24.4解直角三角形应用教案

合集下载

24.4.4 解直角三角形的应用—坡度与坡角(课件)九年级数学上册(华东师大版)

第24章解直角三角形
与地面的倾斜角分别是 45°和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1， 2 1.414
3 1.732 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，
垂足分别为E、F．由题意可知 DE＝CF＝4 (米)，
12 米
D
C
4米
45°
30°
A
E
F
B
CD＝EF＝12 (米)．
在 Rt△ADE 中，
第24章解直角三角形
=
9.28
(m)，DF
=
2.5×5.A8
=
14.5
E (m).
β i2 = 1 : 2.5 5.8
F
D
∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
∵ tan
=
i1
1 ，tan 1.6
=
i2=
1， 2.5
∴ 32°， 21° .
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
第24章解直角三角形
典例讲解
例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ，求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°）
第24章解直角三角形
课堂练习
1. 斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角 α =_3_0_度. 2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 1__:_1__. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_1__: __3__.

华师大版九年级数学上24.4解直角三角形优秀教学案例

5.作业设计的针对性和实用性
本案例的作业设计紧密结合课堂所学，既注重巩固基础知识，又强调实际应用。通过设计具有挑战性的实际问题，让学生在课后继续探讨，培养他们学以致用的能力。同时，学习心得的撰写也使学生能够反思自身的学习过程，不断提高学习能力。
五、案例亮点
1.情境教学法的巧妙运用
本案例通过将实际生活中的问题引入课堂，使学生能够身临其境地感受数学知识的应用。这种情境教学法有助于激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。同时，紧密联系生活实际的案例，使学生能够深刻体会到数学知识的实用性和价值。
2.问题驱动的教学策略
本案例以一系列由浅入深的问题为导向，引导学生主动思考、积极探索。这种问题驱动法有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，使他们在不断解决问题的过程中掌握解直角三角形的技巧。
2.运用问题驱动法，设计不同难度的问题，引导学生逐步深入探讨，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.结合小组合作学习，让学生在实践中相互启发、共同成长，提高合作意识和团队精神。
4.利用现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，辅助教学，提高课堂教学效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，让他们认识到数学知识在解决实际问题中的重要性，增强学习数学的自信心。
华师大版九年级数学上24.4解直角三角形优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，解直角三角形是九年级学生必须掌握的重要知识点。华师大版九年级数学上册第24.4节，正是围绕这一主题展开。本案例旨在通过优秀的教学设计，让学生在实际问题中运用解直角三角形的技巧，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向法，引导学生主动思考、积极探索。设计一系列由浅入深的问题，如：

24.4 解直角三角形华东师大版数学九年级上册教案1

解直角三角形【教学目标】1．巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。

2．学会运用三角函数解直角三角形。

3．掌握解直角三角形的几种情况。

【教学重难点】1．重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

2．难点：运用三角函数解直角三角形。

【教学过程】一、导入我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具。

例1：一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处。

大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为：；26＋10＝36（米）。

所以，大树在折断之前高为36米。

在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角。

像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

例2：如图，东西两炮台A．B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。

（精确到1米）解：在Rt△ABC中，因为∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，＝tan∠CAB，所以：BC＝AB•tan∠CAB=2000×tan50゜≈2384(米)。

又因为，所以AC＝。

答：敌舰与A．B两炮台的距离分别约为3111米和2384米。

在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。

解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角。

二、课堂练习1．在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2．海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离。

（画出图形后计算，精确到0.1海里）。

华师大版数学九年级上册24.4 解直角三角形教案1

24.4 解直角三角形1. 解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模〞的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形〞的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形〞的含义：在直角三角形中，由元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素〞的内涵，至于“元素〞的定义不作深究.问：上面例子中，假设要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离〔准确到1米〕.解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384〔米〕.∵ABAC=cos50°,∴AC=20005050ABcos cos=︒︒≈3111〔米〕.答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比拟，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更准确.问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？〔几个学生展示〕学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：〔1〕两条边；〔2〕一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素〔至少有一个是边〕就可以求出其余的3个元素.〞三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.〔画出图形后计算，准确到0.1海里〕四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形〞是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即两边或一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.五、教学反思通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形〞的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.2. 解直角三角形——仰角、俯角问题【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.〔准确到0.1米〕你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚刚的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3〔米〕.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.〔准确到0.1m〕解:过点D作DE⊥AB于点E，那么∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠×tan43°24′≈30.83〔m〕.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠×tan35°12′≈23.00〔m〕.∴≈7.8〔m〕答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？〔准确到0.01km/s〕2.如下图，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.〔结果准确到0.1米，参考数据：3≈1.73〕四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？五、教学反思本节课从学生承受知识的最近开展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.3. 解直角三角形——坡角、坡度问题【知识与技能】1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.【过程与方法】经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】解决有关坡度的实际问题.一、情境导入，初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度〔h〕和水平长度〔l〕的比叫做坡面坡度〔或坡比〕，记作i，即i=hl.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=hl=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.二、思考探究，获取新知例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.〔准确到0.1米〕例2学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3〔即CD与BC的长度之比〕.A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°,那么易求AC=6米，BC=63米.在Rt△BDC中，i=13 DCBC=.易得DC=1233BC=米.∴AD=AC-DC=〔6-23〕米.三、运用新知，深化理解1.一坡面的坡度i=1∶3,那么坡角α为〔〕A.15°B.20°C.30°D.45°∶3的坡面向上走50米，那么他离地面的高度为〔〕33米3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶3，那么此处大坝的坡角和高分别是______米.4.如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，那么这束光线与坡面的夹角α是______.5.如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.°3 5.〔3〕m四、师生互动，课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.五、教学反思本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.。

华东师大版九年级数学上册《24章解直角三角形 24.4 解直角三角形解直角三角形》公开课教案_22

24.4解直角三角形（第一课时）一、教学目标知识与技能：1、理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三种关系式解直角三角形。

2、能从从具体问题中化归出直角三角形，并解直角三角形。

过程与方法：让学生在探究并解决解直角三角形的过程中，体验实际问题化归为数学问题的过程，并初步形成数学化归、建模思想。

情感、态度与价值观：通过实际问题，让学生体验运用数学知识解决实际问题的乐趣，体验数学源于生活又用于生活的美好感受。

二、教学重难点重点：运用直角三角形的边角关系解直角三角形中的未知元素。

难点：1、将实际问题化归成解直角三角形的问题；2、解决问题时边角关系的选择。

三、教学过程：（一）复习1．直角三角形有几条边？几个角？点出：直角三角形的角和边称之谓“元素”。

2．直角三角形的5个不确定元素之间满足哪些关系式？（二）探究1．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，（1）如果∠A=30°，则∠B= 度。

（提问：能求出边的长度吗？）（2）如果a =1，b = 1，则 c = 。

（提问：能求出角的度数吗？）（3）如果∠A=30°，a =1，你能求出三角形哪些角，那些边？2.解直角三角形的定义：已知求未知解直角三角形两种类型：类型一、已知两边类型二、已知一边一角练习：（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, AC= ，AB=4，则：BC= , ∠A= 度，∠B= 度。

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A=450,AB=8,则：∠B= 度，AC= , BC= 。

（三）应用例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面3米折断倒下，树顶在离树根4米处，大树在折断之前高多少？（教师示例）例2、一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东400，距离70海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向，求这艘轮船的速度。

（参考数据sin50°≈0.77 ，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，精确到1海里/时）（教师点拨、学生练习）思考、小明（点B ）在平地上放风筝（点A ），小明发现风筝在他上方的450方向，风筝线AC=米；小明的妈妈（点C ）与他同样高，妈妈发现风筝在她上方的300方向.你知道小明和妈妈相距多远吗？（结果保留根号）（教师点拨、学生练习）（四）小结让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。

九年级数学上册24.4解直角三角形(1)教案华东师大版

24。

4解直角三角形（1）教学目标:利用直角三角形边角之间的关系，解决与直角三角形有关的实际问题教学重点:解直角三角形的有关知识教学难点：运用所学知识解决实际问题教学过程:一、复习提问1. Rt △中的关系式。

（∠C=90°)1）角：∠A ﹢∠B=90°2）边；a 2 ﹢b 2=c 23）边角关系:sinA=c a coA=c b tanA=b a cotA=ab 2. △ABC 中，若∠C=90°，∠A=30°，c=10㎝，则a=21c=5㎝，b=3a=53㎝；若∠A=40°,c=10㎝，则由sinA=ca ，∴︒=⋅=40sin 10sin A c a ，由cosA= cb ，∴︒=⋅=40cos 10cos Ac b 由以知的边角关系，求得未知的边与角，叫做解直角三角形。

二、新授看教材112页例1、例2得出：1。

解Rt △的定义；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2.解Rt △，只有下面两种情况:1）已知两条边2）已知一条边和一个锐角3.在解Rt △的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。

例3. 某施工人员在离地面高度为5BC A BCA米的C 处引拉电线杆,若固定点离电线杆3米,如图所示，则至少需要多长的缆线AC 才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）分析:由图可知，AC 是Rt △ABC 的斜边，利用勾股定理就可求出.解:在Rt △ABC 中，AC=22BC AB +=2235+=34≈5。

83（米）答：至少需要5.83米的缆线AC 才能拉住电线杆。

三、引申提高：例4。

如图，上午8时，小明从电视转播塔C 的正北方向B 处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发,2小时后到达A 处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）解：在RtABC 中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30(千米）,∵tan ∠CAB=ABBC ，∴︒=∠⋅=40tan 30tan CAB AB BC ≈25(千米）， ∵cos ∠CAB=AC AB ，∴AC=︒40cos AB ≈39（千米) 答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米,此时距电视塔39千米.变式：若已知敌舰与A 炮台的距离及∠DAC 的读书分，如何求两炮台间的距离？测量中能应用解直角三角形的知识吗？四。

华师大版九年级数学上24.4解直角三角形说课稿

（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：通过引入实际生活中的问题，让学生感受到数学的实用价值，从而激发学习兴趣；
2.分组讨论：组织学生进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的合作意识和团队精神；
3.激励评价：对学生在课堂上的表现给予积极评价，提高学生的自信心和成就感；
4.拓展延伸：鼓励学生将所学知识拓展到其他领域，如物理、地理等，增强学生跨学科应用的能力；
5.互动游戏：设计一些与解直角三角形相关的数学游戏，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高学习效率。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、探究式教学和分组合作学习。选择这些方法的理论依据如下：
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识和团队精神。
3.实践活动：安排一次户外实践活动，让学生运用所学知识解决实际问题，如测量建筑物的高度、计算斜坡的倾斜度等。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
1.自我评价：让学生回顾本节课所学内容，对自己的学习情况进行评价，发现自身的优点和不足。
3.反思教学过程中的时间管理，优化教学流程，确保教学质量。
-培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是九年级的学生，这一年龄段的学生正处于青春期，他们的思维活跃，好奇心强，具有一定的探究精神。在认知水平上，他们已经具备了基本的数学知识和逻辑思维能力，能够理解并运用一些抽象的数学概念。学习兴趣方面，学生对数学的兴趣因个体差异而异，但大多数学生对解决实际问题具有较强的兴趣。在学习习惯上，学生已经养成了预习、听讲、复习的学习流程，但部分学生可能在学习过程中缺乏主动性和合作意识。

华师版九年级数学上册教案：第24章解直角三角形4 解直角三角形(3课时)

24.4解直角三角形第1课时解直角三角形一、基本目标理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.二、重难点目标【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P111～P113的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．任何一个三角形都有__六__个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出__未知__元素的过程,叫做解直角三角形．2．在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余,即∠A＋∠B＝__90°__；(2)三边满足__勾股定理__,即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac,cos A＝sin B＝bc,tan A＝ab,tan B＝ba.3．Rt△ABC中,若∠C＝90°,sin A＝45,AB＝10,那么BC＝__8__,tan B＝__34__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且a＝20,∠B ＝35°,解这个三角形．(精确到0.1,参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)【互动探索】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素,要求解直角三角形,一般从直角三角形的性质出发,结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题．【解答】∵在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,∴∠A＝55°.∵BC＝20,∠B＝35°,∴tan 35°＝AC20≈0.7,解得AC≈14.cos 35°＝BCAB＝20AB≈0.82,解得AB≈24.4.【互动总结】(学生总结,老师点评)在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝c2－a2；由sin A＝ac,求∠A；∠B＝90°－∠A 两直角边(a、b)c＝a2＋b2；由tan A＝ab,求∠A；∠B＝90°－∠A已知边和角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝ac,求a＝c·sin A；由cos A＝bc,求b＝c·cos A一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝ab,求b＝atan A；由sin A＝ac,求c＝asin A【例2】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB,河流两岸AC、BD互相平行,河流对岸有两棵树A和C,且A、C之间的距离是60米,他们在D处测得∠BDC＝36°,前行140米后测得∠BP A＝45°,请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米,参考数据：tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)【互动探索】(引发学生思考)已知一边与一角,求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线,构造直角三角形．【解答】作CH⊥BD,则BH＝AC＝60米,设AB为x米,则CH为x米．在Rt△ABP中,tan 45°＝1,∴BP＝x米,∴HD ＝BP ＋PD －BH ＝x ＋140－60＝(x ＋80)(米)．在Rt △CHD 中,∵tan ∠CDH ＝CH HD ,∴x ＋80＝xtan 36°,∴x ＝(x ＋80)tan 36°,∴x ≈216.3. 即河流的宽度约为216.3米．【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类题目一般是据题目已知特点选用适当锐角三角函数去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝15,sin A ＝13,则BC 等于( B )A ．45B ．5 C.15D ．1452．如图,AD ⊥CD ,∠ABD ＝60°,AB ＝4 m,∠ACB ＝45°,则AC ＝__26__m__.3．在△ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知c ＝10,∠B ＝30°,解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°.∵cos B ＝a c ,∴a ＝c ·cos B ＝10·cos 30°＝10×32＝5 3.∵sin B ＝b c ,∴b ＝c ·sin B ＝10·sin 30°＝10×12＝5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在锐角△ABC 中,BC ＝a ,AC ＝b .探究a sin A 与bsin B之间的关系．【互动探索】观察几何图形→作垂线,构造直角三角形→表示出sin A 、sin B →转化形式得出结论．【解答】如图,过点C 作CH ⊥AB ,垂足为H .∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°. 在Rt △BCH 中,sin A ＝CH AC ＝CH b ,∴CH ＝b ·sin A . 同理可得CH ＝a ·sin B . ∴b ·sin A ＝a ·sin B . 即a sin A ＝bsin B.【互动总结】(学生总结,老师点评)添加辅助线,构造两个直角三角形是解题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念理论依据⎩⎪⎨⎪⎧两锐角互余勾股定理锐角三角函数常见类型⎩⎪⎨⎪⎧已知两边已知一边和一角请完成本课时对应练习！第2课时仰角与俯角一、基本目标1．理解仰角、俯角的含义,能准确运用这些概念来解决一些实际问题． 2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力．二、重难点目标【教学重点】理解仰角和俯角的概念．【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P114的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做__俯角__.2. 如图,下列角中为俯角的是(C)A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠43. 如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端A点的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为__a tan_α__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,两建筑物的水平距离为32.6 m,从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)【互动探索】(引发学生思考)确定俯角α与∠ADE、俯角β与∠ACB的关系→解直角三角形．【解答】根据题意,得∠ACB＝β＝43°24′,∠ADE＝α＝35°12′,DE＝BC＝32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB＝AB BC,∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m)．在Rt△ADE中,∵tan∠ADE＝AEDE,∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m)．∴DC ＝BE ＝AB －AE ＝30.83－23.00≈7.8(m)．即两个建筑物的高分别约为30.8 m 、7.8 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)将题目中的两个俯角分别转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中,转化为解直角三角形问题是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角α＝75°,若AC ＝6米,则树高BC 为( D )A ．6sin 75°米B ．6cos 75°米C.6tan 75°米 D ．6tan 75°米2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图,他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向建筑物AB 前进10 m 到达点D 处,又测得点A 的仰角为60°,那么建筑物AB 的高度是__53__m.3. 如图,热气球探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD 为100米,试求这栋楼的高度BC .解：由题意,得α＝30°,β＝60°,AD ＝100米,∠ADC ＝∠ADB ＝90°.∴在Rt △ADB 中,α＝30°,AD ＝100米,∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33,∴BD ＝10033米．在Rt △ADC 中,β＝60°,AD ＝100米,∴tan β＝CD AD ＝CD 100＝3,∴CD ＝1003米．∴BC ＝BD ＋CD ＝10033＋1003＝40033(米),即这栋楼的高度BC 是40033米．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,某大楼顶部有一旗杆AB ,甲乙两人分别在相距6米的C 、D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°,且C 、D 、E 在一条直线上．如果DE ＝15米,求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数,参考数据：sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan65°≈ 2.1)【互动探索】分析法：要求AB ,先求出AE 与BE →解Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∠ADE ＝65°,DE ＝15米, 则tan ∠ADE ＝AEDE ,即tan 65°＝AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中,∠BCE ＝42°,CE ＝CD ＋DE ＝21米, 则tan ∠BCE ＝BE CE ,即tan 42°＝BE21≈0.9, 解得 BE ≈18.9米．则AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)．即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结,老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE 、△CBE ,利用AB ＝AE －BE 可求出答案．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)仰角与俯角⎩⎨⎧仰角⎩⎪⎨⎪⎧ 概念应用俯角⎩⎪⎨⎪⎧概念应用请完成本课时对应练习！第3课时坡度与坡角一、基本目标1．理解坡度与坡角的概念．2．会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题．二、重难点目标【教学重点】解决有关坡度的实际问题．【教学难点】理解坡度的概念和有关术语．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P115～P116的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．坡度通常写成1∶__m__的形式．2．一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为__1∶3__.3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型)；(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质,解直角三角形；(3)得到数学答案；(4)得到实际问题的答案．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC＝9.8 m,路基高BE＝5.8 m,斜坡AB的坡度i＝1∶1.6,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．【互动探索】(引发学生思考)读懂题意→作垂线,构造直角三角形→解直角三角形,得出结论．【解答】过点C作CD⊥AD于点F,则CF＝BE,EF＝BC,∠A＝α,∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5,∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m),DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6,tan β＝i′＝1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值__0.75__.2．如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i＝1∶2,则斜坡AB 的长为__65__米.3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为6 m,则这个坡面的坡度为__3∶4__.4. 如图是一座人行天桥,天桥的高12米,坡面的坡比为＝1∶1,为了方便行人推车过天桥,市政府决定降低坡度,使新的斜坡的坡角为30°,问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？解：广告牌M要拆除．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶3,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】实际问题,转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB 延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→利用三角形性质得出结论．【解答】如图,延长CA交DB延长线与点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F.则∠CED＝60°.∵AB 的坡比为1∶3, ∴∠ABE ＝30°, ∴∠BAE ＝90°. ∵AB ＝3米,∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3米,BE ＝2AE ＝23米． ∵∠C ＝∠CED ＝60°, ∴△CDE 是等边三角形． ∵AC ＝6米,∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米,则BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米), 即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题既考查了解直角三角形,也考查了等边三角形的性质,根据题目的已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)坡度与坡角⎩⎪⎨⎪⎧坡度的概念—通常写成比的形式坡角的概念—坡角越大，坡面就越陡坡度与坡角在解直角三角形中的应用请完成本课时对应练习！。

华东师大版九年级数学上册《24章解直角三角形 24.4 解直角三角形解直角三角形》公开课教案_4

24.4解直角三角形(2)教学目标:1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。

2、逐步培养分析问题、解决问题的能力。

教学重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学过程:（复习提问）1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理（2）锐角之间的关系（3）边角之间的关系导课：问题：小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以利用解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？（学生回答后引入新课课题---解直角三角形2：仰角、俯角）设疑自探看到本节课题，你想知道什么问题？（学生提出问题，教师归纳、板书，形成自探提纲）自探提示（一）：请同学们自学教材p113页内容，独立解决以下问题，时间4分钟。

1、什么叫仰角？2、什么叫俯角？3、本课导语的图中，有仰角和俯角吗？若有，请指出其中的仰角和俯角。

解疑合探（一）（学生自学结束后，小组内交流讨论自探过程中遇到的疑难问题，达成共识）1、在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；2、从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

自探提示（二）如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）(tan22°≈0.404)解疑合探（二）解：在Rt△ADE中，AE＝DE×tan a＝BC×tan a＝22.7×tan 22°≈9.17AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．质疑再探在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。

九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形2用解直角三角形解视角问题教案新版华东师大版

用解直角三角形解视角问题【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABBC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AEDE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后到达B点，此时测得BR的距离是 6.13km，仰角为45.54°，这个从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）2.如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）【答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.。

华东师大版)九年级数学上册《24.4解直角三角形》教学设计

1.利用多媒体展示生活中常见的直角三角形实物图，如楼梯、墙壁与地面形成的直角三角形等，引导学生观察并思考这些直角三角形的特点和作用。
2.提问：“我们已经学习了勾股定理，那么如何利用勾股定理来解决直角三角形中的未知问题呢？”通过这个问题，引发学生对解直角三角形方法的思考。
3.引导学生回顾Βιβλιοθήκη 股定理的内容，为新课的学习做好知识铺垫。
c.正切函数：在直角三角形中，对于角A，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanA =对边/邻边。
2.通过具体实例，讲解如何运用三角函数解决直角三角形中的未知问题，如求角度和边长。
3.结合计算器，让学生学会计算三角函数的值，并解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.如何利用三角函数解决实际问题？
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角函数的定义和性质，特别是正弦、余弦、正切函数在实际问题中的应用。
2.能够运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中的未知角度和边长问题，以及解决一些实际问题。
3.培养学生运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学导入：通过生活中的实例，如测量旗杆高度、楼间距等，引出解直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣，使其认识到数学与现实生活的紧密联系。
4.教学策略：
a.分层教学：针对学生的不同水平，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.适时反馈：在教学过程中，及时关注学生的学习情况，给予针对性的指导和鼓励，提高学生的学习信心。
5.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂讨论、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与，培养其探究精神和创新能力。

华师大数学九上24.4《解直角三角形》教学设计

24．4 解直角三角形【教学目标】一、知识目标1、巩固直角三角形中的三角函数定义。

2、选取多样性的问题，引导学生合理地选择关系式（可以用不同的三角函数关系解决问题）。

二、能力目标1.应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

2.将解直角三角形的应用分为几种问题类型，注意问题选取的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式，培养学生合情推理、数学说理及转化思想。

三、情感态度目标经历观察、操作、归纳与猜想，体会科学发现这一重要方法。

【重点难点】重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯难点：灵活地运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。

疑点：一题多解时多种方法中的灵活选择与运用。

【教学设想】课型：新授课教学思路：观察操作-概括归纳-应用提高。

【课时安排】2课时。

【教学设计】第一课时【本课目标】1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。

2.学会运用三角函数解直角三角形。

3.掌握解直角三角形的几种情况。

【教学过程】1.情境导入大屏幕展示课本第112页例1。

2、课前热身分组练习，互问互答巩固上节课的内容。

3、合作探究（1）整体感知从复习直角三角形的相关性质和锐角三角函数入手，让学生对解直角三角形的必备知识做一个必要的回顾；从例1的一棵大树的高度引出利用勾股定理解直角三角形；从战争的需要引出利用锐角三角函数解直角三角形；最后归纳总结解直角三角形的两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。

（2）四边互动互动1：师：展示如图19-4-1的所示的图形，根据图填空：sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= 。

∠A= － , =2c ＋生：独立思考，交流。

明确：sin A=斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦, cos A=斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦,tan A=的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切, cot A= 的对边的邻边A A ∠∠叫∠A 的余切一般地，在直角三角形ABC 中，当∠C=090时，sinA=c a ，c b A =cos ，tanA=ba ，cotA=a b。

华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形教学设计

3.利用几何画板、计算器等教学工具，直观演示解直角三角形的步骤，帮助学生理解和掌握相关知识。
4.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解题能力。
5.注重知识间的联系，引导学生将解直角三角形与勾股定理、相似三角形等知识进行整合，形成完整的知识体系。
（三）情பைடு நூலகம்态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的欲望。
3.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
难点：激发学生的创新思维，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设与学生生活密切相关的问题情境，引导学生主动探究解直角三角形的原理和方法。
（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题，通过合作、讨论、探究等方式解决问题，培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
2.教学内容：针对学生的个体差异，进行个性化辅导。
教学过程：关注学生的解题过程，针对不同学生的需求，给予个性化的辅导和指导。鼓励学生提问，解答学生的疑惑，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的重点知识进行梳理和总结。
教学过程：教师带领学生回顾本节课所学的知识点，如解直角三角形的原理、三角函数的应用、计算器使用等。通过提问、解答等方式，强化学生对知识点的记忆。
（3）优秀学生：完成课本习题24.4第5题，并撰写解题报告，探讨解直角三角形在实际问题中的应用。
5.预习作业：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，规范书写，确保解题过程的准确性。
2.鼓励学生在解题过程中相互讨论、交流，提高解题效率。

九年级数学上册 24.4 解直角三角形(2)教案 (新版)华东师大版

24.4 解直角三角形（2）教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念解决一些实际问题教学重点：仰角、俯角、等位角等概念教学难点：解与此有关的问题教学过程：一、仰角、俯角的概念几个概念 1.铅垂线 2.水平线 3.视线4.仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角.5.俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角.练习：1.由A 测得B 的仰角为36°，由B 去测A 时的俯角为 .2.一棵树AC 在地面上的影子BC 为10米，在树影一端B 测得树顶A 的俯角为 45°，则树高米；若仰角为60°，树高米.（精确到1米）二、应用例1．书P 96 例3例2.如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼，AB ⊥CD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶A 测乙楼顶C 的仰角α=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高.解：Rt △ACE 中，C E=︒=⋅=⋅30tan 24tan tan ααBD AE =83m ， ∴CD=CE+DE=CE+AB=（83+15）（米）答：乙楼高为（83+15）米.三、引申提高：例3.如图，为了测量顶部不能达到的建筑物AB 的高度，现在地平面上取一点C ，用测量仪测得A 点的仰角为45°，再向前进20米取一点D ，使点D 在BC 延长线上，此时测得A 的仰角为30°，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB 的高度.解：在Rt △AEG 中，EG=︒⋅45cot AG =AG ，在Rt △AFG 中， FG=︒⋅30cot AG =3AG ∴EF=FE －EG=（3－1）AG=20， ∴AG=310+11.5（米）答：建筑物AB 的高度为（310+11.5）米.说明：解此类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构建Rt △.必要时可添加适当的辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算. 变式：若点E 在FG 的延长线上，且∠AEG=45°，已知FE 的长度，其他条件不变，如何求建筑物AB 的高度？例4.如图，在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C 、D 两点，测得俯角分别为 60°和45°，若已知DC 长为20㎝，求山高.分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只需求AE.解；设AE=χ，在Rt △ADE 中，χ=︒⋅=45tan AE DE ，ACB EDACBF E DA FB在R △ACE 中，χ3330tan =︒⋅=AE CE ，DC=DE －CE=χχ33-=20， ∴31030+=χ，∴BE=AE －AB=29＋103， ∴山高为（29+103）米. 四．巩固练习.1.了解仰角、俯角的概念.2.学会几何建模，通过解Rt △求解. 五．作业.P 117 习题24.4 3。

九年级数学上册 24.4 解直角三角形(第3课时)教案 (新版)华东师大版

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ =tana
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
学做思二：
例如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
解直角三角形
课题名称
解直角三角形（3）
三维目标
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
4.学习坡度
重点目标
使学生养成“先画图，再求解”的习惯
难点目标
灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形
导入示标
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解目标三导
学做思一：
情境导入：读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i= .
达标检测
一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6 .2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD 的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）
（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习

24.4解直角三角形

《24.4 解直角三角形》教学设计迟立祥【教材分析】解直角三角形是锐角三角函数的后续内容，这两部分内容有着紧密的联系.锐角三角函数是解直角三角形的基础，而解直角三角形在实际生活中又有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了联系实际的机会.【学情分析】在学习本节内容之前，学生已经经历了勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识的学习，已经具备了学习此部分内容的知识基础.同时，结合本节内容的特点，又考虑到学生的实际情况，对本节课的难点将以教师适当引导，学生合作、探究的形式解决.【教学目标】1.在解决实际问题中体会解直角三角形；2.通过探究，总结直角三角形可解的条件；3.能够利用所学知识解直角三角形.【教学重点、难点】教学重点：解直角三角形的意义及一般方法.教学难点：探究直角三角形可解的条件.【教学过程】第一部分视频脚本【导言】直角三角形广泛存在于我们的生活当中，尤其在测绘、航海、工程建筑、机器制造等领域应用极为广泛.那么如何由已知的边或角求出未知边和角，给出什么条件才可以求出边或角就尤为重要了.这节课，我们就深入的研究一下这个问题.下面，我们先来看一个实际问题：问题1 一棵大树被大风在离地面10米处吹折,树顶落在离树根24米处.问大树在折断之前高多少？（我们把这个问题抽象成数学问题：被风吹断的树干AB，未被吹断的树干AC，地面BC构成了直角三角形ABC，其中：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10m，BC＝24m.）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10m，BC＝24m，abB由勾股定理得：222AB AC BC =+ ∴AB =26 26+10=36∴大树在折断前高36米.（设计意图：让学生体会如何将实际问题抽象成数学问题；在运用勾股定理求直角三角形的边的过程中体会解直角三角形.）下面我们换种问法：问题2 一棵大树被大风在离地面10米处吹折,折断部分与地面成角30°.问大树在折断之前高多少？（由三角函数知识我们知道：）解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵1sin 2AC B AB ==， ∴220AB AC == 20+10=30∴大树在折断前高30米.（设计意图：让学生运用刚刚学习的三角函数知识求直角三角形的边，进一步体会解直角三角形.）【讲授新知】在问题1中，除直角外，我们已知直角三角形的两边，由勾股定理算出所求边；在问题2中，除直角外，我们已知一边一角，利用三角函数知识算出所求边.像这样，在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.我们首先回忆一下：在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，其余5个元素之间有如下关系：（1）三边之间的关系：222a b c +=；（2）两锐角之间的关系：90A B ∠+∠=；（3）边角之间的关系：sin ,cos ,tan .a b aA A A c c b=== 以上这些就是我们解直角三角形的工具. 下面，我们举一个例子：例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，a =b =0.1°）.ab Bab B（分析：在这个问题中，除直角外，已知两边a 、b ，可以先利用勾股定理计算出边c ，再利用∠A 的正切值计算出∠A .解题过程如下：）解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由勾股定理得：222,c a b =+∴c =3∵tan a A b == ∴∠A ≈68.7°.∴∠B ＝90°－∠A ≈21.3°.在这道题中，我们借助勾股定理和三角函数求出了其它元素，达到了解直角三角形的目的. 我们再看一个例子：例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b =20，解这个直角三角形（精确到0.1）. （分析：因为已知∠B 和∠B 的对边，可以利用∠B 的正弦和正切计算出另外两边.解题过程如下：）解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，∴∠A ＝90°－∠B ＝55°. ∵tan ,b B a=∴28.6,tan ba B =≈ ∵sin ,bB c =∴34.9.sin bc B=≈ 在这道题中，除直角外，我们已知一边一角，借助三角函数和两锐角互余关系求出了其它元素，达到了解直角三角形的目的.在解直角三角形问题中，大家可以灵活的运用已有的知识和已知的条件，不要拘泥于一种想法，开动脑筋，开阔解题视野.好，同学们，新课我们先讲到这里，请同学们理解、掌握后完成验收题.自修验收一、选择题：1．在Rt △ABC 中，∠C =90°, ∠A =30°，b c =（ C ）（A ）1 （B （C ）2 （D2．在Rt △ABC 中，∠C =90°, AC =12，cos A =1213,则tan A =（ D ）（A ） 513 （B ）1312 （C ）125 （D ）5123．在Rt △ABC 中，∠A =90°, a =4，c 则cos C =（ C ）（A ）4 （B ）7 （C ）4 （D ）44．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =70°，c =25 ，则a （ A ）（A ）8.55 （B ）23.49 （C ）9.10 （D ）11.195．在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =，b =A =（ A ）（A ） 30° （B ）45° （C ）60° （D ） 75° 二、判断下列直角三角形是否可解6．在Rt △ABC 中，∠C =90°, ∠A =30°. （）7．在Rt △ABC 中，∠C =90°, b （）8．在Rt △ABC 中，∠C =90°, ∠A =30°，∠B =60°. （） 9．在Rt △ABC 中，∠A =90°, a =4，c =2. （） 10．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =65°，c =5. （）三、思考题：11．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，至少知道几个元素，就可以求其余元素？能否用已有的知识加以解释（答案以文本、音频、视频形式上传均可）.设计意图：巩固训练较简单直角三角形的解法，同时在解题过程中体会，至少知道几个元素，直角三角形才可解.第二部分课堂教学设计一、自学总结教师首先总结、展示自学验收题的完成情况.师：在直角三角形中，除直角外的5个元素中，至少知道几个元素，就可以求其余元素？能否用已有的知识加以解释.生：分组探究得出结论：在直角三角形中，除直角外的5个元素中，至少知道两个元素（其中至少一个是边），就可以求其余元素.生：可以用直角三角形全等的理论解释，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，其中至少一个是边，那么这两个三角形全等.也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余元素. 二、完成作业A 组自检作业1．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，且△ABC的面积为a =c =（ C ）（A）（B）（C）（D） 2．如图，∠D =90°，∠B =30°，∠ACD =45°，BC =1，则AD=（ A ）.（A（B（C（D3．如图，在正方形ABCD 中，E 在AD 上，ED =14AD , F 是CD 的中点，连结 EF 、BE 、BF ，则tan ∠EBF 的值为（ D ）（A）3 （B）4（C ）13 （D ）124．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°，∠E =30°，∠A =45°，AFDECB第3题B第2题第4题ACAC =212，则CD 的长为（ C ）（A ）（B ）6（C ）12- （D ）B 组同修作业5．有两个直角三角形纸板，一个是等腰直角三角形，另一个有一个内角为30°.若这两个三角形中各有一条边长度为1，让这两条边重合，拼出图形①，求A 、C 之间的距离（精确到0.01）.解：连接AC ，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点E . ∵BD =1∴AB =1,BD =CE =1,CD =BE ∴AE =1由勾股定理得： 2.91AC ≈C 组研修作业6．有两个直角三角形纸板，一个是等腰直角三角形，另一个有一个内角为30°.若这两个三角形中各有一条边长度为1，让这两条边重合，拼出一个新图形，求两个直角顶点之间的距离. 解：（1）若一组直角边相等，如图距离分别为0和1；AC图①（2）若斜边与直角边相等，如图距离分别为2、2和12；（3）若斜边相等，如图三、新课推介课题：解直角三角形应用（一）——仰角、俯角问题在这节课中，大家将学习到如何运用仰角、俯角以及解直角三角形的知识来测量物体的高度.请大家在课后到“学案”栏中下载自学视频及自修验收题.。