二次函数动点面积最值专题

二次函数中动点图形的面积最值专题

目 标：1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图形的长度，面积

2.能用函数图象的性质解决相关问题

重 点：二次函数中动点图形的面积最值的一般及特殊解法

难 点：点的坐标的求法

学习过程：

一、 学前准备：

（1）填空

如图，抛物线 与x轴交于点A

和点B ，与ｙ轴交于点Ｃ．则点A坐标为 ，

点B坐标为 ，点Ｃ坐标为 ，

ΔＡＢＣ的面积为 .

顶点坐标为 ，对称轴为 . 直线AC的解析式为 .

(2)观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积

小结：规则图形的面积可直接套用公式，不规则图形的面积用割补法。

3

2

2+

+

−

=x

x

y

二、“二次函数中动点与图形面积”试题解析

例题：如图二次函数43

4312−−=x x y 与x 轴交于点C，与y 轴交于点A，过点A 作一

条直线与x 轴平行，与抛物线交于点B.

(1)求直线AC 的解析式；

(2)连接BC，求ΔABC 的面积.

变式1：若抛物线的顶点为B，求ΔABC 的面积.

变式2：若点B 是线段AC 下方的抛物线上的动点，

那么，ΔABC 的面积有最大值吗？如果有，请求出.

最大面积和此时点B 的坐标.

变式3：若B、C 是抛物线与x 轴的交点，A

是抛物线与y 轴的交点，点D 是线段AC 上的动点，求四边形ABCD 面积的最大 过点D 作x 轴的垂线与抛物线相交于点E，当点D

运动到什么位置时，四边形ABCE 的面积最大？求

最大面积及此时点D 的坐标.

学后反思：归纳“二次函数中动点图形的面积最值”试题解析一般规律：这类问题的特征是要以静代动解题，首先找面积关系的函数解析式，关键是用含x 的代数式表示出相关的线段的长度，若是规则图形则套用公式或用割补法，若为不规则图形则用割补法. 三、自我检测

1.若抛物线y＝－x ²－X+6与x 轴交于A、B 两点，则AB= ，抛物线与y 轴交于点C，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 .

2.已知二次函数2

3212−−

=x x y 与x 轴交于A、B 两点，顶点为C，则△ABC 的面积为 . 3. 已知抛物线322−+=x x y 与x 轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与y 轴交于点C，直线y=x+1与抛物线交于E，F 两点．点Ｐ是直线EF 下方抛物线上的动点，求△PEF

面积的最大值及点P 的坐标.

4.抛物线4524542+−=x x y 在平面直角坐标系中的位置如图，直线454−−=x y 与x 轴交于点A(-5,0)，与y 轴交于点B.在抛物线上是否存在一点P，使得△PAB 的面积最小？若存在，求出点P 的坐标及△PAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由.

综合题：

1、如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC 相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．