2412垂直于弦的直径优质公开课精品PPT课件
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新人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径优质课件
总结
知1－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质
是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
第十四页，共二十页。
知识点 3 垂径定理的推论
知3－讲
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
A
图1
C
O E
D
B
O
图2
AE
知2－讲
B
第十页，共二十页。
知2－讲
D
A C
E
图3 A E O B 图4 B
O
C
D
第十一页，共二十页。
例2赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有
1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它
的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为
37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
知2－练
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
第十二页，共二十页。
解： 如图，用AB⌒表示主桥拱，设AB所在⌒圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C⌒， 连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点⌒，CD
知1－讲
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到 了什么结论？你能证明你的结论吗？
第五页，共二十页。
归纳
知1－讲
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径 所在的直线都是圆的对称轴.
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
7.2m
37.4m
A 18.7 r
C D
r-7.2
OLeabharlann B∵ OA2 OD2 AD2
∴ r 2 18.72 r 7.22
解得r=27.9（m）
1、知道垂径定理的内容 （直径垂直于弦 平分弦、平分弧）
2、思考：直径平分弦 平分弧正确吗？
垂直于弦并
3、方法提炼：涉及圆中半径、弦长、圆心到 弦距离的计算时，常通过作半径，作垂线 构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定 理解决。
A
EB
· O
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
⊙O的半径为5cm，则圆心O到AB的距离
是 3cm 。
AEB
O·
4、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
13cm,OE=5cm,则AB=24 cm。
AE
B
·O
方法提炼：涉及圆中半径、弦长、圆心到弦距离的 计算时，常通过作半径，作垂线构造直角三角形，
交⊙O于点B，垂足为E
1、点A与点B有什么位置关系？
点A与点B关于CD对称
C
2、你能发现图中有那些相等的
线段和弧?
线段：AE=BE, 弧: A⌒C=⌒BC, ⌒ ⌒ AD=BD
·O
AE
B
D
1、点A与点B有什么位置关系？ 2、你能发现图中有那些相等的线段和弧?
C
1、点A与点B关于CD对 称
·O
2、弧线: A段⌒C：=B⌒ACE, =AB⌒DE=, B⌒D A E B
1、在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD， 弦AB和CD的距离为4，若AB=8，
求CD的长。
2、如图，水平放置的圆柱形下水管道 ，其截面为圆O，直径为1米，管道内有 少量的污水，水面宽AB为0.6米，求此 时的水深（弧的中点到弦的距离）
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
24.1.2垂直于弦的直径
动手操作 给你一个任意的三角形（不要
用特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形等），能否 只剪一刀，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形呢？
1、分别取AB 、AC的中点D 、E,连结DE;
2、沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕 点E按顺时针旋转180度,得平行四边形BCFD实际操作得结论来自ADE
B
C
通过刚才的操作我们可以看到线段 DE实质上就是三角形两边中点的连线， 我们把这样特殊的线段叫做三角形的中 位线。
学一学
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 A
D B
F
E 根据中位线的概念同学们猜一猜、 画一画条三角形的中位线？
C
答：
三角形有三条中位线
猜一猜
△ ABC的中位线DE与
1 BC
2
2
记一记
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
用符号语言表示 A
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC， DE 1 BC D
E
2
B
C
谢谢聆听！
谢谢
A
BC的关系怎样？（从位置 D
E
和数量关系猜想）
B
根据我们提前预习可得到
C
DE∥BC, DE 1 BC 2
同学们你能验证这道定理吗？
例题、已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
（独立思考-组内交流 -代表展示-师生点评）
A
求证：DE∥BC，且DE=
1 2
BC
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，
连 结CF.
∵点E是AC的中点
∴AE=EC
D B
动手操作 给你一个任意的三角形（不要
用特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形等），能否 只剪一刀，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形呢？
1、分别取AB 、AC的中点D 、E,连结DE;
2、沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕 点E按顺时针旋转180度,得平行四边形BCFD实际操作得结论来自ADE
B
C
通过刚才的操作我们可以看到线段 DE实质上就是三角形两边中点的连线， 我们把这样特殊的线段叫做三角形的中 位线。
学一学
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 A
D B
F
E 根据中位线的概念同学们猜一猜、 画一画条三角形的中位线？
C
答：
三角形有三条中位线
猜一猜
△ ABC的中位线DE与
1 BC
2
2
记一记
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
用符号语言表示 A
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC， DE 1 BC D
E
2
B
C
谢谢聆听！
谢谢
A
BC的关系怎样？（从位置 D
E
和数量关系猜想）
B
根据我们提前预习可得到
C
DE∥BC, DE 1 BC 2
同学们你能验证这道定理吗？
例题、已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
（独立思考-组内交流 -代表展示-师生点评）
A
求证：DE∥BC，且DE=
1 2
BC
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，
连 结CF.
∵点E是AC的中点
∴AE=EC
D B
24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件
1
1.在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是
⌒
60°，那么弦AB的弦心距是 5 3cm 。
O D A B
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
13 cm 则这弓形所在的圆的半径为 4
C A D O B
.
小结:
通过本节课的学习，你掌握了哪些 知识？ 本节课学习的数学知识是圆的轴对 称性和垂径定理及其推论。
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径所在的直线 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
R B
AB=37.4m CD=7.2m
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
· O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒表示主桥拱，设AB ⌒ 所在圆的圆心为O， 解：用AB
符号表示：
∵AE=BE ，CD是直径。
C
∴ CD ⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD ,AC=BC
E A
·
O B D
推论:平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
⌒ ⌒ 当CD是直径，AD=BD 时
AE=BE CD ⊥AB
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学配套课件(共16张PPT)
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横
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You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理
求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,
所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测 巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ）
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，BAC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A
E
C
O
D
B
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，C 并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
A
E
A．AE＝OE C．OE＝1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
2、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点. 求证：AC＝BD.
.O
E AC
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
五、课堂小结
D. 13
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD=1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为 5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的 长是 ．
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO，AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
AO=BO=CO=DO，
AD＝BC AC＝BD
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 A
E
B
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
O求圆O的ຫໍສະໝຸດ 径.【解析】根据题意得， AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25， AO=5cm.
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
O
A
C
D
OO
B
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
O
D
B
【推论2】
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能
得到什么结论？
E A
AE＝BF
C
O
D
B F
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
⊙O的半径为（ ）
A. 10
B.2 3
C.3 2
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理
求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,
所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测 巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ）
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，BAC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A
E
C
O
D
B
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，C 并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
A
E
A．AE＝OE C．OE＝1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
2、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点. 求证：AC＝BD.
.O
E AC
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
五、课堂小结
D. 13
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD=1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为 5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的 长是 ．
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO，AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
AO=BO=CO=DO，
AD＝BC AC＝BD
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 A
E
B
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
O求圆O的ຫໍສະໝຸດ 径.【解析】根据题意得， AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25， AO=5cm.
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
O
A
C
D
OO
B
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
O
D
B
【推论2】
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能
得到什么结论？
E A
AE＝BF
C
O
D
B F
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
⊙O的半径为（ ）
A. 10
B.2 3
C.3 2
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB