第二章-解析函数(1)

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第二章解析函数

第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。

例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。

证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。

第二章解析函数

在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）。如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析函数f (z)在z0可导二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求、和的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数总结：

第二章解析函数

z x iy 处可微且满足C-R条件
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微），则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。解因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有

第二章解析函数演示文稿

第一节导数
充分条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处
满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
第二章解析函数演示文稿
优选第二章解析函数
第一节导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某
点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
第一节导数
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z) 在区域B内可导
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1 2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处处不可导
可导必连续
第一节导数
求导法则
d dz
1
2
d1
dz
d2
dz
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部兰:虚部
第二节解析函数
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数

机械工业出版社复变函数与积分变换第章解析函数

定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y 上述条件满足时,有
0, x 0, y
0时 0时
不
存
在!
故函数f (z) x 2 yi处处不可导.
第八页，编辑于星期五：十一点十九分。
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
证明
(z z) Re( z z) z Re z
lim
z0
z
lim z Re( z z) z Re z
z0
z
lzi m0
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系. 当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导
使得当0
z
,时,有
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
,
令z
f (z0 z) z
f (z0 )
f
(
z0
),则
lim
z0
z
0,
由此可得f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z zz,
lim
z0
f (z0 z)
f (z0 ),所以f (z)在z0连续
第二十七页，编辑于星期五：十一点十九分。

【复变函数】第二章解析函数(工科2版)

(1) f ( z ) = | z |2
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件所以在z=0处可导处处不解析. 所以在处可导, 处处不解析处可导
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【例3】讨论下列函数的解析性可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为则f(x)在D内为一个常数】在内处处为在内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y

第二章解析函数

③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处（1）可微；（2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0

解析函数

x
y
欲使 u v , u v , x y y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
例8 如果 f (z) 在区域 D 内处处为零 , 则 f (z) 在
区域 D 内为一常数.
证 Q f (z) u i v v i u 0, x x y y
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
2、解析函数的概念及其运算
定义2.2 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可导, 那末称 f (z) 在 z0 解析. 如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是区域 D内的一个解析函数 ( 全纯函数或正则函数 ) .
x iy
x iy
1 i y
1
i
x y
1 ik 1 ik
x
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim h(z0 z) h(z0 )不存在.
z0
z
因此 h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都不可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
(1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D内的各一阶偏导数都存在、连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数的充要条件可以断定 f (z) 在 D内解析.
(3) f (z) 常数;
(4) f (z)解析;

第二章解析函数Analyticfunction第一讲

第二章解析函数（Analytic function）第一讲授课题目：§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系.学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题二：1-12作业布置：51板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：§2.1 解析函数的概念(The conception of analytic function )一、复变函数的导数（Derivative of complex function ）定义（Definition ）2.1 设)(z f w =是在0z 的某邻域内有定义，对于邻域内任一点z z ∆+0.如果zz f z z f o z ∆-∆+→∆)()(lim 00 存在有限的极限值复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作)('0z f ，或0z z dz dw=. 即z z f z z f z f z ∆∆∆)()(lim )('0000-+=→0)z ( |)(|)('0→+=∆∆∆∆z o z z f w 由此可得()()()dzz f z df z z f z z f z z f 00000 )()(''=记作处可微。

复变函数与积分变换答案-第2章解析函数

11 27、第二章解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。

- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。

4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。

1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续，处不连续。

f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。

uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。

z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。

解析函数

第二章解析函数解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．§1．解析函数的概念1．导数与微分导数定义：设)(z f w=，D z ∈（区域），D z ∈0．若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则称)(z f 在0z 处可导，记为)(0z f '，00 ,z z z z dz dfdz dw ==．若)(z f 在区域D 内处处可导，称 )(z f 在D 内可导．例1．求32)(2+=z z f 的导数．解：z z z zz z z z z f z z f z f z z z 4)Δ2(2 lim ]32[]3)(2[lim )()(lim )(0 220 0 =+=∆+-+∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆，)(C z ∈．（处处可导）．例2．问 yi x z f 3)(+= 是否可导 )(iy x z +=？解：z z z ∆+→，x x x ∆+→，y y y ∆+→，y i x z ∆+∆=∆．yix yix z yi x i y y x x z z f z z f z z z ∆+∆∆+∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆3 lim ]3[])(3)[(lim )()(lim0 0 0．设z z ∆+ 沿平行于x 轴方向趋于z ，则0=∆y ，极限为 1lim 3lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x xyi x yi x x z ；设z z ∆+ 沿平行于y 轴方向趋于z ，则0=∆x ，极限为33lim 3 lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yiyi yi x yi x y z ．所以yi x z f 3)(+= 的导数不存在，无处可导．可导与连续的关系：函数可导⇒连续；但函数连续≠⇒可导．证：“可导⇒连续”．设)(z f 在0z 可导，则 0 0, >∃>∀δε，当 δ<∆<z 0 时，ερ<'-∆-∆+=∆)()()(000z f zz f z z f ．因此，0lim 0 =→∆ρz ．而z z z f z f z z f ∆⋅+∆'=-∆+ρ)()()(000，所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆，)(z f 在0z 连续． “连续≠⇒可导”．见例2．求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记． (1) )( ,0)(C c c ∈='； (2) ) ( , )(1N n z n z n n ∈='-；(3))()(])()([z g z f z g z f '±'='±； (4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='；(5) ) 0)g( ( ,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z g z g z f z g z f z g z f ； (6))()(})]([{z g w f z g f ''='，其中)(z g w =；(7) )(1)(z f w '='ϕ，其中)(z f w =是)(w z ϕ= 的反函数，0)(≠'z f ．微分：若)(z f 在0z 可导，则 )()()()(000z o z z f z f Δz z f w ∆⋅+∆'=-+=∆，定义dz z f dw )(0'=．2．解析函数定义：(a ) 若)(z f 在0z 的某一邻域) ,(0δz U 内可导，称)(z f 在0z 处解析； (b ) 若)(z f 在区域D 内的每一点解析，称)(z f 在D 内解析；(c ) 若)(z f 在0z 不解析，称0z 为)(z f 的一个奇点．注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点 0z 处可导，并不意味着在0z 处解析．例1．讨论32)(21+=z z f 和 yi x z f 3)(2+= 的解析性．解：)( ,4)(11z f z z f =' 在复平面上解析，称为全纯函数；)(2z f 处处不可导，无处解析． y例2．讨论函数 )1(1+=z z w 的解析性．解：当1 0-≠≠z z 及时， w 可导：22)1()12(++-=z z z dz dw ． x 所以，在除0=z 及1-=z 外的复平面上，)(z f w = 解析．而1 0-==z z 和是w 的两个奇点．称函数)(z f w = 为亚纯函数．定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数．结论：多项式在C 内处处解析；有理分式函数)()()(z Q z P z f = 在分母不为零的区域内解析．§2．函数解析的充要条件判断复函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 是否解析，有如下的充要条件．定理．函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在iy x z += 处可导的充要条件是：) ,(y x u 、) ,(y x v 在点 ) ,(y x 处可微，并且满足Riemann Cauchy－方程： xvy u y v x u , ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂．此时，有导数公式x y y x v i v iu u z f )(+=-='．（证略）注：(1) 若) ,(y x u 、) ,(y x v 在D 内具有一阶连续偏导数，且满足R C －方程，则)(z f 解析；(2) 将点改成区域D ，便得)(z f 在D 内解析的充要条件．例1．判断下列函数是否解析． (1)z z f =)(；(2))sin (cos )(y i y e z f x +=．解：(1)iy x z z f -==)(，y v x u -== ,． 100 ,1-====y x y x , v , v u u ．y x v u ≠，不满足R C －方程，故z z f =)( 无处可导，无处解析．(2)y e u x cos =，y e v x sin =．由于⎪⎩⎪⎨⎧-=-===x x yy xx v y e u v y e u sin cos ， )(z f 处处解析，全纯函数．例2．证明：若在区域D 内0)(='z f ，则 c z f ≡)(（复常数）．证：000 )( i v i v iu u z f x y y x +==+=-='，故0====y x y x v v u u21 c , v c u ≡≡⇒ c ic c z f Δ=+≡⇒21)( ．例3．函数 iy x z f -=2)( ) (iy x z += 在何处连续？何处可导？何处解析？解：y v x u-== ,2，二元初等函数，处处连续，所以)(z f 处处连续． -⎪⎩⎪⎨⎧=-==-===0012x y y x v u v x u R , y x ∈-=⇒21．故)(z f 仅在直线 21-=x 上可导，1)(-='z f ．但直线不含邻域，所以)(z f 无处解析．§3．初等函数1．指数函数：复变数指数函数：)sin (cos exp )( y i y e e e e e z z f x y i x y i x z +=⋅====+．它等价于关系式：x z e e = 及 πk y e Arg z2)(+=．故0≠z e ．z e z f =)( 具有性质：(1))()(z f z f ='，)(z f 在C 内解析；(2) 若0)Im(==z y ，x e z f =)(；若 0)Re(==z x ，y i y e z f i y sin cos )(+==；(3)ze服从加法定理：2121z z z z ee e+=⋅，2121z z z z e e e -=；(4) ze以i k 2π为周期：) ( , 2 2Z k e e e ez i k z ik z ∈=⋅=+ππ．例1．计算 22πi e+．大写整数集Z解：22222sin 2cos ie i e ei =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πππ．2．对数函数定义：指数函数 0)( ,≠=z z e w 的反函数称为对数函数．记作) ,() ,()(y x iv y x u z f w +==，而 θi re z =．则θi iv u re e =+，故θ===r, v u e r u ln ,．这样，对数函数为 ) 0( , ln ≠=+=∆z z Ln iArgz z w （多值函数）．若Argz 取主值，记 z i z z arg ln ln +=，称为 z Ln 的主值．其它分支可表为 ) 0 ( , 2ln ≠∈+=Z, z k i k z z Ln π．称为z Ln 的单值分支．特别，当x z x z ln ln , 0=>=时（实对数函数）．运算性质：2121 )(Lnz z Ln z z Ln +=，2121Lnz z Ln z z Ln -=．例1．求3 Ln ，)1( -Ln ，i Ln 以及相应的主值．解：i k Ln 23ln 3π+=，)(Z k ∈；主值为3ln ；i k iArg Ln )12()1(1ln )1( π+=-+=-，)(Z k ∈；主值为i )1ln(π=-；i k iArgi i i Ln )212( ln π+=+=，)(Z k ∈；主值为i i 2ln π=．对数函数的连续性与解析性：对于z i z zarg ln ln +=，当 0≠z 时，z ln 连续，而z arg 则在原点与负实轴上不连续，故除原点与负实轴外，z ln 处处连续．w e z = 在区域 ππ<<-z arg 的反函数z w ln =单值，由反函数的求导法，有：ze dw de dz dw z w w11)(ln 1==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='-．因此，在除去原点与负实轴的复平面内 z ln 解析， z ln 的每个单值分支也解析，且 zLnz 1)(='． 3．幂函数定义：)(ln z iArg z Lnz z Ln ee ez w +====αααα，（α0,≠z 为复常数）．由z Ln 的多值性，i k z Lnz e e e w 2ln απαα⋅==， )(Z k ∈．可见，αz 也是多值函数（当α不是整数），幂函数的解析性：由于Lnz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，由复合函数的解析性知，αz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，且111 )()(---⋅=⋅=⋅='='ααααααααz z z z e e z Lnz z Ln ．例1．求21和i i )1( - 的值．解：ik iArg Ln e ee 22)1 1(ln 21221π===+，)(Z k ∈．)2ln sin 2ln (cos )1(2 4) 2ln 2 4()4i 22ln ( )1( i eeeei k i k i k i i Ln i i +====--+--+-ππππππ，)(Z k ∈．4．三角函数与双曲函数由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---)(21sin )(21cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθi i i i i i e e i e e i e i e ，称为Euler 公式．定义：)(21sin ),(21cos z i z i z i z i e e iz e e z ---=+=． zz z cos sin tan =；zzctg sin cos =；z z cos 1sec =； zz s i n 1c s c =．z z cos )(sin ='，z z sin )(cos -='，处处解析．大多数三角公式对于z z cos ,sin 成立．双曲余弦：)(21cosh zz e e chz z -+==；双曲正弦：)(21sinh z ze e shz z --==；双曲正切：zz zz e e e e chz shz thz z --+-===tanh ．以上函数均在定义域（分母不为零处）内可导并且解析． 5．反三角函数与反双曲函数三角函数的反函数称为反三角函数．w z sin = 的反函数称为反正弦函数．下求之．由)(21sin iw iw e e iw z --==，得 iwe 的二次方程：012)(2=--iw iw ize e ，根为：21z iz e w i -+=，（21z - 为双值函数）．所以)1( sin 2z iz Ln i z Arc w -+-==．反余弦函数：)1( cos 2-+-=z z Ln i z Arc ；反正切函数：izizLn i Arctgz -+-=112．双曲函数的反函数称为反双曲函数．它们是：反双曲正弦：)1( 2++=z z Ln Arshz ；反双曲余弦：)1( 2-+=z z Ln Archz ；反双曲正切：z1z 1 21-+=Ln Arthz ．它们都是多值函数．在复变函数中，常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数等七类函数称为复基本初等函数．复初等函数：由复基本初等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算，能由一个式子表示的函数称为复初等函数．如：ze z tgz w +=2，z e w z ln sin +=，等等．。

02_解析函数

导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) u v v u i i dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v v 1 du , d
举例
dez z e dz
u u v v Ey , Ex Ex , Ey x y x y u v u v , C-R条件 x y y x 静电场的复势 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) v v E Ex iE y gradv i i F ( z ) x y
d 1 12 12 2 dz 2 2
d dz 1 d dz
dF ( ) dF d dz d dz
说明
反之则不成立
如果函数 f(z)在区域 D内的每一点可导，则称f(z)在区域 D内可导
可导
连续

C-R条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定
根式函数
wn z
i arg z 2 k n
由于z的n次方根为wn n z n | z |e
(k 0,1,2,, n 1)
n
且辐角具有多值性，因此根值函数wn
z为n值函数
第四节解析函数的应用——平面场的复势

用复变函数刻画平面向量场
我们说某一个向量场是一个平面场，并不是指这个场中所有的向量都定义在某一平面内，而是指所有的向量都平行于某一固定的平面，而且在垂直于的任一条直线上所有的点处，向量的大小和方向都相同。这样，向量场就可以用平面上的向量场来表示。如果我们用复数表示平面上的向量，那么场就惟一地确定了一个复变函数

解析函数

第二章解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２初等解析函数 §3 初等多值解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
１．复变函数的导数与微分
定义2.1 设函数 w f ( z ) 在点 z0 的邻域内D （或含 z0的区域
内）有定义，若极限存在，则称此极限为函数 f ( z )在点 z0 的导数，记为 f ( z0 ) 这时也称 f ( z ) 在点 z0 可导
例2.3 设多项式P( z) an z n an1z n1 a0 (an 0) ，则由基本性质（１）知， P( z ) 在
z
平面上解析，且
n1 n 2 P ( z) nan z (n 1)an1z a1
对于参数方程
z (t ) x(t ) iy(t ) (t [ , ]) ，则可直
[ f1 ( z) f2 ( z)] f1( z) f 2( z)
[ f1 ( z) f 2 ( z)] f1( z) f 2 ( z) f1 ( z) f 2( z)
f1 ( z ) f1( z ) f 2 ( z ) f1 ( z ) f 2( z ) [ ] f2 ( z) [ f 2 ( z )]2
定理2.2 设 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 则在 D f ( z ) 内一点充要条件是：内有定义，
z x 可微（或在 iy
内解析）的 D
（１） u ( x, y ) ，v( x, y )在点 ( x,
y) （或在 D 内）可微；
v( x, y ) 在点（２） u ( x, y ) ，
( x, y )（或在 D 内）满足C-R条

复变函数-第二章-解析函数

23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e

Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数.即
把满足 e w z( z 0)的函数 w f (z) 称为对数函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续且满足方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为整数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一

解析函数

由（2）结论成立.
求函数的奇点
求函数的奇点，方法有：
第二章解析函数
(1) f (z) 的不连续点为函数的奇点；
(2) f (z) = u + iv ， u ，v不可微的点为函数的奇点；
(3) f (z) 的不可导的点为函数的奇点；
(4) 不满足C-R条件的点为函数的奇点；
(5) 不满足解析定义的点为函数的奇点.
0
函数f (z) 在z0可导
函数f (z) 在z0连续
3.求导法则
第二章解析函数
复变函数的求导法则完全类似于实变函数的求导法则. 如果f (z)和g(z)在区域D内可导，则： (1) ( f (z) g(z))' f '(z) g'(z)
(2) [ f (z)g(z)]' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
vx 2cx dy , vy dx 2 y
由C-R方程： ux
v
，
y
uy
vx
2x ay dx 2y
ax 2by (2cx dy) a 2 , b 1, c 1, d 2
所以当 a 2 , b 1, c 1, d 2 时， f (z)在复平面内处处解析.
第二章解析函数
第二章解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象. 介绍复变函数导数概念和求导法则. 重点介绍解析函数的概念及判别方法. 介绍一些常用的初等函数及其解析性. 第一节解析函数的概念
本章内容第二节函数解析的充要条件第三节初等函数
第二章解析函数
第一节解析函数
• 一．复变函数的导数和微分 • 二．解析函数的概念
则f (z) 在D内为常数.

解析函数

0
充分条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续满足C-R条件
x x0 y y0
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
意义
可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。
柯西—黎曼条件的应用
(d)
g ( z) 0
f g ( z )
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在区域B内可导：
kx
的趋向得到不同的值，故原函数在z0=0 处不可导。本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可能不可导．那么C-R条件还需加上什么条件才能保证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件 .
定理
设函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f (z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与 v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足CauchyRiemann(柯西—黎曼)方程
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , r r v 1 du r r d
三、解析函数的概念
1、定义若函数w=f (z)在点z0的及其邻域内处处可导，则称函数w=f (z)在点z0处解析。若函数w=f (z)在区域D内处处可导，则称函数w=f (z) 在区域D内解析，或称f (z)是区域D内的解析函数。若w=f (z)在点z0不解析，则称点z0为w=f (z)的奇点。

解析函数基础

第二章解析函数基础复变函数研究的对象，主要是解析函数，它是一类具有某种特性的可微函数，在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章先引进复变函数的可微和解析及其判别的充要条件，研究调和函数与解析函数的关系，再把实变量初等函数推广到复变函数中来，并说明其解析性质.第一节复变函数的导数一、导数和微分把实变函数导数推广到复变函数时,有如下定义.定义1 设函数)(z f w =在区域D 内有定义,+∈00,z D z D z ∈∆ ,若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim 000 存在，则称)(z f 在0z 处可导，并称此极限为)(z f 在0z 处的导数，记为)(0z f '或0z z dz dw =即 z z f z z f dz dw z f z z z ∆-∆+=='→∆=)()(lim )(00000. 该定义也可用 δε- 语言叙述为:对任意给定的,0>ε存在,0>δ使得当δ<∆<z 0时，总有ε<'-∆-∆+)()()(000z f zz f z z f . 复变函数导数定义与实变函数导数定义在形式上没有区别，但由于在复平面上0→∆z 即00z z z →∆+的方式是任意的，它比在数轴上00x x x →∆+复杂的多,因而两者在实质上有很大的不同.若)(z f w =在区域D 内每一点可导，则称)(z f 在D 内可导. 例1 求2)(z z f =的导数. 解 zz z z z z f z z f z f z z ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆2200)(lim )()(lim )( z z z z 2)2(lim 0=∆+=→∆. 例2 问iy x z f +=2)(是否可导？解 y i x yi x i y y x x z z f z z f y x z ∆+∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆)2()()(2lim )()(lim 000 y i x y i x y x ∆+∆∆+∆=→∆→∆2lim 00. 当0→∆=∆x k y 时，上式为ikik ++12随k 变化而变化，故极限不存在，因而)(z f 在复平面内处处不可导. 这个例子说明，处处连续而又处处不可导的函数，这在实变函数里很难找到这样的函数，而在复变函数中却很容易构造出来.在一元实函数中，在一点可导必在该点连续，而连续却不一定可导.这个结论对复变函数仍然成立.事实上，由)(z f 在点z 处可导得，对任意ε，存在,0>δ当δ<∆<z 0时，有ε<'-∆-∆+)()()(z f zz f z z f . 令)()()()(z f zz f z z f z '-∆-∆+=∆ρ，则0)(lim 0=∆→∆z z ρ. 因此 z z z z f z f z z f ∆∆+∆'=-∆+)()()()(ρ,于是 )()(lim 0z f z z f z =∆+→∆, 即)(z f 在点z 处连续.类似于实变函数，复变函数中也有微分概念.定义2 若函数)(z f =ω在点z 的改变量可写成z z z z A z f z z f ∆∆+∆=-∆+=∆)()()()(ρω，其中0)(lim 0=∆→∆z z ρ，z z ∆∆)(ρ是z ∆的高阶无穷小，则称)(z f 在点z 处可微，而z z A ∆)(称为)(z f 在点z 处的微分，记为z z A d ∆=)(ω.由定义容易推出， )()(z f z A '=.当z z f =)(时，z dz ∆=，所以)(z f 在点z 处的微分又常记为dz z f z df d )()('==ω.可见, 在复变函数中,可导与可微也是等价的.把实函数的求导公式与法则推广到复变函数中来，有(1) 0)(='c ，其中c 为复常数;(2) 1)(-='n n nz z 其中n 为正整数;(3) )()(])()([z g z f z g z f '±'='±;(4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='; (5) ());0( )]([)()()()())()((2≠'-'='z g z g z g z f z g z f z g z f (6) {})()()]([z g f z g f ''='ω，其中)(z g =ω; (7) ,)(1)(ωϕ'='z f 其中)(z f =ω与)(ωϕ=z 是两个互为反函数的单值函数，且0)(≠'ωϕ.二、函数在一点可导的充要条件从以上我们看到，在形式上，复变函数的导数及其求导法则与实函数几乎没有什么不同，可是在实质上，两者之间有很大的差别. 实函数可微这一条件较易满足，而复变函数可微则不但其实部和虚部必需可微，且实部和虚部有特别的联系. 本书着重研究这样的复变函数，它们具有重要的性质.定理一函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内点iy x z +=处可导的充要条件是),(y x u 与),(y x v 在点),(y x 处可微，且在该点满足柯西—黎曼方程. ,x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 证必要性令21,)(ρρρβαi i z f +=+='，由导数定义，当0,≠∆∈∆+z D z z 时z z z f v i u z f z z f ∆+∆'=∆+∆=-∆+ρ)()()()(y x i y x ∆+∆+∆-∆=αββα)(2121x y i y x ∆+∆+∆-∆+ρρρρ 比较实部及虚部，得y x y x u ∆-∆+∆-∆=∆21ρρβα；y x y x v ∆+∆+∆+∆=∆12ρραβ.由0)(lim 0=∆→∆z z ρ，有.0lim ,0lim 20100==→∆→∆→∆→∆ρρy x y x 故v u ,可微，且有. ,xv y u y v x u ∂∂-=∂∂=-∂∂=∂∂=βα 充分性设v u ,在点),(y x 处可微，则,,4321y x y y v x x v v y x y y u x x u u ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆εεεε 这里 0lim 0=→∆→∆k y x ε，)4 ,3 ,2 ,1(=k . 由柯西—黎曼方程，令xv y u y v x u ∂∂-=∂∂=-∂∂=∂∂=βα,, 则 vi u z f z z f ∆+∆=-∆+)()( ,)()())(()()()(42314231y i x i y i x i y i x i y x i y x ∆++∆++∆+∆+=∆++∆++∆+∆+∆-∆=εεεεβαεεεεαββα 于是 zy i z x i i z z f z z f ∆∆++∆∆+++=∆-∆+)()()()(4231εεεεβα. 因为,1,1≤∆∆≤∆∆z y z x 所以 y u i y v x v i x u i z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=+='βα)(. 例3 讨论22)(iy x z f +=的可导性.解令 ,,22y v x u ==则 y yv x v y u x x u 2,0,0,2=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂. 因为上述四个偏导数在复平面内处处连续，故v u , 可微，且y u x v ∂∂-==∂∂0，但仅当x y =时有,y v x u ∂∂=∂∂而在其它点处yv x u ∂∂≠∂∂. 所以22)(iy x z f +=仅在直线x y =上可导，在复平面内其它点处不可导.在直线x y =上的导数为x iv u z f x x 2)(=+='.例4 问)Re()(z z z z f +=是否可导?解令 ,,2xy y v x x u +=+= 则v u ,在复平面上可微.又 .1 0 ,21x yv y x v y u x x u +=∂∂=∂∂=∂∂+=∂∂，，且当0,0==y x 时有x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ ,. 所以)(z f 只在0=z 处可导，在复平面内其它点处不可导.第二节解析函数一、解析函数概念定义1 若函数)(z f 在点0z 及其某一邻域内可导，则称)(z f 在0z 解析. 若)(z f 在区域D 内处处可导，则称)(z f 在区域D 内解析，或称)(z f 为区域D 内的解析函数.例如，2)(z z f =为复平面内的解析函数. 又如，)Re()(z z z z f +=在00=z 处不是解析的. 因为它只在00=z 处可导，而在其它点处不可导.函数的不解析点，称为函数的奇点.由解析定义，)(z f 在点0z 可导与)(z f 在点0z 解析不是同一个概念. 在0z 解析必在0z 可导，而在0z 可导则不一定在0z 解析. 但在区域内，函数可导与函数解析则是等价的.例1 研究函数2)(z z f =的解析性.解 ,)(222y x z z f +== ,),(22y x y x u += 0),(=y x v .x x u 2=∂∂ ， y y u 2=∂∂， 0=∂∂xv ， 0=∂∂y v . ),(),,(y x v y x u 可微，但只有当0,0==y x 时，才有,y v x u ∂∂=∂∂ x v y u ∂∂-=∂∂，而在复平面其它点，柯西——黎曼方程不成立. 由可导的充要条件得，)(z f 只在0=z处可导，在其它点处不可导. 由解析定义，它在复平面内处处不解析.例2 研究函数zz f 1)(=的解析性.解 )(z f 在0=z 处无定义，在0≠z 处，容易求得21)(z z f -='，所以)(z f 在除去0=z 点的复平面上处处解析.由解析的定义及导数的四则运算与复合函数的求导法则，有下面的结论：定理二(1) 在区域D 内解析的两个函数，它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）仍为D 内的解析函数.(2) 解析函数的复合函数仍为解析函数.二、函数解析的充要条件要判断函数)(z f =ω在区域D 内是否解析，关键在于判断函数)(z f =ω在区域D 内是否可导. 由)(z f =ω在一点可导的充要条件，我们不难得到函数在区域D 内解析的充要条件.定理三函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是),(y x u 与),(y x v 在D 内可微并且满足柯西—黎曼方程. ,xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 例3 判断函数)sin (cos )(y i y e z f x +=的解析性.解令y e y x u x cos ),(= ， y e y x v xsin ),(=，则 y e xu x c o s =∂∂ ， y e y u x sin -=∂∂， y e xv x s i n =∂∂ ， y e y v x c o s =∂∂. 所以y v x u ∂∂=∂∂ ，xv y u ∂∂-=∂∂，且),(y x u ，),(y x v 偏导数连续，因而可微. 故)(z f 为复平面内的解析函数，其导数为)()sin (cos )(z f y i y e xv i x u z f x =+=∂∂+∂∂=' 例4 若),(),(y x iv y x u +=ω为区域D 内的解析函数，则ω一定能单独用z 表示. 证若把)(21)(21z z iy z z x -=+=，代入),(y x u 与),(y x v 中，则ω就是z 与z 的函数. 要证明结论，只需证ω中不含z 就可以了.因为 )(21)(21y v i y u i x v i x u z y y z x x z∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ωωω 0)(2)(21≡∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=yu x v i y v x u ，所以ω中不含z ，即ω的表达式中只含有z ，不含z . 而不解析的函数如z z iy x z f 21232)(+=+=中却不能单独用z 表示，)(z f 中还含有z . 例5 若)(z f 在区域D 内解析，且)(z f 恒为常数，则)(z f 也为常数.证设,)(iv u z f += )(z f =c , 则222c v u =+(c 为实常数)，且 0 ,0=+=+y y x x vv uuvv uu . 由)(z f 解析，有 x y y x v u v u -== ,代入上两式，得⎩⎨⎧=-=+.0,0x xx x uv vu vv uu当系数行列式0)(22≠+-v u 时，方程组只有零解，即0,0==x x v u ,由柯西--黎曼方程，也有0,0==y y v u .也就是说，v u ,对y x ,偏导数均为零，故u 与v 均为常数. 当系数行列式0)(22=+-v u 时，有0,0==v u .因此)(z f 为常数.例6 若iv u z f +=)(在区域D 内解析，0)(≠'z f ,则曲线族21),(,),(c y x v c y x u ==在区域D 内正交，其中1c 与2c 为任意实常数.证设21),(,),(c y x v c y x u ==的交点为),(y x .由于0)(≠-=+='y y x x iu v iv u z f ，故y u 与y v 不同时为零.若y u ,y v 都不为零，则曲线1),(c y x u =在),(y x 处切线斜率y x u k -=1，曲线2),(c y x v =在),(y x 处切线斜率为y x v v k -=2.由柯西-黎曼方程，有 1))((21-=--=y x y x v v u u k k ，所以两曲线正交.若y y v u ,中有一个为零，则另一个必不为零，此时两曲线在交点),(y x 处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，两曲线仍正交.第三节调和函数平面静电场中的电位函数，无源无旋的平面流速场中的势函数都是一种特殊的二元函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切联系.定义1 若函数),(y x u 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程 02222=∂∂+∂∂y u x u .则称),(y x u 为区域D 内的调和函数，或说),(y x u 在区域D 内调和.下面用定理说明解析函数与调和函数关系.定理四在区域D 内的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是区域D 内的调和函数.证因为iv u z f +=)(在D 内解析，所以v u ,满足柯西--黎曼方程 yv x u ∂∂=∂∂ ， x v y u ∂∂-=∂∂. 下一章将证明，解析函数具有任意阶导数，因而v u ,均有任意阶连续导数，对上式再求一次偏导数，得 x y v x u ∂∂∂=∂∂222 ，y x v yu ∂∂∂-=∂∂222. 又 yx v x y v ∂∂∂=∂∂∂22，所以 02222=∂∂+∂∂yu x u . 同理 02222=∂∂+∂∂yv x v ，因此),(y x u 与),(y x v 是D 内的调和函数.定义2 设),(y x u 与),(y x v 均为区域D 内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程y v x u ∂∂=∂∂ ，xv y u ∂∂-=∂∂ 则称v 为u 的共轭调和函数.显然，由定义，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.若v u ,在区域D 内调和，iv u z f +=)(不一定是D 内的解析函数，但若v 是u 的共轭调和函数，则)(z f 在D 内一定解析.下面举例说明，已知调和函数),(y x u ,如何构造解析函数iv u z f +=)(或已知u 的共轭调和函数v ，如何求解析函数iv u z f +=)(.例1 设xy y x y x u +-=22),(,求共轭调和函数),(y x v 及解析函数iv u z f +=)(. 解方法一因为yu x v ∂∂-=∂∂x y -=2，对上式关于x 积分，得 )(212),(2y c x yx y x v +-=，其中)(y c 是任意实函数.要求)y (，x v ，还需确定)(y c . 又 xu y v ∂∂=∂∂ ，所以 y x y c x +='+2)(2.于是 1221)(c y y c +=, 其中1c 是任意实常数. 因此 12221212),(c y x xy y x v ++-=，且 ),(),()(y x iv y x u z f += 12222)21212()(ic y x xy i xy y x ++-++-= 12)2(21ic z i +-=. 方法二由v u ,可微，得dy u dx u dy v dx v dv x y y x +-=+=dy y x dx x y )2()2(++-=.对上式从)0,0(沿x 轴到)0,(x ，再从)0,(x 到),(y x 的直线段上积分，得),(y x v =⎰-x dx x 0)(+⎰+ydy y x 0)2(1c + 12222121c xy y x +++-=，(1c 为任意实常数). 则 12222)22121()()(ic xy y x i xy y x z f +++-++-=. 方法三由导数公式得y x x x iu u iv u z f -=+=')()2(2x y i y x +--+=z i )2(-=.显然 2)2(21)(z i z g -=的导数z i z g )2()(-='，从而得 c z i c z g z f +-=+=2)2(21)()(. 因为),(y x u 中不含常数，所以c 为纯虚数，即1ic c =，其中1c 为任意实数.则 12222121) (c xy y x y x v +++-=，. 方法四由第二节中例4，解析函数),(),()(y x iv y x u z f +==ω一定能单独用z 表示这一特征可以将),(),(y x iv y x u +很方便地写成z 的表达式，只需在iy x z z f +==),(ω中令0=y ,则有)()0()(x f x f z f =+==ω也就是说)(z f 与)(x f 的对应规律相同.将)(x f 中的x 换成z ,得)(z f =ω.如在方法一中求到),(),()(y x iv y x u z f +=，要把iv u +写成关于z 的表达式，只需在)(z f 中令0=y ,得 12122)2(212)(ic x i ic x i x x f +-=+-=，把x 换成z ，就有12)2(21)(ic z i z f +-=.下面用这种方法求出本例的),(y x v ,先求)(z f .因为 )2(2)(x y i y x iu u z f y x +--+=-='，令0=y ,即x z =, 得ix x x f -='2)(. 显然 c ix x x f +-=2221)(，将x 换成z ,得 c z i z f +-=2)2(21)(. 由于u 中不含任意常数，故iv u z f +=)(中的c 是任意纯虚数，把iy x z +=代入)(z f ，易得),(y x v .此方法方便简单又不易出错，特别是v u ,表达式复杂而要求)(z f 时，更显出这种方法的优越性.第四节初等函数下面把实变量基本初等函数推广到复数域上来，在复数域内这些函数的定义和实数域内的定义不同，并且会出现一些新的特征.一、指数函数对于复变数iy x z +=定义)sin (cos )(y i y e z f x +=为复变数z 的指数函数，记为z e ，即)sin (cos )(y i y e e e z f x iy x z +===+.这样定义后， z e 具有与实变量指数函数相类似的性质：(1)z e 是单值函数；(2)对任意复数0 ,≠z e z ；(3)对任意复数1z 与2z ，2121z z z z e e e=+； (4)z z z e z f e e ==')( ,)(在整个复平面上解析.这些性质不难从指数函数的定义得到验证，我们只证明(3)，(4)在第二节例3中已经证明.事实上，令222111,iy x z iy x z +=+=,则)()(212121y y i x x z z e e ++++=)]sin()[cos(212121y y i y y e x x +++=+)sin (cos )sin (cos 221121y i y e y i y e xx ++=2211iy x iy x e e ++=21z z e e =. 由z e 的定义，z e 具有周期i k π2,即对整数k ,有)()2sin 2(cos )2(2z f e k i k e ei k z f z z i k z ==+==++ππππ，这是z e 与x e 不同的一个显著特征.当iy z =时，由ze 定义，得到欧拉公式 y i y e iy sin cos +=.二、对数函数设0≠z ,把满足w e z =的w 称为复变数z 的对数函数，记为Lnz ，即Lnz w =.令θi re z =,iv u w +=,则由w e z =得iArgz i iv u e z re e ==+θ 于是 z r u ln ln == ， πk z Argz v 2arg +==(k 是任意整数)，所以复数域上的对数函数Lnz 有如下的代数表达式 i k z i z iArgz z Lnz z f πω2arg ln ln )(++=+===，其中z ln 是实数域中的自然对数，k 是任意整数.由于Argz 的多值性，Lnz 是一多值函数，k 取每一个确定的整数，都可得到一单值函数，称为Lnz 的一个分支.0=k 时的单值分支称为Lnz 的主值，记为z ln ，即 z i z z arg ln ln +=.显然z ln 是x ln 在复平面上的推广，且i k z Lnz π2ln +=.例1 计算)1(),(),1(i Ln i Ln Ln ---及其主值.解 i k i k i Ln ππ)12(2)1arg(1ln )1(+=+-+-=-， i k i k i i i i Ln ππ)212(2)arg(ln )(-=+-+-=-，i k i k i i i i Ln ππ)412(2ln2)1arg(1ln )1(-+=+-+-=- 上述式子中的k 为整数，当0=k 时，对数主值为 i i i i i πππ412ln 21)1ln( ,21)ln( ,)1ln(-=--=-=-. 例2 计算22 ,22Ln Ln 的值.解 ,2,1,0,22ln 224arg 4ln 22±±=+=++=k i k i k i Ln ππ…，,2,1,0,42ln 2)22arg 2(ln 222±±=+=++=m i m i m i Ln ππ….上例说明，当m k 2=为偶数时，22Ln 才与2ln 2相等.在集合相等意义下，对数函数有下列运算性质：(1)2121)(Lnz Lnz z z Ln +=； (2)2121Lnz Lnz z z Ln -=. 对任意复变数z ，z arg 除原点与负实轴外处处连续，由于ωe z =和z ln =ω是一对互为单值的反函数，由反函数的求导法则，可知ze e z 11)(1)(ln =='='ωω. 又对Lnz 的每一分支，zz i k z Lnz 1)(ln )2(ln )(='='+='π，所以Lnz 的每一分支在除去原点与负实轴的复平面上处处解析.三、幂函数函数Lnz e z ααω== α,0(≠z 为复常数)称为复变数z 的幂函数.当0=z 且α为正实数时，规定0=αz .由定义，i k z Lnz e e z παααα2ln +==,2ln i k z e e παα= 2 ,1 ,0±±=k ….由于z e ln α为一单值函数，παπαπαk i k e i k 2sin 2cos 2+=，所以(1)α为整数时，αz 为单值函数；(2)α为有理数nm （既约分数，2≥n ）, αz 有n 个单值分支，即αωz =是多值函数； (3)α为无理数或复数时, αz 是无穷多值函数.特别，当z 为复常数,n n n 1 , ,-=α时, αz 就是第一章中定义的乘幂,负幂,开方等概念.由复合函数求导法则,对αz 的每一分支,有 11)()(-=='='ααααααz ze e z Lnz Lnz . 即αz 的每一分支除去原点与负实轴外, αz 在复平面上处处解析.特别,当n =α (正整数)时,n z 在整个复平面上解析. 当n -=α时,n z - 在除去原点的复平面上解析.例3．计算32i ,i i 的值.解由 )2arg 1(ln 323232i k i i Lni e e i π++== i k e)22(32ππ+=)343sin()343cos(ππππk i k +++= 得32i 的三个值分别为1,2321,2321--+i i . k e e e i k i k i iLni i ,)212()212(ππ+-+===为整数.四、三角函数与双曲函数在指数函数定义中令0=x ，有y i y e iy sin cos +=， y i y e iy sin cos -=-.从而得到 )(21cos ),(21sin iy iy iy iy e e y e e i y --+=-=. 把实变量y 推广到复变量z ，得到复变量z 的正弦,余弦函数，记为z sin 与z cos . 即 )(21cos ),(21sin iz iz iz iz e e z e e i z --+=-=. 由定义，z sin 与z cos 具有如下性质：(1)z sin 与z cos 均为单值函数；(2)z sin 与z cos 均为以π2为周期的周期函数；(3)z sin 为奇函数，z cos 为偶函数；(4)除半角公式外，其它三角恒等式仍成立，即212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±;212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=±； z z z z cos )2sin( ,1cos sin 22=-=+π.(5).sin )(cos ,cos )(sin z z z z -='='即z sin 与z cos 在整个复平面上解析此外，1cos ,1sin ≤≤z z 在复数范围内不再成立.例取iy z =就有 ∞→-=-)(21sin y y e e i iy ，当∞→y 时. ∞→+=-)(21cos y y e e iy ，当∞→y 时. 故 z z cos ,sin 是无界的.因而z sin 与z cos 是无界函数.类似定义其它三角函数如下： .sin 1csc ,cos 1sec ,sin cos cot ,cos sin tan z z z z z z z z z z ====这些函数在分母不为零处解析，且有与实三角函数形式相同的求导公式.与三角函数密切相关的是双曲函数，与一元实函数相同.定义双曲函数为 . ,,2 ,2shzchz cthz chz shz thz e e chz e e shz zz z z ==+=-=-- 由定义可看出，双曲函数的奇偶性和求导公式，以及有关双曲函数的恒等式也与实变函数情形相同，shz 与chz 在复平面上解析且以i k π2为周期.shz chz chz shz ='=')( ,)(.例1 计算)1cos(),(sin 2i i +-的值. 解 4)(2)(sin 212)()(2------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-e e i e e i i i i i 12sh -=. .11sin 11cos 21sin 21cos sin 1sin cos 1cos )1cos(1111sh i ch ie e e e ii i -=--+=-=+-- 五、反三角函数与反双曲函数三角函数的反函数称为反三角函数.设ωsin =z ，则称ω为复变数z 的反正弦函数，记为z Arc sin =ω. 由i e e z i i 2)(sin ωωω--== 有方程012)(2=--ωωize e i .由二次方程求根公式，有21z iz e i -+=ω，其中21z -为双值函数，再对上式取对数，得 )1(sin 2z iz iLn z Arc -+-==ω.同理可以得到.1121),1(),1(,112tan ),1(cos 222zz Ln Arthz z z Ln Archz z z Ln Arshz iziz Ln i z Arc z z iLn z Arc -+=-+=++=-+-=-+-=这些函数都是多值函数.习题二1．用导数定义求zz f 1)(=在0≠z 处的导数. 2．用导数公式求下列函数的导数.nz z f )1()()1(-=； 11)()2(2-=z z f ； 234)()3(z z z f --=； d c d cz b az z f ,()()4(++=中至少有一不为)0. 3．用可导的充要条件讨论下列函数的可导性.z =ω)1(； z =ω)2(；z z 2)3(=ω； )Re()Im( )4(z z z -=ω；4．求下列函数的奇点.411)()1(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=z z z f ； z z z z f )1(12)()2(2++=. 5．下列函数是否解析？ 32)()1(iy x z f +=； )sin (cos )()2(x i x e z f y +=-；(3)xy i y x z f arctan )ln(21)(22++=. 6．试证明柯西—黎曼方程的极坐标形式为 θ∂∂=∂∂v r r u 1 ；θ∂∂-=∂∂u r r v 1. 7．设函数)(z f 在区域D 内解析，且满足下列条件之一，试证)(z f 在区域D 内是一个常数.0)()1(='z f ；=)(Im )2(z f 常数； )()3(z f 在D 内解析；)(arg )4(z f 在D 内是一常数.8．验证下列函数为调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(.i f y x u -=-=)2(,)1(2)1(； 0)2(,)2(22=+=f yx y v ； 0)0(),sin cos ()3(=-=f y y y x e u x ；)4)(()4(22y xy x y x u ++-=；(5)0,arctan >=x xy v . 9．求下列各式的值. 22)1(πi e + ； πik e )2(（k 为整数）；3)3(Ln ； )3ln()4(-；)512ln()5(i + ； i 3)6( ；i i )1()7(+； i sin )8(.10．证明下列恒等式.z z z cos sin 22sin )1(=； z z z 22sin cos 2cos )2(-=； z z cos )2sin()3(=+π； chz iz =cos )4(；xshy i xchy z sin cos cos )5(-=.11．解下列方程.01)1(=+z e ； 0cos sin )2(=+z z ；(3)i z 2ln π=； (4)i shz =.12．设)(,0)(,0)(00z f z g z f ==与)(z g 在0z 可导，且0)(0≠'z g ，则 )()()()(lim 000z g z f z g z f z z ''=→. 13．由12题结论，求下列极限. z z z sin lim )1(0→； zz z )1ln(lim )2(0+→； ze z z 1lim )3(0-→. 14．若iv u zf +=)(解析，且2u v =，证明)(z f 为一常数.15．设)(z f 解析，证明： 222)()()(z f z f y z f x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 16．z z z ln 2ln ln =+是否正确？。

解析函数

y=0
y
u = x 2 − x v = 0
v
5
− 5 4
f(z)=z2-z
x
1 2 − 5
u
第三节解析函数的变换性质
在解析变换下调和方程式不变的
设 =f(z)是某区域B内的解析函数，它将z平面上的区域B变为平面上的一个区域D，而将B上的函数u(x,y)将为u(, )，则有
∂ 2u ∂ 2u + 2 =| f ′( z) |2 ∂x 2 ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 2 + 2 ∂η ∂ξ
y
u(x,y)
u(,
x
)
B
O
D =f(z)
O

第四节平面场
用复变函数表示平面场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。取定垂直于某方向的平面为OXY平面，其上的点用 z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为 A = A( z ) = Ax ( x, y ) + iAy ( x, y )
第一节导数
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) ∂u ∂v ∂v ∂u = +i = −i dz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂v − iθ 1 ∂v ∂u − iθ = +i −i e e = ∂ρ ρ ∂θ ∂θ ∂ρ
极坐标下的Cauchy-Riemann条件

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