研室;[5]临湘县教研室;[6]新宁县教研室;[7]新宁县金石镇藕塘小学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.对一类繁分数化简的教学 [J], 钟立新
2.教学一得——从繁分数定义中的顿号引来的思考 [J], 张星北
3.关于“繁分数”教学的几点意见 [J], 洪国镛
4.繁分数第一课时教学设计 [J], 李春海
5.繁分数例3的教学设想 [J], 周百林
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繁分数的化简技巧
繁分数的化简技巧黄浦区江南中学 徐颖浩（邮编：200011）(一) 繁分数化简的基本方法： 例１（１）14576 （２）576（３）1457 １、可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式。
解：（１）7614576=÷76145=×512514= （２）76576=÷765=×35651= （３）71457=÷7145=×598514= ２、利用分数的基本性质，去掉分子、分母上分数的分母后化为最简分数。
一般情况下，分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分母的最小公倍数。
解：（１）51214145147614576=⨯⨯= （２）35675776576=⨯⨯= （３）598141451471457=⨯⨯= （二）繁分数化简的常用技巧1、化带分数为假分数：繁分数中的分子或分母若含有带分数，则把带分数化为假分数再化简。
2094018153815563856322511-=-=⨯⨯-=-=-2、化小数为分数：繁分数中的分子或分母若含有小数，则一般可把小数化成分数再化简。
51153204320203432034315.0-=-=⨯⨯-=-=-3、化分数为小数：繁分数中的分子或分母部分所含有的分数可化为有限小数，则可把分子或分母中的分数化为小数再化简。
51751575.015.04315.0-=-=-=-4、化小数为整数：若分子、分母都是小数还可以利用分数的基本性质，分子与分母同时扩大相同的倍数，把小数化成整数再化简。
3236246.34.2-=-=-5、化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分数化简方法进行化简。
繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。
（１）37020672016720167204205646351413221=⨯=÷==-+=-+ （２）412121115.75.152.026.075.35.12175.152.026.0433211=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯6、化多层为单层：化简复杂的繁分数要学会分层化简。
繁分数计算方法
繁分数计算方法繁分数，也称为复分数，是数学中的一种特殊数形式。
它由一个有理数和一个虚部组成，通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部。
繁分数在代数学和电路理论等领域有重要应用。
本文将介绍繁分数的计算方法，从基本运算到特殊运算，逐步进行详细说明。
一、基本运算1. 繁分数的加法：将两个繁分数的实部与虚部分别相加，得到结果的实部和虚部。
假设有两个繁分数A=3+2i，B=1+4i，首先将它们的实部相加：3+1=4，然后将它们的虚部相加：2+4=6，因此A+B=4+6i。
2. 繁分数的减法：将两个繁分数的实部与虚部分别相减，得到结果的实部和虚部。
假设有两个繁分数A=3+2i，B=1+4i，首先将它们的实部相减：3-1=2，然后将它们的虚部相减：2-4=-2，因此A-B=2-2i。
3. 繁分数的乘法：将两个繁分数按照复数乘法法则相乘，得到结果的实部和虚部。
假设有两个繁分数A=3+2i，B=1+4i，按照复数乘法法则进行计算：(3+2i)(1+4i)=3+12i+2i+8i^2，化简后得到：3+12i+2i-8=3+14i-8= -5+14i，因此A*B= -5+14i。
4. 繁分数的除法：将两个繁分数按照复数除法法则相除，得到结果的实部和虚部。
假设有两个繁分数A=3+2i，B=1+4i，按照复数除法法则进行计算：(3+2i)/(1+4i)=((3+2i)(1-4i))/((1+4i)(1-4i))，化简后得到：(3+2i-12i-8)/(1-16i^2)，进一步化简为：(-5-10i)/(17)，所以A/B=(-5/17)+(-10/17)i。
二、特殊运算1. 繁分数的共轭：将繁分数的虚部取负数，得到共轭繁分数。
假设有一个繁分数A=3+2i，将它的虚部取负数，得到共轭繁分数：A*=3-2i。
2. 繁分数的模：将繁分数表示的复数看作平面上的向量，可以用勾股定理计算繁分数的模，即平面上的长度。
假设有一个繁分数A=3+2i，根据勾股定理：|A|=√(3^2+2^2)=√(9+4)=√13。
繁分数
一、繁分数的概念
所谓繁分数就是，分数的分子或分母中又 含有分数的，繁分数是更复杂的分数，在繁分 数中，用较长的分数线分出分子部分和分母部 分，这较长的分数线我们称它为主分数线。
பைடு நூலகம்
4 1 5
2 3
主分数线
7 1 1 4 18 2 6 1 3 5 13 - 3 3 4 16
例2. 化简下面的繁分数
7.2 0.85 4.2 0.84 3.4 5.4
把分子、分母部分同时扩大10000倍（小数点向右移动四位）
7.2 0.85 4.2 72 85 42 5 0.84 3.4 5.4 84 34 54 3
1 0.96 4 0.8 由于分子部分和分母部分小数的位数不 同，所以以小数位数多的为准。（分子、 2 分母同时扩大10000倍） 0.9 0.03 1 0.96 4 0.8 0.96 4.5 0.8 96 45 8 2 128 0.9 0.03 0.9 0.03 9 30
1
1 12 1 5 29 29 2 2 2 12 12 12 5 5
1
1
例1. 化简下面各题。 四、例题选讲 7 1 11 1 4 4 3 3 12 7 7 7 15 5 1 7 12 15 12 7 4 4 1 4 1 1 11 5 5 33 15
1 例 3. 化简 1
1
11 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 2 11 1 1 2 2 1 11 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 11 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 12 2 1 11 2 1 1 2 3 12 1 1 3 3 2 11 1 1 3 1 11 1 1 3 1 3 4 1 1 3 3 11 3 4
分数四则混合运算及繁分数的化简(教案)
分数四则混合运算及繁分数的化简（教案）分数四则混合运算及繁分数教师：杨苏圆教学目标1．掌握分数四则混合运算的运算顺序，并能正确地计算分数四则混合运算式题。
2．掌握繁分数的化简方法，熟练对繁分数进行化简。
3．提高学生的知识迁移类推能力、逻辑推理能力及计算能力。
教学重点和难点掌握分数四则混合运算的运算顺序，繁分数的化简方法，养成良好的学习习惯，提高做题的正确率。
教学过程一、课前谈话、引入课题师：同学们，假如（）这是教室门，［］这是学校大门。
等一会儿放学时，我们要先出哪个门口？再出哪个门口？我们肯定要先出教室门,然后才能走出校门,对吧？生活中做事要有先后，在数学学习中，很多时候也要讲究顺序。
比如这一节课我们要学习的内容之一“分数四则混合运算”。
（板书课题）二、探究新知－－－分数混合运算3272?14?1 1、出示例1：1??811205⑴全体读题⑵这个算式中含有几级运算？回顾上学期香香老师的课堂，请大家告诉我，第一级是什么运算？那么第二级呢？应该先算什么？后算什么？（根据学生回答，用“�恪北瓿鲈怂闼承颍�2、出示例2：3???41??513?4?17?10??3????3?2??1?8??1224?7?1812?17?观察：这个算式与上一个算式相比有什么不同？应该先算什么？后算什么？（请两人说，并做标记）3、那么按照我们刚才说的顺序，我们一起做下这两道题目。
做完题目后，看看谁最仔细，发现了什么规律，谁来说说分数四则混合运算的顺序是什么。
它与整数四则混合运算相同吗？贴板书：分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算相同。
口述：有括号的先算小括号，再算中括号里的；没括号的先算乘除（第二级运算），后算加减（第一组运算）；同级的从左往右算。
5、练习：书本第294页第12题（2）、（4）小题。
同桌互相说运算顺序，再独立完成。
请两个学生板演。
三、探究新知－－－繁分数的化简1、看到课题，请同学们朗读一次，那就是繁分数的化简问题。
数学北师大版六年级下册繁分数及其应用
《繁分数及其应用》教学设计中科大附中 冯发祥教学目标：认识繁分数，理解繁分数的意义，会化简简单的繁分数，品尝繁分数在简便计算中的作用，灵活采用繁分数的方法解决特特定类型的实际问题。
激发对初中生活的一丝期待和向往。
教学重点：理解繁分数的意义。
教学难点：主分数线的另一项功能——“括号”的作用。
教学准备：多媒体课件，一把教学尺（用于画主分数线）。
教学过程：1.组织教学，互动形式，轻松话题从分数开始引出繁分数。
屏幕呈现各种类型的从未见过的特殊分数。
例1：分子分母仅含分数（3个）；例2：分子分母含有算式的；例3：分子分母含有小数连乘的；例4：机动见识一下连环分数。
给他取个名字——繁分数。
“繁”组词：繁杂，繁琐，繁忙，繁难，繁华…… 但愿不是烦恼的“烦”。
2.什么叫繁分数？在展示若干繁分数的基础上口语化的归纳出繁分数的概念——分子或分母中，又含有分数或算式的分数叫做繁分数。
3.认识各部分的名称，分子部分主分数线分母部分4.读出这些繁分数。
如：三分之二分之……九分之四（读到主分数线时要拖长音）；分子部分是二分之一加三分之一的和，分母部分是一减去四分之三乘三分之二的积。
5.繁分数可以化简。
思考依据——分数的基本性质，或将主分数线改成除法（此为一般方法）。
化简练习，同上4例。
例1：分子分母仅含分数；例2：分子分母含有算式的；例3：分子分母含有小数连乘的；例4：机动见识一下连环分数。
6.常规计算当中的繁分数方法简算（师生比赛的形式）例5：2017×63×10÷（2017×7×5） （先常规方法计算）小学初中衔接研究课= 1270710÷70595= 18×63×10÷（2017×7×5） （繁分数方法计算）2017×63×102017×7×5= 18学生评价对比。
例6：解比例45：x=15：7X=21学生评价。
小六奥数繁分数的运算
精锐讲义编号：学员编号: 年级：小六课时数：3学员姓名辅导科目：奥数学科教师：课题繁分数的运算授课时间：备课时间教学目标教学目标：能够利用简单的分数运算定律进行复杂的繁分数的运算教学内容繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数． 3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．1．计算：71147 182621358 1333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=712372317 461224 1488128 131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.4 1.6910()52719950.5199519(65.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x 等于多少?【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有11131118821x 4+==+++，所以18222133x 4+==++；所以13x 42+=，那么x =1.25．5．求944,43,443,...,44...43 个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44...43++ 个= 1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个= 104444444...44...49++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++- 个=1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++-- 个=914111.1009=49382715919⨯- 个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)( 2.25)3104⨯+【分析与解】原式 1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 【分析与解】 因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l ，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。
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分析：仔细观察，可以发现，分子和分母能够变成相同的一个算式。将分母1998×1999-1可以变形为1997×1999+（1999-1）=1997×1999+1998，与分子的式子完全相同，可以通过约分，算出最后的值。
解答：原式=
=1
说明：这道题表面看来数字非常大，计算很复杂，但通过观察不难发现可以将分子或分母变形后，简便计算。看来，拿到一道计算题后，也要认真观察，仔细审题，运用技巧进行计算。这样，使计算变得简单多了。
=3
第一讲 繁分数（教师版）
课题
第一讲 繁分数
授课时间及时段：2013-9-710-12
教学内容
分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数。繁分数的运算过程就是化简的过程，要分别对分子和分母逐步进行计算，这需要扎实的基本功：概念清楚，运算迅速正确，而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法，化“繁”为“简”。
例1计算
分析：象这样迭塔式繁分数是繁分数计算的基本类型，这样的题目处理的方式可以从最下面的分母开始逐层进行计算，另外，在计算中可以利用倒数的概念直接将分子、分母根据算出结果。
解答：原式=
例2已知：，则a=（）
分析：这类题可以通过倒推的方法进行解答。将分母中的繁分数通过层层设为X，然后根据法则进行解答。
例6计算：
分析：观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循。分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相减，可以根据减法性质将括号打开进行计算。
解答：分母=（1+2+3+…+10）×2-10=100
分子=2
=
=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+（100-99）（ห้องสมุดไป่ตู้00+99）
=3+7+11+…+199
=（3+199）×50÷2
=101×50
所以，原式==
说明：在繁分数计算时,不要一味”傻算”、”硬算”，可以先找规律，再运用学过的各种运算技巧进行计算。另外，本例应用了一个非常重要的代数公式平方差公式，即：。下一讲中将对它进行更详细的介绍。
阅读材料
战争中的数学撷趣（一）
1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染，满天烟尘，阳光不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态与经济后果。五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果。这对美国军方计划海湾战争起了相当的作用，所以有人说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(为原子弹)，而海湾战争是数学战争。”
=567×354+568
所以，原式=1
6．计算：
解答：原式=
7．计算：若，则=？
解答：[ ]=
8．计算：
解答：原式=
说明：关键是找出分子、分母的公约数10101。
9．计算：若1-=，那么()四个中
的数的乘积是多少？
解答：原式左边=
==
所以四个（）中的数的乘积是：1×6×7×7=294
10．
解答：原式=
练习题
1．计算：
解答：原式
=
2．计算：
解答：原式=
3．已知：，求a=？
提示：此题可用倒推法解答，a=2。
4．计算：
解答：原式：由于567+345×566
=567×345+（567-345）
=567×345+222
所以，原式=1
5．计算：
解答：原式：分母568×354=567×345+（345+223）
例5
分析：在这道题目中，分母都含有算式，我们不妨先将分母进行计算整理，看一看能不能发现规律。然后考虑运用一些计算的法则、技巧算出结果。
解答：原式=
=
=2×（）
=2×（）
=2×（）
=
说明：有些题目一开始虽然看不出能利用简便方法进行计算，我们可以先按照计算的顺序进行计算整理，在计算过程中，随时发现可以简便计算时再进行简便计算。例如此题，开始时完全按照计算的方法将分母进行计算整理，然后，根据分数与除法的关系，将此题转变为分子是2的繁分数，再根据乘法分配率，将2提出，再将括号中进行整理后，得到结果。
解答：设=，解得1+=，=
又设=，解2+=，=
即：=，解a =
例3若1- =，那么四个（）中的数的和是多少？
分析：观察题目左右两边，左边可以计算出结果，然后连
续利用倒数关系逐个求出（）中的数。
解答：原式左边=
原式右边=
所以：四个（）中的数的和是：1+1+2+2=6
说明：繁分数计算中，经常运用倒数关系进行计算。