向量的投影与射影
高中数学《平面向量》知识点总结
在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 .我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 ,其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标.
（2）若 ， ，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
2、两个向量平行的充要条件
向量共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
∥ ＝
3、两个向量垂直的充要条件
设 ， ，则
4、平面内两点间的距离公式
（1）设 ，则 或
（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A 、B ，那么 (平面内两点间的距离公式)
5、两向量夹角的余弦（ ）cos=
9、实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ，方 向是任意的
10、两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积（或内积） 规定
11、向量的投影
附：三角形的四个“心”
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
非零向量 与 有关系是： 是 方向上的单位向量
注意：（1）结合律不成立： ；
（2）消去律不成立 不能得到
（3） 不能得到 或
乘法公式成立：
6、线段的定比分点公式:设点 分有向线段 所成的比为 ，即 ＝ ，则
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：AB 几何表示法 AB ,a；坐标表示法),(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模长度,记作|AB |即向量的大小,记作｜a｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a＝0⇔｜a｜＝ 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．注意与0的区别 ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a=大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC1a a a=+=+00；2向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=,但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： i )(a --=a； ii a +a -=a -+a =0 ； iii 若a 、b是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差,记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量a 、b有共同起点 4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：Ⅰa a⋅=λλ；Ⅱ当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时,0=a λ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:1向量的加法与减法是互逆运算2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线即重合,而向量平行则包括共线重合的情况4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,由于a 与数对x,y 是一一对应的,因此把x,y 叫做向量a 的坐标,记作a =x,y,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标1相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =x,y,则λa =λx, λy(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥,则02121=⋅+⋅y y x x3,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各运算的坐标表示和性质12(a b x x +=+AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=- AB BA =-OB OA AB -=a a)()(λμμλ=12a b x x •=+三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积或内积 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：1结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； 2消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅3a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ001800≤≤θ叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向量.2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点. 3与已知向量共线的单位向量是唯一的. 4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. 5若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. 6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量. 7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线. 8若ma mb =,则a b =. 9若ma na =,则m n =.10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量. 11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b . 12若||||a b a b +=-,则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD = .5.已知点C 在线段AB 上,且35AC AB =,则AC = BC ,AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：13()2()a b a b +-+= 22(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-,则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =,(2,3)A ,则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--,(3,7)P ,则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-,(5,2)b =,求a b +,a b -,32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =,(,)BC m n =,(1,4)CD =-,则DA = .7.已知O 是坐标原点,(2,1),(4,8)A B --,且30AB BC +=,求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =,能与a 构成基底的是A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标.2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1a b ⋅,2()a a b ⋅+,31()2a b b -⋅,4(2)(3)a b a b -⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,2a b ⋅,3(2)a a b ⋅+, 4(2)(3)a b a b -⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b ==-,求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ,(0,1)B ,(2,5)C ,求cos BAC ∠. 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1||a b +,2|23|a b -.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,5||a b +,61||2a b -.3.已知||1||2a b ==，,|32|3a b -=,求|3|a b +.题型12.求单位向量 与a 平行的单位向量：||a e a =± 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1//a b 2a b ⊥2.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直 2k 为何值时,向量ka b +与3a b -平行3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -,(2,2)B ,(3,4)C ,求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证：A B D 、、三点共线. 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -,(8,1)B -,若点(21,2)C a a -+在直线AB 上,求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ,(3,4)A ,(1,2)B -,(1,1)C ,是否存在常数t ,使OA tOB OC +=成立题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ,(4,3)B ,(2,4)C ,(0,2)D ,证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -,(6,3)B -,(0,5)C ,求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =,(2,1)b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行2.已知(3,5)a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标.3.已知a b 与同向,(1,2)b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标.3.已知(1,2)a =,(3,1)b =,(5,4)c =,则c = a + b .4.已知(5,10)a =,(3,4)b =--,(5,0)c =,请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =,(2,1)b =-,1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围； 2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围.6.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1a 与b 的夹角为钝角 2a 与b 的夹角为锐角7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -,(3,4)B ,(2,1)D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(1,3)B -,(3,4)C ,求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ,(0,0)B ,(,0)C c ,1若0AB AC ⋅=,求c 的值；2若5c =,求sin A 的值.备用1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=,求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+,2y a b =+,且||||1a b ==,a b ⊥,求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--,则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-,求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==,a b 与的夹角θ为锐角,求λ的范围. 变式：若(,2),(3,5)a b λ==-,a b 与的夹角θ为钝角,求λ的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--,则c = A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心,则下列向量与AB 共线的是A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。
射影定理数学
射影定理数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：射影定理是数学中一个非常重要的定理，它涉及到向量空间的一个关键概念——射影。
射影定理给出了一个向量在子空间上的投影，使得投影向量和原向量之间的误差最小。
让我们来回顾一下向量空间和子空间的概念。
向量空间是由一组向量组成的集合，满足一定的代数运算规则，比如加法和数乘。
子空间是向量空间的一个子集，同时也是一个向量空间。
二维平面上的一条直线就是一个子空间。
在实际问题中，我们常常需要将一个向量投影到一个子空间上。
这样做的一个重要原因是，子空间可能是我们能处理的一个更简单的空间，或者是一个我们感兴趣的具体问题所在的空间。
射影定理就是给出了如何在子空间上进行向量投影的方法。
射影定理的表述如下：设W是n维向量空间V的一个子空间，对于任意一个向量v\in V，存在唯一的向量w\in W，使得v和w之间的误差向量(v-w)与W中的任意向量u\in W垂直。
也就是说，v-w与u 的内积等于零。
利用这个性质，我们可以给出向量v在子空间W上的投影P(v)。
投影P(v)定义为与v最接近的W中的向量，使得误差向量(v-P(v))与W中的任意向量垂直。
我们也可以通过计算投影矩阵P来求得投影向量P(v)，投影矩阵P满足P^2 = P且Pv = P(v)。
射影定理的一个重要应用是在最小二乘问题中的使用。
在最小二乘问题中，我们希望找到一个向量x，使得Ax尽可能接近b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。
将最小二乘问题表示为A\hat{x} = P(b)，其中\hat{x}是问题的解，P(b)是b在A的列空间上的投影。
通过射影定理，我们可以得到最小二乘问题的一个解析解。
这个解析解可以帮助我们更快地求解最小二乘问题，避免了需要迭代计算的过程。
射影定理还有很多其他应用，比如图像处理中的特征提取、数据挖掘中的维数约简等。
通过射影定理，我们可以更好地理解向量空间中的投影问题，从而应用到各种实际问题中。
射影定理向量
射影定理向量射影定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个向量在另一个向量上的投影，具有广泛的应用。
本文将从几个不同的角度介绍射影定理，并探讨其在实际问题中的应用。
第一部分，我们将从射影定理的定义入手，解释向量在另一个向量上的投影是如何计算的。
射影定理告诉我们，对于给定的向量a和向量b，向量a在向量b上的投影可以通过将向量a与向量b的单位向量b'相乘得到。
这个投影向量的长度等于向量a在向量b上的投影长度，方向与向量b相同。
通过这个定义，我们可以更好地理解射影定理的几何意义。
第二部分，我们将讨论射影定理在几何学中的应用。
射影定理可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断一个向量是否在另一个向量的正交补空间中。
此外，射影定理还可以用来计算点到直线的距离，以及点到平面的距离。
这些应用使得射影定理在几何学的研究和实际问题中具有重要的意义。
第三部分，我们将探讨射影定理在工程学中的应用。
射影定理可以用来解决工程中的优化问题，例如最小二乘法问题。
在最小二乘法中，我们需要找到一个向量，使得该向量与给定的数据点之间的误差最小。
射影定理提供了一种有效的方法来计算这个最优解。
此外，射影定理还可以用来解决机器学习中的分类问题，通过将数据点投影到不同的类别中，可以实现对数据的分类。
第四部分，我们将讨论射影定理在物理学中的应用。
射影定理在物理学中有广泛的应用，例如在力学中，射影定理可以用来计算物体在斜面上的运动。
在电磁学中，射影定理可以用来计算电场和磁场的分布。
在量子力学中，射影定理可以用来描述粒子的波函数。
这些应用使得射影定理在物理学的研究和实际问题中发挥着重要的作用。
通过以上几个角度的介绍，我们可以看到射影定理在不同学科和领域中的重要性和广泛应用。
射影定理不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
通过理解和运用射影定理，我们能够更好地理解和解决实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
因此，射影定理是学习线性代数和应用数学的重要内容，也是培养学生综合思考和解决问题能力的重要途径。
射影定理向量
射影定理向量射影定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了向量空间中的子空间与商空间之间的关系。
在本文中，我们将介绍射影定理的概念、证明和应用。
一、射影定理的概念射影定理是指：对于向量空间V中的任意子空间U，存在唯一的子空间W，使得V可以表示为U和W的直和，即V=U⊕W，并且U和W在V中的投影是唯一的。
其中，投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。
在向量空间中，我们可以将一个向量分解为它在某个子空间上的投影和它在该子空间的正交补上的投影之和。
这个分解过程就是射影定理的核心。
二、射影定理的证明射影定理的证明可以分为两部分：存在性和唯一性。
首先，我们证明存在性。
假设U是向量空间V的一个子空间，那么我们可以构造一个子空间W，使得V=U⊕W。
具体地，我们可以将V中的任意向量v表示为v=u+w，其中u是v在U上的投影，w是v在U的正交补上的投影。
这样，我们就得到了一个满足条件的子空间W。
接下来，我们证明唯一性。
假设存在两个子空间W1和W2，使得V=U⊕W1=U⊕W2。
我们需要证明W1=W2。
由于V=U⊕W1，那么对于任意的向量v∈V，都可以表示为v=u1+w1，其中u1是v在U上的投影，w1是v在W1上的投影。
同理，对于任意的向量v∈V，都可以表示为v=u2+w2，其中u2是v 在U上的投影，w2是v在W2上的投影。
我们将这两个式子相减，得到：0=(u1+w1)-(u2+w2)=(u1-u2)+(w1-w2)由于u1-u2∈U，w1-w2∈W1∩W2，而U和W1∩W2是两个子空间，因此它们的交集只包含零向量。
因此，我们得到了u1-u2=0和w1-w2=0，即u1=u2和w1=w2。
因此，W1=W2，证毕。
三、射影定理的应用射影定理在线性代数中有广泛的应用。
下面介绍其中的两个应用：1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的回归分析方法，它可以用来拟合数据并预测未知的数据点。
在最小二乘法中，我们需要找到一个函数，使得它与数据点的误差平方和最小。
射影定理巧妙记忆
射影定理巧妙记忆
射影定理是在线性代数中非常重要的定理，可以帮助我们理解向量空间中向量之间的关系。
为了帮助大家更好地记忆射影定理，建议采用以下方法：
1. 了解射影定理的数学定义和含义：射影定理指出，一个向量可以被分解为它在一个子空间上的投影和在该子空间的正交补空间上的投影之和。
这个定理可以帮助我们更好地理解线性代数中的向量空间，以及它们之间的关系。
2. 熟记射影定理的公式：射影定理的公式可以写成P = A(A^TA)^(-1)A^T，其中P 表示向量在子空间上的投影，A 表示子空间的基向量或者列向量，A^T 表示A 的转置，而(A^TA)^(-1) 表示A^TA 的逆。
熟记这个公式可以帮助我们更方便地使用射影定理。
3. 利用实际例子加深记忆：结合实际例子可以更加深刻地理解和记忆射影定理。
例如，在三维向量空间中，一个向量可以被分解成在一个平面上的投影和在该平面的法向量上的投影之和，我们可以通过画图或者实际计算，来加深对于射影定理的记忆。
4. 多做练习：多做一些相关的练习和题目可以帮助我们更好地理解和记忆射影定理。
同时也可以加深对于线性代数中其他概念的理解，从而更好地掌握这门学科。
总之，射影定理是线性代数中非常重要的定理，需要我们认真学习和掌握。
通过采用上述方法，可以帮助我们更好地记忆和理解射影定理，从而更加轻松地应对相关考试和课程。
射影定理笔记
总结：射影定理是线性代数中的一个重要定理，描述了向量空间中的投影和直和分解的关 系。它提供了一种将向量分解为子空间和正交补空间的方法，并具有许多实际应用。理解射 影定理对于深入理解向量空间的结构和性质非常重要。
2. 投影的性质： - 投影u是v在子空间U上的最佳逼近，即u使得向量v-u与子空间U中的任意向量正交。 - 投影u与向量v-u正交，即内积⟨v-u,w⟨=0，其中w∈U的正交补空间。
射影定理笔记
3. 直和分解：根据射影定理，向量空间V可以表示为子空间U和其正交补空间U⊥的直和 ，即V=U⊕U⊥。这意味着任意向量v都可以唯一地表示为v=u+w，其中u是v在子空间U上的 投影，w是v在U⊥上的投影。
射影定理笔记
射影定理（Projection Theorem）是线性代数中的一个重要定理，它描述了向量空间中 的投影和直和分解的关系。以下是关于射影定理的笔记：
1. 定理表述：设V是一个向量空间，U是V的一个子空间。对于任意向量v∈V，存在唯一 的向量u∈U和向量w∈U的正交补空间U⊥，使得v=u+w。其中，u被称为v在子空间U上的 投影。
第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。
（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。
所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cosb λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．2-D 思路：考虑b 在a 上的投影为a b b⋅，所以只需求出a b ⋅即可。
射影定理向量
射影定理向量射影定理是线性代数中的一个重要概念，它在向量空间中起着至关重要的作用。
本文将从几个不同的角度来介绍射影定理，并探讨它在实际问题中的应用。
我们需要明确射影定理的定义。
射影定理是指在一个向量空间中，任意一个向量都可以唯一地分解成两个部分：一个部分是与给定的向量空间的基向量张成的子空间正交的向量，另一个部分是与基向量张成的子空间的向量。
这个定理的重要性在于它使我们能够将一个向量分解成两个部分，从而更好地理解向量的性质和特点。
射影定理在计算机图形学中有着广泛的应用。
在三维计算机图形中，我们经常需要将三维空间中的点投影到二维平面上，以便在屏幕上显示。
射影定理提供了一种有效的方法来进行这种投影。
通过将三维点的坐标与一个透视投影矩阵相乘，我们可以得到其在二维平面上的投影坐标。
这种投影可以使得图像更真实地呈现在屏幕上，提高了计算机图形的逼真度。
射影定理还在信号处理中起着重要的作用。
在数字信号处理中，我们常常需要将信号从高维空间投影到低维空间中进行处理。
射影定理提供了一种有效的方法来进行这种降维处理。
通过将信号与一个投影矩阵相乘，我们可以得到其在低维空间中的投影值，从而实现信号的降维处理。
这种降维可以大大减少信号处理的计算量，提高信号处理的效率。
射影定理还在统计学中有着广泛的应用。
在统计学中，我们经常需要将高维数据集投影到低维空间中进行分析。
射影定理提供了一种有效的方法来进行这种降维处理。
通过将数据集与一个投影矩阵相乘，我们可以得到其在低维空间中的投影值，从而实现数据的降维处理。
这种降维可以使得数据的分析更加简洁和高效。
射影定理不仅在计算机图形学、信号处理和统计学中有着广泛的应用，还在其他许多领域中发挥着重要的作用。
例如，在机器学习中，射影定理可以用来进行特征选择和降维处理，从而提高学习算法的性能。
在人工智能中，射影定理可以用来进行模式识别和图像处理，从而实现人机交互的目标。
射影定理是线性代数中的一个重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
1.6向量在轴上的射影
(0 )
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (a , b )
a
注1. 若 a , b 中有一个为零向量，规定它们的夹
角可在0到之间任意取值. 注2. 类似可定义向量与一轴的夹角或空间两轴的 夹角. 注3. 若 a, b 同向，则 (a , b) 0；若 a, b 反向，则 (a , b) = ; 若 a, b 不平行，则 0 (a , b) 。
A
A
B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 射影为正； 2
( 2) , 射影为负； 2 ( 3) , 射影为零； 2
c
b
a
u
推论： 相等向量在同一轴上射影相等；
性质2. 两个向量的和在轴上的射影等于两个向量 在该轴上的射影之和. Pr ju (a1 a2 ) Pr ju a1 Pr ju a2
A x
称 OA、OB、OC分别是OM 在 x 轴, y 轴, z 轴上 的分向量, 而x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标. 简记为 r ={x, y, z}, 此称为向量r = OM的坐标表示式.
二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 1. 起点在原点的向量OM 设点 M (x,y, z) 以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 正向的单位向量, 称为基本单位 向量.
z zC o i k j N M B y y
x
r = OM = OA + AN +NM = OA + OB + OC = xi + yj + zk
投影在向量问题中的妙用
投影在向量问题中的妙用在人教版高中数学课本必修4《第二章 平面向量》中给出了数量积和投影的概念，如果能够透彻理解并运用投影概念解决问题，会使一些问题变得非常简单。
下面我们将举例说明，看例题之前先把握一下概念：=，我们把叫做在方向上的投影。
它的几何意义为线段OA 在OB 上的射影长度或射影长度的相反数。
即过Ａ点作AN OB 于N 。
当为锐角时，投影即ON 长度；当为钝角时，投影即ON 长度的相反数。
于是，=在方向上的投影.例1、在中，C=90，CB=3,点M 满足=2，则= 解析：=cosMCB.注意到ＣＭ、MCB 都是可变的，要分别求出来是很困难的。
那么，只能把cosMCB 作为一个整体来处理。
而cosMCB 不就是在方向上的投影吗。
过M 点作MN BC 于N,在方向上的投影即CN.则 =CN CB=13=3. AB N 例1例2、 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，BAD=60，E 为BC 边的中点，F 为 平行四边形内（包括边界）一动点，则的最大值为 。
解析：、均为变量，要作成函数来求最值有一定的困难。
而如果利用投影概念解决可能会有意想不到的收获。
==在方向上的投影在方向上的投影＝，而求起来又有一定困难，而如果对投影能够透彻理解的话，逆向推回去回收到意想不到的效果。
＝在方向上的投影＝＝（）＝＝９＋＋２＝．河北省雄县中学高级教师 周新华OA ·OB cos OA OB AOB 贩?cos OA AOB 贩OA OB ^AOB ÐAOB ÐOA ·OB OA OB ´OB ABC ∆0BM MA CM •CB CM •CB CM ·CB ·ÐCM ·CM ·CM CB ^CM CB CM •CB •´Ð0AE AF ·AF FAE ∠AE AF ·cos AE AF EAF ••∠AF AE ⨯AE ≤AC AE AE •AG AE •AG AG AE •AC AE AE •AC AE •AB BC +12AB BC ⎛⎫•+ ⎪⎝⎭223122AB BC BC AB +•+92312Ｎ B O DF E C BA Ｃ Ｇ 例2 A。
向量投影与向量射影的辨析及其应用
龙源期刊网
向量投影与向量射影的辨析及其应用
作者：张军迎
来源：《读写算》2012年第70期
向量是现代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数，几何与三角函数的一种工具。
向量数形结合的特点，使向量成为高中数学教学中继函数之后的第二条主线。
向量有着极其丰富的应用背景。
因向量具有良好的运算通性，几何的直观性，表述的简洁性和处理问题的一般性，所以向量法有广泛的应用，为解决数学，物理中的问题提供了新的工具。
学习数学的最重要的方法就是勤思考问题。
笔者在撰写本文时，坚持做题，通过类比与联想，逐步理出正确理解向量投影与向量射影及其应用的思路。
一、向量投影与向量射影的辨析
向量投影与向量射影分别是高一数学平面向量与高二数学空间向量的重要概念，它们貌似相同，很容易混淆。
为了能更好地理解和掌握概念的本质，以下列出其特点并通过举例辨析这两个概念。
射影定理的由来
射影定理的由来射影定理是线性代数中的重要定理之一，它描述了向量空间中的投影操作。
该定理在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
本文将从射影定理的由来、定义、性质和应用等方面进行详细阐述。
射影定理最早由法国数学家拉格朗日在18世纪提出。
他在研究向量空间时，注意到一个向量既可以看作是它在某个方向上的投影，又可以看作是它在与此方向垂直的子空间上的投影。
基于此观察，拉格朗日提出了射影定理，用于描述向量空间中的投影操作。
在线性代数中，射影定理是指对于一个向量空间V和它的一个子空间W，任意一个向量v都可以唯一地分解为两个部分：一个在子空间W上的投影向量Pv和一个在子空间W的正交补上的向量Qv。
其中，投影向量Pv表示v在子空间W上的投影，正交补向量Qv表示v在子空间W的正交补上的投影。
射影定理具有以下几个重要性质：首先，投影向量Pv和正交补向量Qv的和等于向量v本身，即v = Pv + Qv。
其次，投影向量Pv在子空间W上，正交补向量Qv垂直于子空间W。
此外，投影向量Pv是子空间W上离向量v最近的向量，也是使得向量v与子空间W上的向量之间的距离最小的向量。
射影定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在三维空间中，我们可以通过射影定理将一个向量分解为它在平面上的投影和它垂直于平面的分量。
这在计算机图形学中常用于实现阴影效果。
此外，射影定理还可以用于解决线性方程组的最小二乘问题，即找到向量空间中使得方程组的残差向量长度最小的解。
在物理学和工程学中，射影定理也被广泛应用于信号处理、图像处理和数据压缩等领域。
射影定理是线性代数中的重要定理，描述了向量空间中的投影操作。
它的由来可以追溯到18世纪的法国数学家拉格朗日。
射影定理具有重要的性质和广泛的应用，在几何学、物理学和工程学等领域发挥着重要作用。
通过理解和应用射影定理，我们可以更好地理解向量空间的结构和性质，并将其应用于实际问题的求解中。
投影定理和射影定理
投影定理和射影定理在线性代数中，投影定理和射影定理是两个重要的定理。
它们在矩阵论、向量空间和函数空间等领域都有广泛的应用。
本文将介绍这两个定理的概念、证明和应用。
一、投影定理投影定理是指，对于一个向量空间V中的任意向量x，如果存在一个子空间W，则x可以唯一地分解为两个向量y和z的和，其中y 属于W，z属于W的补空间W⊥，即x=y+z，且y是x在W上的投影，z是x在W⊥上的投影。
证明：设W是向量空间V的一个子空间，x是V中的任意向量。
由于W和W⊥的交集只有零向量，因此x可以唯一地分解为y和z 的和，其中y属于W，z属于W⊥。
我们只需要证明y是x在W 上的投影，z是x在W⊥上的投影即可。
y是x在W上的投影，当且仅当y属于W且x-y属于W⊥。
因为y属于W，所以x-y属于W⊥。
又因为W和W⊥的交集只有零向量，所以x-y=0，即x=y。
z是x在W⊥上的投影，当且仅当z属于W⊥且x-z属于W。
因为z属于W⊥，所以z属于W的补空间。
又因为x=y+z，所以x-z=y属于W。
因此，z是x在W⊥上的投影。
投影定理的应用非常广泛，例如在线性回归中，我们可以将自变量x分解为因变量y在自变量空间上的投影和在自变量空间上的误差，从而得到最小二乘估计。
二、射影定理射影定理是指，对于一个向量空间V中的任意向量x，如果存在一个子空间W，则V可以唯一地分解为两个子空间W和W⊥的直和，即V=W⊕W⊥，且x可以唯一地分解为y和z的和，其中y属于W，z属于W⊥，即x=y+z。
证明：设W是向量空间V的一个子空间，x是V中的任意向量。
由于W和W⊥的交集只有零向量，因此V可以唯一地分解为W和W⊥的直和。
我们只需要证明x可以唯一地分解为y和z的和，其中y属于W，z属于W⊥即可。
y和z的存在性是显然的，因为x可以分解为W和W⊥中的向量之和。
其次，我们需要证明y和z的唯一性。
假设存在另外两个向量y'和z'，满足x=y'+z'，其中y'属于W，z'属于W⊥。
2020高考数学----向量的数量积(数量积的投影定义)
第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。
（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。
所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cosb λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()c o s a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．D 思路：考虑b 在a 上的投影为a b b⋅，所以只需求出a b ⋅即可。
高考数学新教材专题07 空间向量投影的应用(1)
专题07空间向量投影的应用[新教材的新增内容]背景分析：空间向量数量积的几何意义体现空间向量具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由空间向量的运算表示出来，投影向量的引入，为学生解决空间点､线､面的位置关系提供了一种全新的视角，为后面向量法解决立体几何问题提供了理论依据.向量a的投影1.如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos<a，b>，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））.2.如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到A B''，向量A B''称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，A B''的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.[新增内容的考查分析]1.求投影的长度【考法示例1】已知线段AB的长度为，与直线l的正方向的夹角为120°，则在l上的射影的长度为______.【答案】【解析】设与直线l的正方向一致的单位向量为，于是得在直线l的正方向的投影向量为，则，所以在l上的射影的长度为.故答案为：.2.求投影向量【考法示例2】已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____. 【答案】【分析】设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解.【解析】设向量在向量上的投影向量是， 由题意可得，即，解得，因此，向量在向量上的投影向量是.故答案为：.3.求向量的投影 已知，则在上的投影为__________【答案】【解析】因为，所以设与的夹角为，所以根据空间向量的几何意义可得： 在上的投影为，故答案为：[新增内容的针对训练]1. 平面向量a ，b ，c 满足1a b ⋅=，1b c ⋅=-，1a c ⋅=-，1a =，则下列说法一定正确的有（ ） A. c 在a 上的投影向量为a - B. c 在b 上的投影向量为b - C. {}min ,1b c = D. {}max ,1b c ≥【答案】AD 【解析】【分析】利用投影向量公式判断AB ；利用向量数量积公式判断CD.【详解】A.c 在a 上的投影向量为a c aa a a⋅⋅=-，故A 正确； B. c 在b 上的投影向量是b c bb b⋅⋅，因为向量b 未知，所以无法求得c 在b 上的投影向量，故B 错误；C.cos 1b c b c θ⋅==-，当180θ=时，1b c =，若2b =，12c =，不满足C ，故C 错误； D.11cos b c θ-=≥，所以{}max ,1b c ≥，正确，故D 正确. 故选：AD2. 已知空间向量a ()1,0,1=，()2,1,2b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是_____________. 【答案】()2,0,2 【解析】 【分析】利用向量b 在向量a 上的投影乘以与a 同向的单位向量即可得解.【详解】向量b 在向量a 上的投影是a ba ⋅== 所以向量b 在向量a 42a a =⨯2a ==(2,0,2)， 故答案为：()2,0,2【点睛】关键点点睛：理解向量b 在向量a 上的投影向量的概念是解题关键. 3. 已知空间向量()3,0,4a =，()3,2,1b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是____．【答案】34,0,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设向量b 在向量a 上的投影向量是a λ，由题意可得2a b a λ⋅=，求得实数λ的值，即可得解.【详解】设向量b 在向量a 上的投影向量是a λ，由题意可得2a b a λ⋅=，即525λ-=，解得15λ=-，因此，向量b 在向量a 上的投影向量是134,0,555a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 故答案为：34,0,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.。
1.6 向量在轴上的投影与投影定理
求 射影 AB 与 射影向量 AB .
e
e
例2. 在直角坐标系 O;i, j, k 下，向量 a X i Y j zK .
试证：射影 a X ,射影 a Y,射影 a Z
i
j
k
z
C
ka
oj
A
x
i
P
B
y
B
b
O
a
A
定理1
射影l
AB
AB cos(l, AB)
推论 相等向量在同一轴上的射影相等．
定理2 对于任何向量 a和 b
射影l (a b) =射影l a+射影l b
定理3 对于任何向量 a 与任意实数λ 射影l (λa) λ 射影l a
例1. 已知 AB 与单位向量 e 的夹角为150°，且 AB 10 .
l
A e B
向量在轴上的射影
AB
=射影向量
l
AB
=
x
e
射影向量
l
AB
=(射影
l
AB）e
射影向量 AB
e
与射影
e
AB
一个向量在另一个向量上的射影
a 在与 b 同方向的轴上的射影向量与射影，记做
射影向量 a 与射影 a
b
b
向量 AB 与轴 l 的夹角
B
记作：( AB,l)
A
B
l
A
空间两向量的夹角 设 a 0 ，b 0 ，自空间任意 一点O，作 OA a ，OB b，向量 a 与 b 的夹角定义 为∠AOB（0≤∠AOB≤π），记作∠(a ,b )
§1.6 向量在轴上的射影
点在轴上的射影 过空间一点A作垂直于轴l 的平 面α，设α与l 的交点为A′，则A′称为点A在轴l
向量的投影和射影概念辨析
向量的投影和射影概念辨析
为了给出两个向量的"数量积"的几何意义,现行人教版教材引入了向量的投影和射影的概念.二者字面意思基本一样,但"投影"是一个实数,"射影"是一个向量,二者不是同一类事物,而且对向量的射影的表述有不当之处.为此,本文给出了"一个向量在另一个向量方向上的射影向量和射影向量系数"的概念,"射影向量系数(射影系数)"这一概念,为作者本人首次提出,具有重要的教学价值和理论价值.。
投影向量公式
投影向量公式
向量a在向量b方向上的投影=(a.b)/|b|
| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影
向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ（Θ为两向量夹角）
| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影
投影（tóuyǐng），数学术语，指图形的影子投到一个面或一条线上。
扩展资料：
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则将|b|·cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影或称标投影
由定义可知，一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。
当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。
设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A'，作点B在直线m上的射影B'，则向量A'B' 叫做AB在直线m上或在向量e 方向上的正射影，简称射影。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量的投影与射影
熊明军
《学普联考卷•2012届高三第一次月考•Z 区专用•新课标》填空题第13题（理科）：已知三点()()()9,35,32,1−C B A 、、，则向量→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影为_______________。
或许对于选用了人教A 版地区的学生来说，这是一道再简单不过的题，但是对于选用了人教B 版的学生来说，这道题就不是那么好做了！原因很简单，人教A 版与人教B 版上竟然给出了两个不同定义方式的概念，如果上课时没有补充讲解、辨析清楚，这两个概念会使学生一头雾水。
刚好我跨年级教学，既用人教A 版，又用人教B 版，现在遇到了，就对这两个概念简单地说明一下。
一、概念比较
①人教A 版：（103P —2.4.1）已知两个非零向量a �与b �，我们把数量θcos b a ��叫做a �与b �
的数量积（或内积），记作b a ��⋅，即b a ��⋅θcos b a ��=，其中θ是a �与b �的夹角，θcos a �（
θcos b �）叫做向量a �在b �方向上（b �在a �方向上）的投影（如下图）θcos 1b OB �=。
②人教B 版：（分别作
轴l ），该射
影在轴l θ。
①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；二者不是同一类，
②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学上表示同一个意思，
求法是相同的。
三、求解举例
【例题】已知三点()()()9,35,32,1−C B A 、、，则向量→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影为_________。
【解析】向量→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影是实数，利用投影公式><→−−−−→−−−−→−−−−AB AC AC ,cos 求解。
由()()()9,35,32,1−C B A 、、得：()7,4−=→−−−−AC ，()3,2=→−−−−AB ，利用投影公式可知：()()1313
13323,27,4,cos 22==+⋅−=⋅=⋅>=<→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→
−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−→−−−−AB AB AC AB AC AB
AC AC AB AC AC 。
所以，向量
【变式】。
【解析】向量−−由()2,1A 、)()3,2cos =<−−→−−−−AC 所以，向量注意：向量→−−−−AC ()3,2→−−−−AC 在→−−−−AB 方向上的投影为实数13是一回事儿！这一点，希望同学们能注意，不要把概念弄混淆。