矢量平滑算法的性能分析

1 JNN1
×
⎛ ⎜⎜⎝
l
k =1,l
≠
j
ζ
j
,l
(ek
ekH
)
+
(σ
σ2 2
jn
Q×M
)
l =k +1
ek ekH (σ2j − σ
2 n
)2
)
⎞ ⎟⎟⎠
×rJ,N来自(λi)（21）
协方差矩阵的特征向量矩阵分为 Es 和 En ，其中 Es 表示信号子空间， En 表示噪声子空间。 令对角矩阵 Γ j ，在第 j 行第 j 列为 0
(P −1)M ≥ K +1 ， AJ 的结构可确定子矩阵 Εs1 和 Εs2 满秩。
Εs2 = Εs1Ψ
A
d J
Τ−1
=
AuJ Τ−1Ψ
⇒
Ψ
=
ΤΦΤ −1
（3）
矩阵 Φ 的对角元素等于矩阵 Ψ 的特征值，矩阵 Τ 的纵列表示相应的特征向量。
定义两个选择矩阵 Js1 和 Js2 ，Es 是由协方差矩阵 R 对应于 K 个最大特征值的特征向量
,N
(λi
)
=
rH J ,N
(λi
)
t
ji
t
H ki
E
Δe j ΔelH
rJ ,N (λi )
定义，ζ
j,l
:=
σ
σ2 2
jl
−
σ
2 j
σl2
(σ2j − σl2 )2
j=1 l =1
把它代入式（1）中
（19） （20）
∑ ∑ ∑ σ J,N (λi )
=
rH J ,N
(λi
)
k j =1
t ji
2
如果扰动足够小
( Es1 + ΔEs1)† ≈ (I − Es†1ΔEs1)Es†1
（9） （10）
（11） （12）
把式（12）代入式（11）得
ΔΨ ≈ Es†1(ΔEs2 − ΔEs1Ψ)
Ψti = λi ti ，ΔEs1 = Js1ΔEs ，ΔEs2 = Js2ΔEs
式（9）中的 Δλi 表示为：Δλi ≈ qiH Es†1(Js2 − λi Js1)ΔEs ti
的方位角和它的方向图几乎不变。即使少数的传感器均匀地分布在一个归-化圆形阵上，阵 列图的波动是极其小[3]。归-化圆柱阵有归-化圆形阵和归-化线性阵的特性[10]。
文献[4]为相干信号方向确定提出一个新的运算方法“矢量平滑和空间平滑”（PVFSS）， 在水下声介质中用归-化圆柱矢量传感器阵列。与常规的空间平滑[5]技术相比，它在所有的
qiH ti + qiH Δti + ΔqiH ti ≈ 1 qiH Δti + ΔqiH ti ≈ 0
式（8）的第二部分接近于 0
所以 Δλi ≈ qiH ΔΨti
让 ΔEs1 表示 Es1 的噪声扰动， ΔEs2 表示 Es2 的噪声扰动。
由 Ψ = Es†1Es2
所以 Ψ + ΔΨ = (Es1 + ΔEs1)† (Es2 + ΔEs2 )
Es1 = AJuT −1 (Js2 − λi Js1)
=
wiH
(Js2
−
λi Js1)
( ) 定义 AJd = AJuΛ
rH J,N
(λi
)
Es
=
rH J,N
(λi ) AJT −1
≈
qiH T
AJu
† (J s2 − λi J s1) AJT −1
= qiHT (Λ − λi I )T −1 = [0"0]
I ( p−1) M
⎤⎦ Εs
=
⎡ ⎢ ⎢
A
(2) J
⎤ ⎥ ⎥
Τ−1
=
A
d J
Τ−1
⎢⎣
A
(p J
)
⎥⎦
I 这里 ( p−1) M
表示一个 (p −1)M
× (p −1)M
的单位矩阵， O(p−1)M ,M
表示一个 (p −1)M
×M
的
零矩阵。作为可靠性， Εs1 和 Εs2 必须有满秩 K 。如果所有的信号源有不同的仰角和
组成的。两个列满秩矩阵 Es1 和 Es2 定义为：
Es1 = J s1Es
Es2 = Js2 Es
（4）
其中 J s1 = [I(P−1)M O ] (P−1)M ,M
J s2 = [O(P−1)M ,M I(P−1)M ]
存在一个 K × K 非奇异矩阵 Ψ
Ψ = Es†1Es2 = T ΦT −1
=
qiH ΔΨti
+
λ（i ΔqiH
ti
+
qiH
Δt
）
i
（8）
因为 Q = T −1 ，噪声 Δqi 和 Δti 是不独立的,在噪声情况下
当 i = j 时 (qiH +ΔqiH )(t j + Δt j )=1 当 i ≠ j 时(qiH +ΔqiH )(t j + Δt j )=0
我们只取第一部分，化简为：
{ } ⎡⎢diag
ζ j,l
j −1 l =1
⎤ ⎥
定义：Γ j
=
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢ ⎣
{ } diag
ζ j,l
d⎥ ⎦ l= j+1
（22）
式（21）化为
∑ σ J ,N (λi )
≈
⎛
rH J ,N
(λi
)
⎜⎜⎝
k j =1
t ji
2
1 JNN1
⎡ × ⎢EsΓ j EsH
⎢⎣
+
e jenH (σ2j − σ2n )2
0引 言
∗矢量传感器常用于定位水声信号源[1]]和应用于商业。这种定位水声信号源的方法，适
用于不相关的信号，这种方法很难处理相干信号，因为相干信号源的协方差矩阵是奇异的。 归-化圆柱阵列是一个典型的非平面阵[2]。归-化圆柱阵由一些归-化圆形子阵组成。这
些圆形子阵的中心是 z 轴并均匀的放在 z 轴方向，像归-化线性阵。归-化线性阵由简单的阵 列模式，在协方差矩阵数据采样里是一个恒定确定的结构。然而，归-化圆形阵可以覆盖 360°
2π
(
d λ
)ω
(θK
)
这里 p = 1,..., (P −1) 。上式恒定特性应用在 LS-ESPRIT 或 TLS-ESPRIT 中。定义
Εs1 = ⎡⎣I(p−1)M
O(p−1)M ,M ⎤⎦ Εs
⎡
=
⎢ ⎢
A(1) J
⎤
⎥ ⎥
T −1
=
AuJ T−1
⎢⎣
A
( p−1) J
⎥⎦
Εs2 = ⎡⎣O(p−1)M ,M
)
（1）
1 矢量平滑算法特征值分析
分 解 协 方 差 矩 阵 R 为 K 维 信 号 子 空 间 和 (L − K) 维 噪 声 子 空 间
R = Eˆ s Λˆ sEˆ sH + Eˆ nΛˆ nEˆ nH
Eˆ 是当映射的数目趋于无穷大时，渐近线接近于 E ， E 是组成对应于 K 个最大协方差矩
对 Ψ 矩阵进行特征值分解，可得：
（5）
⎡λ1
Λ
=
⎢ ⎢
%
⎤ ⎥ ⎥
=
QΨT
=
⎡ ⎢ ⎢
q1H #
⎤
⎥ ⎥
Ψ
[
t1
"
t
d
]
⎢⎣ λk ⎥⎦
⎢⎣qKH ⎥⎦
（6）
这里 Q = T −1 ，Es = AJT −1
由式（6）得： λk = qiH Ψti
（7）
这里 qi 和 ti 是 Ψ 的左右特征向量，分别 qiH Ψ = λiqiH 和 Ψti = λiti i, j = 1, 2, , k
⎤⎞
En
EnH
⎥ ⎥⎦
⎟⎟⎠
×
rJ
,
N
(λi
)
在以上讨论中，我们假设阵列几何形
rH J ,N
(λi
)
=
qiH
Es†1(J s2
−
λi
J s1)
由前面推导可得
( ) wi 是 AJu † 的第
i
AJu
行
( ) rH J ,N
(λi
)
=
qiH T
= J s1 AJ ， AJd = J s2 AJ
AJu
†
让 Δλi ， Δqi ， Δti 和 ΔΨ 分别表示在 λi ， qi ， ti 和 Ψ 上噪声引起的扰动，我们假设这种扰
( ) 动变化很小。由式（7）得： λi + Δλi = qiH + ΔqiH (Ψ + ΔΨ ) ( ti +Δti )
Δλi ≈ qiH ΔΨti + ΔqiH Ψti + qiH ΨΔti = qiH ΔΨti + ΔqiH λiti + λiqiH Δti
式（23）中的第一部分为零
（23） （24）
（25） （26）
定义参量ηi
∑ 则
1 ηi
=
k j =1
t ji
2
(σ2j
σ2j − σ2n )2
表达式σ J ,N (λi ) 为：σ J ,N (λi )
≈
σ2n ηi JNN1
rH J ,N
(λi
)
En
EnH
rJ
,N
(λi