(完整版)弹性力学第十一章弹性力学的变分原理

第十一章弹性力学的变分原理知识点

静力可能的应力

弹性体的功能关系

功的互等定理

弹性体的总势能

虚应力

应变余能函数

应力变分方程

最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移

虚位移

虚功原理

最小势能原理

瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法

伽辽金(Гапёркин）法

最小余能原理

平面问题最小余能近似解

基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析

一、内容介绍

由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。

变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。

本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹

性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。

本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。

二、重点

1、几何可能的位移和静力可能的应力；

2、弹性体的虚功原理；

3、

最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理

的基本概念。

§11.1 弹性变形体的功能原理

学习思路:

本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。

首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力

和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。

建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。

学习要点：

1、静力可能的应力；

2、几何可能的位移；

3、弹性体的功能关系；

4、真实应力和位移分量表达的功能关系。

1、静力可能的应力

假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示

显然S=S u+Sσ

假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程

在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件

这一组应力分量称为静力可能的应力。静力可能的应力未必是真实的应力，因为真实的应力还必须满足应力表达的变形协调方程，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。

为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。

2、几何可能的位移

假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程

在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件

这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的边界Sσ上，必须满足以位移表示的面力边界条件。但是，真实的位移必然是几何可能的。

为了区别于真实的位移，用表示几何可能的位移。

几何可能的位移产生的应变分量记作。

3、弹性体的功能关系

对于上述的静力可能的应力、几何可能的位移以及其对应的应变分量，设F b i和F s i分别表示物体单位体积的体力和单位面积的面力（面力也包括在位移边界S u的约束反力）。则不难证明，有以下恒等式

证明：

由于和满足几何方程，而且应力是对称的，所以

将上式代入等式的右边，并且利用高斯积分公式，可得

由于满足面力边界条件，上式的第一个积分为

由于满足平衡微分方程，所以第二个积分为

将上述结果回代，可以证明公式为恒等式。

4、真实应力和位移分量表达的功能关系

公式揭示了弹性体的功能关系。

功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能位移上所做的功，等于任意一组静力可能应力在上述几何可能位移对应的应变分量上所做的功。

这里需要强调指出的是：对于功能关系的证明，没有涉及材料的性质，因此

适用于任何材料。当然，证明时使用了小变形假设，因此必须是满足小变形条件。

其次，功能关系中，静力可能的应力、几何可能的位移以及其对应的应变分量，可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。

假如静力可能的应力和几何可能的应变分量满足材料本构方程时，则对应的静力可能的应力和几何可能的位移以及其对应的应变分量均成为真实的应力，位移和应变分量。对于真实的应力，位移和应变分量，功能关系为

显然这是应变能表达式。不过在应变能公式中，假设外力，即体力和面力是由零缓慢地增加到最后的数值的，因此应变能关系式中有1/2。而在功能关系公式的推导中，并没有这一加载限制。

功能关系是弹性力学中的一个普遍的能量关系，这一原理将用于推导其它的弹性力学变分原理。

§11.2 变形体的虚功原理

学习思路:

本节讨论的重点是弹性体的虚功原理。

首先定义虚位移概念，通过将几何可能的位移定义为真实位移与虚位移的和，可以确定虚位移是位移边界条件所容许的位移微小改变量。对于虚位移所产生的虚应变，记作δεij。

根据弹性体的功能关系，可以得到虚功方程表达式δW =δU。

虚功方程的意义为：如果弹性体是处于静力平衡状态的，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。这就是虚功原理。

虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。

学习要点：

1、虚位移与虚应变；

2、虚功原理；

3、虚功原理的意义。