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幂等矩阵的性质

数学与应用数学专业2009级王素云

摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系.

关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵

Properties of Idempotent Matrix

Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics

Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix

1 引言

矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的地位。广义逆的思想可追溯到1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯〃诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在唯一的+

X满足前述性质①～

=A

④，并以此作为+A的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称+A为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文[1]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性；文[2]研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文[3]研究了幂等矩阵的线性组合的性质等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵

的定义及几个简单命题。然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广。再给出幂等矩阵的等价命题，证明了这些命题的等价性，并给出了一些构造幂等矩阵的方法。然后讨论幂等矩阵的线性组合的可逆性，再结合对合矩阵和投影矩阵及幂等矩阵分别于对合矩阵和投影矩阵的关系对幂等矩阵进行深入研究。本文亮点在于用区别于文[1]的方式证明幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的；从一个新的角度研究了幂等矩阵的性质：结合对合矩阵及投影矩阵研究幂等矩阵的性质。

2 幂等矩阵的概念

定义2.1]4[ 若n n C A ⨯∈有性质A A =2, 则称A 为幂等矩阵.

为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题: 命题2.1 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则与A 相似的任意n 阶方阵是幂等矩阵.

证明 设A B ~(即矩阵B 与矩阵A 相似),则B AP P t s C P n n =∈∃-⨯1.,可逆,

且 P A P AP P AP P B 21112---=⋅=, 又 A A =2,

B AP P P A P B ===∴--1212. B ∴是幂等矩阵.

命题2.1也可以表述为: 若A 是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵T , AT T 1-也为幂等矩阵.

命题2.2 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则A 的转臵T A , A 的伴随矩阵*A 及A E -都是幂等矩阵.

证明 ()()T T

T A A A ==22, 即T A 为幂等矩阵; 对*A , 先证明对任意两个幂等矩阵B A 、, 有关系式()***A B AB =. 由binet Cauchy -公式有:

()()=j i AB ,*矩阵AB 的第i 行第j 列的代数余子式 ()

{}{}()(){}{}()

{}{}()

{}{}().

,,1,1,,2,1,,,1,1,,2,1,,1,1,,2,1,,,1,1,,2,11,,1,1,,2,1,,,1,1,,2,11,**111j i jk n k ki ki n k jk n k j i j i A B A B B A n i i n k k B n k k n j j A n i i n j j AB ===+-+-⋅+-+--=+-+--=∑∑∑===++

所以, ()()()2

*****2*A A A AA A A ====; 对A E -, 有 ()A E A A E A A E A E -=+-=+-=-22222. 命题2.3 若A 是幂等矩阵, A 的k 次幂仍是幂等矩阵.

证明 可用数学归纳法证明. 当1=k 时, 显然成立.

假设当n k =时, 命题成立, 现考虑1+n 情形:

()1222221+++=⋅=⋅==n n n n n A A A A A A A .

即当1+=n k 时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意N k ∈命题都成立.

3 幂等矩阵的性质

3.1 幂等矩阵的主要性质