量子力学-束缚态和散射态概念比较

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()(x x V γδ-=束缚态和散射态

量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态

束缚态：在势阱中E

散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在

在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论

2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有

)()(x x V γδ-=，)0(>γ

见右图。

在0≠x 处，0)(=x V 。

0>∴E 为游离态（自由态），E 可取任何连续值。

0

情况。

定态Schrodinger 方程为，

0)]([2d d 222=++ψγδψx E m

x

积分⎰-→+

ε

ε

εx d lim 0 可得出δ势阱跃变条件，

)0(2)0(')0('2

ψγ

ψψ m -

=--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγ

ψψ

m =--+

在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为

0)(''2=-ψβψx

其中02>-=

mE

β，)0(

利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。

考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），

(a)偶宇称态

⎩⎨⎧<>=-0

)(x ce

x ce x x

x

ββψ 或写成||)(x ce x βψ-=

c 为归一化因子。现在根据跃变条件求解。 按'ψ的跃变条件，

c m c c ⋅-=--2/2 γββ

2/ γβm =∴

因此可得出粒子能量的本征值

22

22022

γβm m E E -=-==

由归一化条件⎰∞

∞

-==1/||d ||22βψc x ，

可得出L m c /1/2=== γβ，

γm L /2 =是势的特征长度。

这样归一化的束缚定态波函数可写为

L

x e L

x /||1)(-=

ψ

这是δ势阱中的唯一束缚态。

属于能量22

02

γm E -=。

在L x ≥||中找到粒子的几率为

1353.0d |)(|222==-∞

⎰e x x L

ψ

(b)奇宇称态 波函数可表为

⎩⎨⎧<->=-0

)(x Ae

x Ae x x

x

ββψ 由0=x 点波函数连续性条件可得0=A ，所以不可能存在奇宇称束缚定态。

从物理上考虑，奇宇称态在波函数0=x 点必为0。而δ势阱又恰在点0=x 起作用。

所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。

2、δ势与方势的关系，'ψ跃变的条件

δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。

从δ势求解更为方便。'ψ不连续，但粒子流密度x j 连续。

以下仅讨论'ψ的跃变条件。 考虑粒子对方势垒的散射。

⎩⎨⎧><=ε

ε||0

||)(0

x x V x V

在其内部，Schrodinger 方程为

0)(2d d 2

022

=--ψψ E V m x 考虑粒子能量0V E <情况，在势垒内部（ε<||x ），波函数可表为

x x Be Ae x κκψ-+=)(

其中 /)(20E V m -=κ。

显然B A +=)0(ψ，而且)('x x Be Ae κκκψ--=。

现在让∞→0V ，0→ε，而对δ势垒，⎰⎰--==ε

ε

ε

ε

γγδx x x x V d )(d )(（？）

若保持γε=02V （常数），则方势垒将趋于一个δ势垒)(x γδ。 利用)()('κεκεκεψ--=Be Ae ，)()('κεκεκεψBe Ae -=--得，

)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----

当+→0ε，∞→0V （保持γε=02V ）时，

0/20→→ mV εκε

但

2202//2 γεεκm mV →→

且当0→ε时，κεκε±→±1e

代入)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----， 由)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----得

[][]

)0(2)

(2lim )2()2(lim )(')('lim 220

0ψγ

εκκεκκεκεψεψεεε

m B A B A =

+=+=--+++

→→→

即)0(2)0(')0('2

ψγ

ψψ m =

--+ 此恰为前述'ψ的跃变条件。 2、束缚能级与透射振幅极点的关系

束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。

散射问题中我们取0>E ，而在势阱束缚态的0

对0>E 的透射振幅，1

21-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+=k im S γ 如把0>E 的透射振幅解析延拓到0

先讨论δ函数势阱，

)()(x x V γδ-=，)0(>γ

此时透射振幅由

1

21-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k im S γ→1

21-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=k im S γ 其中 /2mE k =，)0(>E 。

（注意已将势垒透射振幅表达式中的γγ-→）

如解析延拓到E <0能阈（k 为虚），由1

21-⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=k im S γ，则S 有单极点（一阶极点2

γ

im k =

）。