矩阵与变换高考题精选

解：BA
0 b
20
0
a
1 2a
0
0
0 b
得l1变换到l3的变换公式
x y
2ax by
，
则2ax by 4 0即直线l1 : x y 4 0,
则有
2a 1, b 1,
解得a
Baidu Nhomakorabea
1 ,b 2
1
此时B
0 1
2
0
，同理可得
l2的方程为2 y
x
4
0
即 x 2y 4 0.
2.已知矩阵
M
1
0
0 2
,
N
1 2 0
0
,矩阵MN对应的变换把曲线
1
y sin x变为曲线C，求C的方程。
3.已知矩阵
A
0 a
10 , 矩阵B
0 b
2 0
,
直线l1
:
x
y
4
0
经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应
的变换得到直线 l3 : x y 4 0，求直线l2的方程。
（2010福建理数）21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，
请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先 用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
1 b
a
1
，N
解法一：因为矩形OA1B1C1是矩形OABC绕原点O旋转180°得到
的，所以 A1(2,0), B1(2,1), C1(0,1)
又矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换得到平行 四边形OA1B2C2， 且C2的坐标为 ( 3,1) ，所以点B2的坐标为( 3 2,1)
设将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵为
c 0
2 d
，且MN
2 2
0
0
（Ⅰ）求实数 a, b, c, d 的值；
（Ⅱ）求直线 y 3x 在矩阵M所对应的线性变换下
的像的方程。
c 0 2
【解析】（Ⅰ）由题设得
2 ad bc 0
0 2
，解得
a 1 b 1 c 2
2b d 0
d 2
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线
如图，矩形OABC的顶点O（0，0），A（-2，0）， B（-2，-1），C（0，-1）.将矩形OABC绕坐标原点O 旋转180°得到矩形OA1B1C1；再将矩形OA1B1C1沿x 轴点正C2方的向坐作标切为变( 变3,换1) ，，得到平行四边形OA1B2C2，且 求将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换 对应的矩阵.
解：由已知得
M
12
4
1,即1c
b112
4
1
2 b 4
2c
1
, 1
解得bc
2 1
M 112 1
设点 P(x, y是)圆 x2 y 2 上1的任意一点，变换后的点为
P'(x', y'，)则
M
x
y
x'
y'
所以
x'
y'
x x
2
yy,,从而xy
1 3 1 3
(x'2 y') (x' y')
1
1
1 0 0 1
k 0
0 k 0 2 2 0 0 k
由 1 0 0 0
1
0
2
2
k 可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（
，-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是 | k | ，
，则由题设知：| k | 21 2 。
所以k的值为2或-2。
2010福建省质检
（或点），所以可取直线 y 3x 上的两（0，0），（1，3），
由 1
1
1
1
0 0
。
0 0
1 ， 1
1
1
1 3
2 2
得：
点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是
（0，0），（-2，2），从而直线 y 3x
在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为 y x
(巩固练习) 1.已知二阶矩阵 M 1c b1 ，矩阵M对应的变换将 点（2，1） 变换成点（4，-1）。求矩阵M将圆 x2 y 2 1 变换后的曲线方程。
a c
b ， d 则
ca
b d
0
1
1
3
ca
b d
2 1
1
3
2 ,
a 1,
所以 b 3,
c 0,
因此所求矩阵为
0
1
1
3
d 1.
（2010江苏卷）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。
设k为非零实数，矩阵M=
k 0
0 1
,N=
0 1
1 0
点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A，1、B1、C1，
△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
解：由题设得
MN
k 0
0 0
，