第1章 习题解答

第1章

信号与系统分析导论习题详解

1-1 试指出下列各信号类型。

t

t

(a)

(b)

k

t

(c)

(d)

k

(e) (f)

题1-1图

【解】 可以从不同的角度对信号进行分类，主要分为确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号等。

(a) 信号是个确定、连续、周期信号、功率信号（周期信号和直流信号为功率信号）。 (b) 信号是确定、连续、非周期信号、能量信号。 (c) 信号是确定、离散、非周期、能量信号 (d) 信号是确定、连续、非周期、能量信号

(e) 信号是随机、离散、非周期、功率信号（随机信号为功率信号）。 (f) 信号是随机、连续、非周期、功率信号。

1-2 给定一个连续时间信号为

其他11 0|

|1)(≤≤⎩

⎨⎧−=t -t t f 分别画出以0.25s 和0.5s 的取样间隔对f (t )均匀取样所得离散时间序列的波形。

【解】

信号可以是连续的或者是离散的，有的离散信号本身就是离散的，有的离散信号是连续信号经过抽样得到的。 =][k f kT

t t f =)

(][kT f =，T 是抽样间隔。

若，s T 25.01==][1k f 0.25()

t k

f t =

2 信号与系统学习指导及习题详解

所以 =][1k f }4,3,2,1,0,1,2,3,4;

0,25.0,5.0,75.0,1,75.0,5.0,25.0,0{−−−−=k 。

若，20.50T s ==][2k f 0.5()t k f t =，

所以 =][2k f }2,1,0,1,2;0,5.0,,1,5.0,0{−−=k 。 f (t )，f 1[k ]， f 2[k ]的波形如图1-1所示。

t

k

k

图1-1 题1-2解答图

1-3 设f 1(t )和f 2(t )是基本周期分别为T 1和T 2的周期信号。证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为(m 、n 为正整数) T nT mT ==21 【解】

证：设)()()(21t f t f t f +=的周期为T ，则存在

)()()(21T t f T t f T t f +++=+)()()(21t f t f t f +==

而 12112()()()()2f t f t f t mT f t nT +=+++， 所以有

12mT nT T ==

1-4 设f 1[k ]和f 2[k ]是基本周期分别为N 1和N 2的周期序列。证明][][][21k f k f k f +=是周期为N 的周期序列的条件为(m 、n 为正整数) N nN mN ==21 【解】

证：设12[][][]f k f k f k =+的周期为N ，则存在

12[][][]f k N f k N f k N +=+++12[][][]f k f k f k ==+ 而 12112[][][)[)2f k f k f k mN f k nN +=+++， 所以有

12mN nN N ==

1-5 试判断下列信号是否是周期信号。若是，确定其周期。 (1) t t t f π+=sin 62sin 3)( (2) 2

)sin ()(t a t f =(3) ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛π+=42cos )(t t f (4) 0,2cos )(≥π=t t t f

(5)

(6) ]

)4/[(][π−=k j e

k f ()2[]cos π/8f k k =

(7) ()()[]cos /2cos π/4f k k k = (8) ()()()[]cos π/4sin π/82cos π/2f k k k k =+− 【解】

(1) 信号的周期为t 2sin 1πT =，信号t πsin 的周期为22=T ，根据题1-3的结论，没有一个数既是有理数又是无理数，所以 t t t f π+=sin 62sin 3)(为非周期信号。

第1章 信号与系统分析导论 3

(2)2

)sin ()(t a t f =)2cos 1(2

2

t a −=，是周期信号，且周期T =π。

(3) 正余弦信号的相位不影响其周期性，所以信号是周期信号，且周期T =π。 (4)

0,2cos )(≥π=t t t f 周期信号必须在区间()t −∞<<+∞上满足()()f t f t T =+，所以此信号为非周期信号。 (5) 如果离散的虚指数和正弦信号是周期的，则有02m

N

πΩ=，M 、N 是整数。 由于，

4/10=Ωπ

π81

20=Ω是个无理数，所以此信号是非周期信号。

(6) ()2[]cos π/8f k k =(1cos π/42k =

+)，此时0π/4Ω=，012π8

Ω=， 所以信号是周期信号，且周期N =8。

(7) ()()[]cos /2cos π/4f k k k =()()11

cos π/41/2cos π/41/222

k k =++−

由于信号()cos π/41/2k +和()cos π/41/2k −都是非周期信号，故是非周期信号。

][k f (8) 信号是三个周期信号之和，三个信号周期分别为 N ][k f 1=8，N 2=16，N 3=4，

所以信号是周期信号，且周期N =16。

][k f

1-6 已知复指数信号，其角频率为ωt

j e t f 0)(ω=0，基本周期为02π/T ω=。如果对f (t )以取样间隔T s 进行均匀取样，得到离散时间序列，试求出使f [k ]为周期信号

的取样间隔T s

kT j s e

kT f k f 0)(][ω==s 。

【解】 连续周期的虚指数信号经过等间隔取样得到的离散虚指数信号不一定是周期的，若为周期离散信号，则取样间隔T s 必须满足一定的条件。

假设虚指数信号是周期的，则存在s kT

j s e kT f k f 0)(][ω==02πm N

Ω=（M ，N 是整数）。

由于s T 00ω=Ω，所以有02πs T m N ω=，可得02πs m T N ω=N

mT

=。

1-7 已知正弦信号 t t f 20sin )(=，

()t −∞<<+∞(1) 对f (t )等间隔取样，求出使f [k ] = f (kT s )为周期序列的取样间隔T s 。 (2) 如果T s = 0.15π，求出f [k ] =f (kT s )的基本周期。 【解】

(1) 正弦信号与虚指数信号是同类信号，利用题1-6的结论可得

f [k ] = f (kT s ) ，如果f [k ]是周期的，则s kT 20sin =02πs m T N ω=

π

10m N =。 (2) 如果T s = 0.15π，则有

π

0.1510m N π=，即 N

m =23，由于2，3不可约， 故T s = 0.15π时对应的离散正弦信号的基本周期为N =2。

1-8 试判断下列信号中哪些为能量信号，哪那些为功率信号，或者都不是。