202x版高中数学 第二章 数列章末复习 新人教B版必修5

4．累加法 例 4：已知{an}中，a1＝1，且 an＋1－an＝3n(n∈N*)，求通项 an. 解：∵an＋1－an＝3n(n∈N*)， ∴a2－a1＝3， a3－a2＝32， a4－a3＝33， …… an－an－1＝3n－1(n≥2)，
以上各式相加得 an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1 ＝311－－33n－1＝32n－32， ∴an＝a1＋32n－32＝32n－12(n≥2)． 又 a1＝1 满足上式， ∴an＝32n－12(n∈N*)．
3．前 n 项和法 例 3：(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋3n＋1，求通项 an； (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋2，求通项 an.
解：(1)当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－(n－1)2－3(n－1)－1＝2n＋2， 又 n＝1 时，a1＝S1＝5 不满足上式． ∴an＝52nn＋＝11n≥2 . (2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n－1－2＝2n－1， 又 n＝1 时，a1＝S1＝4 不满足上式， ∴an＝42nn－＝1n1≥ 2 .
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且 各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n 项和可考 虑拆项后利用公式求解．
例 7：求和：Sn＝112＋214＋318＋…＋(n＋21n)． 解：Sn＝112＋214＋318＋…(n＋21n) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋14＋18＋…＋21n) ＝nn＋2 1＋1211－－1221n ＝nn＋2 1＋1－21n.
2．裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常
用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项 公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项， 保留哪些项，常见的拆项公式有：
∴aa21＝15， aa32＝37， aa43＝59， …… aan－n 1＝22nn－＋31(n≥2)，以上各式相乘，得 aan1＝2n＋132n－1，
又∵a1＝13， ∴an＝2n＋112n－1(n≥2)． a1＝13满足上式， ∴an＝2n＋112n－1(n∈N*)．
6．辅助数列法 例 6：已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．求数列 {an}的通项公式．
1．观察法 例 1：根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)1,1，57，175，391，…； (2)3,0，－3,0,3，….
解：(1)数列 1,1，57，175，391，…； 即11，33，57，175，391，…， 由于分子是等差数列{2n－1}的各项，分母是数列{2n－1}的各 项， ∴an＝22nn－－11(n∈N*)．
解：∵an＋1＝3an＋2(n∈N*)， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3(n∈N*)． ∴数列{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，3 为公比的等比数列． ∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
专题二 数列的前 n 项和的求法 1．分组转化求和法
na1
q＝1
Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn q≠1 .
G＝± ab(等比中项)．
3．主要性质 (1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 在等差数列{an}中有：am＋an＝ap＋aq； 在等比数列{an}中有：am·an＝ap·aq. (2)等差(比)数列依次 k 项之和仍然成等差(比)．
5．累乘法 例 5：已知数列{an}，a1＝13，前 n 项和 Sn 与 an 的关系是 Sn＝n(2n －1)an，求通项 an. 解：∵Sn＝n(2n－1)an，∴Sn－1＝(n－1)(2n－3)an－1(n≥2)， 两式相减，得 an＝n(2n－1)an－(n－1)(2n－3)an－1(n≥2)， 即(2n＋1)an＝(2n－3)an－1， ∴aan－n 1＝22nn－＋31.
章末复习课
知识结构
知识要点
1．数列的基本概念 (1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列． (2)通项公式：如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以 用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． (3)递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一 项 an 与它前一项 an－1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．
专题研究
专题一 数列的通项公式的求法 数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数
的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型， 研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前 n 项 和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据数列的 结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
(2)所求数列的通项可转化为数列 1,0，－1,0,1，…的通项，这 恰好是“五点法”作三角函数的图象的值， 从而 an＝3sinn2π(n∈N*)．
2．定义法 例 2：等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3， a9 成等比数列，S5＝a25.求数列{an}的通项公式．
Baidu Nhomakorabea
解：设数列{an}公差为 d(d>0)， ∵a1，a3，a9 成等比数列，∴a23＝a1a9， 即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d. ∵d≠0，∴a1＝d.① ∵S5＝a52，∴5a1＋5×2 4d＝(a1＋4d)2.② 由①②得 a1＝35，d＝35. ∴an＝35＋(n－1)35＝35n.
2．主要公式 (1)通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 间的关系： an＝SS1n－Sn－1n＝1n≥2 . (2)等差数列 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. Sn＝12n(a1＋an)，Sn＝na1＋12n(n－1)d. A＝a＋2 b(等差中项)．
(3)等比数列 an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.