初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案

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自学初中数学资料直角三角形(资料附答案)

自学资料一、直角三角形【知识探索】1．如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．（简记为：H.L）．【错题精练】例1．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=______．【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S3+S4=2.44．第1页共41页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训故填：2.44．【答案】2.44例2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于点E，F，则线段C′F的长为（）A. 85B. √32C. 35D. 45【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC=10，∵将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，∴∠AEC=∠AEB，∠BAE=∠DAE，∵∠BED=180°，∴∠CEA=90°，即CE⊥AE，∵S△ABC=12AB×AC=12AE×BC，∴AE=4.8，在Rt△ACE中，CE=√AC2−AE2=6.4，∵将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，∴CF=C'F，∠CAF=∠C'AF，∵∠BAE+∠DAE+∠CAF+∠C'AF=∠BAC=90°，∴∠EAF=45°，且CE⊥AE，∴∠EAF=∠EFA=45°，∴AE=EF=4.8，∵CF=CE-EF=6.4-4.8=1.6，∴C'F=1.6=85，故选：A．【答案】A第2页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例3．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【答案】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=22，AE=AC-EC=2-BD=2-（22-2）=4-22，③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．第3页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=12AC=1．例4．△ABC是⊙O的内接三角形；（1）如图1，若BC=4√2，AC=7，∠ACB=45°，求⊙O的半径．（2）如图2，若AB=7，BC=5，AC=8，求∠C的度数及⊙O的半径．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，BE是AC边上的高，连结BO．①请证明：∠CBE=∠ABO；②若AB=7，BC=6，AC=8，请求出⊙O的半径．【答案】解：（1）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图1，在Rt△BCH中，CH=BH=√22BC=√22•4√2=4，∴AH=AC-CH=7-4=3，在Rt△ABH中，AB=√AH2+BH2=5，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，第4页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵∠D=∠ACB=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=√2AB=5√2，∴⊙O的半径为5√22；（2）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图2，设CH=a，BH=b，则AH=AC-CH=8-a，在Rt△BCH中，a2+b2=52①，在Rt△BAH中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-24，解得a=52，在Rt△BCH中，∵BC=5，CH=52，∴∠CBH=30°，∴∠C=60°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∵∠D=∠ACB=60°，∴AD=√33AB=7√33，∴BD=2AD=14√33∴⊙O的半径为7√33；（3）①证明：作直径BD，连结AD，如图3，∵BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=90°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∴∠D+∠ABD=90°，∵∠D=∠ACB，∴∠CBE=∠ABO；②设CE=a，BE=b，则AE=AC-CE=8-a，在Rt△BCE中，a2+b2=62①，第5页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训在Rt△BAE中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-13，解得a=5116，在Rt△BCE中，∵BC=6，CE=5116，∴BE=√BC2−CE2=21√1516，∵∠CBE=∠ABD，∴Rt△ABD∽Rt△EBC，∴BDBC =AB BE，∴BD=6×721√1516=32√1515，∴⊙O的半径为16√1515．例5．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；（2）若CD=4√2，AE=2，求圆O的半径．【答案】解：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°．∴∠AOC=2∠ADE=84°，∴∠OCE=90°-84°=6°；（2）解：因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=12CE=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，所以r2=（2√2）2+（r-2）2，解得：r=3．所以圆O的半径为3．第6页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例6．如图，点D在半圆O上，半径OB=√61，AD=10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=√（2√61）2−102=12，BM=√BD2+DM2=√122+52=13，∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8．故选：D．【答案】D例7．如图所示，P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：（1）△MPD∽△MQE；（2）AD•PD=AE•EQ：（3）PB2+QC2=PM2+QM2．【答案】证明：（1）∵MD⊥AB于点D，ME⊥AC，∠A=90°，∴∠MDP=∠MEA=∠A=90°，∴四边形ADME是矩形，∴AD=EM，AE=DM，∠DME=90°，∵PM⊥QM，第7页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴∠PMQ=90°，∴∠DMP=∠EMQ，∴△MPD∽△MQE；（2）∵△MPD∽△MQE，∴PDEQ =DMEM，∵AD=EM，AE=DM，∴PDEQ =AEAD，∴AD•PD=AE•EQ；（3）如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，∴△MCQ≌△MBN，∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，连接PN，PQ，∵PM⊥QM，∴PM垂直平分NQ，∴PN=PQ，∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠MBN=90°，即△PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，∴PQ2=PB2+QC2，∵PQ2=PM2+QM2，∴PB2+QC2=PM2+QM2．例8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（）cm2．A. 3cm2B. 4cm2C. 7cm2D. 49cm2第8页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49cm2．故选：D．【答案】D例9．如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC=BC，∠DBA=20°，那么∠DCE的度数是______．【解答】解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，AB，∴ED=EB=12∴∠EDB=∠DBA=20°，∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=40°，∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点，AC=BC，AB，CE⊥AB，∴EC=12∴∠DEC=130°，ED=EC，∴∠DCE=25°，故答案为：25°．【答案】25°例10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．第9页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12EF=12AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高125，∴AM的最小值是65．例11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为______．【解答】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，第10页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴∠B=60°，BC=12AB=2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD=BC=2，故答案为：2．【答案】2例12．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【答案】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=√3r，BC=2√3r则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：πr2ℎ′√34（2√3r）2ℎ′=√39π（若设△ABC的边长为a,则圆柱型唇膏和纸盒的体积比为112πa2ℎ′√34a2ℎ′=√39π）（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：l2r•b2r•πr2ℎlbℎ=π4；（3）∵√39ππ4=4√39=√4881＜1∴第二种包装的空间利用率大．例13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=12AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=12AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=12AC=1，∴BN=√2例14．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；【答案】解：（1）∵△ABC 和△BDE 等腰直角三角形，AB=6，BD=2．∴BC=√22AB=3√2，BE=√22BD=√2，∠ABC=∠EBD=45°，∴∠CBE=90°，∴CE=√CB 2+BE 2=2√5；（2）证明：连接AM ，则∠AMC=∠ABC=∠CAF=45°，∵∠ACM=∠FCA∴△ACM ∽△FCA ，∴AC CF =CM AC ，∴AC 2=CM•CF ；（3）∵∠ABC=∠BDE ，∴DE ∥BC ，∴△EDF ∽△CBF ，∴DF BF =DE BC =EF CF ，∴EF EF+CE =DF BD+DF =√23√2=13，∴BF=3，CF=3√5，∵BF•AF=FM•CF ，∴FM=9√55， ∴CM=3√5-9√55=6√55．例15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点B ，C 的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ，直线AB 交x 轴于点P ．若△ABC 与△A'B'C'关于点P 成中心对称，则点A'的坐标为______．【解答】解：如图：点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得BC=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=2√2，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得{2k+b=14k+b=3，解得{k=1b=−1，AB的解析式为y=x-1，当y=0时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P-x A=2-4=-2，y A′=2y A′-y A=0-3=-3，A′（-2，-3）．故答案为：（-2，-3）．【答案】（-2，-3）例16．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为______．【解答】解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2×√2=√2，2在Rt△BAC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BE2+DE2=√（2√2+√2）2+（√2）2=2√5；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=ACsin45°=2×√2=√2，2又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BC2+CD2=√（2√2）2+（√2）2=√10．故BD的长等于4或2√5或√10．【答案】4或2√5或√10【举一反三】1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，BC=4√3，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠AFB′=90°时．在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=4，∴AB=2AC=8，∵BD=CD，∴BD=CD=12BC=2√3，由折叠的性质得：∠BFD=90°，B'E=BE，∴∠BDF=60°，∴∠EDB=∠EDF=30°，∴∠B=∠EDB=30°，∴BE=DE=B'E，∵∠C=∠BFD=90°，∠DBF=∠ABC=90°，∴△BDF∽△BAC，∴BFBC =BDAB，即BF4√3=2√38，解得：BF=3，设BE=DE=x，在Rt△EDF中，DE=2EF，∴x=2（3-x），②如图2中，当∠AB′F=90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE=x．∵AD=AD，CD=DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC=AB′=4，∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，∴∠EB′H=60°，在Rt△EHB′中，B′H=12B′E=12（8-x），EH=√3B′H=√32（8-x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，∴[√32（8-x）]2+[4+12（8-x）]2=x2，解得：x=285，综上所述，满足条件的AE的值为6或285．故答案为：6或285．【答案】6或2852．如图，已知∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连接EF，GM，设△AEF，△CGM的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的是（）A. S1=S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. S1≤S2【解答】解：过E作ER⊥AF，交FA的延长线于R，设△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE=AB，∠ARE=∠ACB=90°，∠EAR=∠CAB，∴△AER≌△ABC，∴ER=BC=a，而FA=b，1∵CG=b ，CM=a ，∴S 2=12ab ，∴S 1=S 2，故选：A ．【答案】A3．如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4．将△AOB 绕顶点O 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与边AB 的交点为点D ，则在旋转过程中，线段B 1D 长的最大值为（）A. 4.5B. 5C. 125D. 85【解答】解：因为OB 1的长度是定值，所以当OD 最短即可OD ⊥AB 时，B 1D 长的取最大值．∵如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4，∴AB=√OA 2+OB 2=√32+42=5，则12OA•OB=12AB•OD ，OD=OA•OB AB =3×45=125．由旋转的性质知：OB 1=OB=4，∴B 1D=OB 1-OD=4-125=85．即线段B 1D 长的最大值为85．【答案】D4．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：PD=PF；（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．【答案】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，又∵∠ADE=∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF；（3）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∵CD=3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1BC．2（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．【答案】（1）解：连接OB和OC；∵OE⊥BC，∴BE=CE；BC，∵OE=12∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；∴四边形AFHG是正方形；（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴（x-6）2+（x-4）2=102；解得，x1=12，x2=-2（不合题意，舍去）；∴AD=12．6．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为______cm2．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3=S正方形1，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形3，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形1=122=144．故答案是144．【答案】1447．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，点D位于边BC的中点上，点E在AB上，点F 在AC上，∠EDF=45°．（1）求证：∠DFC=∠EDB；（2）求证：CF•BE=1；（3）当BE=1时，求△FCD的面积．【答案】（1）证明：∵∠EDF=45°，∴∠EDB+∠FDC=135°，∵∠B=∠C=45°，∴∠DFC+∠FDC=135°，∴∠BDE=∠DFC；（2）证明：∵∠B=∠C，∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴BDFC =BECD，∴CF•BE=BD•CD=1，（3）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，∴BC=2，∵点D位于边BC的中点上，∴BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45°，∴∠BDE=67.5°，∠EDF=45°，∴∠FDC=∠DFC=67.5°，CF=CD=1，∴DC边上的高是√22，∴S△CDF=12×1×√22=√24．8．如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（）A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√3【解答】解：在Rt△BCD中，利用勾股定理得BD=10，设AE=x，则EF=x，DE=8-x，在Rt△DEF中，∵BF=AB=6，∴DF=10-6=4．则（8-x）2=x2+42，解得x=3，在Rt△ABE中，BE=√AB2+AE2=√32+62=3√5．故选：C．【答案】C9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若CF=6，AC=AF+2，则四边形BDFG的周长为（）A. 9.5B. 10C. 12.5D. 20【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，AC，∴BD=DF=12∴四边形BGFD是菱形，设AF=x，则AC=x+2，FC=6，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即x2+62=（2+x）2，解得：x=8，故AC=10，故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20．故选：D．【答案】D10．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=√5，CD=2．（1）求直径BC的长；（2）求弦AB的长．【答案】解：（1）∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，由CE=√5，CD=2，得DE=1，∵△ADE∽△BCE，∴ADBC =DECE，∴BC=2√5．（2）∵△ABE∽△DCE，∴AEAB =DEDC=12，设AE=x，∵AB2+AC2=BC2，∴（x+√5）2+（2x）2=（2√5）2，解得：x=−2√5±8√510，∵x＞0，∴x=35√5，∴AB=2x=65√5．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB 于点D，则CD̂的长为（）A. 16π B. 13πC. 23π D. 2√33π【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴CD̂的长为60π×2180=2π3，故选：C ．【答案】C12．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点．求证：AE=√2MN ．【答案】证明：如图，取AB 的中点G ，连接MG 、NG ，∵M 、N 分别为AF 、BE 的中点，∴NG=12AE ，NG ∥AE ，MG=12BF ，MG ∥BF ，∵CE=CF ，∠C=90°，∴AE=BF ，∠MGN=∠C=90°，∴MG=NG ，∴△MNG 是等腰直角三角形，∴NG=√22MN ，∴AE=2NG=NG=√22×2MN=√2MN ，即AE=√2MN ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6，∵BC=√AB2−AC2=8，∴BD=BC-CD=8-6=2，∵tan∠ABC=DFBD =AC BC，∴DF2=6 8，∴DF=32．②如图2中，当∠DEB=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，在Rt△BDE中，（8-x）2=x2+42，∴x=3，综上所述，满足条件的DF的值为3或32．故答案为3或32．【答案】3或3214．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则斜边中线长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，①AB为斜边时，斜边中线长为12AB=2.5；②AB和BC为直角边长时，由勾股定理得：斜边长=√52+32=√34，则斜边中线长为12AC=√342；故答案为：2.5或√342．【答案】2.5或√34215．已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，D是线段AC延长线上的一点，连结DB、DE，DE与BC交于点G．给出下列结论：①若AD=BD，则AC•AD=AE•AB；②若AB=BD，则DG=2GE；③若CD=BE，则∠A=2∠ADE．其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵AD=BD，E是斜边AB的中点，∴DE⊥AB，又∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴ACAE =ABAD，即AC•AD=AE•AB，①正确；②∵AB=BD，∠ACB=90°，∴BC是△ABD的中线，又DE是△ABD的中线，∴点G是△ABD的重心，∴DG=2GE，②正确；③连接CE，∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，∴EC=EA=EB，∴∠A=∠ECA，CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∵∠ECA=∠CDE+∠CED=2∠ADE，∴∠A=2∠ADE，③正确；故选：D．【答案】D16．已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=√32+42=5，设AN=PN=x，则CN=5=x①当∠NPC=90°时，如图1，∵∠NPC=∠B=90°，∠C=∠C，∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =CNAC ，∴x 4=5−x 5， x=209，即PN=209；②当∠PNC=90°时，如图2，∵∠PNC=∠ABC=90°，∠C=∠C∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =NC AC ，∴x 4=5−x 3， x=207，即PN=207；综上，PN 的长为209或207．故答案为：209或207．【答案】209或207．1．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB=90°，求证：a 2+b 2=c 2证明：连接DB ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，则DF=b-aS四边形ADCB=S△ADC+S△ABC=-12b2+12abS四边形ADCB=S△ADB+S△BCD=12c2+12a（b-a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b-a）化简得：a2+b2=c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2【答案】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b-a），∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b-a），∴a2+b2=c2．2．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A. S1+S3=2S2B. S1+S3=4S2C. S1=S3=S2D. S2=13（S1+S3）【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2=AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3=4S2．故选：B．【答案】B3．如图，沿折痕AE叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，且△ABF的面积为24，求EC的长．【答案】解：∵S△ABF=24，AB=8，∴BF=6．∴AF=10=AD．∴FC=4．设EC=x，则EF=DE=8-x．根据勾股定理，得CF2+CE2=EF2即16+x2=（8-x）2，∴x=3．即EC=3．4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD=8，则弦AB的长为（）A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3【解答】解：解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−82=6，故选：A．【答案】A5．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A. 95B. 125C. 185D. 365【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=125，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（125）2，解得：AM=95，∴AE=2AM=185．故选：C．【答案】C6．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G，下面结论正确的是（）①DB=√2BE；②∠A=∠BHE；③连CG，则四边形BCGD为平行四边形；④AD2+DH2=2DC2．A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC，∴DB=√2BE，BE=DE．∵DE⊥BC，BF⊥CD，∴∠BEH=∠DEC=90°．∵∠BHE=∠DHF，∴∠EBH=∠CDE，∴△BEH≌△DEC，∴∠BHE=∠C，BH=CD，EH=EC，∵▱ABCD中，∴AD=BC，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，∴AD2+DH2=BC2+DH2=（BE+EC）2+（DE-HE）2=（BE+HE）2+（BE-HE）2=2BE2+2HE2=2（BE2+HE2）=2BH2=2DC2，∴正确的有①②④．故选：C．【答案】C7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为______．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，AC，∴BD=DF=12∴四边形BDFG是菱形，过点B作BH⊥AG于点H，∵四边形BDFG是菱形，∴GF=DF=5，∵∠BEF=∠EFH=∠BHF=90°，∴四边形BHFE是矩形，∴BH=EF=1CF=3，2∴S菱形BDFG=GF•BH=15．故答案为：15．【答案】158．已知△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．（1）如图1，若AD=4，求EF的长；（2）如图2，若∠ABC=45°，AB=2√2，求EF的最小值．【答案】解：（1）作直径EP，连结PF，如图1，∵EP为⊙O的直径，∴∠EFP=90°，∵∠P=∠EAF=60°，∴∠PEF=30°，∴PF=12PE，EF=√3PF=√32EP，∵EP=AD=4，∴EF=√32×4=2√3；（2）∵EF=√32EP=√32AD，∴当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，如图2，∵∠ABC=45°，AB=2√2，∴AD=√2AB=2，2∴EF=√3×2=√3，2即EF的最小值为√3．9．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，求BD的长．【答案】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=10．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102．解得：x1=2，x2=0（舍去）．∴BD=2．如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=10，AC=6，∴B′E=4．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42．解得：x=5．∴BD=5．综上所述，BD的长为2或5．10．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB 上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A. 一直减小B. 一直不变C. 先变大后变小D. 先变小后变大【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．延长CP 与圆交于点F，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°，∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴∠FOD=90°，∴∠PCE=45°，∴OP=DQ=y，∴△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=OD2÷2=12.5．故选：B．【答案】B11．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B，∵AĈ=AĈ，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN=AD，CD⊥AB∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=53或x=-3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×53+1=133，即⊙O的半径为133．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28∘，求∠ACD的度数．（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求ab的值．【解答】（1）解：∵∠ACB=90∘，∠A=28∘，∴∠B=62∘，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90∘−∠BCD=31∘；（2）解：①由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√a2+b2，∴AD=√a2+b2−a，解方程x2+2ax−b2=0得，x=−2a±√4a2+4b22=±√a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=（12b+a)2，整理得，ab =34．【答案】（1）∠ACD=31∘；（2）①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②ab =34．13．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”条件删去，其余条件不变，那么∠DAE的度数改变吗？试证明；（3）如果把（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，试探究∠DAE与∠BAC非学科培训∠BAC．理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，∴∠DAE=12∠BAC．第41页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训。

七年级数学下册第七章《三角形》知识点及练习

《七年级数学第七章*三角形》一、知识点（1）➢ 与三角形有关的线段 (1)三角形的定义(2) ①⎪⎩⎨⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)( ②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角(3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫 (分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)(4)三角形三边间的关系.①两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,, ②两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,, (5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.二、例题分析例1:已知BD,CE 是的高, 直线BD,CE 相交, 所成的角中有一个角为50°, 则等于BAC ∠例2:如图,已知中, 的角平分线BD,CE 相交于点O,且 , 求例3:三角形的最长边为10,另两边的长分别为x和4,周长为c,求x和c的取值范围.一、知识点（2）➢与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质定理: 三角形的内角和等于。

推论1: 直角三角形的两个锐角。

推论2: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的。

推论3: 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个。

（2）三角形的外角及外角和①三角形的外角: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

②三角形的外角和等于。

（3）多边形及多边形的对角线①正多边形: 各个角都相等, 各条边都的多边形叫做正多边形.②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线, 若整个图形都在这条直线的同一侧, 这样的多边形称为凸多边形；, 若整个多边形不都在这条直线的同一侧, 称这样的多边形为凹多边形。

初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段一、学习任务1. 理解三角形及其有关的概念．2. 掌握三角形三边关系，并能够熟练运用这个三角形的三边关系判定已知的三条线段能否构成三角形．3. 知道三角形具有稳定性，并且能够运用到实际问题中去．二、知识清单三角形的相关概念三角形的三边关系三角形的稳定性三、知识讲解1.三角形的相关概念三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle ）．按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude ）．三角形的中线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线（median ）．三角形的角平分线三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（angular bisector ）．三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心．三角形的内心三角形三条内角平分线的交点叫做三角形内心．三角形的垂心三角形三边上的三条高所在直线交于一点叫做三角形垂心．三角形的外心三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形外心．三角形的旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点叫做三角形的旁心．一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形是（）2:3:7中阴影部分的面积是_______．1∠DAE线，则的度数为______．描述：例题：3.三角形的稳定性三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）（1），，；（2），，；（3），，（）；（4），，（）．解：（1）不能；（2）不能；（3）能；（4）不能．（1）与的和小于，所以不能组成三角形；（2）与的和等于，所以不能组成三角形；（3），均小于，而，因为，所以，所以，它们可以组成三角形；（4）最大，而，因此不能组成三角形．3610358+3a 2+4a 2+7a 2a ≠03a 5a 8a a >03610358+3a 2+4a 2+7a 2(+3)+(+4)=2+7=(+7)+a 2a 2a 2a 2a 2a ≠0>0a 2(+3)+(+4)>+7a 2a 2a 28a 3a +5a =8a 一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是，这样的三角形共有多少？分析：已知中的数较少，只知道周长为，应该抓住不等边三角形的边长都是整数这一个条件，依据三角形三边关系先确定出最大边的取值范围，则问题迎刃而解．解：设，则，即，所以．因为，，都是正整数，所以若，则其他两边必然为，．由于，即，故线段，，不能组成三角形．当然更不可能是或，因而有．当时，，，不符合条件；当时，，，符合条件．所以符合条件的三角形只有个．1212a <b <c a +b +c >2c 2c <12c <6a b c c =3a =1b =21+2=3a +b =c a b c c 124⩽c <6c =4a =2b =3c =5a =3b =41下列图形中具有稳定性的是（）A. 正方形B. 长方形C. 直角三角形D. 平行四边形解：C．答案： 1. 如图，在中，的对边是A ．B ．C ．D ．C △ABF ∠B ()ADAE AF AC2. 如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是 A ．B ．C ．D ．24()2468高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

(完整版)人教版七年级下数学第七章三角形知识点+考点+典型例题(含答案).doc

第七章三角形【知要点】一．三角形1．关于三角形的概念及其按角的分定：由不在同一直上的三条段首尾次相接所成的形叫做三角形。

2．三角形的分：①三角形按内角的大小分三：角三角形、直角三角形、角三角形。

②三角形按分两：等腰三角形和不等三角形。

2．关于三角形三条的关系（判断三条段能否构成三角形的方法、比段的短）根据公理“ 两点之，段最短”可得：三角形任意两之和大于第三。

三角形任意两之差小于第三。

3．与三角形有关的段：三角形的角平分、中和高．．三角形的角平分：三角形的一个角的平分与相交形成的段；三角形的中：接三角形的一个点与中点的段，三角形任意一条中将三角形分成面相等的两个部分；三角形的高：三角形的一个点做的垂，条垂段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分、中和高都是段，不是直，也不是射；②任意一个三角形都有三条角平分，三条中和三条高；③任意一个三角形的三条角平分、三条中都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角；角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中交于一点，三条角平分交于一点，三条高所在的直交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直）交与一点，角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角点，角三角形高（所在的直）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和： 180°引申：①直角三角形的两个角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个角；③一个三角中至少有两个内角是角。

（2）三角形的外角和： 360°（3）三角形外角的性：①三角形的一个外角等于与它不相的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相的内角。

——常用来比角的大小5. 多形的内角与外角（ 1）多形的内角和：（ n-2 ） 180°（ 2）多形的外交和：360°引申：（ 1）从 n 形的一个点出能作（n-3 ）条角；（ 2）多形有n(n3)条角。

初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.2知识点总结含同步练习及答案

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十一章三角形 11.2 与三角形有关的角一、学习任务1. 掌握三角形的内角和和外角和定理，并会熟练运用内外角和定理解决相关的角的问题．2. 会证明三角形内角和和外角和定理．3. 掌握直角三角形中角的性质和判定．二、知识清单三角形的内外角和三、知识讲解1.三角形的内外角和三角形内角与外角在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的一边与其邻边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于．三角形外角和定理三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理的推论直角三角形两个锐角互余．两锐角互余的三角形是直角三角形．飞镖模型及“8”字模型三角形角平分线与内角和180∘例题：在，，则 ______．解：．△ABC ∠A :∠B :∠C =2:1:3∠A =60∘一个三角形三个外角之比为，三个内角的度数分别是______．解：，，．三角形外角和是，再根据比例分别求出三个外角，即可求出对应的内角．2:3:4100∘60∘20∘360∘如图，三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数是______．解：．l ∠1=40∘∠250∘如图所示，已知，，，求的度数．解：方法一：延长交于，所以．∠A =70∘∠B =40∘∠C =20∘∠BOC BO AC D ∠BOC =∠1+∠C =∠A +∠B +∠C=130∘方法二：连接，因为，所以．因为，所以．方法三：连接并延长到点，因为，，所以．BC ∠1+∠2+∠A +∠B +∠C =180∘∠1+∠2=50∘∠1+∠2+∠BOC =180∘∠BOC =130∘AO D ∠3+∠B =∠1∠4+∠C =∠2∠3+∠B +∠4+∠C =∠1+∠2=130∘已知如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：__________________；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；（3）在图2中，若，，试求的度数．分析：（1）根据三角形内角和定理即可得出；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有个；（3）现根据“8字形”中的角的规律，可得，，再根据角平分线的定义，得出，，可得，进而求出的度数．解：（1）；（2）① 线段，相交于点，形成“8字形”；② 线段，相交于点，形成“8字形”；③ 线段，相交于点，形成“8字形”；④ 线段，相交于点，形成“8字形”；⑤ 线段，相交于点，形成“8字形”；AB CD O AD CB ∠DAB ∠BCD AP CP P CD AB M N ∠A ∠B ∠C ∠D ∠D =40∘∠B =36∘∠P ∠A +∠D =∠C +∠B 6∠DAP +∠D =∠P +∠DCP ∠P CB +∠B =∠P AB +∠P ∠DAP =∠P AB ∠DCP =∠P CB 2∠P =∠D +∠B ∠P ∠A +∠D =∠C +∠B AB CD O AN CM O AB CP N AB CM O APCD M AN∠E=30高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

初二数学：三角形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)

初二三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.常考题：一．选择题（共13小题）1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270° C．180° D．135°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米9．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°10．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．5411．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°12．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形13．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16二．填空题（共13小题）14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．18．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．19．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．20．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度．24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度．26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．三．解答题（共14小题）27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．32．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．33．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．34．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ 仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．35．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．36．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．37．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2008•福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．2．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．3．（2010•西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270° C．180° D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．4．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．5．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．6．（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D ﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7．（2004•陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE 互为对顶角．8．（2009•黑河）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．【解答】解：∵15﹣10＜AB＜10+15，∴5＜AB＜25．∴所以不可能是5米．故选：D．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和．9．（2014•临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）•180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180=180°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x），∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．11．（2011春•滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n 边形是解题的关键．12．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．【解答】解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．13．（2014•毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n﹣2）180°=2340°，解得n=15，原多边形是15﹣1=14，故选：B．【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．二．填空题（共13小题）14．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014•随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．17．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（2013•遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是9．【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，解得，n=9．故答案为9．【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式．19．（2015•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014•自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．21．（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 9 ．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．22．（2013•黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A=∠C ﹣∠B ，则∠B= 60 度．【分析】先整理得到∠A +∠C=2∠B ，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵∠B ﹣∠A=∠C ﹣∠B ，∴∠A +∠C=2∠B ，又∵∠A +∠C +∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A +∠C=2∠B 是解题的关键．23．（2013•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD的平分线交于点A 2013，则∠A 2013= 度．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=∠A ，进而可求∠A 1，由于∠A 1=∠A ，∠A 2=∠A 1=∠A ，…，以此类推可知∠A 2013=∠A=°．【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．24．（2012春•金台区期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=74度．【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．故答案为：74．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．25．（2006•临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 36度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．26．（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．三．解答题（共14小题）27．（2013春•临清市期末）如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BDF的度数．【解答】解：因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°，所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是外角和内角的关系．28．（2013•湖州校级模拟）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB 于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【解答】解：∵∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．答：∠ACD的度数为83°．【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．29．（2015秋•全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE 平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．30．（2010春•横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；（3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，那么可依据D是BC中点，E是AD中点，求出三角形BED的面积．三角形BDE 中，E到BD的距离就是BD边上的高，有了三角形BDE的面积，BD的长也容易求得．那么高就求出来了．【解答】解：（1）∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）CH为所求的高．（3）解：如图，过点E作EF⊥BD于点F，∵AD是BC的中线∴BD=CD=S△ACD==×60=30∴S△ABD=S△ABE==×30=15同理S△BED又∵S=BD•EF=×5EF=15△BED∴EF=6即点E到BC边的距离为6．【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外角等知识点．31．（2015春•单县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义．特别注意第（2）小题，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．32．（2010春•朝阳区期末）如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．【分析】要求∠EDF的度数，只需求出∠BDE和∠FDC的度数即可，由FD⊥BC，得∠FDC=90°；而∠BDE在Rt△BDE中，故只需求出∠B的度数．因∠B=∠C，只需求出∠C的度数即可．因∠AFD是△CDF的外角，∠AFD=158°∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°．【解答】解：∵FD⊥BC，所以∠FDC=90°，∵∠AFD=∠C+∠FDC，∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°，∴∠B=∠C=68°．∵DE⊥AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°﹣∠B=22°．又∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDF=180°﹣∠BDE﹣∠FDC=180°﹣22°﹣90°=68°．【点评】考查三角形内角和定理，外角性质，垂直定义等知识．33．（2014春•岱岳区期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC 与∠B相等；（2）若设∠CAD=x°，则∠E=3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD=∠EDA﹣∠BAD=∠B；。

初中数学三角形专题知识总结与练习答案

初中数学三角形专题知识总结与练习答案专题八三角形一目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。

（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。

（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。

难点是综合应用这些知识解决问题的能力。

三知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个三角形的主要线段和外心、等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

知识点5 全等三角形定义、判定、性质知识点6 相似三角形定义,夹角相等两对应边的比相等相似三角形判定方法两个对应角相等三条对应边的比相等对应边的比对应高的比等于相似比相似三角形的性质周长比面积比相似比平方知识点7 锐角三角函数三角函数sinα0° 030°45°60°90° 112cosα 1tanα 02 32222121 233不存在cotα 不存在1 0例题精讲例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题(含答案解)

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题（含答案解）知识点总结1. 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形是等边三角形。

2. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于243a （a 为等腰三角形的边长）。

3. 等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

练习题1、（2022•鞍山）如图，直线a ∥b ，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A ＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝60°，∵∠A +∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2、（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．3、（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．4、（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝3，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A ．43B ．23C ．433D ．3【分析】将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，可得△BOD 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD ＝90°，从而解决问题．【解答】解：将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，∴OB ＝BD ，∠OBD ＝60°，CD ＝OA ＝2，∴△BOD 是等边三角形，∴OD ＝OB ＝1，∵OD 2+OC 2＝12+（）2＝4，CD 2＝22＝4，∴OD 2+OC 2＝CD 2，∴∠DOC ＝90°，∴△AOB 与△BOC 的面积之和为S △BOC +S △BCD ＝S △BOD +S △COD ＝×12+＝，故选：C ．。

初中三角形有关知识点总结及习题大全-带答案

- -.一、三角形角和定理一、选择题1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，那么∠A 等于〔〕A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°2.将一副三角板按图中的方式叠放，那么角α等于〔〕A ．75 B ．60 C ．45 D ．303.如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，那么∠3的度数为〔〕 A ．80︒ B ．90︒ C ．100︒ D ．110︒【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠，由m n ∥，得010043=∠=∠ 5.〔2009·**中考〕如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，那么3∠的度数等于〔〕 A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°；6.〔2009·中考〕如图，AB∥CD,假设∠A=20°，∠E=35°，那么∠C 等于〔〕. A.20° B. 35° C. 45° D.55°【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55º，又因为AB∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55º； 7.〔2009·呼和浩特中考〕△ABC 的一个外角为50°，那么△ABC 一定是〔〕 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形或锐角三角形【解析】选B 因为△A BC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的角等于130°，所以此三角形为钝角三角形.AB CD 40°120°α8.〔2008·聊城中考〕如图，11002145∠=∠=，，那么3∠=〔〕6A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°答案：选B 二、填空题9.〔2009·中考〕如图，//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，那么∠C = ．【解析】由//AE BD 得∠AEC=∠2=30o ，∴∠C =180°-∠1-∠AEC=180°-130o -30o =20o 答案：20o10.〔2009·中考〕如图，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP⊥EP,垂足为P ，假设∠PEF=300,那么∠PFC=__________。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题：一．选择题（共14小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点5．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．58．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（）A ．10B ．7C ．5D ．410．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角11．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：512．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS13．下列判断正确的是（）A ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共11小题）15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D 到线段AB的距离是cm．16．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．17．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．18．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=．19．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．20．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=度．23．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．25．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．三．解答题（共15小题）26．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．27．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．28．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．29．如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．30．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．31．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．32．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．33．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．34．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．35．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．36．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE．39．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．40．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2014秋•江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项5．（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′=∠B′CB，又∠B′CB=30°∴∠ACA′=30°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．6．（2000•安徽）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．7．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S=S△ABD+S△ACD，△ABC∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，=BC•EF=×5×2=5，∴S△BCE故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．10．（1998•南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE ，又CD=BC ，∠ACB=∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC ≌△ABC ．【解答】解：∵BF ⊥AB ，DE ⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC ，∠ACB=∠DCE∴△EDC ≌△ABC （ASA ）故选B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017•石家庄模拟）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C ．故选C ．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．12．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；∴在△OCP和△ODP中，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2002•河南）下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对比选项进行分析．【解答】解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；B、30°角没有对应关系，不能成立；C、如果这个角是直角，此时就不成立了；D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．故选D．【点评】本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断．14．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．二．填空题（共11小题）15．（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm．【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∵∠C=90°，∴D到AC的距离为CD=3cm，∵AD平分∠CAB，∴D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．16．（2013•邵东县模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是5．【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．17．（2016秋•宁城县期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．18．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．19．（2009•杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去玻璃店．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．20．（2015秋•西区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ADE=∠EFC，∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5cm，∵AB=9cm，∴BD=9﹣5=4cm．故填4．【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．21．（2009秋•南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（2012秋•合肥期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=50度．【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=50°，∴∠AED=50度．故填50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015秋•蒙城县期末）如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．【分析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．24．（2011•河南）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．25．（2015•鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4cm．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．三．解答题（共15小题）26．（2008•北京）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED．∴AC=CD．【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．27．（2007•北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，．∴△AOB≌△COD．∴AB=CD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，求证：DE=DF．【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．29．（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．【分析】根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．30．（2008•重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC ≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．。

八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版单选题1、下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2答案：D分析：若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．小提示：本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．2、要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行答案：C分析：用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误方案Ⅰ：如下图，∠BPD即为所要测量的角∵∠HEN=∠CFG∴MN∥PD∴∠AEM=∠BPD故方案Ⅰ可行方案Ⅱ：如下图，∠BPD即为所要测量的角在△EPF中：∠BPD+∠PEF+∠PFE=180°则：∠BPD=180°−∠AEH−∠CFG故方案Ⅱ可行故选：C小提示：本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3、刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（）A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行答案：B分析：利用三角形的三边关系可得答案．解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．故选：B．小提示：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．4、如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10B．9C．8D．7答案：D分析：先根据多边形的内角和公式（n−2)·180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．解：∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,∴正五边形的每一个外角为180°−108°=72°,如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=180°−2×72°=36°,360°÷36°=10,∵已经有3个五边形，∴10−3=7,即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．小提示：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．5、已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（）．A．S△ADES△ABC =ADABB．S△ADES△ABC=AEACC．S△ADCS△ABC =ADABD．S△ADES△EDC=AEAC答案：C分析：A选项，设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，根据三角形面积公式进行判断即可；B选项设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，根据三角形面积公式进行判断即可；C选项，设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，根据三角形面积公式进行判断即可；D选项，设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，根据三角形面积公式进行判断即可A选项：设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，S△ADE=12AD⋅ℎ1，S△ABC=12AB⋅ℎ2，∴S△ADES△ABC =12AD⋅ℎ112AB⋅ℎ2=AD⋅ℎ1AB⋅ℎ2≠ADAB，故A错误；B选项：设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，S△ADE=12AE⋅x，S△ABC=12AC⋅y，S△ADES△ABC=12AE⋅x12AC⋅y=AE⋅xAC⋅y≠AEAC，故B错误；C选项：设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =12AD⋅ℎ12AB⋅ℎ=ADAB，故C正确；D选项：设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，∴S△ADES△EDC =12AE⋅ℎ312CE⋅ℎ3=AECE=AEAC−AE≠AEAC，故D错误.故选C．小提示：本题考查了与三角形的高有关的计算，掌握三角形的高的定义，根据三角形的面积计算是解题的关键．6、一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（）A．15或16或17B．15或17C．16或17D．16或17或18答案：A分析：分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，故选：A.小提示：本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.7、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．8、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．9、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )A．35°B．95°C．85°D．75°答案：C分析：根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°故选:C.小提示：本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.10、能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（）．A．B．C．D．答案：C分析：先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B、如图2，∠2是锐角，且∠2=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C、如图3，∠3是钝角，且∠3=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D、如图4，∠4是锐角，且∠4=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．填空题11、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______．答案：180度##180°分析：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,先证明∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,再利用三角形的内角和定理可得答案.解：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,∵∠D+∠E=180°−∠DGE,∠GBC+∠GCB=180°−∠BGC,∠DGE=∠BGC,∴∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,∴∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG=180°,∴∠A+∠ABG+∠ACG+∠D+∠E=180°,所以答案是：180°小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键.12、如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC=3∠B=117°，∠C=∠D，则∠BED=________．答案：102°分析：首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．所以答案是：102°．小提示：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13、已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若BD=2，CD=1，则DE的长为______．答案：0.5或1.5分析：根据题意作出草图，分类讨论即可求解．解：AD、AE分别是△ABC的高和中线，BD=2，CD=1，如图，当△ABC是钝角三角形时，∴BC=BD−CD=1∴DE=BD−BE=BD−12BC=2−12=32当△ABC是锐角三角形时，∵BC=BD+DC=2+1=3∴BE=12BC=32∴DE=BD−BE=2−32=12当△ABC是直角三角形时，CD=0，不合题意，所以答案是：12或32 小提示：本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．14、一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为________．答案：11分析：多边形的内角和定理为(n −2)×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值．解：根据题意可得：29×(n −2)×180°=360°，解得：n =11 ，所以答案是：11．小提示：本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．15、如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝40°，DE ∥BC ，则∠AED 的度数是______．答案：80°分析：根据三角形内角和定理可得∠C =80°，根据平行线的性质即可得答案．∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B =80°，∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ＝80°，所以答案是：80°小提示：本题考查三角形内角和定理及平行线的性质，任意三角形的内角和等于180°；两直线平行，同位角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．解答题16、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11(1)求AB、AC的长；(2)求BC边的取值范围．答案：(1)AB=6，AC=5(2)1＜BC＜11分析：（1）根据三角形中线的定义，BD=CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．（1）解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=1，即AB−AC=1①，又AB+AC=11②，①+②得：2AB=12，解得AB=6，②−①得：2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=6，AC=5；（2）∵AB=6，AC=5；∴1＜BC＜11．小提示：本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．17、如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，E为CD延长线上一点，EF⊥AB于点F，已知∠ACB=70°，∠E= 30°．求∠A的度数．答案：25°分析：利用垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF，利用对顶角的性质求出∠CDB，再利用角平分线的定义求出∠DCB，进而利用三角形内角和定理求出∠B，∠A．解：∵EF⊥AB，∴∠EFD=90°，又∵∠E=30°，∴∠EDF=180°−∠E−∠EFD=60°，∴∠CDB=∠EDF=60°．∵CD平分∠BCA，∠ACB=70°，∴∠DCB=12∠ACB=12×70°=35°．∴∠B=180°−∠CDB−∠DCB=180°−60°−35°=85°，∴∠A=180°−∠B−∠ACB=180°−85°−70°=25°，即∠A的度数为25°．小提示：本题考查角平分线、对顶角、三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和三角形内角和定理．18、如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α,∠B=β(α>β)．(1)若α=70°,β=40°，求∠DCE的度数；(2)试用α、β的代数式表示∠DCE的度数_________．答案：(1)∠DCE=15°(2)α−β2分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．（1）解：∵∠BAC=70°，∠B=40°∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(70°+40°)=70°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=20°，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=35°−20°=15°．（2）解：∵∠BAC=α，∠B=β∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(α+β)，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=12×[180°−(α+β)]=90°−α+β2．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=90°−α，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=90°−α+β2−90°+α=α−β2．小提示：本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．。

初二三角形知识点总结和常考题

初二三角形知识点总结和常考题一、三角形的基本概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的边、顶点、内角。

- 组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

3. 三角形的表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

二、三角形的分类。

1. 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2. 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

等腰三角形中，三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。

三、三角形的三边关系。

1. 定理。

- 三角形两边的和大于第三边。

2. 推论。

- 三角形两边的差小于第三边。

四、三角形的高、中线与角平分线。

1. 高。

- 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的三条高所在直线相交于一点。

2. 中线。

- 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

3. 角平分线。

- 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点。

五、三角形的内角和定理及推论。

1. 内角和定理。

- 三角形三个内角的和等于180°。

2. 推论。

- 直角三角形的两个锐角互余。

- 有两个角互余的三角形是直角三角形。

六、三角形的外角。

1. 定义。

- 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳单选题1、两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（）A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°答案：C分析：根据BC//EF，可得∠FDB=∠F=45°，再根据三角形内角和即可得出答案．由图可得∠B=60°，∠F=45°，∵BC//EF，∴∠FDB=∠F=45°，∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°，故选：C．小提示：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．2、如图，图中直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：有一个角是直角的三角形是直角三角形.解：如图，直角三角形有：△ABC、△ABD、△ACD.故选C.小提示：本题考查直角三角形的定义.掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏.3、如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（）条对角线．A．20B．27C．35D．44答案：C分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表．示成n(n−3)2解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．小提示：本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．4、如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（）A．41°B．51°C．42°D．49°答案：A分析：先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故选A小提示：本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．5、将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( )A．145°B．155°C．165°D．170°答案：C分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF，即可求出∠AEF．解：∵∠A=60°，∠F=45°，∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°，∵ED∥BC，∴∠2=∠1=30°，∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°，∴∠AEF=180°-15°=165°.故选C.小提示：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．6、如图，在△ABC中，AB=20，AC=18，AD为中线．则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．∵在△ABC中，AD为中线,∴BD=CD．∵C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD，∴C△ABD−C△ACD=AB−AC=20−18=2．故选：B．小提示：本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．7、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5答案：A分析：根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不一定平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．小提示：本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．8、在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）A．必有一个角等于30°B．必有一个角等于45°C．必有一个角等于60°D．必有一个角等于90°答案：D分析：先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①x=|y−(180°−x−y)|⇒y=90∘或x+y=90∘②y=|x−(180∘−x−y)|⇒x=90∘或x+y=90∘③(180∘−x−y)=|x−y|⇒x=90∘或y=90∘综上所述，必有一个角等于90°故选D.小提示：本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.9、下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．答案：D分析：利用三角形具有稳定性直接得出答案．解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．小提示：本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．10、如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是（）A．25B．26C．30D．39答案：B分析：正ΔABC中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正ΔABC全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：13×6=78（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：26×4=104（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5×6=30（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：78+104+30+13=225（个），∴图中阴影部分面积为：75×78=26，225故选：B．小提示：题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．填空题11、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB=3，AC=4，BC=5，则AD=______．答案：2.4分析：根据面积相等可列式12AB·AC=12BC·AD，代入相关数据求解即可．解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴12AB·AC=12BC·AD∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AD=AB·ACBC =125=2.4故答案諀：2.4小提示：此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．12、如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将△PFC沿PF折叠，使点C落在点E处．若∠DCF=62°，当点E到点A的距离最大时，∠CFP=_____．答案：59°##59度分析：利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用AB∥CD且∠DCF=62°，得到∠CFA=62°，再根据折叠性质可知：∠EFP=∠CFP，利用补角可知∠EFP+∠CFP=118°，进一步可求出∠EFP=∠CFP=59°．解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：∵AB∥CD且∠DCF=62°，∴∠CFA=62°，∵△PCF折叠得到△PEF，∴∠EFP=∠CFP，∵∠EFP+∠CFP=118°，∴∠EFP=∠CFP=59°．所以答案是：59°小提示：本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．13、三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的_________心．答案：重分析：根据三角形的重心的定义即可求解．三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；所以答案是：重．小提示：本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．14、如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多_____．答案：2cm分析：根据三角形的中线的概念得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=DC，∴△ABD的周长-△CBD的周长=（AB+AD+BD）-（BC+DC+BD）=AB-BC=5-3=2（cm），∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，所以答案是：2cm．小提示：本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15、如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C 处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 __．答案：1600米##1600m分析：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可．解：根据题意得：360°÷45°=8，则他走回点A时共走的路程是8×200=1600（米)．故回到A点共走了1600米．所以答案是：1600米．小提示：本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°．解答题16、如图，已知在△ABC中，∠B=30°,∠C=50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．答案：10°分析：先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1∠BAC=50°，2∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．小提示：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．17、如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．(1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．答案：(1)见解析；(2)24°分析：（1）先根据AD是△ABE的角平分线得出∠EAB=2∠GAF，，再由2∠1+∠EAB=180°得出∠AGF+∠GAF=90°，进而可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及外角的性质求解即可．（1）证明：∵AD是△ABE的角平分线，∴∠EAB=2∠GAF，∵2∠1+∠EAB=180°，∴2∠1+2∠GAF=180°，∵∠1=∠AGF，∴2∠AGF+2∠GAF=180°，∴∠AGF+∠GAF=90°，∴∠AFG=90°，∵BC⊥AB，∴∠AFG=∠ABC==90°，∴EF∥BC；（2）解：∵∠C＝72°，∠ABC==90°，∴∠CAB==90°-∠C==90°-72°==18°，∴∠EAB=2∠CAB=36°，∵∠AEB＝78°，∴∠ABE==180°-（∠AEB+∠EAB）==90°-（78°+36°）==66°，∴∠CBE=90°-∠ABE==90°-66°==24°．小提示：此题考查了平行线的判定及三角形的内外角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．18、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°．（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？答案：（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．分析：（1）设多边形的一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，根据内角与其相邻的外角的和；是180°列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°x（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．解：（1）设每一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，∴180°−x=3x+20°，∴x=40°，即多边形的每个外角为40°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数为：360°=9，40°∴这个多边形的边数为9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，①若剪去一角后边数减少1条，即变成8边形，∴内角和为(8−2)×180°=1080°，②若剪去一角后边数不变，即变成9边形，∴内角和为(9−2)×180°=1260°，③若剪去一角后边数增加1，即变成10边形，∴内角和为(10−2)×180°=1440°，∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为1080°或1260°或1440°．小提示：本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

解三角形(总结+题+解析)

解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。

(完整版)八年级数学上知识点+习题+答案

（一）三角形部分一、知识点汇总1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC。

三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示，顶点B所对的边AC可用b 表示，顶点A所对的边BC可用a表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的没有意义．2、(1）三角形按边分类：(2)三角形按角分类:3、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边.注意：(1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．4、和三角形有关的线段:（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法:1、AD是△ABC的BC上的中线. 2、BD=DC=0.5BC。

3、AD是ABC的中线；注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。

表示法：1、AD是△ABC的∠BAC的平分线.2、∠1=∠2=0。

5∠BAC。

3、AD平分BAC，交BC于D注意:①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；（3）三角形的高三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，表示法：1、AD是△ABC的BC上的高。

2、AD⊥BC于D。

3、∠ADB=∠ADC=90°.4、AD是△ABC的高.注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；三角形三条高所在直线交于一点．（而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

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一、三角形内角和定理一、选择题1.（2010·河北中考）如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于（） A ．60° B ．70°C ．80°D ．90° 【解析】选C.2.（2010·凉山中考）将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（）A ．75oB ．60oC ．45oD ．30o【解析】选A,如图，由题意知， 21α∠1=45°，∠2=30°，所以α=∠1+∠2=75°3.(2009·济宁中考)如图，ABC △中，7060A B ∠=∠=，°°，点D 在BC 的延长线上，则ACD ∠等于（）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°【解析】选C. ACD ∠=∠A+∠B=70°+60°=130°.4.（2009·江西中考）如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，则∠3的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠，由m n ∥，得010043=∠=∠ αAB C D40° 120°5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（）A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°；6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（）.A.20°B. 35°C. 45°D.55°【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55º，又因为AB ∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55º；7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形或锐角三角形【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形.8.（2008·聊城中考）如图，11002145∠=∠=o o，，那么3∠=（） 6A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°答案：选B二、填空题9.（2009·常德中考）如图，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C = ．【解析】由//AE BD 得∠AEC=∠2=30o ，∴∠C =180°-∠1-∠AEC=180°-130o -30o =20o答案：20o10.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ，若∠PEF=300,则∠PFC=__________。

【解析】由EP 平分∠AEF, ∠PEF=300得∠AEF=600，由A B//CD 得∠EFC=1200，由FP ⊥EP 得∠P=900，∴∠PFE=1800-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600.答案：60°11.（2008·长沙中考）△ABC 中，∠A=55︒，∠B=25︒，则∠C= .答案：100°12.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得100A ∠=o ，40B ∠=o ，这块三角形木板另外一个角是度．答案：4013.（2008·内江中考）在如图所示的四边形中，若去掉一个50o的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．答案：230三、解答题14.（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

【解析】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FEC可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF.15.（2009·淄博中考）如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数．【解析】∵AB∥CD，∠A=37º，∴∠ECD=∠A=37º．∵DE⊥AE，∴∠D=180 º–90º–∠ECD=180 º–90º–37º=53º．16.（2009·嘉兴中考）在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．【解析】设xC2=B，x∠+∠（度），则20A==∠x．根据四边形内角和定理得，360+++xxx．+(=60220)解得，70x．=∴︒∠90=∠140CB，︒=∠70=A，︒二、特殊三角形A．直角三角形，且∠A=90°B．直角三角形，且∠B=90°C．直角三角形，且∠C=90°D．锐角三角形A．20 B．16 C．20或16 D．以上都不对3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是分析：本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．解答：解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．综上，三角形的顶角度数为110°或70°.4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D，若∠B=70°，则∠ADC=125 度．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。

5．如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=13，AC=5，则△ACD的周长为考点：线段垂直平分线的性质。

分析：根据线段垂直平分线定理，△ACD的周长=AC+BC．解答：解：在Rt△ABC中，AB=13，AC=5由勾股定理得BC=12．∵DE垂直且平分AB∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）．∴BD+CD=AD+CD=12．∴AC+CD+AD=17．即△ACD的周长为176．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．考点：等腰三角形的判定；平行线的性质。

分析：利用等腰三角形的三线合一的性质：底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合．得到∠BAD=∠CAD，两直线平行，内错角相等，则∠BAD=∠ADE，即∠CAD=∠ADE，即可证得△ADE是等腰三角形．解答：解：△ADE是等腰三角形．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE （两直线平行，内错角相等），∴∠CAD=∠ADE ，∴AE=DE （等角对等比），∴△ADE 是等腰三角形．点评：本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．7．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线交AC 于D ，过C 作BD 垂线交BD 的延长线于E ，交BA 的延长线于F ，求证：BD=2CE ．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

分析：根据已知条件，易证△BFE ≌△BCE ，所以BF=BC ，所以∠F=∠BCE ，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=ACF ，证得BD=CF ，从而证得BD=2CE ．解答：证明：∵∠ABC 的平分线交AC 于D ，∴∠FBE=∠CBE ，∵BE ⊥CF ，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BFE 和△BCE 中，∴△BFE ≌△BCE （ASA ），∴CE=EF ，∴CF=2CE ，∵∠BAC=90°，且AB=AC ，∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°，∴∠F=∠ADB=67.5°，又AB=AC ，在△ABD 和△ACF 中，，∴△ABD ≌△ACF （AAS ），∴BD=CF ，∴BD=2CE ．三：三角形全等的判定及其应用一、选择题1.(2009·江西中考)如图，已知AB AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（）D AC EA ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠【解析】选C.根据SSS 可知添加A 正确，根据SAS 可知添加B 正确, 根据HL 可知添加D 正确. 2.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【解析】选C. ①②③均可.3.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（）A.20°B.30°C.35°D.40°【解析】选B.由ACB A CB ''△≌△得A C B BCA ''∠=∠,∴ACA '∠.30ο='∠='∠-''∠='∠-∠=B BC A BC B C A A BC BCA4.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】选D.在矩形ABCD 中，△CDA 、△BAD 、△DCB 都和△ABC 全等，由题意不难得出四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，得出△ＤＣＥ也和△ABC 全等．5.（2009·黄冈中考）在△ABC 和C B A '''∆中，∠C ＝C '∠，且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角形（）A.不一定全等B.不全等C.全等，根据“ASA”D. 全等，根据“SAS”【解析】选D.由b-a=a b '-',b+a=a b '+'可得a a '=，b b '=，又∠C ＝C '∠，根据“SAS”，可得这两个三角形全等.6.（2010·凉山中考）如图所示，90E F ∠=∠=o，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】选C∵90E F ∠=∠=o，B C ∠=∠，AE AF =,∴△ABE ≌△ACF,∴∠EAB=∠FAC,∴FAN EAM ∠=∠∴△EAM ≌△FAN,∴EM FN =.易证△ACN ≌△ABM.7.（2007·诸暨中考）如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（）A ．甲乙B ．甲丙C ．乙丙D ．乙答案：选C.二、填空题8.（2009·清远中考）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠=【解析】οοοοο3040110180180=--=∠-∠-=∠B A C ,由111ABC A B C △≌△得1C ∠=ο30=∠C答案：ο30 AEF B C DMN9、（2009·怀化中考）如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是（写出一个即可）．【解析】如AE=AC 或∠B ＝∠D ．答案：AE=AC （答案不唯一）；10、（2009·龙岩中考）如图，点B 、E 、F 、C 在同一直线上．已知∠A =∠D ，∠B =∠C ，要使△ABF ≌△DCE ，需要补充的一个条件是（写出一个即可）．答案：AB = DC （填AF=DE 或BF=CE 或BE =CF 也对）11.（2010·兰州中考）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为．【解析】过点E 作EF ⊥AF 交AD 的延长线于点F ，过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，因此四边形ABMD 是矩形，则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM ，从而△EDF ≌△MCD,CM=EF,因为△ADE 的面积为3，AD = 2，所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.答案：512．（2008·黑河中考）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件：，使OC OD =（只添一个即可）．A C EB D答案：C D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠三、解答题13.（2009·宜宾中考）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CB,AD=CD.求证：∠C=∠A.【证明】因为AB=CB,AD=CD ，又因为BD=BD ，所以△ABD ≌△CBD ，所以∠C=∠A.14．（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由。