实际问题与一元二次方程(第1课时)教案
21.3 实际问题与一元二次方程 教案 【新人教版九年级上册数学】
21.3 实际问题与一元二次方程教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．课时安排3课时.1教案A第1课时教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点用“倍数关系”建立数学模型．教学难点用“倍数关系”建立数学模型．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、新课教学探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感．列方程1＋x＋x(x＋1)＝121，整理，得x2＋2x－120＝0．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）2答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．三、巩固练习某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋xx＝91，即x2＋x－90＝0．解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）答：每个支干长出9个小分支．四、课堂小结本节课应掌握：1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．五、布置作业习题21.3 第6题．第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．二、新课教学探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 0003元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2元，于是有5 000(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6 000(1－x)2元，于是有6 000(1－x)2＝3 600．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．三、巩固练习某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1 320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2 000元取1 000元，剩下的本金和利息是1 000＋2 000x×80%；第二次存，本金就变为1 000＋2000x×80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1 000＋2 000x×80%＋(1 000＋2 000x×8%)x×80%＝1 320．整理，得1 280x2＋800x＋1 600x＝320，即8x2＋15x－2＝0．解得4。
实际问题与一元二次方程-
知识点一 传染繁殖问题 包括三方面的内容：
4、有人说，秋天的落叶是枯槁的，没有任何价值。我却不以为然。“落红不是无情物，化作春泥更护花”。坠落在秋天的它，溶入泥 土成为大树妈妈的养料，孕育着春的希望。我相信，在明年春天的嫩芽里，一定有秋叶淡淡的微笑。 孔子说：“我十五岁时就有志于做学问，三十岁时有所成就，四十岁时内心不再感到迷惑，五十岁就明白上天的意旨，六十岁时能听 取各种见解并加以容纳，七十岁时就能随心所欲，却不会逾越法度。” 比喻：比喻就是“打比方”。即抓住两种不同性质的事物的相似点，用一事物来喻另一事物。 作用：比喻的作用主要是：化平淡为生
解：设平均一轮每个人传染x人，则： （1+x）2=121
解得：x1=10，x2=-12（不符合题意，舍去） 令最初患病的人数为y人，依题意，得：
y（1+10）3=2662 解得：y=2 答：最初有2人患了该病。
知识点二 竞赛、握手、赠送、合同问题
1.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
第一步：审：弄清题意和题目中的已知数、未知数， 用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：设：找出能多方位、多角度、最好的表示关 系的量设出未知数；
第三步：找：找出能够表示应用题全部含义的相等关 系；
第四步：列：根据这些相等关系列出需要的代数式 （简称关系式）从而列出方程；
第五步：解：解这个方程，求出未知数的值；
遇和现实境况的观照与反思。 3、段意合并法
22.3实际问题与一元二次方程(第1课时)-教学设计
学生独立思考问题，并发表个人意见。
教师对学生的回答给予适当评价。
教师板书甲种药品年平均下降率的求解过程。
学生独立完成乙种年平均下降率的求解过程并根据计算结果回答问题。
由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.因此，探究1、2在学生充分独立思考的基础上，进行小组讨论，分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值。
活动3：课堂巩固
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．
A．100（1+x）2=250
B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
教学重点
列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率等问题的应用，解决实际问题。
教学难点
发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系，正确地建立一元二次方程。
二、教学流程安排
序号
活动流程图
活动内容和目的
1
复习引入
通过列一元一次方程解决实际问题，回忆列方程解实际问题的一般步骤，为类比学习一元二次方程解实际问题做好铺垫。
例题分析：探究1；探究2；探究3
三、归纳小节：
探究2以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题.这类问题在现实世界中有很多原型，例如经济增长率、人口增长率等.本节中讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系：变化前数量×（1+x）²=变化后数量。
人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程-解决代数问题(第1课时)公开课优质教案
21.3实际问题与一元二次方程第1课时解决代数问题教学目标知识技能1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据传播问题，百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题解题的具体步骤.3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.数学思考与问题解决1.通过列一元二次方程解决实际问题，培养学生的“模型思想”和对数学的“应用意识”.2.在病毒的传播问题中要弄清每一轮的传播源(即每一轮的感染者也是下一轮的传播者)，同时要注意与细胞分裂、电脑病毒的传播等问题的区别与联系；在百分率问题中，注意弄清数量与百分率的关系，会归纳总结出增长率(降低率)问题的等量关系.情境态度通过列方程解决实际问题，让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，感知数学与生活的密切联系，体会数学知识应用的价值，不断提高学生学习数学的兴趣.重点难点重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如何理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题、百分率问题中的数量关系.教学设计活动1 创设情境一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？分析：设这个小组x人，那么每个人要送给除了他自己以外的人，共送张贺卡，由此可列方程： .提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤有哪些？总结：(1)审：认真审题，分清题意，弄清已知量和未知量，寻找相等关系；(2)设：就是设未知数，分直接设未知数和间接设未知数，到底选择何种方式设未知数，要以有利于列出方程为准则；(3)列：就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解：就是求出所列方程的解；(5) 就是检验方程的解.首先检验计算是否正确，然后检验每个解是否复合问题的实际意义，再正确取舍；(6)答：就是对实际问题进行回答.提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些相同点和不同点？活动2 探究新知例1 教材第19页探究2变化率问题.提出问题：(1)如何比较哪种药品成本的年平均下降率较大？(2)本题中应该如何设未知数？如何列方程？(3)讨论：在本题解方程的过程中，方程有两个解应该怎么办？(4)哪种药品成本的年平均下降率较大？哪种药品成本的年平均下降额较大？(5)讨论：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？总结:变化率问题的公式若平均增长(或降低)的百分率为x ，增长(或降低)前的量是a ，增长(或降低)n 次后的量是b ，则它们的数量关系可表示为b x a n=±)1((其中增长取＋，降低取－).例2 教材第19页探究1传播问题.提出问题：(1)本题中的已知量未知量分别是什么？(2)本题中我们设直接未知数还是间接未知数？(3)本题中的数量关系是什么？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么①患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感.②在第二轮传染中传染源是 人，这些人中每一个人有传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感.(4)怎么列方程？(5)方程的解是多少？10和－12都是这个实际问题的解吗？(6)如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？(7)请观察式子)1(1x x x +++与[])1(1)1(1x x x x x x x +++++++能不能化简？请在课后写出表示四轮传染、五轮传染后的患病人数的代数式，并猜测n 轮传染后的患病人数.活动3 练习巩固1.参加篮球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双双循环比赛)，共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？2.某商场2014年的经营中，一月份的营业额为200万元.一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均每月营业额的增长率.3.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？ 活动4 课堂小结与作业布置课堂小结1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤是哪些？2.列一元二次方程解决实际问题中，最关键是那一步？检验应该要注意什么？3.变化率问题和传播问题有什么规律？布置作业教材21－22页习题21.3第2—7题.。
人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程公开课优质教案1
实际问题与一元二次方程第1课时传播类和增长率问题1.掌握利用两轮的传播问题、平均变化率问题建立一元二次方程的数学模型.2.根据两轮的传播的等量关系、两轮的平均变化的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.【重点难点】根据平均变化率及两轮的传播的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.【新课导入】复习:用一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些?那么如何用一元二次方程解决实际问题呢?【课堂探究】一、用一元二次方程解决两轮传播问题1.将传染问题公式化:即有1人开始传染,第一轮传染给x人,第二轮以同样速度传染,两轮过后共有a人被感染.可列方程为: (1+x)2=a .三轮过后有(1+x)3人被感染.2.(2013襄阳)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+(1+x)x=64,解得x1=7,x2=-9(舍去).答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448(人).答:又有448人被传染.二、用一元二次方程解决平均变化率问题3.(2013安徽)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系,某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是( B )(A)438(1+x)2=389 (B)389(1+x)2=438(C)389(1+2x)=438 (D)438 (1+2x)=3894.将平均变化率问题公式化:设平均变化率为x,经过两个相同的平均变化后,有如下关系,变化前的数量×(1+x)2=变化后的数量.11.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是( B )(A)x(x-1)=10 (B) =10(C) x(x+1)=10 (D) =102.庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,这次有队参加比赛.( D )(A)12 (B)11 (C) 9 (D)103.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中,平均一个人传染的人数为( B )(A)8人(B)9人(C)10人(D)11人4.某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价( A )(A)10% (B)19%(C)9.5% (D)20%5.(2013青岛)某企业2010年底缴税40万元, 2012年底缴税48.4万元,设这两年该企业缴税的年平均增长率为x,根据题意,可得方程40(1+x)2=48.4 .6.在一次手拉手活动中,参加活动的学生将自己制作的贺卡向其他成员各赠送一张;全体学生共互赠了1980张贺卡.这次活动共有多少名学生参加?解:设共有x名学生,根据题意可得:x(x-1)=1980x2-x-1980=0(x-45)(x+44)=0x-45=0或 x+44=0x=45或 x=-44(舍去)答:这次活动共有45名学生参加.。
《实际问题与一元二次方程》第一课时传播问题 教案
人教版数学九年级上21.3第一课时教学设计探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流 感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考：1.本题中有哪些数量关系？2.如何理解“两轮传染”？3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了______人；第一轮传染后，共有______ 人患了流感；在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每一个人又传染了______人，那么第二轮传染了______人，第二轮传染后，共有______人患流感.4.根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121 解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人． 5.为什么要舍去一解？6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流题的突破口，从而学会运用列一元二次方程解决实际问题。
根据实际举一反三，引导数学知识解决传染病问题，为运用一元二次方程解决实际问题做铺垫。
让学生通过探究问题，体会运用一元二次方程解决实际问题过程，体会数学思想。
感？注意:1.此类问题是传播问题.2.计算结果要符合问题的实际意义. 学生自主解决问题，老师总结解决传播问题的注意事项。
三、重难点精讲例题：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得 x1＝9，x2＝－11(舍去) ．∴ x＝9.归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．传播问题：学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解题注意事项。
人教版九年级数学上21.3《实际问题与一元二次方程》第一课时参考教案(
21.3 实质问题与一元二次方程（1）一、教课目的1.会利用一元二次方程解决流传问题.2.培育剖析问题解决问题的能力，发展应意图识.二、教课要点和难点1.要点：利用一元二次方程解决流传问题.2.难点：依据流传问题列方程.三、教课过程（一）基本训练，稳固旧知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10 个人，共有人得流感；第一轮传染后，全部得流感的人每人又把流感传染给了10 个人，经过两轮传染后，共有人得流感 .(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x 个人，共有人得流感；第一轮传染后，全部得流感的人每人又把流感传染给了x 个人，经过两轮传染后，共有人得流感 .【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1) ，先让生自己做，而后师进行解说】（二）创建情境，导入新课师：和一元一次方程同样，利用一元二次方程能够解决实质问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题 .（三）试试指导，解说新课（出示下边的例）例有一人得了流感，两染后，共有121 人得了流感，每染中均匀每个人染了几个人？：大家把个目好好默几遍.（生默）：能不看黑板出目的意思？生：⋯⋯ （几名同学）：个目怎么？生：每染中均匀一个人染了 x 个人 .（板：解：每染中均匀一个人染了 x 个人）：（在黑板的其余地方板：第一后）均匀一个人染了 x 个人，那么第一后，共有多少人得了流感？生： 1+x.（多几名同学回答，而后板：1+x）：（在黑板的其余地方板：第二后）那么第二后，共有多少人得了流感？（生思虑一会儿再叫学生）生： 1+x+x(1+x). （多几名同学回答，而后板：1+x+x(1+x) ）：下边大家依据目的意思列一列方程.（生列方程，巡）：（板：依据意列方程，得）列出的方程是什么？生： 1+x+x(1+x)=121 （生答板： 1+x+x(1+x)=121 ） .：（指方程）是一个一元二次方程，怎么解个方程？大家着解一解 .（生解方程）：解出来的果是什么？生： x1=10，x2=-12（生答师板书： x1=10， x2 =-12） .师：（指方程）解这个方程是有讲究的，好多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦 .实质上我们能够用直接开平方法来解 .怎么用直接平方法来解？（稍停）师：（指准 1+x+x(1+x)=121 ）1+x+x(1+x) 有公因式 1+x，我们把 1+x 提拿出来，获得(1+x)(1+x) （边讲边在其余地方板书：(1+x)(1+x) ），可见方程能够化成 (1+x)2=121（边讲边在其余地方板书： (1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，简单求出x1=10，x2=-12.师：方程中的 x 表示每个人传染的人数，因此 x2不切合题目的意思，=-12要舍去（板书：（不合题意，舍去）） .师：最后还要答 .（板书：答：每轮传染中均匀每个人传染了10 个人）师：下边请大家自己来做一个练习 .（三）尝试练习，回授调理2.达成下边的解题过程：有一个人知道某个信息，经过两轮流传后共有49 人知道这个信息，每轮流传中均匀一个人流传了几个人？解：设每轮流传中均匀一个人流传了x 个人 .依据题意列方程，得.提公因式，得 ()2=.解方程，得 x =，x =（不合题意，舍去） .12答：每轮流传中均匀一个人流传了个人 .3.一个人知道某个信息，设每轮流传中一个人流传了x 个人，填空：(1)经过一轮流传后，共有人知道这个信息；(2)经过两轮流传后，共有人知道这个信息；(3)经过三轮流传后，共有人知道这个信息；(4)请猜想，经过十轮流传后，共有人知道这个信息.（五）概括小结，部署作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决流传问题.俗语说：一传十，十传百 .这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x) 2=121.假如传了三轮，就成了 (1+x)3；假如传了十轮，就成了(1+x) 10.（作业： P21习题 1(3)(4)、 4， 4 题中 91 改为 81）四、板书设计（略）。
人教版九年级上册数学全册教案21.3 实际问题与一元二次方程
6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．课堂总结．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．。
一元二次方程(第一课时)
一元二次方程教学设计1、教学目标知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．2、学情分析针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足“二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机．3、重点难点重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．4、教学过程（这个过程可以酌情增加删减）4.1导入一、情境引入问题1 要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：雕像上部的高度AC ，下部的高度BC 应有如下关系：2BC BC AC = AC BC 22= 解：设雕像下部高x m ，于是得方程()x x -=222通过整理得到方程0422=-+x x问题2 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是 3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm ，则有方程(100－2x )(50－2x )＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm ，则有方程通过整理得到方程．问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛共28场，若设邀请x 个队参赛，每个队要与其他(x －1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．4.2讲授观察下列得到的方程：（1）0422=-+x x（2）2753500x x -+=；（3）2560x x --=； 学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？结论：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是整式方程．归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ≠0）．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．思考：为什么规定a ≠0强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．4.3活动新知应用例：将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得233510x x x -=+，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式238100x x --=．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．说明：进一步巩固一元二次方程的基本概念．例 猜测方程2560x x --=的解是什么？学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x ＝1、2、3、4、5等，发现x ＝8时等号成立，于是x ＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的根） 4.4练习1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x ；（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x ．4.5测试4.6作业（1）下列方程那些是一元二次方程？• 1. 5x-2=x+1 2. 7x 2+6=2x(3x+1)3. 6x 2=x4 . 2x 2=5y 5. -x 2=0（2）将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：2)2()43)(3(+=-+x x x()()221 514 2481x x x -==；；()()()()()34225 43218 3.x x x x x +=-+=- ； 书本第四页复习巩固第1.2题1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：()x x 61312=+ 8154)2(2=+x x 0)5()3(=+x x （4）(2x-2) (x-1)=0 (5)x(x-5) =2x-10 (6)(3x-2) (x+1)=x(2x-1)2. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）一个圆的面积是2兀平方米，求半径。
【人教版】九年级数学上：《实际问题与一元二次方程》教案
《 22.3 实际问题与一元二次方程》学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．一、自主学习列方程解应用题：有一张长方形的桌子，桌面长100cm，宽 60cm，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?三、达标巩固1.如图所示，李萍要在一幅长 9 0cm、宽 40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（）A．（ 90+x）（ 40+x）× 54%=90× 40B．（ 90+2x）（ 40+2x）× 54%=90× 40C．（ 90+x）（ 40+2x ）× 54%=90× 40D．（ 90+2x）（ 40+x ）× 54%=90× 402．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15 立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多 2 米， ?现已知购买这种铁皮每平方米需20 元钱，问四、学后记五、课时训练基础过关1．三角形一边的长是该边上高的 2 倍，且面积是32，则该边的长是（）A．8 B．4C．42D．822．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是3，求原铁皮的边长．400cm3．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个 2 米宽的门，现有防护网的长度为 91 米，花坛的面积需要 1080 平方米，若墙长 50 米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长 46 米，求花坛的长和宽．（2）二变：若墙长 40 米，求花坛的长和宽．（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？4．一条长 64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．5．如图，在长32 米，宽 20 米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，?若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．6．如图，在 Rt △ ABC 中∠ B=90°， AB=8m ，BC=6m ，点 M 、点 N 同时由 A 、 C?两点出发分别沿AB 、 CB 方向向点 B 匀速移动，它们的速度都是 1m/s ，几秒后，△ MBN?的面积为 Rt △ABC 的 面积的 1？3聚焦中考G 7. 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm ，以 AB ，AD 为边向外作正方H FD形 ABEF 和正方形 ADGH ， 若正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之 A和为 68cm 2 ，那么矩形 ABCD 的面积是（ ）A ． 21cm 2B ． 16cm 2C ． 24cm 2EBCD ． 9cm 28. 在长为 a m ，宽为 b m 的一块草坪上修了一条 1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表 示为m 2 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m 的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为m 2 ．9. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2 :1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三前侧 蔬菜种植区域侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少空288m 2 ？时，蔬菜种植区域的面积是地10. 如图所示，在长和宽分别是 a 、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1)用 a ，b， x 表示纸片剩余部分的面积；(2)当 a =6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．《 22.3 实际问题与一元二次方程》学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．一、自主学习（一）温故知新列方程解应用题的基本步骤有哪些？（二）探索新知列方程解应用题：一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共多少人？分析：设这个小组有x 人，那么每个人要送给除了他自己以外的人，共送张贺卡，由此可列方程：二、学习过程列方程解应用题：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染后有人患了流感，第二轮传染后有人患了流感 .于是可列方程：思考：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？三、达标巩固1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是（）A． x（ x+1） =182 B．x（x-1）=182C． 2x（ x+1） =182 D．x（1-x）=182× 22．参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90 场，共有多少个队参加了比赛？四、学后记五、课时训练 1．一个多边形有70 条对角线，则这个 多边形有 ________条边．2．九年级（ 3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书， 每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本， 全组共互赠了 240 本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意， 可列出的方程是（ ）A ． x （ x+1） =240B ． x （ x-1 ） =240C ． 2x （ x+1） =240D． 1x （x+1） =24023．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A ．8 人B ．9 人C ．10 人D ．11 人6．学校组织了一次篮球单循环比赛， 共进行了 15 场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？7．某商店将甲、乙两种糖果混合运算， ?并按以下公式确定混合糖果的单价 ：单价＝a 1m 1 a 2m 2 （元／千克），其中 m ，m 分别为甲、乙两种糖果的重量（千克） ， a ， a2m 1 m 2121分别为甲、乙两种糖果的单价（元／千克） ．已知 a =20 元／千克， a =16 元／千克，现将1210 千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合（搅拌均匀）销售，售出 5 千克后， ?又在 混合糖果中加入 5 千克乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17.5 元／千克，问这箱甲种糖果有多少千克？22.3 实际问题与一元二次方程教学目：1.通学生自学探究感受用一元二次方程解决的程；2.在的程中，掌握的型（利）。
一元二次方程(第一课时)教学设计
一元二次方程(第一课时)教学设计一、教学目标:（一）知识技能：1、理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。
（二）教学思考：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。
2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。
3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）解决问题：在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
（四）情感态度：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
二、重点：一元二次方程的概念及一般形式。
三、难点：1、由实际问题向数学问题的转化过程。
2、正确识别一般式中的“项”及“系数”。
四、教学过程：（利用电脑多媒体课件教学）（一）复习引入：复习以前我们学过一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程引入新课。
（二）传授新知：1、由课本引言，引导学生列出方程x2＋2x－4=0，这和我们以前学过的方程不同，这是什么方程呢？怎么解决这个问题呢？引发学生兴趣，让学生带着问题完成本节课学习。
（提示学生注意方程未知数的个数和未知数的最高次数。
）2、同样引导学生思考课本的两个问题，让学生建立数学模型，把实际生活中的问题转化为数学问题，增强学生解决实际问题的能力。
我们得到两个方程：x2－75x+350=0 ，x2-x-56=0。
（提示学生注意方程未知数的个数和未知数的最高次数。
）3、学生思考：三个方程x2＋2x－4=0，x2－75x+350=0，x2-x-56=0它们有什么共同的特点？引导学生归纳出一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【新人教版】九年级数学上：《实际问题与一元二次方程》教案
实质问题与一元二次方程（1）学习目标：1.能依据详细问题中的数目关系，列出一元二次方程，领会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能依据详细问题的实质意义，查验结果能否合理．2.经历将实质问题抽象为代数问题的过程，探究问题中的数目关系，并能运用一元二次方程对之进行描绘。
3.经过解决流传问题，学会将实质应用问题转变为数学识题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应意图识．4.经过用一元二次方程解决身旁的问题，领会数学知识应用的价值，认识数学对促使社会进步和发展人类理性精神的作用．要点、难点要点：列一元二次方程解相关流传问题、均匀变化率问题的应用题难点：发现流传问题、均匀变化率问题中的等量关系【课前预习】（阅读教材 P45 — 46 ,达成课前预习）探究：问题 1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中均匀一个人传染了几个人？剖析： 1、设每轮传染中均匀一个人传染了 x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了 _______人，第一轮后共有 ______人患了流感；2、第二轮传染中，这些人中的每一个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程，解得即均匀一个人传染了个人。
再思虑：假如依据这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是6000元，跟着生产技术的进步，此刻生产 1 吨甲种药品的成本是3000元，生产 1 吨乙种药品的成本是3600 元，哪一种药品成本的年均匀降落率较大？（精准到 0.001 ）绝对量：甲种药品成本的年均匀降落额为（ 5000-3000）÷ 2=1000 元， ?乙种药品成本的年均匀降落额为（ 6000-3000）÷ 2=1200 元，明显， ?乙种药品成本的年均匀降落额较大．相对量：从上边的绝对量的大小可否说明相对量的大小呢?也就是可否说明乙种药品成本的年均匀降落率大呢?下边我们经过计算来说明这个问题．剖析：①设甲种药品成本的年均匀降落率为x ，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元．依题意，得解得： x1≈，x2≈。
21.3+实际问题与一元二次方程第一课时传播问题-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同
新知探究
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：
于是可列方程： 1+x+x(1+x)=121
解方程得 x1=10， x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
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5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。 6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 多少人患流感？
思考：1.本题中有哪些数量关系？ 1人传染最后121人患了流感 2. 如何理解“两轮传染”？ 1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源； 这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。
新知探究
3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮 传染中传染了__x___人；第一轮传染后，共有_1_+__x__人患了流感； 在第二轮传染中，传染源是_1_+__x__人，这些人中每一个人又传染了 __x___人，第二轮传染后，共有_x_(_1_+_x_)__人患流感.
填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有_6__个人 患了流感，第二轮过后共有__3_6_个人患了流感．
复习回顾
我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解 应用问题的步骤是怎样的吗？
审清题意
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验根
作答
新知探究
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？
谢谢观看
21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题
1个人
与（x-1）个人握手
每两人都握了一次手： 1 x(x 1) 次手
北师大版《认识一元二次方程》第一课时教学设计
北师大版《认识一元二次方程》第一课时教学设计【教学目标】《标准》要求：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解方程；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用方程进行表述的方法。
一、知识与技能1、经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，建立符号意识。
2、理解一元二次方程及其相关概念。
3、能根据实际问题列出一元二次方程，体会数学与现实生活的紧密联系。
二、过程与方法1、通过列出古巴比伦人的《泥板文书》和古埃及的纸草书图片，感受一元二次方程发展的历史进程。
2、通过中国古代的直田积问题、高广袤问题以及印度猴子问题，这三个生活中的实际问题情境，引导学生体会利用方程来解决实际问题的方法。
3、通过阅读古诗文，求周瑜的年龄，体会其他学科与数学之间的联系。
三、情感态度与价值观通过对实际问题的分析解决，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，发展学生的合作交流意识；通过对历史人物周瑜的了解，使学生形成健全的人格，坚强的意志，思考自己在民族复兴的今天应该如何做，将家国情怀根植于内心，明白家、民族、国家的紧密联系。
【教学重难点】教学重点：一元二次方程的定义教学难点：如何从实际问题抽象出一元二次方程【学情分析】方程是刻画现实世界中数量关系的有效数学模型，学生之前已经学习了一元二次方程、二元一次方程组和可化为一元二次方程的分式方程，初步感受到了方程的模型作用，也积累了一些利用方程解决实际问题的经验。
但是，在解决实际问题是，所用的方程远不如这些，还可利用其他类型的方程——一元二次方程去解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系。
【教学方法】本节课借助多媒体辅助教学，采用启发式、类比法教学，沿着“问题情景---建立模型-----解释、应用与拓展”的模式，充分鼓励学生自主探究、合作交流，为学生提供更多的活动机会和空间，提高学生学习的积极性，从而更好理解方程的意义，切实提高学生的应用意识和能力。
《实际问题与一元二次方程》教学设计
建模思想的应用
教学流程
师生行为
设计意图
一、情境问题
例1：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
解：设：
共有x个队参加比赛。
根据题意得：
=90
X2-x-90=0
(x-10)(x+9)=0
变式1：如果，共比赛45场，每两队之间比赛一次，共有多少队参加比赛？
变式训练：
有1人患了流感，此流感传染了两轮，其中第二轮传染后新增患者为56人，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
•解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人
•根据题意，得 (1+x)2=56
•两边开平方得1+x 7.5
•∴x1 -8.5(不合题意，舍去)， x2 .5
•答：每轮传染中平均一个人传染了6.5个人.
（4）验：检验方程的解是否符合题意；
（5）答：对问题作答．
学生独立做题，并进行讲解，教师点评.
学生对题目进行分析，教师补充。适当可以用图示法解释。
学生独立思考并做题，教师巡视指导并让学生进行讲解。
学生读题并找出问题中的错误并讲解。
读题并思考独立完成。
学生总结，教师点评。
通过日常实际问题，培养建模意识，能根据具体问题列一元二次方程并检验解的合理性。
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x（1+x）=121，
∴x=10或x=-12（不合题意舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
三、巩固练习：
某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
新人教版九年级数学上册：《实际问题与一元二次方程》教案
22.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）教学目标：1.通过学生自学探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2.在阅读的过程中，掌握实际问题的类型（传播问题、百分率问题）及解题的具体步骤。
教学重点：一元二次方程解决传播问题、百分率问题.教学难点：如何理解传播问题的传播过程.教学过程：一、出示学习目标：1.阅读探究1与2并进行填空，掌握传播问题与增长率（减少率）的解题思路；2.在理解的基础上，完成P48第4、7题。
三、效果检测：1．例题点评：探究1：有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 1+x+x(x+1)=121 由中下层学生口答书中填空，然后上层学生说出传播问题的注意点，老师再给予补充。
注意:1.此类问题是传播问题.2.计算结果要符合问题的实际意义.思考:如果按照这样的传播速度,三轮后有多少人患流感?121+121×10=1331（人）（齐答）探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?解:设甲种药品成本的年平均下降率为x, 则：30005000)1(2=-x由学生口答：乙的下降率的方程：设乙种药品成本的年平均下降率为y,则：36006000)1(2=-y由中下层学生口答书中填空，然后上层学生说出百分率问题的注意点。
注意:（1）若问的是第三年，则a （1+x ）2=b ；（2）若问的是前三年，则a+a （1+x ）+a （1+x ）2=b思考：什么是成本下降额与成本下降率？2. P48第4、7题 中下层学生在自学完之后先板演效果检测时，由同座的同学给予点评与纠正四、当堂训练：1.某旅游景点用于2007年绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ） B2520.2=x A 25)1(20.2=+x B 25)1(20.=+x C 25)1(20)1(20.2=+++x x D2.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） B182)1(50.2=+x A 182)1(50)1(5050.2=++++x x B182)21(50.=+x C 182)21(50)1(5050.=++++x x D3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？22.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）教学目标：1.通过学生自学探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2.在阅读的过程中，掌握实际问题的类型（裁边分割问题）及解题的具体步骤。
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》教案
21.3 实际问题与一元二次方程第1课时实际问题与一元二次方程（1）【知识与技能】会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.【过程与方法】经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.【情感态度】通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.【教学重点】构建一元二次方程解决实际问题.【教学难点】会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.一、情境导入，初步认识问题在上一节的习题21.2中，我们遇见过一些用列方程来求解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的？学生在相互讨论交流中可得出结论为：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答.【教学说明】让学生在回顾解实际问题过程中的思路方法，为进一步学习新的问题作好铺垫，导入新课.二、思考探究，获取新知探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？【教学说明】教师展示出问题后，先让学生仔细分析题意，尝试着寻求解决问题的方法.为了让学生更好地理解题意，不妨设置如下几个问题：（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有人患了流感；（2）第二轮传染后，被传染的人数为人，故第二轮传染后共人患了流感.最后师生共同完成解答过程：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后共有（1+x）人患了流感，第二轮传染后共［1+x+(1+x)·x］人患流感，依题意可列方程为1+x+(1+x)·x=121方程可整理为(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)，故平均一个人传染了10个人.想一想（1）照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？（2）通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系，有新认识吗？【教学说明】（1）的问题学生可通过前面的分析获得结论，进一步加深对传播问题中数量关系的理解和认识；（2）中问题应让学生相互交流，总结规律.探究2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为元，第二年后的成本为元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？【教学说明】思考（1）旨在让学生感受成本下降问题中，成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元，后者表示相对变化量，是表示比率的数字，从而全面比较对象的变化状况；思考（2）则进一步让学生感受到两个时间段的平均变化率，如经济增长率、人口增长率等，设平均变化率为x，则有变化前数量×(1+x)2=两年后的数量，由此可得到一元二次方程的数学模型，并确定方程和问题的解，教学过程中，教师应引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，让学生体会到寻找等量关系是解决问题的关键，最后师生共同完成解答过程.三、典例精析，掌握新知例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为1+x+x2=91,解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去),即每个支干长出9个小分支.例2某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？解：设平均每次降息的百分率为a%，依题意可列方程为：2.25%（1-a%）2=1.98%解得a1≈6.19,a2≈193.81(不合题意，应舍去).即平均每次降息的百分率约为6.19%.【教学说明】让学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系，并能构建合适的一元二次方程来解决问题，加深对知识的领悟，其中例2可借助计算器来帮助解决问题.教学时，教师在学生探究期间应巡视全场，帮助困难学生找出解决问题的思路方法，最后给出完整解答过程，培养学生良好的解题习惯.四、运用新知，深化理解1.一台电视机的成本价为a元，原销售价比成本价增加25%，因库存积压，两次降价处理，若每次降价的百分率为x%，则最后销售价应为.2.某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？3.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少?【教学说明】设置这几道题有利于学生进一步掌握一元二次方程应用题的解法，题目稍难，老师应巡视给予指导，然后共同完成.【答案】1.（1+25%）a·(1-x%)2元2.设每一天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡，由题意，得（1+x）+(1+x)·x=169，解得x1=12,x2=-14(不合题意，舍去)，故每一天平均一只小鸡传染了12只小鸡.3.设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a人，由题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a，解得x1=0.5,x2=2.5，显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你对传播类和增长率（下降率）的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.【教学说明】教师可向学生提问，以进一步巩固列方程解应用题的方法和解题步骤，为后续学习作好铺垫.1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。
一元二次方程第一课时教案
一元二次方程第一课时教案一元二次方程第一课时教案教学目标•理解一元二次方程的定义•掌握一元二次方程的一般形式•学会化简和变形一元二次方程教学重点•了解一元二次方程的概念和性质•掌握一元二次方程的化简和变形方法教学内容1. 一元二次方程的定义一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a≠0。
2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，其中a,b,c分别是方程的系数。
3. 一元二次方程的化简和变形•移项法：将方程中各项移动到方程的一边，使得方程等于0。
•因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，得到方程的解。
教学步骤步骤一：引入•引入一元二次方程的定义，解释其在实际问题中的应用，激发学生的兴趣。
步骤二：讲解一元二次方程的一般形式•通过示例，让学生了解一元二次方程的一般形式，并且理解其中的系数。
步骤三：学习一元二次方程的化简和变形•分步骤解释移项法和因式分解法的步骤和原理，通过实例演示让学生掌握具体的操作方法。
步骤四：练习与巩固•布置一些练习题，让学生自主或合作完成，巩固所学知识。
教学效果评价评价方式•完成课堂练习的情况•学生对一元二次方程的概念和性质的理解程度•学生对化简和变形一元二次方程的掌握程度•能够正确定义和说明一元二次方程的概念和性质•能够正确运用移项法和因式分解法化简和变形一元二次方程•能够独立解决简单的一元二次方程问题参考资料•《高中数学课程标准》，教育部•《数学分册》第2册，人教版步骤五：扩展学习•引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用，并举例说明。
步骤六：讨论与总结•小组讨论一元二次方程的解、判别式等相关概念，并在班级中展示。
•整理并总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
课后拓展•学生练习更多的一元二次方程例题，提高其解题能力。
•学生自主阅读相关数学书籍，进一步巩固一元二次方程的知识。
•教师可以通过实例和案例，引导学生理解一元二次方程的实际应用和意义。
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21.3实际问题与一元二次方程（1）
课型：新课课时：1 主备人：林玲
教学目标：
知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述
情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重难点
教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题
教学难点：发现传播问题中的等量关系
教学方法：引导发现法
教学过程
一、复习引入
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．
二、合作探究
【探究1】
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
思考：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“两轮传染”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；
在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.
（4）根据等量关系列方程并求解
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121
解方程得
x 1=10， x
2
=-12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
(5)为什么要舍去一解？
（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
【探究2】
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。
（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．
依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x
1≈0.225，x
2
≈1.775（不合题意，舍去）
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
设乙种药品成本的平均下降率为y．
则：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大
（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
三、巩固练习
说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路
四、课堂小结：1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。
最后要检验根是否符合实际意义。
2. 用“传播问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或
降低）n次后的量是b,则有：b
x
a n=
±)
1(（常见n=2）
作业：练习册
板书设计：实际问题与一元二次方程（1）
1.归纳
2.实际问题探究
3.小结
4.作业
教学反思：。