数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题

1•基本数列的前n 项和

门佝 aQ

2 1

⑴等差数列a n 的前n 项和：S n

na n(n 1)d

an bn

⑵等比数列a n 的前n 项和S n :

①当q 1时，S n na i ;②当q 1时，&

a i (1 q n ) a 1 a .q ；

；

1 q 1 q

2.数列求和的常用方法：

公式法：性质法：拆项分组法：裂项相消法；错位相减法；倒序相加法

题型一公式法、性质法求和

a 99 ______________________

2•等差数列 a n 中，公差d

2，且a1 a 3 a 5

a 99

60，贝V a 1 a ? a 3

a 100

111

［例1］求数列1 一,2 — ,3-，

,(n

右),

的前n 项和S n •

题型二拆项分组法求和

(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ,求S n 。

［练］•求数列(2n 1)2的前n 项和S n .

［例］•求和:

1 n(n 1)

题型三裂项相消法求和

［例］•求和:

1 ,

2 1

1 ■ 4 “3

［例］求和：1

［练4］已知数列a n 满足a 1 1,a n 1 2a n 1 nN

1•已知S n 为等比数列 a n 的前n 项和，公比q 2,S g9

7 ,贝V a 3 a 6 a 9

［练2］在数列

a n 中，已知 a 1=2, a n+1=4a n — 3n + 1, n € N

h 1 O h 1 1 nh 1 n

(1)求数列a n的通项公式。⑵若数列b n满足41 4 2 4 3 4 n a n 1 ，求数列

2n

若c n，求数列c n的前n项和S n。

a n a n 1

题型四错位相减法求和

［例］•设数列a n为1 2,2 22,3 2 3,4 2 3 n 2n x 0求此数列前n项的和.

［例］•设数列｛a n｝满足a1+ 3a2 + 32a3 + …+ 3n_ 1a n=£, n€ N*.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n= n，求数列｛b n｝的前n项和S n.

［练1］已知数列｛ a n｝、｛b n｝满足a11 , a2 3,

b n 1

2(n N*)，b n a n 1 a n。

b n

(1)求数列｛b n｝的通项公式；

(2)数列｛ C n｝满足C n b n log 2( a n 1)(n * N ),求S n C1 C2 ........ C n。

［练4］等比数列a n中，已知对任意自然数n, a〔a? a3 a n 2n 1,求a；a；a3

2

A.2n 1

B.12n 1

C.4n

1

1 n .

D.— 4 1

3 3 a；的值

b n的通项公式。(3)