2013年春《概率统计》作业及答案

1. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取3个来检查，

如果发现其中有次品，则认为这批产品不合格．假定每批产品中的次品最多不超过2

解：设事件A i ={i=0，1。2}，则 P （A 0）=0.3,P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.3 设事件A={一批产品能通过检查} 则P(A ︱A 0)=1

P(A ︱A 1)= 399

3100

C C =0.97

P(A ︱A 2)= 398

3100

0.96C C =

由概率公式：

0011220000()()()()()()()

0.310.40.970.30.960.30.3880.2880.976()()()

()()()

0.30.3070.976

P A P A P A A P A P A A P A P A A P A A P A P A A P A P A P A =∣+⎪+⎪=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪A ==

⨯1=≈

2. 发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”

。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“·”

时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“·”。求当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。 解：

3. 两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05，第二台出现废品的概率为

0.02，加工的零件混放在一起。若第一台车床与第二台车床加工的零件数比例为5 : 4，求任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率。

1:解设A 表示取出一件是合格品B 表示产品为第一台机床加工

()

21212112210.050.95()10.020.98

54

(),()99

()()()()()54

0.950.98990.96

B P A B P A B P B P B P A P B P A B P B P A B ∣=-=∣=-==

==∣+∣=⨯+⨯≈表示产品为第二台机床加工则

4. 用甲胎蛋白法普查肝癌，由过去的资料得到灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概

率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。又已知广州肝癌发病率为0.02%（1999年数据），即每一万广州人中有两人得肝癌。假设某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？

{}{}()

()()

()()()()0.02%95%

0.19%0.02%95%(10.02%)(190%)

B P B P A B P B A P B P A B P B P A B =∣∣=

∣+∣⨯=≈⨯+-⨯-解：令A=检验结果是阳性，他真的患病，则因此，他真的患病的可能性很小，不用沮丧。

5. 设随机变量)4,4(~N X ，求：

（1）(210)P X -<≤；

（2）确定d ，使得()0.9P X d >≥。

解：（1）244104

(210)(

)(2)(2)

333

2(2)120.977210.9544

X P X P -----<≤=<≤=Φ-Φ-=Φ-=⨯-= （2）由4444()(

)1()()0.9(1.28)3333

X d d d

P X d P ---->=>=-Φ=Φ≥=Φ 得

4 1.283

d

-≥，故 0.16d ≤。

():(1)(210)244104

(

)2224

(33)

2

(3)(3)(3)[1(3)]2(3)120.998710.9974(2)()

4412

241()0.9

2410.9

21 1.29( 1.29)4

1.2921.42

P X X P X P P X d X d P d d d d -<≤----=<≤-=-<≤=φ-φ-=φ--φ=φ-=⨯-=>--⎛⎫=-≤ ⎪

⎝⎭-=-φ≥-⎛⎫∴φ≤- ⎪⎝⎭=-φ=φ--<-<解

6. 设连续随机变量X 的概率密度为：

2

()1A

f x x =

+，x -∞<<∞ 求：（1）常数A ；

（2）X 落在区间[0,1]内的概率；

（3）X

Y e =的概率密度。

解：（1）由概率密度的性质，有

221

1()arctan 11A f x dx dx A dx A x A x x π

∞

∞∞

∞

-∞

-∞

-∞-∞

=

====++⎰

⎰⎰，故

1

A π

=

。

（2）由概率计算公式知，所求概率为

1

1

02

1111(01)arctan (1)44P X dx x x ππππ≤≤===⋅=+⎰

。 22(3)0()()()()1

111()()()1(1)

x Iny

x

Y x Y x Y e y F y P e y P X Iny f x dx

f y f Iny Iny In y y y In y ππ-∞

=>=≤=≤=

'==

=

++⎰

由当时,

7. 设随机变量X 的分布函数为 ()arctan F x A B x =+，x -∞<<+∞。

求：（1）常数,A B ；

(2) (||1)P X <； （3）X 的概率密度。

()()()()

20,1021

211

,211

(2)()arctan 2(1)(11)

1111

(1)(1)(arctan1)(arctan(1))

22111=.()442(3)1

1F A B A B F x x P x P x F F X x x πππ

π

ππ

πππππ-∞=+∞=⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨

⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩

=

=

+||<=-<<=--=+-+---='-∞<<+∞+解:(1)F 得

解得:A=由(1)得的概率为

f(x)=F (x)=

8. 设二维连续随机变量(,)X Y 的联合概率密度为

(2),(,)0,

x y Ce f x y -+⎧=⎨⎩,0;

.x y >其它

求：（1）常数C ；

（2）概率(3)P X Y +≤；

（3）X 、Y 的边缘概率密度；并判断X 与Y 是否独立。