第四章 因式分解 复习
第四章因式分解复习课件北师大版数学八年级下册
势，其中一个因式是各项的公因式m，而另一个因式
是（a+b+c),即ma+mab+mc=m(a+b+c),而
（a+b+c)正好是ma+mb+mc除以m所得的商，提
公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
6.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中各项的公因式是 C
2．下列各式从左到右的变形，正确的是（ C ）
A.﹣x﹣y=﹣(x﹣y)
B.﹣a+b=﹣(a+b)
C.(y﹣x)2=(x﹣y)2
D.(a﹣b)3=(b﹣a)3
二、因式分解的实质
与整式的乘法互为逆运算
整式乘法
因式分解
3、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ C ）
.A.a(a－b)＝a2－ab； B.a2－2a＋1＝a(a－2)＋1C.x2
B.①③
C.②④
D.②③
16.因式分解(2x+3)2-x2的结果是( D )A.3(x2+4x+3)
B.3(x2+2x+3)
C.(3x+3)(x+3)
D.3(x+1)(x+3)
17.已知多项式x2+a能用平方差公式在有理数范围内分
解因式,那么在下列四个数中a可以等于( C )A.9
B.4
C.-1
D.-2
13.因式分解:
(3)x(x2-xy)-(4x2-4xy).
解: 原式=x(x2-xy)-4(x2-xy)
=(x2-xy)(x-4)
=x(x-y)(x-4)
第四章 因式分解复习
第一步：先看多项式各项有无公因式，
如有公因式则要先提取公因式； 第二步：再看有几项，
如两项，则考虑用平方差公式；
如三项，则考虑用完全平方公式；
第三步：最后看各因式能否再分解，
如能分解，应分解到不能再分解为止。
公式法
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否
能看成两个数的平方的差；
2 2 (x+y-2) (x+y) -4(x+y)+4=____________.
(x-2)(3x+1) 3x(x-2)-(2-x)=__________
选一选：
1. 下列多项式能分解因式的是( A. x2-y B. x2+1
x2+y+y 2
D
)
C. D. x2-4x+4 2. 下列多项式中,能用提取公因式分解因式的是( 2+2x 2-y x x A. B. C.
2
）
5, c 2
B、b
5, c 2
5, c 2
D、b
5, c 2
练一练：
1、把下列多项式分解因式：
a(a-b) a2-ab=_________. 3ab(a+3b) 3a2b+9ab2=__________. (a-2)2 a2-4a+4=__________.
2
(x+2y)(x-2y) x2-4y2=__________.
( x 3) x2-2 3x+3=__________.
( a b) 14( a b) 49
2
[(a b) 7]
2
2、将下列各式分解因式： （1）18a2c-8b2c
第四章因式分解的复习与巩固
知识点②
与因式分解有关的开发题
1 1 1、给出三个多项式： x2+2x-1, x2+4x+1, 2 2 1
=(1-2)+(2-3)+…+(999-1000) =1-1000
=-999
今天我们的收 获
。
知识点①
巧用整体思想因式分解
1、因式分解：(x+2)(x+4)+x2-4
温馨提示：全部展开计算费事哦，能不能把某些 解原式=(x+2)(x+4)+(x+2)(x-2) 部分看成一个整体呢？ =(x+2)(x+4+x-2)
=(x+2)(2x+2) =2(x+2)(x+1)
2、已知xy=5,a-b=6,求xya2+xyb2-2abxy的值
第四章因式分解
复习与巩固
执教：桐林中学曾志谋
要点归纳
一、因式分解
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式 乘积 的形 式叫做因式分解。 2、因式分解的方 法:(1) 提公因式法 ;(2) 运用公式法
.
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应 先 。 提公因式
（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应先 考虑 运用公式法 ； 如果多项式有两项应考虑 用 平方差公式 应考虑用 完全平择你喜欢的两个多项式进行加法 x 2 运算，并把结果因式分解。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解小结与复习课件
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
解：原式=(2x+y-1)2
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
(8) (x+1)(x+5）+4
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
2. 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k= （ ±140）
3.计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100
=(-2)100(-2+1) =2100·(-1)=-2100
4.已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解：原式=x3-x2+5x2-x39
=4x2-9 =(2x+3)(2x-3) 又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
三分 ③再考虑分组分解法
四查 ④检查：特别看看多项式因式 是否分解彻底
课堂小结
因 式 分 解
概念
与整式乘法的关系
提公因式法
方法 公式法
平方差公式
完全平方差公式
提：公因式 步骤 运：运用公式
查：检测结果是否彻底
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随堂训练
1.把下列各式分解因式：
(1) 4x2-16y2
(2) x2+xy+ y2.
第四章 因式分解
小结与复习
知识 归纳
复习点一 （一）分解因式的概念：
把一个多项式化成几个整式的积的情势， 叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
第四章《因式分解》复习课件—北师大版数学八年级下册
C
A.mn
B.m2n
)
C.6mn
D.3mn
4.下列因式分解错误的是( D )
A.x2-9=(x+3)(x-3)
B.x2+4x+4=(x+2)2
C.a2b-ab2=ab(a-b)
D.3x(x-3)+(3-x)=(x-3)(3x+1)
5.因式分解:2ab-8b=
2b(a-4)
.
6.因式分解:(x-3)-2x(x-3)=
【例8】将下列各式因式分解:
(1)a2-6ab+9b2=
(a-3b)2
(2)(a+b)2+8(a+b)+16=
;
(a+b+4)2 .
8.将下列各式因式分解:
2
(1)a +a+ =
2
+
(2)(x+y) -2(x+y)+1=
;
(x+y-1)2
.
知识要点7 提公因式法与完全平方公式法的综合
知识要点9 利用因式分解化简求值
【例11】(1)已知a+b=5,ab=6,则a2b+ab2的值为
30
;
(2)先因式分解,再求值:(2x+3y)2-(2x-3y)2,其中x=2,y=5.
解:原式 = ( + ) + ( − ) ( + ) − ( − )
=4x·6y=24xy,
7
9
13
解:因为817-279-913=( ) − ( ) − ( )
=328-327-326=326×32-326×3-326×1
北师大版八年级下册数学--第四章 因式分解复习课件
典例分析
例2：1.找出下列各多项式中各项的相同因式：
（1）2ab2+ 4abc
2ab
（2）-m2n3 -3n2m3
-m2n2
（3）2x（x+y）+6x2（x+y）2 2x（x+y）
2.用提公因式法分解因式
8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2 ∙ 3bc
m(a+b+c) 互逆
典例分析 一
例1 . 下列变形中是因式分解的是（D ）.
A. x2＋3x＋4＝（x＋1）（x＋2）＋2 × 不是乘积形式 B . （3x－2）（2x＋1）＝6x2－x－2 × 是整式乘法 C . 6x2y3＝3xy ·2xy2 × 单项式
D . 4ab＋2ac＝2a（2b＋c）√
例7. 因式分解： (1) (a＋b)(a－b)－a－b
解 = (a+b)(a-b)-（a+b） = (a+b)(a-b-1)
（3）(x—1)(x—3)+1
解 = (x2-4x+3）+1 = x2-4x+4 = (x-2)2
（2） (x—y)2－4(x—y—1)
解 = (x—y)2－4(x—y）+4 = (x-y-2)2
解 = （a-b）2(a2 -b2）
=（a2-ab-ab+b2）(a2-ab+ab-b2）
=（a-b）2(a-b）（a+b)
=（a2-2ab+b2）(a2-b2）
=（a-b）3(a+b）
=（a-b）2(a-b）（a+b) =（a-b）3(a+b）
【数学课件】七年级数学下册第四章因式分解复习
(a b)(a b)
因式 分解
整式乘法
(a b)2
a2 2ab b2
(a b)2
是互逆的关系．一定是恒等变形
下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2； (3)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. 4p(1-q)3+2(q-1)2
2. 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2 =(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
例2 把下列各式分解因式.
(1)x²y²-4xy+4 (2) m4-1 (3) 3x³+6x²y+3xy² (4) (a+ b+c)2-(a+b-c)2
因式分解常用方法
提公因式法
公式法
平方差公式 完全平方公式
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
第四章-因式分解(复习课)教学设计精选全文完整版
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第四章因式分解（复习课）教学设计
【教学目标】
1.进一步理解因式分解的概念和意义，了解因式分解和整式乘法的关系——方向相反的恒等变形；
2.复习提公因式法、公式法因式分解的过程，会综合运用提公因式法、公式法分解因式；
【教学重点】综合运用提公因式法、公式法分解因式.
【教学难点】根据题目的结构特点，选择合理的方法进行因式分解.
【教学思路】情境导入→知识回顾→例题讲解→练习巩固→中考链接→小结→作业布置
【教学过程】
环节一：情境导入
环节三：例题讲解
1.本单元复习题。
浙教版七年级数学下册 第四章 因式分解复习教案
第四章 因式分解一、提公因式法.知识点1：分解因式的定义1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的 乘法互为逆运算。
分解因式需知；（1）只有多项式才能够分解因式，单项式不能分解因式（2）结果必须是整式，不能有分式出现（3）结果必须是积的形式【经典例题】判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （ ） ②)49)(49(4922y x y x y x -+=- （ ）③ 9)3)(3(2-=-+x x x （ ） ④)2(222y x xy xy xy y x -=+- （ ）知识点2：公因式公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；【经典例题】：1错误！未指定书签。
．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2错误！未指定书签。
．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．24ab c -B ．38ab -C ．32abD ．3324a b c3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
1可以直接提公因式的类型：（1）3442231269b a b a b a +-=________________； （2）11n n n a a a +--+=___________（3）（3）542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值2.式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864y x y x y x -+- =_______________②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=_______（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如： 22188y x +- 【变式练习】1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431--2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)33. 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。
北师大版八年级下册数学第四章因式分解复习课件(WPS打开)
=x(2+x)(2-x).
答案:x(2+x)(2-x)
【中考集训】
1.因式分解:2a2-8=
.
【解析】2a2-8=2(a2-4)
=2(a+2)(a-2).
答案:2(a+2)(a-2)
2.因式分解:4-a2=
.
【解析】4-a2=(2+a)(2-a).
答案:(2+a)(2-a)
3.因式分解:x2y-y=
=(m-n)2-2(m-n)
=(m-n)(m-n-2).
因为m-n=-1,
所以原式=(-1)×(-1-2)=3.
3.若a2+2a=1,则2a2+4a+1=
.
【解析】2a2+4a+1
=(2a2+4a)+1
=2(a2+2a)+1
=2×1+1
=3.
答案:3
4.已知a+b=4,a-b=3,则a2-b2=
答案:m(m-5)
【中考集训】
1.因式分解:x2+xy=
.
【解析】x2+xy=x·x+x·y
=x(x+y).
答案:x(x+y)
2.因式分解:m2-2m=
.
【解析】m2-2m=m(m-2).
答案:m(m-2)
3.多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是
.
【解析】ax2-a=a(x+1)(x-1);
x2-2x+1=(x-1)2,
则公因式为x-1.
答案:x-1
4.因式分解:2xy-4x2=
.
【解析】原式=2x(y-2x).
北师大版数学八年级下册第四章 因式分解 复习课件(共19张PPT)
6.如图，某农场修建一座小型水库，需要 一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d = 45 cm，外径 D =75 cm，长 l =300 cm.利用因式 分解计算浇制一节这样的管道约需多少立方 米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01 m3).
Dd l
Dd
l
解：[π·(
D 2
)2 -
π·(
d 2
)2]·l
=
πl 4
(D2 -
d2)
=
πl 4
(D
+
d)(D
-
d).
当d=45 cm，D=75 cm，l=300 cm时，
体积 = 847 800(cm3) ≈ 0.85(m3).
第四章 因式分解
北师版 八年级下册
因式分解的定义
把一个多项式化成几__个__整__式__的_积____的 形式，这种变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法的关系
因式分解 多项式 整式乘法 几个整式的积
因式分解与整式乘法为互逆变形
因式分解的方法
1.提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那
4 3
，y
=
－1 时，
2
原式= 9.
（2）
a
+ 2
b
2
-
a-b 2
2
，其中a
=
－1 8
,
b
=
2;
解：原式
第四章因式分解复习
第四章 因式分解学习目标：知道因式分解的意义。
明白因式分解与整式乘法的关系。
会用提取公因式法分解因式。
清楚添括号法则。
会用平方差公式分解因式。
会用完全平方公式分解因式。
初步会综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题。
重点与难点：重难点：会综合运用因式分解知识解决数学问题。
知识点1 基本概念把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。
如：·提公因式法多项式ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc= 就是把ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式 是ma+mb+mc 除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x 2 – x = x （ )，8a 2b-4ab+2a = 2a( )·公式法(1)平方差公式：a 2-b 2=( )( ).例如：4x 2-9=( )2-（ ）2=( )( ).(2)完全平方公式：a 2±2ab+b 2=( )2例如：4x 2-12xy+9y 2=（ ）2A 层练习1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨”，•不是的打“×”）：ma+mb+mc m(a+b+c)（ ）（ ）（1）（x+3）（x-3）=x 2-9； （ ）; （2）x 2+2x+2=（x+1）2+1；（ ）（3）x 2-x-12=（x+3）（x-4）；（ ）; （4）x 2+3xy+2y 2=（x+2y ）（x+y ）；（ ）（5）1-21x =（1+1x ）（1-1x ）；（ ）; （6）m 2+1m +2=（m+1m ）2；（ ）（7）a 3-b 3=（a-b ）（a 2+ab+b 2）．（ ）B 层练习2、检验下列因式分解是否正确？(1)2ab 2+8ab 3=2ab 2 (1 + 4b) （ ）(2) 2x 2-9= (2x+3)(2x-3) （ ）(3) x 2-2x-3=(x-3)(x+1) ( )(4) 36a 2-12a-1= (6a-1) 2 （ ）C 层练习1.若 x 2+mx-n 能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 。
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第四章 因式分解
学习目标：
知道因式分解的意义。
明白因式分解与整式乘法的关系。
会用提取公因式
法分解因式。
清楚添括号法则。
会用平方差公式分解因式。
会用完全平方公式分
解因式。
初步会综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题。
重点与难点：
重难点：会综合运用因式分解知识解决数学问题。
知识点1 基本概念
把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个
多项式 ，也叫做把这个多项式 。
如：
·提公因式法
多项式ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式
叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc= 就是把ma+mb+mc 分解成两个
因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式 是ma+mb+mc 除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x 2 – x = x （ )，
8a 2b-4ab+2a = 2a( )
·公式法
(1)平方差公式：a 2-b 2=( )( ).
例如：4x 2-9=( )2-（ ）2=( )( ).
(2)完全平方公式：a 2±2ab+b 2=( )2
例如：4x 2-12xy+9y 2=（ ）2
A 层练习
ma+mb+mc m(a+b+c)
（ ）
（ ）
1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨”，•不是的打
“×”）：
（1）（x+3）（x-3）=x 2-9； （ ）; （2）x 2+2x+2=（x+1）2+1；（ ）
（3）x 2-x-12=（x+3）（x-4）；（ ）; （4）x 2+3xy+2y 2=（x+2y ）（x+y ）；（ ）
（5）1-21x =（1+1x ）（1-1x ）；（ ）; （6）m 2+1m +2=（m+1m
）2；（ ） （7）a 3-b 3=（a-b ）（a 2+ab+b 2）．（ ）
B 层练习
2、检验下列因式分解是否正确？
(1)2ab 2+8ab 3=2ab 2 (1 + 4b) （ ）
(2) 2x 2-9= (2x+3)(2x-3) （ ）
(3) x 2-2x-3=(x-3)(x+1) ( )
(4) 36a 2-12a-1= (6a-1) 2 （ ）
C 层练习
1.若 x 2+mx-n 能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 。
2．x 2-8x+m=(x-4)( ),且m= 。
知识点2 基本方法
因式分解的方法：1、
2、 ○
1 ○
2 3、
1.公因式确定
系数、字母、相同字母指数
2.变形规律：
（1）x-y= (y-x) (2) -x-y= (x+y)
(3) (x-y)2= (y-x)2 (4) (x-y)3= (y-x)3
知识点3 一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
挑战自我
将下列各式分解因式：
(1) 3am²-3an²
(2) 3x³+6x²y+3xy²
(3) 18a²c-8b²c
（4） m4- 81n4
知识点4 拓展应用
1.简化计算
(1)562+56×44 (2)1012 - 992
2.解方程
x³-9x=0
3.多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)=
变式：20052+2005能被2006整除吗？
课堂小结：
通过这节课的复习你有哪些新的收获与感受?说出来与大家一起分
享！
达标检测
1、因式分解
(1) -24x3–12x2 +28x (2) m(a-3)+2(3-a)
(3) 4x2-9y2(4) 1-x2+2xy-y2
2．多项式x2n－x n提取公因式x n后另一个因式是（）
A．x n－1 B．x n C．x2n－1－1 D．x2n－1
3．若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=( )
A.2
B.4
C.6
D.8
4．计算：210+（－2）11的结果是（）
A．210B．－210C．2 D．－2
5．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（） A．-1 B．1 C．-3 D．3
6．计算：7.6×199.8+4.3×199.8-1.9×199.8
7．计算：9992+999．
8．已知x=56，y=44，求代数式1
2
x2+xy+
1
2
y2的值．
9．（拔高题）已知x+y=1，xy=-1，则x2+y2=_______
已知x-y=1,xy=2，则 x3y-2x2y2+xy3=_______.。