材料力学-第7章 弯曲变形
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材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学：第七章 弯曲变形
刚度设计依据
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
材料力学 第7章 弯曲变形
M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个
北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形
3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25
第七章 弯曲变形
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
1 M ( x) 力学公式 ( x) EI z d2y 1 dx2 数学公式 3 ( x) dy 2 2 [1 ( ) ] dx 1
，得：
以上两式消去
材料力学
d2y M ( x) dx2 3 EI z dy 2 2 [1 ( ) ] dx
材料力学
x 0, y A 0
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, yB lBD
FBy h EA
FBy k
弯曲变形/用积分法求梁的变形
讨论：
（1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
B L x
A
x L时，yB 0.
材料力学
弯曲变形/用积分法求梁的变形 若B支座改为弹簧支撑，则： y A a
L
若B支座改为拉杆支撑，则： D B kx A a
L
F
C
b
F C b
EA
h
x 0, y A 0
B
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, y B
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI y1 EI 1 x C1 , EI y2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
材料力学教程-7.弯曲变形
数据处理
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
材料力学 第七章 弯曲变形
，
FA
3FP 4
(↑)
3FP
FP
FC
FP 4
(↑)
4
4
明德行远 交通天下
材料力学
（2）分段列梁的弯矩方程
AB段：
M1(x)
3 4
FP x
0x l 4
3
l
BC段：
M 2 ( x)
4
FP x
-
FP (x
-
) 4
l xl 4
（3）积分法求梁的挠曲线
挠曲线近似微分方程
EI
d 2w1 dx2
=
-
M1(x)
-
wC- wC
P
A （b）
图（b）： wA 0 A 0
或写成w C
左
wC右
光滑条件
C- C
或写成 C 左 C 右
明德行远 交通天下
材料力学
讨论： ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可求解各种载荷作用下等截面或变截面梁上任意位置处的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、光滑连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
（2）
EIzw=EIz = -
q(x)dx3
1 2
C1x2
C2
x
C3
（3）
明德行远 交通天下
材料力学
例题7-1如图所示，受集中荷载的简支梁AC。已知EI、l、FP。试写出梁的挠 度方程和转角方程，并求截面A和C处的转角及B截面处的挠度。
明德行远 交通天下
y
FP
A
B
θA wB
l 4
EI
3l 4
C
θC
第7章 梁的弯曲变形与刚度(2)
7.7 梁的刚度7.7.1 梁的刚度条件计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。
工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：⎩⎨⎧≤≤][][maxmax θθw w （7-10） 其中，m a x)(m a x x w w =，max)(max x θθ=分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w ，][θ分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。
工程中][θ通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：mlw =][ 是大的自然数）是梁长，m l ( 上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。
7.7.2 刚度条件的应用与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。
（1）校核刚度给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。
计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。
很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。
（2）计算许可载荷给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。
如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。
（3）计算许可截面尺寸给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。
如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。
例7-21 如图7-41（a ）所示的梁，其长度为m 1=L ，抗弯刚度为25Nm 109.4⨯=EI ，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
EI
将其相继积分两次，得
q q d 2 w 3qa x x2 x a 4 2 2 dx 2
2
dw 3qa 2 q 3 q 3 x x xa C dx 8 6 6 qa 3 q 4 q 4 EIw x x x a Cx D 8 24 24 EI
3．确定积分常数
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
0
EI
将其相继积分两次，得
d2w M e x Me x a dx 2 2 a
0
dw M e 2 x Me x a C dx 4 a M M 2 EIw e x 3 e x a Cx D 12a 2 EI
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为：
(a) (b)
(a) (b)
6
梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 在x 2a处， w0 将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得
D 0，C 3qa 3 16
(c) (d)
4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
1 qa 3 q 4 q [ x x xa EI 8 24 24 由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为 w
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
材料力学第7章第二部分
弯曲
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。
载荷的简化： 集中荷载，集中力偶，分布荷载
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲ห้องสมุดไป่ตู้
一端是固定铰支约束，另一 端可动铰支约束，为简支梁
简支梁的计算简图
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲
一端为固定约束，另一端自 由，即没有约束，为悬臂梁
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程 M z M z ( x ) 弯矩方程
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程
剪力图
M z M z(x)
弯矩方程
弯矩图
步骤：沿坐标为x的横截面将梁截开，取出其中一段，分 别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力 FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，即剪力方程FQ(x)和弯矩方程 M(x)。 练习: 确定图中所示梁的剪力 方程和弯矩方程矩图。
Mc 0 M z 2 2.5 2 1.5 2 1 2kN m
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变 化的，描述这种变化的数学表达式
Fs y Fs y ( x ) M z M z ( x)
M＝0
FSy x ＝qx FRA＝qx－
qlx qx 2 M x ＝ － 2 2
ql 2
0 x l
0 x l
第7章 3） 确定剪力方程和弯矩方程
弯曲
解：
ql Fs y ( x ) qx 2 (0 x l )
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
x=l
∴y =−
'
∴D = 0
y=0
∴C =
− M 0l 6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞ ∴θ = y = − ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
− M 0l 2 l ；此时挠度最大 f = 3 9 3EJ 2 ⎛ l ⎞ − M 0l 中点挠度 y ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 EJ − M 0l Ml θA = θB = 0 6 EJ 3EJ （b）解： 设中点为C点，则分析CB段
''
C2 = −
D2 = −
a4 24
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引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
3. 横 截 面 形 心 沿 水 平 方 向 的 位 移 ， 称 为 轴 向 位 移 或 水 平 位 移 （horizontal displacement），用u表示。
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与 w坐标的取向有关。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
w
dw 0, M 0 2 dx
2
O
x
d2 w 0, M 0 2 dx
O
x
d2w M 2 dx EI
w
d2w M 2 dx EI
材料力学－第7章 弯曲变形
# 在小变形情形下，上述位移中，水
平位移u与挠度w相比为高阶小量，故 通常不予考虑。
( x)
( x)
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 挠度与转角的相互关系
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在关系：
dw tan dx
在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
x
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
例题 1
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。 均布载荷集度为q ，梁的弯曲 刚度为EI 、长度为l。q、EI 、 l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角 方程，以及最大挠度和最大转 角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法 w O x
§7- 3 计算梁位移的积分法
1 3 EIw ' EI q l x C 6 1 4 EIw q l x Cx D 24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为：
x 0，w 0 x 0， =
ql 3 C , 6 ql 4 D 24
§7-2 挠曲轴近似微分方程
采用向上的w坐标系，有
w
d2w M 2 dx EI
O
x
各物理量的正负方向：
挠度： 坐标轴正向为正（向上），负向为负（向下） 转角： 向挠度正方向偏转为正（向上），负向偏转为负（向下） 弯矩： 使微段产生上凹变形为正，上凸变形为负
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
( x)
( x)
M
M
w
x
x
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
1. 横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示； 2. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转 角（slope），用表示； ( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 1. 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程 的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程; 2. 在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形 的 叠加法;
3. 讨论简单的静不定梁的求解问题; 4. 梁的刚度设计和合理刚度条件.
材料力学－第7章 弯曲变形
解：1．建立Oxw坐标系
建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分 布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法 解：2．建立梁的弯矩方程
x
M(x)
FS(x) 从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力， 考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑 右侧部分的平衡，得到弯矩方程： 1 2 M ( x) q l x 0 x l 2
M ＝ EI
w
M0
1
( x)
( x)
ML
x
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2
挠曲轴近似微分方程
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
挠曲轴近似微分方程
力学中的曲率公式
M EI
d2w dx 2 dw 1 d x
2
1
数学中的曲率公式
问题2： 如何计算梁的弯曲变形
－如何将梁承受的荷载与变形联系起来
M
M
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 梁的挠度曲线
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
( x) ( x)
dw dx w＝ w（x）， 称为挠度方程（deflection equation）。
( x)
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 梁的曲率与弯矩、刚度之间的关系
根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一 点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存 在下列关系：
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
美国科罗拉多大峡谷著名的U形悬桥，距谷底1200多米，桥身全长约49米， 宽3米多，桥体自崖壁向外伸出21米。悬桥使用了454吨钢梁，能够抵御80 公里外发生的里氏8级地震以及最高速度为每小时160公里的大风。
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过 大时 ( 图中虚线所示 ) ，两齿轮的啮合处将 产生较大的挠度和转角，这就会影响两个 齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在 转动的过程中产生很大的噪声。 此外，当轴的变形很大时，轴在支承 处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承 的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿 命。
§7- 3 计算梁位移的积分法 w O
x
3． 建立微分方程并积分
1 2 EIw" M q l x 2
积分后，得到
1 3 EIw ' EI q l x C 6 1 4 EIw q l x Cx D 24
材料力学－第7章 弯曲变形
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指 约束对于挠度和转角的限制： 在固定端处 挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指 约束对于挠度和转角的限制： 连续条件： 梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因 此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、 转角对应相等：w1= w2，θ1＝θ2等等。 F
1
3
2
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
挠曲轴近似微分方程
dw 1 dx
2
小挠度情形下
d2w dx 2 dw 1 d x
2
1
3
2
M EI
d2w M 2 dx EI
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法 w O
x
解：2．建立梁的弯矩方程 1 2 M ( x) q l x 2 3． 建立微分方程并积分
0 x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
1 2 EIw" M q l x 2
材料力学－第7章 弯曲变形
材料力学－第7章 弯曲变形
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
3. 横 截 面 形 心 沿 水 平 方 向 的 位 移 ， 称 为 轴 向 位 移 或 水 平 位 移 （horizontal displacement），用u表示。
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与 w坐标的取向有关。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
w
dw 0, M 0 2 dx
2
O
x
d2 w 0, M 0 2 dx
O
x
d2w M 2 dx EI
w
d2w M 2 dx EI
材料力学－第7章 弯曲变形
# 在小变形情形下，上述位移中，水
平位移u与挠度w相比为高阶小量，故 通常不予考虑。
( x)
( x)
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 挠度与转角的相互关系
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在关系：
dw tan dx
在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
x
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
例题 1
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。 均布载荷集度为q ，梁的弯曲 刚度为EI 、长度为l。q、EI 、 l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角 方程，以及最大挠度和最大转 角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法 w O x
§7- 3 计算梁位移的积分法
1 3 EIw ' EI q l x C 6 1 4 EIw q l x Cx D 24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为：
x 0，w 0 x 0， =
ql 3 C , 6 ql 4 D 24
§7-2 挠曲轴近似微分方程
采用向上的w坐标系，有
w
d2w M 2 dx EI
O
x
各物理量的正负方向：
挠度： 坐标轴正向为正（向上），负向为负（向下） 转角： 向挠度正方向偏转为正（向上），负向偏转为负（向下） 弯矩： 使微段产生上凹变形为正，上凸变形为负
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
( x)
( x)
M
M
w
x
x
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
1. 横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示； 2. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转 角（slope），用表示； ( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 1. 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程 的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程; 2. 在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形 的 叠加法;
3. 讨论简单的静不定梁的求解问题; 4. 梁的刚度设计和合理刚度条件.
材料力学－第7章 弯曲变形
解：1．建立Oxw坐标系
建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分 布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法 解：2．建立梁的弯矩方程
x
M(x)
FS(x) 从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力， 考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑 右侧部分的平衡，得到弯矩方程： 1 2 M ( x) q l x 0 x l 2
M ＝ EI
w
M0
1
( x)
( x)
ML
x
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2
挠曲轴近似微分方程
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
挠曲轴近似微分方程
力学中的曲率公式
M EI
d2w dx 2 dw 1 d x
2
1
数学中的曲率公式
问题2： 如何计算梁的弯曲变形
－如何将梁承受的荷载与变形联系起来
M
M
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 梁的挠度曲线
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
( x) ( x)
dw dx w＝ w（x）， 称为挠度方程（deflection equation）。
( x)
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 梁的曲率与弯矩、刚度之间的关系
根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一 点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存 在下列关系：
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
美国科罗拉多大峡谷著名的U形悬桥，距谷底1200多米，桥身全长约49米， 宽3米多，桥体自崖壁向外伸出21米。悬桥使用了454吨钢梁，能够抵御80 公里外发生的里氏8级地震以及最高速度为每小时160公里的大风。
材料力学－第7章 弯曲变形
引言
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过 大时 ( 图中虚线所示 ) ，两齿轮的啮合处将 产生较大的挠度和转角，这就会影响两个 齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在 转动的过程中产生很大的噪声。 此外，当轴的变形很大时，轴在支承 处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承 的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿 命。
§7- 3 计算梁位移的积分法 w O
x
3． 建立微分方程并积分
1 2 EIw" M q l x 2
积分后，得到
1 3 EIw ' EI q l x C 6 1 4 EIw q l x Cx D 24
材料力学－第7章 弯曲变形
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指 约束对于挠度和转角的限制： 在固定端处 挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
小挠度微分方程的积分和积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指 约束对于挠度和转角的限制： 连续条件： 梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因 此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、 转角对应相等：w1= w2，θ1＝θ2等等。 F
1
3
2
材料力学－第7章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程
挠曲轴近似微分方程
dw 1 dx
2
小挠度情形下
d2w dx 2 dw 1 d x
2
1
3
2
M EI
d2w M 2 dx EI
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法 w O
x
解：2．建立梁的弯矩方程 1 2 M ( x) q l x 2 3． 建立微分方程并积分
0 x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
1 2 EIw" M q l x 2
材料力学－第7章 弯曲变形
材料力学－第7章 弯曲变形