结构力学——静定多跨梁

无变化
无 影 响
有突变 （突变 为零 值=M）
7. 分段叠加法作内力图
弯矩的分段叠加法
条件：1. 两端弯矩已知 2. 段内荷载已知 3. 两端剪力未知 求解：1. 叠加法做弯矩图 2. 由弯矩图和段内荷载求两端剪力 3. 做剪力图
叠加法的步骤为： 1. 首先确定杆端弯矩和控制截面弯矩，根据两端 截面上的弯矩做弯矩轮廓图，此时，弯矩图为 直线。 2. 在直线弯矩图的基础上，叠加内部荷载作用引 起的简支梁弯矩图，最终叠加结果就是所求弯 矩图，也就是原杆段的弯矩图。
MA
q
∑ Fx = FAx = 0
2
A
B
FAx
M A = −ql / 2 + M
l
FBy
M A = ql 2 / 2 + M − FBy l − M A = 0 F = ql ∑ By
∑ F y = ql − FBy = 0
5. 截面法
理力、材力相关内容复习 理力、
M A = −ql 2 / 2 + M
A
注意：1. 为什么两端支座反力（剪力）计算公式一致？ 2. 杆端弯矩如规定正负号，怎样更合理？
A RAY2
B RBY2
由 由
∑M
∑M
B
=0 得
=0 得
A
1 RAY 2 = ql 2 1 RBY 2 = − ql 2
注意：1. 为什么两端支座反力（剪力）计算公式反号？ 2. 如果为悬臂梁，须特殊讨论吗？
以均布荷载为例：
MBA A FQAB B FQBA
MAB
=
MAB MBA A RAY=FQAB B RBY=FQBA
=
弯 矩 图
MAB
MBA A RAY1 B RBY1
+
A RAY2 B RBY2
MAB
MBA A RAY1 B RBY1
由 由
∑M ∑M
B
=0 得 =0 得
RAY 1 = ( M BA − M AB ) / l AB RBY 1 = ( M BA − M AB ) / l AB
2. 力对点的矩，合力矩定理 力对点的矩，
理力、材力相关内容复习 理力、
平面的情况
y
r r FP = FP i AB
r i AB = AB / AB
r r FP FPy C
A
E
r FPx
D O
B
力臂为 OC r FP 对 O 点的矩为
FP × OC
x
= FPx × OD + FPy × OE 合力矩定理
r FP
O
作用效果等价
M
O
一汇交力系 和力偶系 等值反向平行 要平移的力 力构成力偶M 平移到的点 主矢和主矩 力构成力偶M 力系中每一个力都对O 力系中每一个力都对O做等效平移
刚体上一个力系的等效平移
理力、材力相关内容复习 理力、
y
r 坐标单位 m FP1 r 2(6,6) FP2 r r r r FP3 FP2 = 12 kN ( FP2 , i ) = 00
4. 刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习 理力、
r R
M
O
力系的平衡条件为 r 主矢 R = 0 也即 ∑ Fx = 0
∑ Fy
=0
一矩式
主矩 M = 0
平面任意力系对O 平面任意力系对O简化的结果得主矢和主矩
刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习 理力、
r R
x
A
M
O
x
二矩式
MA
M
q
B
M
C
切、取
B
A
FAx = 0
MC
FAx
x
C
l
M
FNC
C
FBy = ql FBy
FBy = ql FBy
平：
B
∑ Fx = 0 ⇒ FNC ∑ F y = 0 ⇒ FQC ∑ MC = 0 ⇒ MC
FQC
代
FBy = ql FBy
截面法求指定C 截面法求指定C截面内力
6. 平衡微分关系
理力、材力相关内容复习 理力、
力的投影、 力的投影、分解和合成
理力、材力相关内容复习 理力、
r r r r r r (FP , i ) = α (FP , j ) = β (FP , k ) = γ
空间的情况
z
FPx = FP cos α FPy = FP cos β FPz = FP cos γ r r r r FPy = FPy j FPx = FPx i r r FPz = FPz k r r r r FP = FPx + FPy + FPz r r r x = FPx i + FPy j + FPz k
力对点的矩， 力对点的矩，合力矩定理
理力、材力相关内容复习 理力、
简支梁AB受满跨均布荷载 简支梁AB受满跨均布荷载q，以AB为隔 受满跨均布荷载q AB为隔 的矩。 离体，求全部外力对A 离体，求全部外力对A、B的矩。
l 2
FR = ql
q
A
∑ M A = FR l / 2 − FBy l ∑ M B = FR l / 2 − FAy l
qwenku.baidu.com
∑ Fx = FAx = 0
A
M
C
FAx FAy
B
l
FAy = ql / 2 − M / l
2
FBy
M B = ql / 2 − M − FAy l = 0 FBy = ql / 2 + M / l ∑ 2 ∑ M A = ql / 2 + M − FBy l = 0
理力、材力相关内容复习 理力、
M A = ql 2 / 2
MA
切 、 取、代
q
B
M ( x) qdx
A
M + dM pdx
FN + dFN FQ + dFQ
FAx
FAx = − pl
x
C l
p
FBy = −ql FBy
FN ( x ) FQ ( x )
dx
dFN = − p( x ) ∑ Fx = 0 ⇒ dx dFQ dM = FQ = q( x ) ∑ MC = 0 ⇒ ∑ Fy = 0 ⇒ dx dx
B
FAx FAy
l
FBy
利用合力矩定理
3. 刚体上一个力的等效平移
理力、材力相关内容复习 理力、
平面的情况
y
r FP B C
A
r r FP = FP i AB
r i AB = AB / AB
力偶臂为 AC
A
M r FP B
力偶矩 M 为 FP × AC
力偶对任意一点 O 的矩
x
O
都是 FP × AC
y B B
FPx = 100 kN × cos 30 = 50 3 kN
o
A A
r r FP FP
FPy = 100 kN × sin 30
x
o
= 50 kN
r r r r r r F 已知： 已知： P = FP1 + FP2 , FP1 = FP1 x i + FP1 y j r r r FP2 = FP2 x i + FP2 y j
悬臂梁AB受图示荷载作用，试求A 悬臂梁AB受图示荷载作用，试求A的支 受图示荷载作用 座反力。 座反力。
MA
q
M
B
∑ Fx = FAx = 0
∑ F y = 0 FAy = ql
FAx
A
l
FAy
∑ MA = 0
M A = ql 2 / 2 + M
理力、材力相关内容复习 理力、
定向支座梁AB受图示荷载作用，试求A 定向支座梁AB受图示荷载作用，试求A、 受图示荷载作用 M B的支座反力。 的支座反力。
r r r FP1 = 10 2 kN ( FP1 , i ) = 450
1(0,4) O1 (6,4) 3(12,0) O
r r r FP3 = 24 kN ( FP3 , i ) = 900 x
主矢R的投影为： 主矢R的投影为：(22,34) kN 主矩M 主矩M为：(10×6+12×2-24×6) kN·m,顺时针 (10×6+12× 24× kN·m,顺时针 已知力系如图所示，试求对O 已知力系如图所示，试求对O1简化的结果
理力、r材力相关内容复习 理力、 r
FP FP r FP
M
O
r FP
O
作用效果等价 O
r 等值反向平行 要平移的力 FP 力构成力偶M 力构成力偶M 平移到的点 O处加等值反向一对力
刚体上一个力的等效平移
理力、r材力相关内容复习 理力、
FP
结果得到什么？ 结果得到什么？ 最终得到什么？ 最终得到什么？
q
∑ Fx = FAx = 0
∑ MB = 0
FAy = ql / 2 − M / l
A
B
FAx
l
FAy
FBy
FBy = ql / 2 + M / l
∑ MA = 0
理力、材力相关内容复习 理力、
外伸梁AB受图示荷载作用，试求A 外伸梁AB受图示荷载作用，试求A、B 受图示荷载作用 的支座反力。 的支座反力。
结构力学
傅向荣
第三章 静定结构的 受力分析
3-1 梁的内力计算 的回顾
主要内容
1. 力的投影、分解和合成 力的投影、 2. 力对点的矩，合力矩定理 力对点的矩， 3. 刚体上一个力的等效平移 4. 刚体上一个力系的平衡条件 5. 截面法 6. 平衡微分关系 7. 分段叠加法作内力图
1. 力的投影、分解和合成 力的投影、
试求图示合力在坐标轴上的投影。 试求图示合力在坐标轴上的投影。 r r r y FP = FP1 + FP2 = C r r r FP2 = FP1 x i + FP1 y j r r r B FP + FP2 x i + FP2 y j r r FP1 = ( FP1 x + FP2 x )i A r x + ( FP1 y + FP2 y ) j
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 (q向下) 向下) 处(FP向下) 向下) 情况 斜直 剪力图 水平线 线( ) 一般 抛物 弯矩图 为斜 线( 直线 下凸) 下凸) 为 零 处 有 极 值 有突 变 (突 变值= 变值= FP) 有尖 角 (向 下） 如 变 号 有 极 值 集中力 偶M作 作 用处 铰处
第三章 静定结构的 受力分析
3-2 静定多跨梁
多跨静定梁
(multi-span statically determinate beam)
力偶与力偶矩
理力、材力相关内容复习 理力、
简支梁AB受图示荷载作用， AB为隔 简支梁AB受图示荷载作用，以AB为隔 受图示荷载作用 的矩。 离体，求全部外力对A 离体，求全部外力对A、B的矩。
M
q
A B
FAx FAy
2
l
FBy
∑ M A = ql / 2 + M − FBy l 2 ∑ M B = ql / 2 − M − FAy l
力系的平衡条件为 如果 ∑ Fx = 0 r 主矢 R 垂直 x-x 轴 如果 OA 不垂直r 轴 x ∑ M A = 0 则主矢R = 0 主矩 M = ∑ M O = 0
平面任意力系对O 平面任意力系对O简化的结果得主矢和主矩
刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习 理力、
r R
A
M
B
O
平：
平衡微分关系
FP
直杆微分关系
dFQ dFN dM = FQ , = −q( x ) , = − p( x ) dx dx dx
M FN FQ q dx dx M+dM FN+d FN FQ+dFQ
dFQ dFN dM = FQ , = −q( x ) , = − p( x ) dx dx dx
三矩式
力系的平衡条件为 如果 ∑ M A = 0 r 主矢 R 在OA线上 如果B不在OA线上 r ∑ M B = 0 则主矢R = 0 主矩 M = ∑ M O = 0
平面任意力系对O 平面任意力系对O简化的结果得主矢和主矩
刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习 理力、
简支梁AB受图示荷载作用，试求A 简支梁AB受图示荷载作用，试求A、B 受图示荷载作用 M 的支座反力。 的支座反力。
理力、材力相关内容复习 理力、 r r π r r 平面的情况 (F , i ) = α (F , j ) = − α 2
P
P
y
B′′
FPy
A′′ A A′
r FPy r F rP
B
FPx FPx
B′ x
FPx = FP cos α FPy = FP sin α Py r r r r FPx = FPx i FPy = FPy j r r r FP = FPx + FPy r r = FPx i + FPy j
q
∑ Fx = FAx = 0
A
B
FAx FAy
l
FBy
FAy = ql / 2 − M / l
2
M B = ql / 2 − M − FAy l = 0 FBy = ql / 2 + M / l ∑ 2 ∑ M A = ql / 2 + M − FBy l = 0
理力、材力相关内容复习 理力、
简支梁AB受图示荷载作用，试求A 简支梁AB受图示荷载作用，试求A、B 受图示荷载作用 的支座反力。 M 的支座反力。
B r r FP r FPz FPz FPx B′′ r A FPy
FPx
A′
y
B′
力的投影、 力的投影、分解和合成
FPy
已知： kN，AB的倾角为 的倾角为30 已知：FP=100 kN，AB的倾角为30o。 试求图示力在坐标轴上的投影。 试求图示力在坐标轴上的投影。如果 倾角为210 投影又为多少？ 倾角为210o，投影又为多少？