工程力学 平面弯曲PPT
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第7章 平面弯曲
主讲教师：雷 钧
Email: leijun@bjut.edu.cn
LOGO
7.1 平面弯曲的概念 构件 Component, Structural member
杆(bar)： 承受轴向拉、压力 轴(shaft)： 承受扭矩 梁(beam)：承受横向力
l
7.1 平面弯曲的概念
常见受弯构件的横截面
M
M dM
Q dx Q dQ
dQ q dx
dM Q dx
d 2M dQ
dx 2
q dx
Q qdx Q dQ 0
M ( qdx ) dx M dM Qdx 0 2
q
l
剪力图 斜率为q
ql
(+)
弯矩图
斜率为0
斜率最大 1 ql 2 2
(+)
指明弯矩图凹凸方向
q为正，弯矩图凹口向上
M1 M0 Qdx
dx 0, M1 M0
在力偶作用点，弯矩突变！剪力不变
7.2 简便方法画内力图
根据载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
dFQ q dx
dM dx FQ
d2M dx2 q
规定: 1、 梁轴线左端为坐标原点， x 轴向右。 2、 q 向上为正。
1、剪力图在某截面处切线的斜率等于梁上对应 截面处的 载荷集度。
悬臂梁 Cantilever beam
P1
P2
XA A
B
C
YA
YB
外伸梁 Beam with an overhang (overhangs)
7.2 基本方法画内力图
梁横截面上的剪力、弯矩随着截面的位置而变化。 沿梁轴线建立 x 轴 ，用 x 表示横截面的位置，则各横截 面上的剪力、弯矩可以表示为坐标的函数：
Mmax 4 Pl
3)作FQ、M 图
FQ
max
a l
P
(a b)
( a ≤x ≤ l )
M ab P
max
l
例7-2 简支梁AB的作用一集中力偶m，作该梁的FQ、M 图。
m
a
b
解：1)求约束力
x
FA
=
FB
=
m l
Ax
C
B
2)列剪力、弯矩方程
x
FA
l
FQ
FB
m
lx
AC段： 建立坐标轴 x
m FQ ( x ) FA l
( 0 < x ≤ a)
M(x)
=
FA x
=
m l
x
( 0 ≤x < a)
M
ma
CB段：
l
x
m FQ ( x ) FA l
( a ≤ x < l)
mb l
3)作FQ、 M 图
m FQ max l
M(x)
=
-
FB
(l
-
x)
=
m l
(l
-
x)
( a < x ≤ l)
m M a (a b)
max l
P=3kN
m=3.6kNm q=10kN/m
C
AD
RA=10kN
E
0.6m 0.6m
1.2m
例7-4用简便方法画内力图.
B
RB=5kN
1、q=0段，
FQ
7kN
3kN M
2.4kNm
FQ 图水平； M 图斜直线。
2、弯矩图在某截面处切线的斜率等于梁上对应截面处的剪力。
3、弯矩图开口方向（凹向）与 q 指向一致。
7.2 用简便方法直接画FQ、M图
1． 控制截面的概念 外力规律发生变化的截面 —集中力、集中力偶作用的 横截面，分布荷载起点和终点处的横截面。
2． 绘制FQ,M 图的方法 （1）与梁对齐平行画出代表梁的线段； （2）确定控制截面的FQ ,M 值； （3）利用微分关系，画出控制截面之间的FQ , M 图形。
都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
y
y
y
y
x y
x y
7.1 平面弯曲的概念
P
A
q
m 纵向对称面
B x 轴线
FA
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
FB
y 竖直对称轴 （受力方向）
变形特点： 梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲线。
梁的简化以及静定梁的分类
FQ FQ x 习惯上称为剪力方程与弯矩方程。 M M x
剪力图、弯矩图 表示剪力与弯矩沿梁轴变化的曲线称为~~。
例7-1 图示简支梁AB的C点处作用一集中力P，作该梁的FQ、M 图。
A
a
P
b
解：
1)求约束力
Bx
FA
=
b l
P
FB
=
a l
P
x
C
x
FA
l
FQ
bP
l
2)列剪力、弯矩方程
FB AC段：
P
MQ
M M1
Q P Q Q1 0
Q1 P
dx M P 2 ( M M1 ) Qdx 0
dx Q Q1
M1
P
dx 2
(Q
Q1 )dx
dx 0, M1 0
在集中力作用点，剪力突变！弯矩不变
Q
M0
M M1
M
dx Q Q1
Q Q Q1 0
Q1 0
M M0 M M1 Qdx 0
分析梁的内力、变形都是在计算简图上进行的。 简化包括三方面：
1、构件几何形状的简化 2、支座的简化
将梁简化为直杆，用轴线表示。
活动铰支座 3、载荷的简化
固定铰支座
集中载荷 分布载荷 集中力偶
固定端
梁的种类
XA A
P1
P2
B
YA
YB
简支梁
Simply supported beam
A XA
MA YA
P1 P2 B
建立坐标轴 x
b x FQ ( x ) FA l P
(0<x<a)
b M(x) = FA x = l Px
( 0 ≤x ≤ a)
M
ab P
l
a P CB段：
l
a FQ ( x ) FB l P ( a< x < l )
x
a
M(x) = FB (l - x) = l P(l - x)
l
1
ab 2
例7-3 图示简支梁受均布载荷q 的作用，作该梁的FQ、M 图。
q
解：
1)求约束力 FA
由对称性知：
=
FB
=
1 2
ql
A x
FA
l
1 ql
FQ 2
x B
2)列剪力、弯矩方程
建立坐标轴 x
FB
FQ (
x
)
1 2
ql
qx
(0<x<l)
x
M( x) 1 ql x qx x
2
2
M
1 ql2 8
1 ql 2
（力偶矩） 遇↓ P,FQ 图↓。
遇 m ，M 图↓
（剪力） 遇 m，M 图↑
载荷集度 、剪力、弯矩的微分关系
P
M0
q(x)
x
q(x)
P
M
M dM M Q
M M1
Q
M0
M M1
M
Q dx Q dQ
dx Q Q1
dx Q Q1
为什么后两个梁微元用 M1，Q1，而不用dM，dQ？
q(x)
1 qlx 1 qx2 22
( 0 ≤x ≤ l )
x
3)作FQ、M 图
1
FQ
max
ql 2
M 1 ql2 max 8
M极值
1 2
ql
ຫໍສະໝຸດ Baidu
l 2
q
l 2
l 2
1 8
ql 2
总结FQ、 M 图的特征和规律
从梁的左端向右端分析，在集中力的作用点，剪力图有突变，
（力偶）
（弯矩图）
突变量等于集中力的大小；弯矩值不变。遇↑P,FQ 图↑；
主讲教师：雷 钧
Email: leijun@bjut.edu.cn
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7.1 平面弯曲的概念 构件 Component, Structural member
杆(bar)： 承受轴向拉、压力 轴(shaft)： 承受扭矩 梁(beam)：承受横向力
l
7.1 平面弯曲的概念
常见受弯构件的横截面
M
M dM
Q dx Q dQ
dQ q dx
dM Q dx
d 2M dQ
dx 2
q dx
Q qdx Q dQ 0
M ( qdx ) dx M dM Qdx 0 2
q
l
剪力图 斜率为q
ql
(+)
弯矩图
斜率为0
斜率最大 1 ql 2 2
(+)
指明弯矩图凹凸方向
q为正，弯矩图凹口向上
M1 M0 Qdx
dx 0, M1 M0
在力偶作用点，弯矩突变！剪力不变
7.2 简便方法画内力图
根据载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
dFQ q dx
dM dx FQ
d2M dx2 q
规定: 1、 梁轴线左端为坐标原点， x 轴向右。 2、 q 向上为正。
1、剪力图在某截面处切线的斜率等于梁上对应 截面处的 载荷集度。
悬臂梁 Cantilever beam
P1
P2
XA A
B
C
YA
YB
外伸梁 Beam with an overhang (overhangs)
7.2 基本方法画内力图
梁横截面上的剪力、弯矩随着截面的位置而变化。 沿梁轴线建立 x 轴 ，用 x 表示横截面的位置，则各横截 面上的剪力、弯矩可以表示为坐标的函数：
Mmax 4 Pl
3)作FQ、M 图
FQ
max
a l
P
(a b)
( a ≤x ≤ l )
M ab P
max
l
例7-2 简支梁AB的作用一集中力偶m，作该梁的FQ、M 图。
m
a
b
解：1)求约束力
x
FA
=
FB
=
m l
Ax
C
B
2)列剪力、弯矩方程
x
FA
l
FQ
FB
m
lx
AC段： 建立坐标轴 x
m FQ ( x ) FA l
( 0 < x ≤ a)
M(x)
=
FA x
=
m l
x
( 0 ≤x < a)
M
ma
CB段：
l
x
m FQ ( x ) FA l
( a ≤ x < l)
mb l
3)作FQ、 M 图
m FQ max l
M(x)
=
-
FB
(l
-
x)
=
m l
(l
-
x)
( a < x ≤ l)
m M a (a b)
max l
P=3kN
m=3.6kNm q=10kN/m
C
AD
RA=10kN
E
0.6m 0.6m
1.2m
例7-4用简便方法画内力图.
B
RB=5kN
1、q=0段，
FQ
7kN
3kN M
2.4kNm
FQ 图水平； M 图斜直线。
2、弯矩图在某截面处切线的斜率等于梁上对应截面处的剪力。
3、弯矩图开口方向（凹向）与 q 指向一致。
7.2 用简便方法直接画FQ、M图
1． 控制截面的概念 外力规律发生变化的截面 —集中力、集中力偶作用的 横截面，分布荷载起点和终点处的横截面。
2． 绘制FQ,M 图的方法 （1）与梁对齐平行画出代表梁的线段； （2）确定控制截面的FQ ,M 值； （3）利用微分关系，画出控制截面之间的FQ , M 图形。
都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
y
y
y
y
x y
x y
7.1 平面弯曲的概念
P
A
q
m 纵向对称面
B x 轴线
FA
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
FB
y 竖直对称轴 （受力方向）
变形特点： 梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲线。
梁的简化以及静定梁的分类
FQ FQ x 习惯上称为剪力方程与弯矩方程。 M M x
剪力图、弯矩图 表示剪力与弯矩沿梁轴变化的曲线称为~~。
例7-1 图示简支梁AB的C点处作用一集中力P，作该梁的FQ、M 图。
A
a
P
b
解：
1)求约束力
Bx
FA
=
b l
P
FB
=
a l
P
x
C
x
FA
l
FQ
bP
l
2)列剪力、弯矩方程
FB AC段：
P
MQ
M M1
Q P Q Q1 0
Q1 P
dx M P 2 ( M M1 ) Qdx 0
dx Q Q1
M1
P
dx 2
(Q
Q1 )dx
dx 0, M1 0
在集中力作用点，剪力突变！弯矩不变
Q
M0
M M1
M
dx Q Q1
Q Q Q1 0
Q1 0
M M0 M M1 Qdx 0
分析梁的内力、变形都是在计算简图上进行的。 简化包括三方面：
1、构件几何形状的简化 2、支座的简化
将梁简化为直杆，用轴线表示。
活动铰支座 3、载荷的简化
固定铰支座
集中载荷 分布载荷 集中力偶
固定端
梁的种类
XA A
P1
P2
B
YA
YB
简支梁
Simply supported beam
A XA
MA YA
P1 P2 B
建立坐标轴 x
b x FQ ( x ) FA l P
(0<x<a)
b M(x) = FA x = l Px
( 0 ≤x ≤ a)
M
ab P
l
a P CB段：
l
a FQ ( x ) FB l P ( a< x < l )
x
a
M(x) = FB (l - x) = l P(l - x)
l
1
ab 2
例7-3 图示简支梁受均布载荷q 的作用，作该梁的FQ、M 图。
q
解：
1)求约束力 FA
由对称性知：
=
FB
=
1 2
ql
A x
FA
l
1 ql
FQ 2
x B
2)列剪力、弯矩方程
建立坐标轴 x
FB
FQ (
x
)
1 2
ql
qx
(0<x<l)
x
M( x) 1 ql x qx x
2
2
M
1 ql2 8
1 ql 2
（力偶矩） 遇↓ P,FQ 图↓。
遇 m ，M 图↓
（剪力） 遇 m，M 图↑
载荷集度 、剪力、弯矩的微分关系
P
M0
q(x)
x
q(x)
P
M
M dM M Q
M M1
Q
M0
M M1
M
Q dx Q dQ
dx Q Q1
dx Q Q1
为什么后两个梁微元用 M1，Q1，而不用dM，dQ？
q(x)
1 qlx 1 qx2 22
( 0 ≤x ≤ l )
x
3)作FQ、M 图
1
FQ
max
ql 2
M 1 ql2 max 8
M极值
1 2
ql
ຫໍສະໝຸດ Baidu
l 2
q
l 2
l 2
1 8
ql 2
总结FQ、 M 图的特征和规律
从梁的左端向右端分析，在集中力的作用点，剪力图有突变，
（力偶）
（弯矩图）
突变量等于集中力的大小；弯矩值不变。遇↑P,FQ 图↑；