数值分析论文

数值分析结课论文

论文题目：浅谈数值分析在解决实际问题中的应用学校：天津商业大学

专业班级：数学类 1 0 0 3 班

*名：**

学号： 2 0 1 0 2 3 4 1

摘要:数值分析是一门历史悠久的高等教育课程之一。是其他数学课程及应用的基础。同时它的应用也非常广泛，在经济生活以及科研教育领域都有应用。随着科学技术和信息技术的飞速发展，通过计算机编程方面的开发应用，数值分析也被更加广泛的应用于学习和生活中，使得人们对数值分析有了更深刻的了解以及最全面的认识。

正文:数值分析的原理和方法在各学科中的应用越来越广泛，因此将原来的主要面向应用数学专业开设的数值分析面向理工科大学中数学要求较高的专业本科生。同时由于科学及计算机的发展，计算机算法语言的多样化及数学软件的普及，要求数值分析更加强调算法原理及理论分析，而且加入了数学软件例如：MATLAB的学习以便学习及应用。数值分析目前涵盖了四大板块：极限论、微分学、积分学、级数理论，使得数学分析对计算机、物理、化学、生物、电教、经济学等课程产生了直接而重要的影响。另外，数学分析不仅在内容上为后继课程学习提供了必要的基础知识，而且它所蕴涵的分析数学思想、逻辑推理方法、解决问题的技巧，对于整个高等数学的学习及科学研究都起到基石和推波助澜的作用。

几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法也越来越多地应用于科学技术领域，新的计算性交叉学科分支不断涌现，如？：计算力学，计算物理，计算化学，计算生物学，计算经济学，统称科学计算，它涉及数学的各个分支，研究它们适合于计算机编程的算法就是计算数学的研究范畴。计算数学是各种计算性学科的共性基础，兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科。科学计

算发展迅速，它与理论研究和科学实验成为现代科学发展的三种主要手段，它们相辅相成又互相独立，在实际应用中导出的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型求其数值解，如较复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为可以求出精确解的线性模型，但这样做往往不能满足近似程度的要求，因此使用数值方法直接求解做较少简化的模型，可以得到满足近似程度要求的结果，使科学计算发挥更大的作用，这正是得益于计算机与计算数学的快速发展。以下就数值分析在我所学的科目中的应用举例说明：

例一：1.常微分方程的求解是现代科学研究和工程技术中经常遇到的实际问题，然而，从实际问题中建立出来的微分方程往往具有非常复杂的形式，有些解析式难以计算，有些则根本不能用解析式来表达，所以利用数值解法求解实际问题就显得非常重要。

求解一个 n 阶线性方程组，如果使用Cramer法则，需要计算 n+1 个n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要 n!(n^2-1) 次乘除运算。而使用高斯消去法，只需约2n^3/3 次乘除运算当 n=20 时，20!*(20^2-1)≈9.7*10^20用每秒运算 30 亿次（主频 3.0 G ）的计算机求解时，大约需要 10000 年的时间,如果使用高斯消去法，不到一秒钟就能完成。

2. 利用MATLAB求解一阶方程初值问题

利用内嵌程序直接得到结果

一阶微分方程初值问题的求解在MATLAB中有非常简便易求的方法．而且由于MATLAB中内嵌的微分方程初值问题的求解方法足变步

长的龙格库塔法，故而求解结果值得信赖．

对于微分方程,利用MATLAB语言中的内建函数ode23或ode 45，按照调用格式即可求出最终结果．其中f指函数名或所建立的M文件的文件名．x为已知的离散节点向量，为初值a

例如：求解一阶微分方程初值问题：

先编写M文件fun.m:

命令窗口:

求解结果为:

此结果与四阶龙格库塔法求解结果相同，比改进尤拉法求解结果要精确得多．运用内建函数直接求解最大的优点是简洁方便，只要依照函数调用格式调用即可，但是对于理解数值解法的思想没有太大帮

助，故而要体现数值解法的具体思想，可以通过编写程序来实现. 例二：在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了一 些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数 据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法 是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数， 使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。

1.假设已建立了数学模型),(c x f y =，其中，T m c c c c ),,,(21 =是模

型参数。已有一组已知数据),(1,1y x ，),(22y x ，…，

),(,k k y x ，用最小二乘

确定参数c ，使

∑=-=k i i i c x f y c e 12)),(()(最小。函数),(c x f 称为数据

),,2,1)(,(,k i y x i i =的最小二乘拟合函数。如果模型函数),(c x f y =具

有足够的可微性，则可用微分方程法解出c 。最合适的c 应满足必要条件m j c c x f c x f y c c e k i j i i i j ,,2,1,0),()),((2)(1 ==∂∂--=∂∂∑=。

2.模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式()()()()

a F

b F dx x f f I b a -==⎰，使定积分计算变得简单，但在实际应

用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如dx e x ⎰-1

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，或者即使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。假设

b x x x a n ≤≤≤≤≤...10，则积分的计算公式为

()()()∑⎰=-≈n i i i

b a x f a b dx x f 0α，称其为机械求积公式，其中i x （n i ,...,2,1,0=）称为求积节点，i α与f 无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取()()ξαf x f n i i

i ≈∑=0得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机