人教版高中数学选修2-1《椭圆的标准方程》知识点讲义
2020年高二上学期数学人教旧版选修2-1(全)：椭圆的方程及其性质-《讲义教师版》
椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5 D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.（2020秋∙兴庆区校级期末）点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．【答案】详见解析【解析】题干解析:设d是点M到直线l：x=的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P={M|=}，（4分）由此得=．将上式两边平方，并化简，得9x2+25y2=225．即+=1．（9分）所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．（12分）例2.已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）圆C的圆心为B（-2，0），半径r=6，|BA|=4。
高中数学人教A版选修2-1课件：2-2-1 椭圆及其标准方程
+
������2 ������
2
= 1(������ > ������ > 0).
∵2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 = 10, ∴ ������ = 5.
又 c=4,∴b2=a2-c2=9.
2.2 椭圆
-1-
2.2.1 椭圆及其标准方
三角函数
1.了解椭圆的实际背景,体验从具体情境中抽象出椭圆的过程,椭 圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及其几何图形.
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
1.利用待定系数法确定椭圆的标准方程 剖析:求椭圆的标准方程常用待定系数法.首先,要恰当地选择方 程的形式,如果不能确定焦点的位置,可用两种方法来解决问题. (1)如果明确了椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么所求的 椭圆一定是标准形式,就可以利用待定系数法.首先建立方程,然后 依据题设条件,计算出方程中的a,b的值,从而确定方程.有时方程有 两个,即:
= 1.
+
������2 ������
2
= 1(������ > ������ > 0).
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
∵点( 3, −2)和点(-2 3, 1)都在椭圆上,
而 a>b>0,∴a2=5,b2=15 不合题意. 故焦点在 y 轴上的椭圆不存在.
(-2) ( 3) + = 1, 2 2 ������ ������2 = 5, ������ ∴ ∴ 2 2 2 ������ = 15. 1 (-2 3) + = 1, 2 2 ������ ������
高中数学人教A版选修2-1第二章椭圆及其标准方程精讲讲义
当 PF1 PF 2 2a F1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
x2 y 2 1(a b 0) a2 b2
参数关系
性
焦点
(c,0), (c,0)
质
焦距
范围
| x | a,| y | b
a2 b2 c2 2c
y2 a2
x2 b2
举一反三：【变式 1】两焦点的坐标分别为 0,4，0，- 4，且椭圆经过点（5,0）。
【变式 2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 x 2 y 2 1有相同的焦点，并且经过点（3， 94
－2），求此椭圆的方程。
2
类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例 3．椭圆 x 2 y 2 1(a>b>0)的半焦距为 c，若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c，求 a2 b2
(Ⅰ)求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程;
5：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
弦长公式：若直线 l : y kx b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点， A（x1, y1), B(x2 , y2 ) 则
弦长 AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 x1 x2
5
举一反三【变式 1】已知直线 l：y=2x+m 与椭圆 C： x2 y2 1 交于 A、B 两点 54
(1) 求 m 的取值范围
(2) 若|AB|= 5 15 ，求 m 的值 6
例 9、已知椭圆 C： x2 y2 1 ，直线 l:y=kx+1,与 C 交于 AB 两点，k 为何值时，OA⊥OB. 4
人教版数学选修21第二章椭圆椭圆的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 对椭圆定义的理解平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹(或集合)叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距。
根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M 满足集合()a MF MF M P 221=+=，c F F 221=，0>a ，0>c ，且a 、c 都为常数。
当c a >即c a 22>时，集合P 为椭圆。
当c a =即c a 22=时，集合P 为线段21F F 。
当c a <即c a 22<时集合P 为空集。
对于后两种情况我们应该注意，它们可以帮助我们理解椭圆的定义，并在具体问题中做 出适当的判断。
知识点二 椭圆的标准方程根据椭圆的定义，结合求曲线方程的步骤，寻求它的方程，方程的繁简取决于坐标系的建立。
首先，可以结合椭圆的形状，感性地认识到椭圆具有对称性，并利用对称性来建立适当的坐标系。
其次，如何将椭圆定义中线段长度关系用坐标的形式表示出来，于是设椭圆上任意一点坐标为()y x M ,，M 点到两焦点间的距离之和为常数a 2,即()()a y c x y c x 22222=+-+++，然后化简方程。
其中带根式方程的化简较困难，原因可能是方法不当，也可能是运算较繁，在推导过程中，只要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解。
关于0>>c a 、022>-c a 、()0222>=-b b c a 以及为什么要设222b c a =-,这正是定义中括号内内容强调的所在，在学习过程中一定要深刻地认识和体会。
特别地，引入b的作用是为了使方程的形式简单，到下节研究椭圆的性质，就可以明确b 的几何意义。
至于焦点在y 轴上的情形，可仿上研究。
此外：①在椭圆的两种标准方程中，总是0>>b a ；②如果椭圆的焦点在x 轴上，则焦点坐标为()()0,,0,c c -；如果焦点在y轴上，则焦点坐标为()()c c -,0,,0；③a 、b 、c 有关系式222c b a +=；④两种形式的椭圆标准方程都可以写成122=+ny mx ()n m n m ≠>>,0,0，这为后面的学习奠定了基础。
第二章第二节第一小节椭圆及其标准方程 课件-人教版高中数学选修2-1
例 1 如图，P 为圆 B：(x＋2)2＋y2＝36 上一动
点，点 A 坐标为(2,0)，线段 AP 的垂直平分
线交直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程.
跟踪训练 1
2.1.1(二）
已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点 B(3，0)，
圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程.
例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点2.1P.1，(二）过 点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是 什么？为什么？
相关点法求轨迹方程
问题 从例 2 你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
答案 圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.
直接法求轨迹方程
小结 通过例 3 的学习，体会椭圆的另一种生成方法： 一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数 (不等于－1)，轨迹即为椭圆， 但要注意除去不符合题意的点.
1.解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是 2.注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.x2 来自21ab
0
F(±c，0)
F(0，±c)
a2=b2+c2
特点1：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
特点2：焦点在x轴的椭圆 焦点在y轴的椭圆
x2 y2
项分母较大. 项分母较大.
谁的分母大，焦点就在谁的轴上
定义法求轨迹方程
2.1.1(二）
跟踪训练 2
2.1.1(二）
如图，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，
点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点， 且|MD|＝45|PD|.当 P 在圆上运动时，
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.1 椭圆及其标准方程
π 3
=
43mn.
由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=20,即 m+n=20.
①
又由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos π3=|F1F2|2,
即 m2+n2-mn=122.
②
由①2-②,得 mn=2536,故������△������������1������2 = 43mn=634 3.
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
目标导航
预习导引
学习目 标
重点难 点
1.能用数学符号或自然语言描述椭圆的定义. 2.能说出椭圆标准方程的两种形式及其推导过程. 3.会根据条件确定椭圆的标准方程,并会用待定系数法 求椭圆的标准方程. 重点:椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式. 难点:椭圆标准方程的推导与化简.
由椭圆的定义得 10=|PF1|+|PF2|,
即 100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=25,
所以������△������1������������2 = 12|PF1|·|PF2|·sin 60°=254 3.
一 二三
知识精要
典题例解
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例
3】
已知
P
为椭圆 ������2
25
+
4������2 75
=1
上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,
∠F1PF2=60°,求△F1PF2 的面积.
思路分析:由������△������1������������2 = 12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 可知,只要求得
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 第2课时椭圆的标准方程及性质的应用
第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点)[基础·初探]教材整理1点与椭圆的位置关系阅读教材P43～46，完成下列问题.点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔________________；点P在椭圆内部⇔________________；点P在椭圆外部⇔________________.【答案】x20a2＋y20b2＝1x20a2＋y20b2<1x20a2＋y20b2>1若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________.【解析】∵点A在椭圆内部，∴a24＋12＜1，∴a2＜2，∴－2＜a＜ 2.【答案】(－2，2)教材整理2直线与椭圆的位置关系阅读教材P47例7，完成下列问题.直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程.位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 ________解 Δ____0 相切 ________解 Δ____0 相离________解Δ____0【答案】 两 > 一 ＝ 无 <直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】联立⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0， ∴直线与椭圆相交. 【答案】 C[小组合作型]直线与椭圆位置关系的判断对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系.【精彩点拨】联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论【自主解答】联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ②将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2).当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离.1.直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件.2.判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y (或x )，得到关于x (或y )的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ＞0，Δ＜0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.[再练一题]1.若把本例中直线方程改为“y ＝2x ＋m ”，椭圆方程改为“x 24＋y 22＝1”，试讨论直线与椭圆的位置关系.【解】由直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，并整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③方程③的判别式为Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ＞0，得－32＜m ＜32，也就是当－32＜m ＜32时，方程③有两个不相等的实数根，可知原方程组有两个不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点，即直线l 与椭圆C 相交.(2)由Δ＝0，得m ＝±32，也就是当m ＝±32时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组有两个相同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即直线l 与椭圆C 相切.(3)由Δ＜0，得m ＜－32或m ＞32，也就是当m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数根，这时直线l 与椭圆C 没有公共点，即直线l 和椭圆C 相离.弦长问题已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (20)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C;【导学号：37792059】(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程.【精彩点拨】 (1)采用什么方法求动点P 的轨迹；(2)求弦长|MN |时需要具体求出M 、N 的坐标吗，如何表示出弦长|MN |. 【自主解答】 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－12.∴yx ＋2·y x －2＝－12， 化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2). (2)设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.∴x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1·x 2＝0. |MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍). ∴k ＝±1，经检验符合题意.∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长.(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.[再练一题]2.求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截线段的长度.【解】 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3).设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8. ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(9＋32)＝415.[探究共研型]中点弦问题探究1 直线l 11B (x 2，y 2)及弦AB 的中点P (x 0，y 0)，试写出x 0，y 0与x 1，y 1，x 2，y 2的关系.【提示】 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22. 探究2 怎样处理与弦的中点有关的问题？【提示】 在处理与弦的中点有关的问题时，主要有两种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得b2(x 21－x 22)＋a 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程.【导学号：37792060】【精彩点拨】 可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解，也可以考虑利用点差法求解.【自主解答】 法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2).代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解之得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2,1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一是设出方程，根据中点坐标求出k ；法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”.[再练一题]3.焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程.【解】 设y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50. ①由⎩⎨⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为x 1＋x 22＝12， 所以6b 2a 2＋9b 2＝12. 所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.1.已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则下列说法正确的是( ) A.点(－2,3)在椭圆外 B.点(3,2)在椭圆上 C.点(－2，－3)在椭圆内 D.点(2，－3)在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D. 【答案】 D2.若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63 C.±63 D.±33【解析】 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63.【答案】 C3.若直线y ＝2x ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1无公共点，则b 的取值范围为________.【导学号：37792061】【解析】由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，x 24＋y 2＝1，得x 24＋(2x ＋b )2＝1.整理得17x 2＋16bx ＋4b 2－4＝0. Δ＝(16b )2－4×17(4b 2－4)＜0， 解得b ＞17或b ＜－17.【答案】 (－∞，－17)∪(17，＋∞)4.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.【解】 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1， ∴c ＝a 2－b 2＝3，∴F (3，0)，∴直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(83)2－4×5×85＝85.。
人教版高中数学选修2-2-1《椭圆及其标准方程》ppt课件
步骤二：设点
步骤三：列式
步骤四：化简、证明方程
椭圆的方程
y
o
以经过椭圆焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。 设 M（x，y）是椭圆上的任一点， 设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦 点的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)
y
F2 M
o
F1
x
只需将 x，y 交换位置 即得椭圆的标准方程：
y x 2 1 a b 0 2 a b
2
2
这叫做椭圆的另一个标准方程
椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上的标准方程：
x2 y 2 2 1 a b 0 2 a b
2.焦点在y轴上的标准方程：
y x 2 1 a b 0 2 a b
x
故由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a （a > c）
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
移项，得
( x c ) y 2a ( x c ) y
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2
化简，得
(a c ) x a y a (a c )
六:课堂小结
1.学到了哪些知识？ 2.解决哪些题型？ 3.用到哪些数学思想方法？
焦点在x轴上 不 同
y M
焦点在y轴上
y F2 M x
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
点
标准方程 焦点坐标
2 2 y x x y 2 1(a b 0) 2 + = 1 a > b > 0 a b a 2 b2
数学：2.2.1《椭圆的标准方程》PPT课件(新人教A版选修2-1)
自己动手试试看: 自己动手试试看 取一条定
长为6cm的细绳，把它的两 的细绳， 长为 的细绳 端固定在画板上的F 端固定在画板上的 1 和F 2 两点，用铅笔尖把细绳拉紧, 两点，用铅笔尖把细绳拉紧 使铅笔尖在图板上缓慢移动, 使铅笔尖在图板上缓慢移动 仔细观察,你画出的是一个 仔细观察 你画出的是一个 什么样的图形呢? 什么样的图形呢
√(x+c)2+y2 +√(x-c)2+y2 =2a
将这个方程移项，两边平方，得 (x+c)2 + y2=4a2-4a √(x - c)2+y2 +(x - c)2+y2 , a2-cx = a √(x-c)2+y2 . 两边再平方，得 4-2a2cx+c2x2 = a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 , a 整理得 2-c2)x2+a2y2 = a2(a2-c2) . （a
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
x y 两 同 以 b ， 得 2 + 2 =1 边 除 a a b
x y (1)焦 在 上: 2 + 2 =1(a > b > 0) 点 x轴 a2 b2 y x (2)焦 在 上: 2 + 2 =1(a > b > 0) 点 y轴 a b
2
2
椭圆方程有特点 系数为正加相连 分母较大焦点定 右边数“ 记心间 右边数“1”记心间
x y ( 2.椭 圆 + =1 焦距为 ,则m的值 C) 的 2 等于 m 4
2 2
A 5 B 3 C 3或5 D 以上都不对
二、填空题： 填空题： 1.已知 2 已知a+b=10,c= 2 5 ,则椭圆的标准 已知 则椭圆的标准 2 2 2 x y y x 方程为_______________________________________ + =1 或 + =1 36 16 36 16
高中数学 椭圆及其标准方程1课件 新人教版选修2-1
(y0)
课堂总结：
1、椭圆的定义 平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等 于常数（记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是： 椭圆 （1）当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为_____； 线段F1F2 （2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点的轨迹为_________;. 不存在 （3）当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹________。 2、椭圆的标准方程 -----X型 ----Y 型
•问题1：画出草图，分析点A的轨迹是怎 样的？
•问题2：要求点A的轨迹方程，应怎样 建立坐标系？
例2、已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。 变题一：已知B(-3,0)，C(3,0)，|CA|、|BC|、 |AB|成等差数列，求A点的轨迹方程。 变题二：在△ABC中, B(-3,0)，C(3,0)， sinB+sinC=2sinA，求顶点A的轨迹方程。
a c 0
2 2
令 a 2 c 2 b 2 ,其中 b 0 代入上式，得
b x a y a b
2 2 2 2
2 2
y M
即
x y 2 1 ( a b 0) 2 a b
2
2
F1
O
F2
x
该方程叫做椭圆的标准方程。
焦点是F1(-c,0)、F2(c,0) 这里， a b c
设|F1F2|=2c(c>0), M(x,y)为椭圆上的任意一点，
则F1(-c,0)、F2(c,0)
又设M与F1、F2距离之和 等于2a,
F1
y M O F2
人教A版高中数学选修2-1课件高二《2.2.1椭圆及其标准方程》
练 习：
（1） 点 A，B 的坐标是 (1,0),(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2，点 M 的轨迹是 什么？
练 习： （1） 点 A，B 的坐标是 (1,0),(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2，点 M 的轨迹是 什么？
例 1. 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在圆上运 动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？
例 2．已知动圆 M 过定点 A (3,0) ，并且在 定圆 ( x 3)2 y2 64 的内部与其相切，求动 圆圆心 M 的轨迹方程。
例 2．已知椭圆两个焦点的坐标分别是 (2,0), (2,0), 并且经过点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程.
22
举例分析
例 3．已知 B、C 是两个定点，|BC|=8，且△ ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨 迹方程。
巩固练习
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴ 焦点在 x 轴上，焦距等于 4，并且经过点
讲授新课
1. 定义椭圆： 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2. 椭圆标准方程的推导：
讲授新课
1. 定义椭圆： 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2．教材 P42 面 1、3 题
巩固练习
人教B版数学选修2-1课件：2.2.1 椭圆的标准方程
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
A.2 B.3
C.5 D.7
解析:由椭圆的定义得,点Q到另一个焦点的距离为10-3=7.
答案:D
2.椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上
标准方程
x2 y2 a2 + b2 = 1(������ > ������ > 0)
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0)
a,b,c 的关系 a2=b2+c2
焦点在 y 轴上
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点 M的轨迹是( )
A.椭圆
B.线段
C.圆 D.以上都不对
解析:由题意可知,|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,故点M的轨迹是线段
F1F2. 答案:B
【做一做1-2】 已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之 和等于10,若椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的 距离为( )
形的三条边,都是正数,a是斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2,其中c是
焦距的一半,叫做半焦距.
名师点拨方程 Ax2+By2=C(A,B,C 均不为 0)可化为
������������2 ������������2
������ + ������ = 1,
即
������2
������
+
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1椭圆及其标准方程 课件(22张ppt)
想一想
生活中或是
自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
观察以下几组图片
我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数 学中的椭圆及其标准方程
椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
x2 a2
y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知
9 a2
4 a2 5
1，所以
a ＝2 15.所以所
求椭圆的标准方程为
x2 y2 1
15 10
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a
（1）+（2）得：
（xc)2 y2
=
xc a
+a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
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几何性质
椭圆方程 图形特征
范围
几何 性质
顶点
焦点
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12
12
e
c a
(0e1)
e
c a
(0e1)
|M 1| F ae0,x |M 2| F ae0x|M 1| a F e y 0 ,|M 2| a F e y 0
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