材料力学-第7章 弯曲变形

其中C、D为积分常数。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-3
计算梁位移的积分法
－ 挠度曲线微分方程的积分与积分常数的确定
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
转角方程
M x dw dx C dx EI l
挠度方程
M x w dx dx Cx D EI l l
x
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
例题 1
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。 均布载荷集度为q ，梁的弯曲 刚度为EI 、长度为l。q、EI 、 l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角 方程，以及最大挠度和最大转 角。
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§7- 3 计算梁位移的积分法 w O x
dw 0 dx
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§7- 3 计算梁位移的积分法
1 3 EIw ' EI q l x C 6 1 4 EIw q l x Cx D 24
ql 3 C , 6 ql 4 D 24
解： 5． 确定挠度与转角方程
w

材料力学
第七章 弯曲变形
材料力学－第7章 弯曲变形
引言 上一章中，我们对梁弯曲情况下的应力进行计算，并学习 了如何进行强度设计。在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲 成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此， 对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件进行设计时， 除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变 形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。 另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形， 以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这 种情形下也需要研究变形。 此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方 程。
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§7- 3 计算梁位移的积分法 w O
x
解：2．建立梁的弯矩方程 1 2 M ( x) q l x 2 3． 建立微分方程并积分
0 x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
1 2 EIw" M q l x 2
材料力学－第7章 弯曲变形
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
美国科罗拉多大峡谷著名的U形悬桥，距谷底1200多米，桥身全长约49米， 宽3米多，桥体自崖壁向外伸出21米。悬桥使用了454吨钢梁，能够抵御80 公里外发生的里氏8级地震以及最高速度为每小时160公里的大风。
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引言
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过 大时 ( 图中虚线所示 ) ，两齿轮的啮合处将 产生较大的挠度和转角，这就会影响两个 齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在 转动的过程中产生很大的噪声。 此外，当轴的变形很大时，轴在支承 处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承 的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿 命。
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 1. 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程 的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程; 2. 在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形 的 叠加法;
3. 讨论简单的静不定梁的求解问题; 4. 梁的刚度设计和合理刚度条件.
材料力学－第7章 弯曲变形
1



3
2
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§7-2 挠曲轴近似微分方程
挠曲轴近似微分方程
dw 1 dx
2
小挠度情形下
d2w dx 2 dw 1 d x
2
1



3
2
M EI
d2w M 2 dx EI
M ＝ EI
w
M0
1
( x)
( x)
ML
x
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§7-2
挠曲轴近似微分方程
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
挠曲轴近似微分方程
力学中的曲率公式
M EI
d2w dx 2 dw 1 d x
2
1
数学中的曲率公式
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引言
在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不 是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强 度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
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§7- 3 计算梁位移的积分法
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指 约约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和活动铰支座处 约束条件为挠度等于零：w = 0;
F
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§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1．建立Oxw坐标系
建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分 布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
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§7- 3 计算梁位移的积分法 解：2．建立梁的弯矩方程
x
M(x)
FS(x) 从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力， 考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑 右侧部分的平衡，得到弯矩方程： 1 2 M ( x) q l x 0 x l 2
dw dx w＝ w（x）， 称为挠度方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（deflection equation）。
( x)
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
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挠度曲线
* 梁的曲率与弯矩、刚度之间的关系
根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一 点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存 在下列关系：
问题2： 如何计算梁的弯曲变形
－如何将梁承受的荷载与变形联系起来
M
M
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挠度曲线
* 梁的挠度曲线
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
( x) ( x)
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与 w坐标的取向有关。
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§7-2 挠曲轴近似微分方程
w
dw 0, M 0 2 dx
2
O
x
d2 w 0, M 0 2 dx
O
x
d2w M 2 dx EI
w
d2w M 2 dx EI
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例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
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§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
# 在小变形情形下，上述位移中，水
平位移u与挠度w相比为高阶小量，故 通常不予考虑。
( x)
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
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挠度曲线
* 挠度与转角的相互关系
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在关系：
dw tan dx
在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
§7- 3 计算梁位移的积分法 w O
x
3． 建立微分方程并积分
1 2 EIw" M q l x 2
积分后，得到
1 3 EIw ' EI q l x C 6 1 4 EIw q l x Cx D 24
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挠曲轴近似微分方程
d2w M 2 dx EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程 M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠 度方程与转角方程： M x dw dx C dx EI l
M x w dx dx Cx D EI l l
q 4 l x 4l 3 x l 4 24 EI
q 3 l x l3 6 EI
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§7- 3 计算梁位移的积分法
w

q 4 l x 4l 3 x l 4 24 EI
q 3 l x l3 6 EI
( x)
( x)
M
M
w
x
x
w( x)
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挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
1. 横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示； 2. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转 角（slope），用表示； ( x)
§7-2 挠曲轴近似微分方程
采用向上的w坐标系，有
w
d2w M 2 dx EI
O
x
各物理量的正负方向：
挠度： 坐标轴正向为正（向上），负向为负（向下） 转角： 向挠度正方向偏转为正（向上），负向偏转为负（向下） 弯矩： 使微段产生上凹变形为正，上凸变形为负
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§7-2 挠曲轴近似微分方程
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
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挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
3. 横 截 面 形 心 沿 水 平 方 向 的 位 移 ， 称 为 轴 向 位 移 或 水 平 位 移 （horizontal displacement），用u表示。
解： 6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和 转角均为最大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：
wmax ql 4 wB 8EI
max
ql 3 B 6 EI
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§7- 3 计算梁位移的积分法
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指 约束对于挠度和转角的限制： 在固定端处 挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。
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§7- 3 计算梁位移的积分法
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指 约束对于挠度和转角的限制： 连续条件： 梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因 此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、 转角对应相等：w1= w2，θ1＝θ2等等。 F
§7- 3 计算梁位移的积分法
1 3 EIw ' EI q l x C 6 1 4 EIw q l x Cx D 24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为：
x 0，w 0 x 0， =
ql 3 C , 6 ql 4 D 24