等差、等比数列证明的几种情况

等差、等比数列证明的几种情况

在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d ，则这个数列叫等差数列，常数d 称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q ，则这个数列叫等比数列，常数q 称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。

1、简单的证明

例 ：已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。

解：1=n 时，32111=+==s a ；

2≥n 时，()()[]1212221-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n

因为1=n 时，31121=+⨯=a 所以12+=n a n

因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 2、数列的通项经过适当的变形后的证明

例： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设n

n

n a c 2=

，求证：数列{}n c 是等差数列；

证明：（1）2≥n 时

11144-++-=-=n n n n n a a S S a ，

()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b

又3232112121=+=-=-=a a S a a b

{}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）,232,23111-+-⨯=-∴⨯=n n n n n a a b

(),432321221221

1

11111=⨯⨯=-=-=

-∴-++++++n n n

n n n n n n n n a a a a c c 又2

1

211==

a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为4

3

的等差数列。

3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列 例3：设数列{}n a 的前n 项的和()+∈++=N n n n S n ,422，

⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ；

⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。

解：⑴由n s 与n a 的关系 ⎩⎨⎧≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n 得到

74121211=+⨯+==S a 5742222122=-+⨯+=-=S S a ()75743232233=+-+⨯+=-=S S a

⑵当2≥n 时，

(

)()()[]

124121422

21+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n

∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列

432,,a a a 是等差数列。

注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。

4、跟椐定义需要另外加以补充的等差（等比）数列的证明。 例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。

（错证）由题意：()t s t ts n n 33231=+--

()t s t ts n n 332321=+---

两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：

t

t a a n n 33

21+=

-为定值，所以{}n a 为等比数列。 由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了

n 的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。

正确的证明如下：3≥n 时：

()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+---

两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta

所以：

t

t a a n n 33

21+=

- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要

对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为2=n 时：

()t s t ts 332312=+-

即()()t a t a a t 3323121=+-+ 又因为11=a ，所以t t ta t 3)32(332=+-+ 所以 t

t a 33

22+= 所以

t

t a a 33

212+=

所以对任意2≥n 都有

t

t a a n n 33

21+=

-为定值，所以{}n a 为等比数列。 总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n 的取值范围，不管是1--n n a a ；

1

-n n

a a 还是21

21;-----n n n n a a a a 还是其它的情况，都在考虑定义的完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。