静矩和形心[业界优制]

或 iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
i y 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
扶风书屋
17
二、极惯性矩
z
I p
2 dA
A
y dA
z
2 y2 z2
Ip Iy Iz
O
y
扶风书屋
18
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
扶风书屋
CL61T9 U7
解： Iy
必等于零。 I yz 0 z
dA dA
y
扶风书屋
CL62T3 U9
几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐
标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
zdA
A
ACL6T7 U3
静矩和形心坐标之间的关系：
z
yC C
zC
yC
Sz A
zC
Sy A
O
y
S y A z
C 扶风书屋
,
Sy
zC
A 8
例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图 形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z
y2
z
h1
b2
O
扶风书屋
y
CL6T9 U4
解：
Sy
z dA 2
扶风书屋
35
主惯性矩公式：
I
y0
Iy
Iz 2
I
z0
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
2
I
2 yz
Iy
2
Iz
2
I
2 yz
或简写成：
I y0 I z0
Iy
Iz 2
Iy 扶风书屋
Iz 2
2
I
2 yz
36
求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩 大小的步骤： 1）找出形心位置； 2）通过形心C建立参考坐标 yoz，求出
A yc2 dA 2a A yc dA a 2
dA
A
Izc a2 A
扶风书屋
27
z
zc
a
C
yc
b
O
y
Iz
I a A 2 zC扶风书屋
28
平行移轴公式：
I y I yC b2 A
I z I zC a 2 A
I yz I yCzC abA
扶风书屋
29
例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy
惯性矩称为主惯性矩。
扶风书屋
24
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
可以证明:任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主 惯性轴的惯性矩称为形轴公式
z
zc
y
a
yc
y yc a z zc b
I y1 A z12 dA
( y sin z cos)2 dA A
Iz sin2 I y cos2 I yz sin 2
Iy
Iz 2
Iy
I z cos2
2扶风书屋
I yz sin 2 33
转轴公式：
I y1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2 I yz
sin 2
I
z2 dA
h/2
z2bdz
bh 3
A
h/2
12
dz
z
扶风书屋
20
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
扶风书屋
CL62T1 U8
三、惯性积
z
y dA
z
O
I yz
yzdA
A扶风书屋
y
22
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴 是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积
Iy、Iz、Iyz 3）求α0、Iy0、Iz0
第六章 平面图形的几何性质 z
y dA
z
O
扶风书屋
y CL6T1 U1
z
y dA
z
ydA
O
y
Sz
ydA
A
,
Sy
zdA
A
定义为图形对z轴扶和 风书屋y轴的静矩 2
z
y dA
z
y2 dA
O
y
Iz
y2 dA
A
,
Iy
z2 dA
A
定义为图形对z轴扶风和书屋 y轴的惯性矩 3
z
y dA
z
yzdA
z1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2 I yz
sin 2
I
y1 z1
Iy
Iz 2
sin 2 I yz
扶风书屋
cos 2
34
主惯性轴方位：
设正交坐标轴y0 、z0 是主惯性轴，其方位
角为 0，则
I y0z0
Iy
2
Iz
sin 2 0
I yz
cos2 0
0
tan 2 0
2I yz Iy Iz
z
a
y
a
d
扶风书屋
CL6T30U11
解：
z
a
a
y
Iy
d (2a)3 12
d
CL6TU11
d 4
2
128
d2
8
2d
3 扶风书屋
2
d 8
2
2d
3
a 2 31
§6-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
扶风书屋
CL6T3U2 12
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
扶风书屋
CL61T4 U6
解：
Sy
b
h 2
a a
h 4
a 2
b h2
2 4
a
2
扶风书屋
15
§6-2 惯性矩、极惯性矩和惯性积
一、惯性矩 z
y dA
z
O
y
Iz
y2dA ,
A
扶风书屋
Iy
z2 dA
A
16
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积，即
Iy A iy2
2h 5
3 扶风书屋
11
例：确定图示图形形心C的位置。
扶风书屋
CL61T2 U5
解： yC
Sz A
10 120 5 70 10 45 19.7mm 1200 700
zC
Sy A
10 120 60 70 10 5 39.7mm 1200 700
扶风书屋
13
例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
dA
C
zc yc bz
O
扶风书屋
yCL6T26U10
Iz
y2 dA,
A
Iy
z2 dA,
A
Iyz
yz dA
A
I zc A yc2 dA , I yc A zc2 dA , I yczc A yc zc dA
y yc a , z zc b
Iz
y 2 dA
A
A ( yc a)2 dA
O
y
I yz
yzdA
A
定义为图形对y扶风、书屋z轴的惯性积 4
z
y dA
z
2 dA
O
y
I p
2 dA
A
定义为图形对O扶风点书屋 的极惯性矩 5
§6-1 静矩和形心
z
y dA
z
O
y
Sz
A
ydA
,
扶风书屋
Sy
zdA
A
6
形心坐标： z
yC C
zC
O
y
yC
ydA
A
,
A 扶风书屋
zC
A
b 0
1
h
2
1
2
y2 b2
2
d
y
4bh 2 15
Sz
A
y dA
b 0
yh1
y2
b
2
d
y
b2h 4
z
h
z
h1
y2 b2
Oy
dy y
b扶风书屋
10
A
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
形心坐标为:
bh 2
yC
Sz A
4 2bh
3b 8
3
4bh 2
zC
Sy A
15 2bh