导数专题零点问题教师版

导数专题（三）——零点问题 （2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题）

已知函数2

1()ln (0).2

f x x a x a =

-> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值；

（III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围. （18）（本小题满分13分） 解：（I ）2,a =212

()2ln ,'(),2f x x x f x x x

=

-=- 1

'(1)1,(1),2

f f =-=

()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分 （Ⅱ）由2'().a x a

f x x x x

-=-=

由0a >及定义域为(0,)+∞，

令'()0,f x x ==得

1,01,a ≤<≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1

(1)2

f =.

②若21e,1e ,a <

<<<即

在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减；

在

上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]

上的最小值为1

(1ln ).2

f a a =

-

2

e,e ,a ≥≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减，

因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为2

1(e)e 2

f a =-. 综上，当01a <≤时，min 1()2f x =；当2

1e a <<时，min 1()(1ln )2

f x a a =-； 当2

e a ≥时，2

min 1()e 2

f x a =

-. ……………………………….9分 (III) 由（II ）可知当01a <≤或2

e a ≥时，)(x

f 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点. 当2

1e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则

∴21

(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪

=>⎨⎪⎪

=->⎪⎩

即2

e

1e 2

a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<.

所以，a 的取值范围为2

1(e,

e ).2

…………………………………………………………..13分 （2014西城期末理）18．（本小题满分13分）（零点问题）

已知函数()()e x

f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2

()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由. 18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为()()e x

f x x a =+，x ∈R ，

所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：

)

……………… 5分

故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分

理由如下：

由2

()()0g x f x a x =--=，得方程2e

x a

x x -=， 显然0x =为此方程的一个实数解.

所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x a

x -=.

设函数()e

x a

F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，

令()0F x '=，得x a =．

当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：

即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．

所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，

所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e

x a

x -=无实数解．

所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.

综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分 （2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）

已知函数()e

1x

f x x -=+-．

（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；

（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围． 18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R ． 因为 ()1x

f x x e

-=+-，

所以 1

()x x

e f x e -'=．

令()0f x '

=，则0x =．

所以 当0x =时函数有极小值()=(0)0f x f =极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数1()1x

f x x e =-+

． 当0x =时01

()010f x e

=-+

=，011y k =⋅-=-，