图形旋转练习题(经典题)
图形的平移和旋转基础题(含答案解析)版
图形的平移和旋转一．选择题（共15小题）1．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°2．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48 B．96 C．84 D．423．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32° B．64° C．77° D．87°4．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣17．如图，已知?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°8．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O 按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°12．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长13．下列图形中，是中心对称图形的为（）A． B． C．D．14．在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）15．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°二．填空题（共6小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．17．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b= ．18．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．21．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= ．三．解答题（共6小题）22．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF 相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为，点B关于x轴的对称点B′的坐标为，点C关于y轴的对称点C的坐标为．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．24．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度；（2）若连结EF，则△AEF是三角形；并证明；（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．25．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．26．如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是．27．如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．（1）请按要求画图：①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．图形的平移和旋转基础题教师版参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015?德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【考点】旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．（2015?镇海区模拟）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48 B．96 C．84 D．42【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．【解答】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）?BE=（10+6）×6=48．故选：A．【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．3．（2015?哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32° B．64° C．77° D．87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．4．（2015?贵港）在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则m=2且n=﹣3，从而得出点M（m，n）所在的象限．【解答】解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴m=2且m﹣n=﹣3，∴m=2，n=5∴点M（m，n）在第一象限，故选A．【点评】本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单．5．（2014?呼伦贝尔）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】先利用平移中点的变化规律求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为（1，﹣3），故点在第四象限．故选D．【点评】本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．注意平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6．（2015?枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣1【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．【解答】解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1==，则DC1=﹣1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1O D=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=﹣1，∴S△ADO=×OD?AD=，∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2015?天津）如图，已知?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE=30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．8．（2014?自贡）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．（2015?巴彦淖尔）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，利用正方形性质求出即可．【解答】解：∵正方形ABCD，O为正方形的中心，∴OD=OC，OD⊥OC，∴∠DOC=90°，由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角为90°，故选D．【点评】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．10．（2015?龙岩）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．（2015?东西湖区校级模拟）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°【考点】旋转的性质．【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．【解答】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键．12．（2014?邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长【考点】生活中的平移现象．【专题】操作型．【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．13．（2015?甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（）A． B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故B正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D错误．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．14．（2015?随州）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）【考点】关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减．15．（2014?南昌）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【考点】旋转的性质；平移的性质．【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【解答】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．故选：B．【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．二．填空题（共6小题）16．（2015?福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1 ．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM?sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM?sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．17．（2015?西宁）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b= ．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴a b=2﹣1=．故答案为：．【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．18．（2015?湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= 3 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE=60°，AB=AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE=3．故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．19．（2015?扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= 5 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC﹣EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．【解答】解：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F是DE的中点，∴FG∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6，EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理，AF=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．20．（2015?吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42 cm．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，BD=BC=12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB=13，所以△ACF与△BDF 的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD，即可解答．【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB==13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为：42．【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．21．（2015?沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= 2﹣3 ．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=AB?tan∠ABH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：2﹣3．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共6小题）22．（2015?湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=A B=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．23．（2013?南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5），点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．【考点】关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；（2）根据点A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）在平面直角坐标系中的位置，可以求得A′C′=5，B′D=3，所以由三角形的面积公式进行解答．【解答】解：（1）∵A（﹣1，5），∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．∵B（4，2），∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．∵C（﹣1，0），∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为（1，0）．故答案为：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，∴S△A′B′C′=A′C′?B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．【点评】本题考查了关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积．解答（2）题时，充分体现了“数形结合”数学思想的优势．24．（2015?新泰市校级模拟）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点 A ，旋转角度是90 度；（2）若连结EF，则△AEF是等腰直角三角形；并证明；（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．【考点】旋转的性质．【分析】（1）根据旋转变换的定义，即可解决问题．（2））根据旋转变换的定义，即可解决问题．（3）根据旋转变换的定义得到△ADE≌△ABF，进而得到S四边形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的长度，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，由题意得：旋转中心是点A，旋转角度是90度．故答案为A、90．（2）由题意得：AF=AE，∠EAF=90°，∴△AEF为等腰直角三角形．故答案为等腰直角．（3）由题意得：△ADE≌△ABF，∴S四边形AECF=S正方形ABCD=25，∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，∴．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识，这是灵活运用、解题的基础和关键．25．（2015?昆明）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；（2）利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标；（3）利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．（2）如图：（3）由两点间的距离公式可知：BC=，∴点C旋转到C2点的路径长=．【点评】本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．26．（2015?桂林）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【专题】作图题．【分析】（1）如图，画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积，求出即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S=﹣=5π﹣=．故答案为：．【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，以及扇形面积公式，作出正确的图形是解本题的关键．27．（2015?贵港）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．（1）请按要求画图：①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．【考点】作图-旋转变换；两条直线相交或平行问题；作图-平移变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据旋转角度，旋转方向，分别找到A、B、C的对应点，顺次连接可得△A2B2C2；（3）由图形可知交点坐标；【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）由图形可知：交点坐标为（﹣1，﹣4）．【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．。
中考数学元复习《图形的旋转》练习题含答案
中考数学复习图形的旋转一、选择题1．下列图形中是中心对称图形的有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB 的延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是( C )A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC,第2题图),第3题图) 3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( A )A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( A )A.10 B．2 2 C．3 D．25【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1，在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.,第4题图),第5题图) 5．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5)的对应点A′的坐标是( B )A．(2，5) B．(5，2) C．(2，－5) D．(5，－2)【解析】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O，∠AOA′＝90°，∴AO＝A′O.作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°.∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′－∠COA′＝∠COC′－∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′.∴△ACO≌△A′C′O，∴AC＝A′C′，CO＝C′O.∵A(－2，5)，∴AC＝2，CO＝5，∴A′C′＝2，OC′＝5，∴A′(5，2)．故选B.6．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连结AD，BD.则下列结论：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是( D ) A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE＝120°，∠DCE ＝∠BCA＝60°，A C＝CD＝DE＝CE，∴∠ACD＝120°－60°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D.二、填空题7．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是__60°__．,第7题图),第8题图) 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：__将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB(答案不唯一)．__．9．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A恰好落在AC上的点A′处，连结CC′，则∠ACC′＝__110°__．【解析】∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°－2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB＋∠BCC′＝110°.10．如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连结AP并延长交CD于点E，连结PC，则△PCE的面积为__9－53__．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，AP＝AB＝23，∵AD＝23，∴AE＝4，DE＝2，∴CE＝23－2，PE＝4－23，过P作PF ⊥CD 于F ，∴PF ＝32PE ＝23－3，∴△PCE 的面积为12CE ·PF ＝12×(23－2)×(23－3)＝9－5 3.故答案为9－5 3.,第10题图) ,第11题图)11．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，则DE 2＋BG 2＝__2a 2＋2b 2__．【解析】连结BD ，EG ，如图所示，∴DO 2＋BO 2＝BD 2＝BC 2＋CD 2＝2a 2，EO 2＋OG 2＝EG 2＝CG 2＋CE 2＝2b 2，则BG 2＋DE 2＝DO 2＋BO 2＋EO 2＋OG 2＝2a 2＋2b 2.三、解答题12. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别是A (－2，3)，B (－1，2)，C (－3，1)，△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1.(1)在正方形网格中作出△A 1B 1C 1；(2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为__132π__；(3)在y 轴上找一点D ，使DB ＋DB 1的值最小，并求出D 点的坐标．,题图),答图)解：(1)如图所示： (2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为90×π×13180＝132π (3)∵点B ，B 1在y 轴两旁，连结BB 1交y 轴于点D ，设D′为y 轴上异于D 的点，显然D′B ＋D′B 1>DB ＋DB 1，∴当点D 是BB 1与y 轴交点时，DB ＋DB 1最小．设直线BB 1的解析式为y ＝kx ＋b ，依据题意得⎩⎨⎧－k ＋b ＝2，2k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－13，b ＝53，∴y ＝－13x ＋53，∴D (0，53) 13．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .(1)求证：△DEF ≌△DMF ；(2)若AE ＝1，求FM 的长．解：(1)∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD ＋∠DCM ＝180°，∴F ，C ，M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF ＋∠MDF ＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠MDF ＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，∵⎩⎨⎧DE ＝DM ，∠EDF ＝∠MDF ，DF ＝DF ，∴△DEF ≌△DMF (SAS ) (2)由(1)得EF ＝MF ，设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ，∵EB ＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝52，∴FM ＝5214．如图①，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2，宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE ′F ′D ′，旋转角为α.(1)当点D ′恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；(2)如图②，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD ′＝E ′D ；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD ′与△CBD ′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．解：(1)∵DC ∥EF ，∴∠DCD ′＝∠CD′E ＝α，∵sin α＝CE CD′＝CE CD ＝12，∴α＝30° (2)∵G 为BC 中点，∴GC ＝CE′＝CE ＝1.∵∠D′CG ＝∠DCG ＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE ′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D ′CG ＝∠DCE′.又∵CD′＝CD ，∴△GCD ′≌△E ′CD (SAS )，∴GD ′＝E′D (3)能．α＝135°或α＝315°。
数学中考压轴题旋转问题(经典)
数学中考压轴题旋转问题(经典)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN旋转一、选择题1. （广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A ．πB ．3C ．33+42π D ．113+124π 2. （湖北）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93SS6+4+=．其中正确的结论是【 】 A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③ 3. （四川）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A ：P′C=1：3，则P′A ：PB=【 】。
A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：34. （贵州）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于【 】 A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°5. （广西）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：【 】A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周二、填空题6. （四川）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm.7. （江西南昌）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是▲ ．8. （吉林省）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ▲____.三、解答题9. （北京市）在ABC△中，BA=BC BAC，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段∠=αPA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ。
中考数学《旋转》专题练习含答案解析
旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。
整理中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答
几何图形旋转常见问题一、填空题1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，那么它们的公共局部的面积等于．2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm．3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转〔如图3所示〕，直至点P第一次回到原来的位置，那么点P运动路径的长为cm．4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，那么△ADE的面积是．二、解答题5.如图5-1，P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图5-2，假设四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？假设是，请给予证明；假设不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按以下步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶片F1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F2，再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F3、F4.根据以上过程，解答以下问题：(1)假设点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标；(2)请你在图6－2中画出第二个叶片F2；(3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？7.如图7，在直角坐标系中，点P0的坐标为(1,0)，将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn〔n为正整数〕.〔1〕求点P6的坐标；〔2〕求△P5OP6的面积；〔3〕我们规定：把点Pn (xn,yn)〔n=0,1,2,3,…〕的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn |,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标〞．根据图中点Pn的分布规律，请你猜测点Pn的“绝对坐标〞，并写出来．8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H 〔如图8〕．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜测，然后再证明你的猜测．9.如图9－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片〔如图9－2〕，量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图9－3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合〔在图9－3至图9－6中统一用F表示〕图9－1 图9－2 图9－3 小明在对这两张三角形纸片进展如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.〔1〕将图9－3中的△ABF沿BD向右平移到图9－4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；F交DE于〔2〕将图9－3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图9－5的位置，A1点G，请你求出线段FG的长度；交DE于点H，请证明：〔3〕将图9－3中的△ABF沿直线AF翻折到图9－6的位置，AB1AH﹦DH.图9－4 图9－5 图9－6参考答案一、1. 2. 6－2 3二、5. 解：〔1〕解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.〔2〕不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP 不成立.〔3〕连接BE、DF，那么BE与DF始终相等.在图1-1中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .从而有 BE=DF .6. 解：〔1〕B〔6,1〕〔2〕图略〔3〕线段OB扫过的图形是一个半圆.过B作BD⊥x轴于D.由〔1〕知B点坐标为〔6,1〕，∴OB2＝OD2＋BD2＝62＋12＝37.∴线段OB扫过的图形面积是.7. 解：〔1〕根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为P6(0,26)，即P6(0,64)．〔2〕由可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn，设P1(x1,y1)，那么y1=2sin45°=,∴.又∵,∴.〔3〕由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n.①当n=8k或n=8k+4时〔其中k为自然数〕，点Pn 落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为(2n,0)；②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时〔其中k为自然数〕，点Pn落在各象限的平分线上，此时，点P n的绝对坐标为，即.③当n=8k+2或n=8k+6时〔其中k为自然数〕，点Pn落在y轴上，此时，点P n的绝对坐标为(0,2n)．8. 解：HG＝HB．证法1：连结AH〔如图10〕.∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B＝∠G＝90°．由题意，知AG＝AB，又AH＝AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH〔HL〕.∴HG=HB．证法2：连结GB〔如图11〕．∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC＝∠AGF＝90°．由题意知AB＝AG．∴∠AGB＝∠ABG．∴∠HGB＝∠HBG．∴HG＝HB．9. 解：〔1〕图形平移的距离就是线段BC的长.∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，∴BC=5cm.∴平移的距离为5cm．〔2分〕〔2〕∵∠A1FA＝30°，∴∠GFD＝60°.又∠D=30°，∴∠FGD＝90°．在Rt△EFD中，ED=10 cm，∴ .∵FG＝cm．〔3〕在△AHE与△DHB1中，∠FAB1＝∠EDF＝30°.∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1，∴FD－FB1＝FA－FE，即AE＝DB1．又∵∠AHE＝∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1〔AAS〕．∴AH＝DH.。
图形的旋转练习题
图形的旋转
一、填空.
（1）图形旋转有三个关键要素，一是旋转的（），二是旋转的（），三是旋转的（）。
（2）图形旋转后，形状、（）等都没发生变化，只是（）变了。
（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转90°后指向( ).
（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转90°后指向( ).
二、选择.将代表正确答案的字母填在括号内
(1)下列现象中，不属于平移的是( ).
A.乘直升电梯从一楼上到二楼
B.钟表的指针嘀嗒嘀嗒地走
C.火车在笔直的轨道上行驶
D.汽车在平坦笔直的公路上行驶（2）下列现象中属于旋转的有( )个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2
B.3
C.4
D.5
(3)把下面的图A绕中心点顺时针旋转90度后再向下平移四个格得到图形是( ).
三、画一画.
(1)画出三角形AOB绕O点逆时针旋转90°后得到的图形.
(2)画出下图锤形图绕O点顺时针旋转90°后得到的图形.
(3)画出绕O点逆时针旋转90°后的图形.。
小学旋转的练习题
小学旋转的练习题一、选择题1. 一个图形绕某一点旋转了90度，这个点被称为图形的：A. 旋转中心B. 旋转轴C. 旋转半径D. 旋转角度2. 一个正方形顺时针旋转90度后，它的四个顶点的位置：A. 保持不变B. 位置互换C. 位置不变但方向改变D. 位置和方向都改变3. 如果一个图形绕某点旋转180度，那么这个图形将：A. 回到原来的位置B. 位置不变，方向改变C. 位置改变，方向不变D. 位置和方向都不变4. 一个图形绕其一边的中点旋转180度，这个图形：A. 保持不变B. 位置互换C. 位置不变，方向改变D. 位置和方向都改变5. 一个图形绕其一个顶点旋转90度，这个图形：A. 保持不变B. 位置互换C. 位置不变，方向改变D. 位置改变，方向不变二、填空题6. 一个图形绕某点旋转____度，这个点被称为图形的旋转中心。
7. 当一个图形绕其一边的中点旋转180度时，这个图形的位置____。
8. 如果一个图形绕其一个顶点旋转90度，这个图形的位置____。
9. 一个图形顺时针旋转90度后，它的四个顶点的位置____。
10. 一个图形绕某点旋转180度，那么这个图形将____。
三、判断题11. 一个图形旋转后，它的形状和大小都不会改变。
（）12. 一个图形绕其一边的中点旋转180度后，图形的每个部分都回到原来的位置。
（）13. 一个正方形顺时针旋转90度后，它的面积不变。
（）14. 一个图形绕某点旋转90度后，图形的每个部分都回到原来的位置。
（）15. 一个图形绕其一个顶点旋转90度后，图形的面积会改变。
（）四、简答题16. 描述一个图形绕其一边的中点旋转180度后，图形的哪些部分发生了变化？17. 解释为什么一个图形旋转后，它的形状和大小不会改变。
18. 如果一个图形绕其一个顶点旋转90度，图形的哪些部分保持不变？19. 为什么一个正方形顺时针旋转90度后，它的面积不会改变？20. 描述一个图形绕某点旋转90度后，图形的哪些部分发生了变化，并解释原因。
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题单选题1、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．2、如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤答案：C分析：根据旋转变换及全等图形的定义对应边相等，对应角相等的图形是全等图形对个图进行一一分析判断即可解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．故选择C．小提示：本题考查多边形全等的判定，掌握全等图形的定义，关键是会通过图形的旋转使它们全等．3、在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4B．4C．12D．﹣12答案：D分析：首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2+4=0,2−b=0，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴a+2+4=0,2−b=0，解得：a=−6,b=2,∴ab=−12,故选D小提示：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．4、如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，3√3）B．（7，5）C．（5√3，5）D．（5√3，3√3）答案：A分析：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB=6，由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=OA=4，∠ACO=60°，∴∠DCE=60°，∴CE=1CD=3，DE=√CD2−CE2=3√3，2∴OE=OC+CE=4+3=7，∴D（7，3√3），故选：A．小提示：本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．5、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．6、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∠DOE＝22.5°∴∠OEH＝∠OHE＝12∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝1（180°－∠CHE）＝67.5°2∴△CEH不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．8、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．9、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．10、已知两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对答案：C分析：首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2,然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．∵x1+x2=0,y1+y2=0，∴x1=−x2,y1=−y2,∵两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，∴点M1与M2关于原点对称，故选：C．小提示：本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．填空题11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB=5，BC=9，则BD=______．答案：√106分析：连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=9，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=√52+92=√106．所以答案是：√106．小提示：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12、以原点为中心，把M(3,4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为______．答案：(−4,3)分析：建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），所以答案是：（-4，3）．小提示：此题考查有关点的坐标旋转的性质，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．答案：2分析：点F 运动所形成的图象是一条直线，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x 轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33，求得点F 1的坐标为(4√33,0)，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=8√33，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，即12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．解：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，∴△APF 是等边三角形，∴AP =AF ，如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，∵AO ⊥P 1F 1，∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，∴∠P 1AO =30°，且AO =4，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33， ∴P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33， ∴点F 1的坐标为(4√33,0)， 如图，当点F 2在y 轴上时，∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，∴AO =F 2O =4，∴点F 2的坐标为（0，-4），∵tan∠OF 1F 2=OF 2OF 1=4√33=√3，∴∠OF 1F 2=60°，∴点F 运动所形成的图象是一条直线，∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ， 则{4√33k +b =0b =−4，解得{k =√3b =−4， ∴直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，∴F 1F 2=AF 1=8√33， 在Rt △OF 1F 2中，OF ⊥F 1F 2，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，∴12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．小提示：本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．14、已知点P(m−2,m)关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是_______．答案：m>2分析：根据关于原点对称的点的性质可得点P在第一象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可．解：∵点P（m−2，m）关于原点对称的点在第三象限，∴点P（m−2，m）在第一象限，∴{m−2>0，m>0解得：m＞2，所以答案是：m＞2．小提示：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号．15、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AB，则线段B1D的长度为______．A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，OD=12答案：1.5cm##3cm2分析：先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ODAB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，则问题得解．＝12∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝√OA2+OB2＝5cm，∴OD＝1AB＝2.5cm，2∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1-OD＝1.5cm．所以答案是：1.5cm．小提示：本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．答案：（1）画图见解析，（2）画图见解析分析：（1）分别确定A,B向右平移4个单位后的对应点A1,B1，再连接A1B1即可；（2）分别确定A,B绕原点O旋转180°后的对应点A2,B2，再连接A2B2即可.解：（1）如图，线段A1B1即为所求作的线段，（2）如图，线段A2B2即为所求作的线段，小提示：本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 17、如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．(1)写出△OAB各顶点的坐标；(2)以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．答案：(1)A（-2，0），B（-1，√3），C（0，0）(2)A′（−1,√3），B′（1,√3）分析：（1）作高线BC，根据等边三角形的性质和勾股定理求OC和BC的长，写出三点的坐标，注意象限的符号问题；（2）如图2，由旋转可知：A′与B重合，B与B′关于y轴对称，可得：A′，B′的坐标．（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，∵△AOB是等边三角形，且OA=2，OA=1，∴OC=12由勾股定理得：BC=√22−12=√3，∴A(−2，0)，B(−1，√3)，O(0，0)；（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴A′与B重合，∴A′(−1，√3)，由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，∵∠AOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠DOB′=30°，∴BB′⊥OD，DB=DB′，∴B′(1，√3)．小提示：本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．18、如图，一伞状图形，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP=2，∠MPN=60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系(2)如图二，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α度(0<α<60°)，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．答案：（1）PE＝PF，证明详见解析；（2）PE＝PF，√3分析：（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°，∵∠MPN＝60°，∴∠MPN＝∠FOP＝60°，∴ΔPEF是等边三角形，∴PE＝PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，∵OP平分∠AOB，∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，∴∠QPE+∠FPH+∠EPH，∴∠QPE＝∠EPF，在ΔQPE与ΔHPF中{∠EQP=∠FHP ∠QPE=∠HPFPQ=PH，∴ΔQPE≌ΔHPF（AAS），∴PE＝PF，S四边形OEPF ＝S四边形OQPH，∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝√22−12＝√3，∴SΔOPQ＝12×1×√3＝√32，∴四边形OEPF的面积＝2SΔOPQ＝√3小提示：本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．。
中考复习之图形的旋转经典题(含答案)
图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D 两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+67．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=55°，点D 在BC 边上，DB=2CD ，若将△ABC 绕点D 逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B 恰好落在初始位置时△ABC 的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______． 16．在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______． 三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CE=BC ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CF ，连接EF ．（1）补充完成图形；（2）若EF ∥CD ，求证：∠BDC=90°． 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2、C 2的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE 的端点A 、B 、D 、E 均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB 为一边且面积为2的Rt △ABC ，顶点C 必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE 为一边，含有45°内角且面积为的△DEF ，顶点F 必须在小正方形的顶点上；（3）若点C 绕点Q 顺时针旋转90°后与点F 重合，请直接写出点Q 的坐标． 20．（1）如图（1），直线a ∥b ，A ，B 两点分别在直线a ，b 上，点P 在a ，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论； （2）如图（2），直线a ∥b ，点P 在直线a ，b 直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度交直线b 于点M ，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC 绕C 旋转到△CBE 的位置（即过C 作CE ⊥CP ，且使CE=CP ，连接EP 、EB ）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数． 22．如图1，在等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A 上，从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．操作一：在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016?玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016?宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C 落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016?朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016?莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016?呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016?无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD 沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016?和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春?雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015?浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016?邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016?高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016?海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016?太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120 ．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB 的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016?怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016?瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016?荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016?丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A 1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016?呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春?重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋?五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋?苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋?利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋?江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE ⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE ﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．。
中考复习之图形的旋转经典题(含答案)汇总
图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部C．边上 D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+67．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______．16．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______．三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．20．（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．22．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部C．边上 D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016•宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016•莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016•呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016•无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B 点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016•和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春•雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015•浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016•邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016•高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016•海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016•太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120 ．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016•怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016•丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016•呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春•重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P 在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋•五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋•苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋•利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋•江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
《图形旋转》经典好题
16/9/21旋转构图，聚拢条件(1)姓名舟1.正三角形类型在正A ABC中，P为AABC内一点，将△ ABP绕A点按逆时针方向旋转60°,使得AB与AC 重合。
经过这样旋转变化,将图(l-1-a)中的PA、PB> PC三条线段集中于图(l-1-b)中的一个AP'CP中，此时AP'AP也为正三角形。
例1・图1T,设P是等边AABC内的一点，PA=3, PB=4, PC二5,求ZAPB的度数解：将AAPC绕A点逆时针旋转60°,使得AC与AB重合并连接PP',2•正方形类型图(1」) 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将△ ABP绕B点按顺时针方向旋转90",使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图(2-l-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2-1-b) 中的ACPP'中，此时ABPP'为等腰直角三角形。
例2•如图(2-1) , P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1, PB=2, PC二3。
求ZAPB 的度数。
图(2-1-a) 图(2-l-b> a图2-13•等腰直角三角形类型在等腰直角三角形AABC中，zC二90° , P为AABC内一点，将△ APC绕C点按逆时针方向旋转90°,使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个AP' CP为等腰直角三角形。
例3・如下图，在 A ABC 中，z ACB 二90°, BC 二AC, P 为AABC 内一点，且PA 二3, PB 二1, PC 二2。
求z BPC的度数。
解：练习：在RtAABC 中，ZC=90° , AC二1, ZABC二聖°，点0 为RtAABC 内一点，连接AO. BO、CO, 且ZA0C 二ZC0B二BOA二120° ,（1）按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将AAOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到O' B （得到A、0的对应点分别为点A'、0,）,（2）分别求ZA‘ BC、OA+OB+OC的大小。
九年级数学上册23-1《图形的旋转》基础课时练习题(含答案解析)
九年级数学上册23-1《图形的旋转》基础课时练习题（含答案解析）1、如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）．A. 60m2B. 63m2C. 64m2D. 66m22、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1) 若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围．(2) 垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．(3) 当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．3、某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．4、某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=−2x+80(20⩽x⩽40)，设销售这种产品每天的利润为W（元）．(1) 求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式．(2) 当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？5、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．(1) 求y与x之间的函数关系式．(2) 在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？(3) 当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？6、解答：(1) 一辆宽2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），为保证安全，车顶左右两侧离隧道的垂直距离至少要0.5米，求货车的限高为多少？(2) 若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，求货车的限高应是多少？7、把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度ℎ（米）适用公式ℎ=20t−5t2(0⩽t⩽4)．(1) 经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？(2) 足球从开始踢至回到地面需要多少时间？(3) 若存在两个不相等的实数t，能使足球距离地面的高度都为m（米），请直接写出m的取值范围．8、运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度ℎ(m)与它的飞行时间t(s)满足二次函数关系，t与ℎ的几组对应值如下表所示：(1) 求ℎ与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）．(2) 求小球飞行3s时的高度．(3) 问：小球的飞行高度能否达到22m．请说明理由．9、军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的x2+10x，经过秒时间，炮弹落到地上爆炸了．关系满足y=−1510、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（）．A. 19cm2B. 16cm2C. 15cm2D. 12cm211、如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．(1) 若苗圃园的面积为100平方米，求x的值．(2) 若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．12、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．(1) 求S与x的函数关系式．(2) 如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3) 能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．13、某种水果进价为每千克20元，市场调查发现，该水果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80，设这种水果每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式．(2) 该水果售价定为每千克多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元．(3) 如果商家为“薄利多销”，规定这种水果售价每千克不高于28元，则商家要想每天获利150元的销售利润，售价应定为每千克多少元．14、服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．(1) 求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围．(2) 设服装厂所获利润为w（元），若10⩽x⩽50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？15、一条单车道的抛物线形隧道如图所示，隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．(2) 现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．16、如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成某一角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系ℎ=20t−5t2．请解答以下问题：(1) 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2) 小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(3) 小球从飞出到落地要用多少时间？1 、【答案】 C;【解析】设BC=xm，矩形ABCD的面积为ym2，易知AB=(16−x)m，根据题意得y=(16−x)x=−x2+16x=−(x−8)2+64，当x=8时，y取得最大值，为64，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故选C．2 、【答案】 (1) y=30−2x（6⩽x<15）．;(2) 当x=7.5时，S最大值=112.5．;(3) x的取值范围为6⩽x⩽11．;【解析】 (1) y=30−2x（6⩽x<15）．(2) 设矩形苗圃园的面积为S，则S=xy=x(30−2x)=−2x2+30x，∴S=−2(x−7.5)2+112.5．由（1）知，6⩽x<15，∴当x=7.5时，S最大值=112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．(3) ∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，即−2(x−7.5)2+112.5⩾88，∴6⩽x⩽11．由（1）可知6⩽x<15，∴x的取值范围为6⩽x⩽11．3 、【答案】70;【解析】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，w=(x−50)[200+(80−x)×20]=−20(x−70)2+8000，∴当x=70时，w取得最大值，此时w=8000，故答案为：70．4 、【答案】 (1) w=−2x2+120x−1600 (20⩽x⩽40);(2) 当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元;【解析】 (1) w=y(x−20)=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600 (20⩽x⩽40)．(2) w=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．5 、【答案】 (1) y=−0.5x+80．;(2) 增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．;(3) 当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．;【解析】 (1) 设函数的表达式为y =kx +b ，该一次函数过点(12,74)，(28,66)，根据题意，得：{74=12k +b 66=28k +b ，解得，{k =−0.5b =80， ∴该函数的表达式为y =−0.5x +80．(2) 根据题意，得，(−0.5x +80)(80+x)=6750，解这个方程得，x 1=10，x 2=70，∵投入成本最低．∴x 2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．(3) 根据题意，得w =(−0.5x +80)(80+x)=−0.5(x −40)2+7200， ∵a =−0.5<0，则抛物线开口向下，函数有最大值，∴当x =40时，w 最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．6 、【答案】 (1) 3.25米．;(2) 2.5米．;【解析】 (1) 以抛物线的对称轴为y 轴，地平线为x 轴，建立如图所示坐标系，∵抛物线的顶点坐标是(0,4)，∴可设抛物线的解析式为y =ax 2+4．又∵抛物线过(4,0)点，∴0=a×42+4，∴a=−1．4x2+4(−4⩽x⩽4)∴y=−14当x=1时，y=3.75．∴货车限高为3.75−0.5=3.25（米）．(2) 当x=2时，y=3，故货车限高为3−0.5=2.5（米）．7 、【答案】 (1) 经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米．;(2) 足球从开始踢至回到地面需要4秒．;(3) 0⩽m<20．;【解析】 (1) ∵ℎ=20t−5t2=−5(t−2)2+20，∴t=2时，ℎ最大，最大值为20m，答：经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米．(2) 令ℎ=0，得：20t−5t2=0，解得：t=0或t=4，∴足球从开始踢至回到地面需要4秒．(3) 由（1）知足球的最大高度为20米，∴0⩽m<20．8 、【答案】 (1) ℎ=−5t2+20t．;(2) 15m．;(3) 小球的飞行高度不能达到22m．;【解析】 (1) ∵t =0时，ℎ=0∴设ℎ与t 的函数关系式为ℎ=at 2+bt(a ≠0)，∵t =1时，ℎ=15，t =2时，ℎ=20，∴{a +b =154a +2b =20， 解得{a =−5b =20， ∴ℎ与t 之间的函数关系式为ℎ=−5t 2+20t ．(2) 小球飞行3秒时，t =3，此时ℎ=−5×32+20×3=15(m)，答：此时小球的高度为15m ．(3) 方法一 : 设ts 时，小球的飞行高度达到22m ，则−5t 2+20t =22，即5t 2−20t +22=0，∵Δ=(−20)2−4×5×22<0，∴此方程无实数根，∴小球的飞行高度不能达到22m ．(3) 方法二 : ∵ℎ=−5t 2+20t =−5(t −2)2+20，∴小球飞行的最大高度为20m ，∵22>20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．9 、【答案】 50;【解析】 依题意，关系式化为：y =−15(x −25)2+125．令y =0，解得：x =50秒．10 、【答案】 C;【解析】 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6(cm)．设运动时间为t 秒（0⩽t ⩽4），则PC =(6−t)cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形PABQ =S △ABC −S △CPQ=12AC ⋅BC −12PC ⋅CQ=12×6×8−12(6−t)×2t=t 2−6t +24=(t −3)2+15，∴当t =3时，四边形PABQ 的面积有最小值，最小值为15．故选C ．11 、【答案】 (1) x =10．;(2) 有，当x =7.5时，y 取得最大值，最大值为2252． 当x =11时，y 取得最小值，最小值为88．;【解析】 (1) 由题意，得：平行于墙的一边长为(30−2x)，根据题意，得：x(30−2x)=100，解得：x =5或x =10，∵{30−2x ⩽182x <30， ∴6⩽x <15．∴x =10．(2) ∵矩形的面积y =x(30−2x)=−2(x −152)2+2252，且30−2x ⩾8，即x ⩽11， ∴当x =7.5时，y 取得最大值，最大值为2252． 当x =11时，y 取得最小值，最小值为88．12 、【答案】 (1) S =−3x 2+24x ．;(2) 5m ．;(3) 能，当长为10m ，宽为143m 时，最大面积为1403m 2． ;【解析】 (1) 根据题意，得S =x (24−3x )，即所求的函数解析式为：S =−3x 2+24x ．(2) 根据题意，设AB 长为x ，则BC 长为24−3x ，则−3x 2+24x =45．整理，得x 2−8x +15=0，解得x =3或5，当x =3时，BC =24−9=15>10不成立，当x =5时，BC =24−15=9<10成立，∴AB 长为5m ．(3) S =24x −3x 2=−3(x −4)2+48，由于0<24−3x ⩽10，得143⩽x <8． ∵143>4，∴当x =143时，S 取得最大值为1403>45，∴能围成面积比45m 2更大的花圃，当长为10m ，宽为143m 时，最大面积为1403m 2． 13 、【答案】 (1) w =−2x 2+120x −1600．;(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．;(3) 该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．;【解析】 (1) 由题意得出：w =(x −20)⋅y=(x −20)(−2x +80)=−2x 2+120x −1600，故w 与x 的函数关系式为：w =−2x 2+120x −1600．(2) w =−2x 2+120x −1600=−2(x −30)2+200，∵−2<0，∴当x =30时，w 有最大值．w 最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．(3) 当w =150时，可得方程−2(x −30)2+200=150．解得x 1=25，x 2=35．∵35>28，∴x 2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．14 、【答案】 (1) y ={−0.5x +105(10⩽x ⩽50)80(x >50)． ;(2) 批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元．;【解析】 (1) 当10⩽x ⩽50时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，{10k +b =10050k +b =80，得{k =−0.5b =105， ∴当10⩽x ⩽50时，y 与x 的函数关系式为y =−0.5x +105，当x >50时，y =80，即y 与x 的函数关系式为：y ={−0.5x +105(10⩽x ⩽50)80(x >50)． (2) 由题意可得，w =(−0.5x +105−65)x =−0.5x 2+40x=−0.5(x−40)2+800，∴当x=40时，w取得最大值，此时w=800，y=−0.5×40+105=85，答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元．x2+6．15 、【答案】 (1) （答案不唯一）抛物线的表达式为y=−38;(2) 这辆货车能安全通过这条隧道．;【解析】(1) 以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(−4,0)，B(4,0)，C(0,6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x−4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴−16a=6．∴a=−3．8x2+6(−4⩽x⩽4)．∴这条抛物线表示的二次函数表达式为y=−38(2) 当x=1时，y=45，8∵4.4+0.5=4.9<45，8∴这辆货车能安全通过这条隧道．16 、【答案】 (1) 当小球的飞行1s和3s时，高度达到15m．;(2) 小球的飞行高度不能达到20.5m．;(3) 小球从飞出到落地要用4s．;【解析】 (1) 令ℎ=15，得方程15=20t−5t2，解这个方程得：t1=1，t2=3，当小球的飞行1s和3s时，高度达到15m．(2) 令ℎ=20.5，得方程20.5=20t−5t2，整理得：t2−4t+4.1=0，因为(−4)2−4×4.1<0，所以方程无实数根，所以小球的飞行高度不能达到20.5m．(3) 小球飞出和落地时的高度都为0，令ℎ=0，得方程0=20t−5t2，解这个方程得：t1=0，t2=4，所以小球从飞出到落地要用4s．。
图形的平移与旋转练习题及答案全套
情景再现：你对以上图片熟悉吗？请你答复以下几个问题：〔1〕汽车中的乘客在乘车过程中，身高、体重改变了吗？乘客所处的地理位置改变了吗？〔2〕传送带上的物品，比方带有图标的长方体纸箱，向前移动了20米，它上面的图标移动了多少米？〔3〕以上都是我们常见的平移问题，认真想一想，你还能举一些平移的例子吗？1.如图1，面积为5平方厘米的梯形A′B′C′D′是梯形ABCD经过平移得到的且∠ABC=90°.那么梯形ABCD的面积为________，∠A′B′C =________.图12.在下面的六幅图中，〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕中的图案_________可以通过平移图案〔1〕得到的.图2“小鱼〞向左平移5格.图34.请欣赏下面的图形4，它是由假设干个体积相等的正方体拼成的.你能用平移分析这个图形是如何形成的吗？§图形的平移与旋转一、填空：1、如下左图，△ABC经过平移到△A′B′C′的位置，那么平移的方向是______，平移的距离是______，约厘米______.2、如下中图，线段AB是线段CD经过平移得到的，那么线段AC与BC的关系为〔〕3、如下右图，△ABC经过平移得到△DEF，请写出图中相等的线段______，互相平行的线段______，相等的角______.〔在两个三角形的内角中找〕4、如下左图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，那么：①画出平移方向，平移距离是_______；〔准确到0.1cm〕②HE=_________，∠A=_______,∠A=_______.③DH=_________=_______A=_______.5、如下右图，△ABC平移后得到了△DEF，〔1〕假设∠A=28º，∠E=72º，BC=2，那么∠1=____º，∠F=____º，EF=____º；〔2〕在图中A、B、C、D、E、F六点中，选取点_______和点_______，使连结两点的线段与AE平行.6、如图，请画出△ABC向左平移4格后的△A1B1C1，然后再画出△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2，假设把△A2B2C2看成是△ABC经过一次平移而得到的，那么平移的方向是______，距离是____的长度.二、选择题：7、如下左图，△ABC经过平移到△DEF的位置，那么以下说法：①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段BE的长.其中说法正确的有〔〕8、如下右图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，那么△AFE经过平移可以得到〔〕A.△DEFB.△FBDC.△EDCD.△FBD和△EDC三、探究升级：1、如图，△ABC上的点A平移到点A1，请画出平移后的图形△A1B1C1.3、△ABC经过平移后得到△DEF，这时，我们可以说△ABC与△DEF是两个全等三角形，请你说出全等三角形的一些特征，并与同伴交流.4、如以下图中，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，那么草坪的面积是______.5、利用如图的图形，通过平移设计图案，并用一句诙谐、幽默的词语概括你所画的图形.§图形的平移与旋转一、填空、选择题：1、图形的旋转是由____和____决定的，在旋转过程中位置保持不动的点叫做____，任意一对对应点与旋转中心连线所成的角叫做_____.2、如以下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是_______，旋转角是_______，它时______°.3、如图，在以下四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是〔〕4、请你先观察图，然后确定第四张图为( )4、如下左图，△ABC绕着点O旋转后得到△DEF，那么点A的对应点是_______，线段AB 的对应线段是_____，_____的对应角是∠F. 6、如下中图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，假设△ABC经旋转后能与△BDE重合，那么旋转中心是________，旋转了______°.7、如下右图，C是AB上一点，△ACD和△BCE 都是等边三角形，如果△ACE经过旋转后能与△DCB重合，那么旋转中心是_______，旋转了______°，点A的对应点是_______.二、解答题：8、如图11.4.7，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：〔1〕旋转中心是哪一点？〔2〕旋转角是什么？〔3〕如果点M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？9、观察以下图形，它可以看作是什么“根本图形〞通过怎样的旋转而得到的？三、探究升级10、如图，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是哪一点为旋转中心，旋转多少度之后能与另一个三角形重合？点F的对应点是什么？§图形的平移与旋转一、选择题1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的〔 〕° ° ° °ABCD 旋转到平行四边形A ′B ′C ′D ′的位置，以下结论错误的选项是〔 〕A.AB =A ′B ′B.AB ∥A ′B ′C.∠A =∠A ′D.△ABC ≌△A ′B ′C ′ 二、填空题4.钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______.ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形D C B A '''',那么四边形D C B A ''''是________. 6.△ABC 绕一点旋转到△A ′B ′C ′，那么△ABC 和△A ′B ′C ′的关系是_______.7.钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度. 8.图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______. 三、解答题9.以下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O 旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.10.在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案.11.如图，菱形A ′B ′C ′D ′是菱形ABCD 绕点O 顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？△ABC ，绕它的锐角顶点A 分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，〔1〕试作出Rt △ABC 旋转后的三角形； 〔2〕将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？13.如图，将右面的扇形绕点O 按顺时针方向旋转，分别作出旋转以下角度后的图形： 〔1〕90°；〔2〕180°；〔3〕270°.你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？14.如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案.§图形的平移与旋转看一看：以下三幅图案分别是由什么“根本图形〞经过平移或旋转而得到的？1.2.3.试一试：怎样将以下图中的甲图变成乙图？做一做：1、如图①，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF =21AB ， 〔1〕△ABE ≌△ADF .吗？说明理由。
旋转基础练习题(有答案)
旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB 上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．(图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=12 AB．（1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE移到△ADF的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案:一、1．B 2．C 3．B二、1．旋转旋转中心旋转角2．A 45°3．点A 60°等边三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．（2）BE=DF，BE⊥DF2．翻滚一次滚120°翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．旋转基础练习二一、选择题1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC 的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案:一、1．C 2．A 3．D二、1．相等2．△ACE 图形全等= 3．相等三、1．这四个部分是全等图形2．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆，∴面积之和=12 ．3．重合：证明：∵EG⊥AF ∴∠2+∠3=90°∵∠3+∠1+90°=180°∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2同理∠E=∠F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB∴△OBE绕O点旋转90°便可和△OAF重合．旋转基础练习三一、选择题1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心（）A．顺时针旋转60°得到的B．顺时针旋转120°得到的C．逆时针旋转60°得到的D．逆时针旋转120°得到的3．下面的图形中，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是（）A．（1），（4）B．（1），（3）C．（1），（2）D．（3），（4）二、填空题1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．三、解答题．1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC P′重合，如果AP=3，求PP′的长．答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．4 72°2．旋转3．相等三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．2．略3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴PP′=2AP=32．旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．对称形式轴对称旋转对称中心对称只有一条对称轴有两条对称轴2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．答案:一、1．B 2．D 3．D二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）三、1．略2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；（3）连结A′D′、D′C′、C′B则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．3.略.旋转基础练习五一、选择题1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直线2．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60°B．50°C．75°D．55°二、填空题1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．2．关于中心对称的两个图形是_________图形．3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．三、解答题1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于21085点O 成中心对称．3．如图，A 、B 、C 是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M ，现计划修建居民小区D ，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D 的位置．答案:一、1．D 2．C 3．A二、1．对称中心 平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O 点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．3．连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线PQ 、GH 相交于M ，学校M 所在位置，就是△ABC 外接圆的圆心，小区D 是在劣弧BC 的中点即满足题意．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是（ ）A ．21085B ．28015C ．58012D ．51082 二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________． 三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”） ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ） ②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点．（1）求证：四边形BEFG 是平行四边形；（2）连接BB ，判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．D 1C 1B 1A 1BA EDG F3．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）设过A 、A 1、B 三点的函数解析式为y=ax 2+bx+c ，求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形2．答案不唯一3．答案不唯一三、1．（1）①假②真（2）①③（3）①例如正五边形正十五边形•②例如正十边正二十边形2．（1）证明：∵A1D1∥B1C1，∴∠A1BD=∠C1FB又∵四边形ABEF是由四边形A1B1EF翻折的，∴∠B1FE=∠EFB，同理可得：∠FBG=∠D1BG，∴∠EFB=90°-12∠C1FB，∠FBG=90°-12∠A1BD，∴∠EFB=∠FBG∴EF∥BG，∵EB∥FG∴四边形BEFG是平行四边形．（2）直角三角形，理由：连结BB，∵BD1∥FC1，∴∠BGF=∠D1BG，∴∠FGB=∠FBG同理可得：∠B1BF=∠FB1B．∴∠B1BG=90°，∴△B1BG是直角三角形3．解：（1）如右图所示（2）由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴1042a b cca b c=-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解这个方程组得12121abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求五数解析式为y=-12x2+12x+1．旋转基础练习七一、选择题1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（）A．y=1xB．y=2x+1 C．y=-2x+1D．以上三种都不可能2．如图，已知矩形ABCD周长为56cm，O是对称线交点，点O到矩形两条邻边的距离之差等于8cm，则矩形边长中较长的一边等于（）A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm二、填空题1．如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′_______．2．写出函数y=-3x与y=3x具有的一个共同性质________（用对称的观点写）．三、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC有什么关系，请说明理由．2．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且A（0，3），B（3，0），现将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．（1）在图中画出直线A1B1；（2）求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式；（3）是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率k相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．OBACD答案:一、1．A 2．B 二、1．（3，-1） 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC 的关系是关于原点对称． 2．（1）如右图所示，连结A 1B 1；（2）A 1B 1中点P （1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y=k x ，则y=-2.25x．（3）A 1B 1：设y=k 1x+b 1 113033b k =-⎧⎨=-⎩1113k b =⎧⎨=-⎩ ∴y=x+3∵与A 1B 1直线平行且与y=2.25x相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3，下面证明y=x+3与y=-2.25x 相切， 32.25y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩⇒x 2+3x+2.25=0，b 2-4ac=9-4×1×2.25=0，∴y=x+3与y=-2.25x相切．旋转基础练习八一、选择题1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ）2．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（）二、填空题1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变．2．如上右图，是由________关系得到的图形．三、解答题1．（1）图案设计人员在进行图设计时，常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？（2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，并说明你所表达的意义．2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？答案:一、1．D 2．B二、1．形状大小2．旋转三、1．（1）用同一块模块设计出的两个图案之间可能是由平移、旋转、•轴对称变化得到的，或者是由这三种变化的组合而成的；（2）略2．略。
《图形的旋转》练习题
《图形的旋转》练习题一、判断题1、图形的旋转是图形沿着某个点旋转一定的角度。
（）2、图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定的。
（）3、图形的旋转改变了图形的形状和大小。
（）4、图形的旋转不改变图形的形状和大小。
（）5、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形重合，那么这个图形就被旋转对称了。
（）6、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形不重合，那么这个图形就不是旋转对称的。
（）7、旋转对称图形是旋转对称的。
（）8、旋转对称的图形是旋转对称的。
（）9、一个图形如果和另一个图形是旋转对称的，那么这两个图形一定也是轴对称的。
（）10、一个图形如果和另一个图形是轴对称的，那么这两个图形一定是旋转对称的。
（）二、填空题1、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形运动称为__________。
2、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
3、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
4、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
5、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
6、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
7、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
8、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
9、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
10、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
《图形的平移与旋转》复习全攻略【介绍】《图形的平移与旋转》是初中数学中的重要一课，它涉及到平面几何的基本概念和变换方法。
在这篇复习全攻略中，我们将一起回顾图形的平移和旋转的基本概念、考点、解题技巧以及难点解析，帮助大家充分掌握这一课的内容。
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图形旋转练习题
1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。
2. 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD 面积。
A B C
D
P
3.设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450，
A P ⊥EF 于点P
（1） 求证：AP=AB ，（2）若AB=5，求ΔECF 的周长。
4.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点．
（1）若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF ．
（2）若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？
（3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数．
5ABC 中，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.
⑴求∠DCE 的度数；
⑵当AB=4，AD ∶DC=1∶3时，求DE 的长.
F E
D C B A
A A F P P
B B
C C
6．如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，使AB 落到AC 上，则P 落到点P '处。
如果AP=1，则PP '=___________．
7．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD ＝ 。
8．如图所示，已知P 是正方形ABCD 内一点，以B 为
旋转中心，把△PBC 沿逆时针方向旋转90°得到△P BA '，连接PP '，
则∠P PB '的度数是______。
9、如图，将△ABC 绕点A 旋转一定角度后能与△ADE 重合，如果△ABC
的面积是
12cm 2 ，那么△ADE 的面积是 。
10、如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD ＝15°，
△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转角的度数是 . 11、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__________。
E D
C B A 11。