全国各地高考模拟数学试题汇编坐标系与参数方程及答案

坐标系与参数方程

1．以双曲线C ：13

12

2=-y x 的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴方向（长度单位不变）建立极坐标系，则

双曲线C 的一条倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是 ．

2.在极坐标系中，曲线C

的极坐标方程为)4

π

ρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建

立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x t

y t

=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并

说明理由．

3.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线

)0(sin 2cos :2>=a a C θθρ，过点)2,4(--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

+-=+-=t y t x 2

222

2

4（t 为参数），l 与C 分别交于N M ,，（1）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （2）若||PM 、||MN 、||PN 成等比数列，求a 的值.

4. 已知直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C 的参数方程为2cos ,(sin x y ϕ

ϕϕ

=⎧⎨

=⎩为参数)．

(1)在极坐标系下,若曲线犆与射线14θ=

和射线1

4

θ=-分别交于A,B 两点,求ΔAOB 的面积; (2)在直角坐标系下,给出直线l

的参数方程为22(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),求曲线C 与直线l 的交点坐标．

5.选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标

系，直线l 的参数方程为1cos ,

1sin x t y t αα=+⎧⎨

=-+⎩

(t 为参数).

（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）若直线l 和曲线C 相交于,A B

两点，且AB =l 的斜率.

6.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3cos sin x y α

α

⎧=⎪⎨

=⎪⎩（α为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,

)2

π，判断点P 与直线l 的位置关系；

（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

7.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθ

θ=+⎧⎨

=⎩

(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：2

sin()4t π

ρθ+

=

（其中t 为常数）. （1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离. 8.

9.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4 cos θ 与直线l ：θ＝π

4 （ρ∈R ）交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．

10.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为2

2

1x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，

x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为

(2cos sin )6ρθθ-=。

（1）将曲线1C 2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；

（2）设P 为曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．

坐标系与参数方程 参考答案与解析

1.【答案】3)3

sin(

=-θπ

ρ

【命题立意】本题主要考查极坐标方程、双曲线的性质

【解析】由13

12

2=-y x 可知左焦点为（2,0）

，倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是y =，所以其极

坐标方程为sin cos )ρθρθ=-，化简得3)3

sin(=-θπ

ρ.

2.【答案】相交．

【命题立意】本题旨在考查极坐标方程、参数坐标方程与普通方程的相互转化与应用，直线与圆的位置关系．

【解析】将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程，得直线l ：4310x y -+=，曲线C ：2

2

220x y x y +--=，

所以曲线C 是以(1,1)的圆，所以圆心到直线l 的距离2

5

d =<，因此，直线l 与曲线C 相交． ………10分

3.【答案】（1）ay x 22=(a ＞0)，x －y+2＝0；（2）1.

【命题立意】考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，中等题.

【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为ay x 22

=(a ＞0)；

直线l 的普通方程为x －y+2＝0．

(2)将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得

t 2－2(4＋t ＋8(4＋a)＝0 (*) △＝8a(4＋a)＞0．

设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根． 则|PM|＝|t 1|，|PN|＝|t 2|，|MN|＝|t 1－t 2|． 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|．

由(*)得t 1＋t 2＝2(4＋t 1t 2＝8(4＋a)＞0，则有 (4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a ＝1，或a ＝－4． 因为a ＞0，所以a ＝1． 4.【答案】（1）

45；（2）(2，0)或64-55⎛⎫

⎪⎝⎭

，

【命题立意】本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化、曲线的参数方程和普通方程的互化等知