向量的投影与射影

向量的投影与射影

熊明军

《学普联考卷•2012届高三第一次月考•Z 区专用•新课标》填空题第13题（理科）：已知三点()()()9,35,32,1−C B A 、、，则向量→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影为_______________。

或许对于选用了人教A 版地区的学生来说，这是一道再简单不过的题，但是对于选用了人教B 版的学生来说，这道题就不是那么好做了！原因很简单，人教A 版与人教B 版上竟然给出了两个不同定义方式的概念，如果上课时没有补充讲解、辨析清楚，这两个概念会使学生一头雾水。刚好我跨年级教学，既用人教A 版，又用人教B 版，现在遇到了，就对这两个概念简单地说明一下。

一、概念比较

①人教A 版：（103P —2.4.1）已知两个非零向量a �与b �，我们把数量θcos b a ��叫做a �与b �

的数量积（或内积），记作b a ��⋅，即b a ��⋅θcos b a ��=，其中θ是a �与b �的夹角，θcos a �（

θcos b �）叫做向量a �在b �方向上（b �在a �方向上）的投影（如下图）θcos 1b OB �=。

②人教B 版：（分别作

轴l ），该射

影在轴l θ。①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；二者不是同一类，

②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学上表示同一个意思，

求法是相同的。

三、求解举例

【例题】已知三点()()()9,35,32,1−C B A 、、，则向量→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影为_________。

【解析】向量→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影是实数，利用投影公式><→−−−−→−−−−→−−−−AB AC AC ,cos 求解。

由()()()9,35,32,1−C B A 、、得：()7,4−=→−−−−AC ，()3,2=→−−−−AB ，利用投影公式可知：()()1313

13323,27,4,cos 22==+⋅−=⋅=⋅>=<→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→

−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−AB AB AC AB AC AB

AC AC AB AC AC 。所以，向量

【变式】。

【解析】向量−−由()2,1A 、)()3,2cos =<−−→−−−−AC 所以，向量注意：向量→−−−−AC ()3,2→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影为实数13是一回事儿！这一点，希望同学们能注意，不要把概念弄混淆。