西南大学数理统计作业及答案

数理统计第一次1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21Λ为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ ）。

（A ）∑=-ni i X n122)(μσ是统计量 （B ）∑=ni i X n122σ是统计量（C ）∑=--ni iX n 122)(1μσ是统计量 （D ）∑=ni iX n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ ）。

)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ）。

)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1Λ是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111)(C ∑=n i i X n 21)(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ ）.（A ）3/X σ； （B ）414ii X=∑； （C ）σ-1X ； （D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X L 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ ）.2() ~(,)A X N μσ2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑)()~()X D t n Sμ-7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（）( A ).12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C )52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

则2σ的最大似然估计量为（ ）。

（A ）∑=-n i i X n 12)(1μ（B ）()211∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12)(11μ（D ）()∑=--n i iX X n 12111、（D ）；2、 )(C ；3、)(C ；4、)(A ；5、（B ）；6、() ;C7、( C )；8、（B ）。

第二次1、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X ⋅⋅⋅为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则)X S μ-服从（ ）分布.2() (,)A N μσ2() (,)B N nσμ() ()C t n () (1)D t n -2、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

则2σ的置信度为1α-的区间估计的枢轴量为（ ）。

(A)()212ni i X μσ=-∑(B)()212ni i X μσ=-∑(C)()∑=-ni iX X1221σ(D)()2120ni i X X σ=-∑3、在假设检验中，下列说法正确的是（ ）。

(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误； (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。

4、对总体2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区 间，意义是指这个区间（ ）。

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 5、设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆE θθ≠，则ˆθ是θ的（ ）。

(A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计 6、设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μL 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是( ).（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量.7、设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，12,,,n X X X L 为样本，2S 为修正样本方差，则检验问题：00:H μμ=，10:H μμ≠（0μ已知）的检验统计量为（ ）. （A）)0X Sμ-（B）)0X μσ-（C）)0X μσ-（D）)0X Sμ-.1、() D ；2 (C) ；3、(A)；4、 (D)；5、 (B)；6、（A ）；7、（D ）.第三次1、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的简单随机样本，则=X D ．2、设321,,X X X 为来自正态总体),(~2σμN X 的样本，若321cX bX aX ++为μ的一个无偏估计，则=++c b a _____。

3、设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为。

4、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。

n X X X ,,,21Λ为来自总体的样本，则对假设2020σσ=：H ；2021σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是____________，它服从____________分布，自由度为____________。

5、设总体)4,1(~N X ,1210, , , X X X L 为来自该总体的样本，101110i i X X ==∑,则()D X =______.6、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是．7、已知0.9(8,20)2F =，则0.1(20,8)F =．8、设]1,[~a U X ，n X X ,,1Λ是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为．9、检验问题：()()00:H F x F x =，()()00:H F x F x ≠（()0F x 含有l 个未知参数）的皮尔逊2χ检验拒绝域为．10、设621,,,X X X Λ为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C ．11、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是（0.975 1.96μ=）.12、若线性模型为()20,,n Y X E Cov I βεεεεσ=+⎧⎨==⎩，则最小二乘估计量为．1、/n λ，2、1，3、1.71，4、22(1)n S σ-%，2χ，1n -,5、2/5，6、独立性，代表性；7、1/2；8、21X -；9、()()2211ˆ1ˆr i i i in np n l np αχ-=⎧⎫-⎪⎪>--⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑；10、1/3；11、(4.412, 5.588)；12、()1ˆX X X Y β-''=。

.第四次1、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X L 是来自总体的简单随机样本。

指出{}()212551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？2、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。

3、设12,,,n X X X L 是取自正态总体()2,N μσ的一个样本，试问()22111nii S X X n ==--∑是2σ的相合估计吗？4、设连续型总体X 的概率密度为()()22,0,00, 0xx e x p x x θθθθ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩, 12,,,n X X X L 来自总体X 的一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ，并讨论ˆθ的无偏性。

5、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.132.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。

若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值μ的0.9的置信区间。

（0.95 1.65u =） 6、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()211,Nμσ与()222,N μσ，为比较两台机床的加工精度有无显著差异。

从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下：（()()0.9750.9756,7 5.12,7,6 5.70.F F ==）7、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？1、 解：{}()21251,max ,15,i X X X i X X +≤≤-都是统计量，52X p +不是统计量，因p是未知参数。

2、 解：因为()()()222,1EX Np EX DX EX Np p Np ==+=-+，只需以211,n i i X X n =∑分别代2,EX EX 解方程组得222ˆˆ,1n n S X N p X S X==--。

3、解：由于()221n S σ-服从自由度为n-1的2χ-分布，故()()()4422222,2111ES DS n n n σσσ==⨯-=--， 从而根据车贝晓夫不等式有()()2422222001n DS P S n σσεεε→∞≤-≥≤=−−−→-，所以()22111n ii S X X n ==--∑是2σ的相合估计。

4解：似然函数为()()2212112211,ln ln ln ,2ni i i nnx x iinnii i i ni i xxx L eeL n x θθθθθθθθ=--====∑===-+-∏∑∏∏()212ln 2nii xd L n d θθθθ==-+∑，令()ln 0d L d θθ=，得21ˆ2nii Xnθ==∑.由于()22222221220011ˆ222222nx x ii EXx x x E EX x e dx e d nθθθθθθθθθ--∞∞======Γ=∑⎰⎰，因此θ的极大似然估计量ˆθ是θ的无偏估计量。