必修第三章直线与方程(整章教案)
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程教案 新人教A版必修2
§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。
本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。
另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。
但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。
[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。
但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。
本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。
另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。
通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。
通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。
同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。
以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。
[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。
2023年直线与方程教案高三【精选4篇】
2023年直线与方程教案高三【精选4篇】直线与方程教案高三篇一《直线的方程》教案一、教学目标知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。
二、教学重难点教学重点：点斜式方程教学难点：会使用点斜式方程三、教学用具：直尺，多媒体四、教学过程1、复习导入，引入新知我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。
2、师生互动，探索新知探究一：在平面直角坐标系中，直线l过点p（0,3），斜率k=2，q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，如ppt上图例所示。
通过上节课所学，我们可以得出什么？由于p,q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线l的斜率，可以得出公式：y-3x-0=2 那我们就可以的出方程y=2x+3 所以就有l上的任意一点坐标（x,y）都满足方程y=2x=3,满足方程y=2x+3的每一个（x,y）所对应的点都在直线l上。
因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。
3、知识剖析，深化理解我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。
设q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，由于点p,q都在l，求直线的方程。
设点p（x0，,y0），先表示出这个直线的额斜率是y-y0x-x0=k，然后可以推得公式y-y0=k(x-x0)那如果当x=x0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（x不能等于x0）1）过点，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？p(x0,y0)(x0,y0)，斜率为k的直线l上吗？2）坐标满足方程（1）的点都在经过p那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。
第三章 直线与方程全章教案
课题§3.1.1倾斜角与斜率课型新课教学目标（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.教学过程一、自主学习教学内容备注二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.1.2两条直线平行与垂直的判定课型新课教学目标(1)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(2)通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.(3)通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.教学过程教学内容备注一、自主学习二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.2.1 直线的点斜式方程课型新课教学目标（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.教学教学内容备注过程一、自主学习二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.2.2 直线的两点式方程课型新课教学目标（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
（3）让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.教学过程一、自主学习教学内容备注二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.2.3 直线的一般式方程课型新课教学目标（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.教学过程一、自主学习教学内容备注二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题点斜式：y y k(x x ).00斜截式：y kx b.y y x x两点式：11.y y x x1212x y截距式： 1.a b一般式：Ax By C 0.§3.3.1 两条直线的交点坐标课型新课教学目标（1）直线和直线的交点，二元一次方程组的解。
高中数学第三章直线与方程复习教案新人教A版必修2
m m ;当 x=0 时,y=- . 3 4
∵直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 24, ∴
1 m m ²|- |²|- |=24.∴m=±24. 3 4 2
∴直线 l 的方程为 3x+4y±24=0. 变式训练 1.设直线 l 的方程为(m -2m-3)x+(2m +m-1)y-2m+6=0，根据下列条件求 m 的值. (1)直线 l 的斜率为 1；(2)直线 l 经过定点 P(-1,-1). 解:(1)由题意得-(m -2m-3)=2m +m-1, 即 3m -m-4=0，解之,得 m=-1(舍去)或 m= (2)由题意得 (m -2m-3)³(-1)+(2m +m-1)³(-1)-2m+6=0， 即 3m +m-10=0，解之,得 m=-2 或 m=
不存在, 90, k 与 α 的关系：k= y 2 y1 ,α ∈［0°,90°)∪(90°,180°). tan x x 2 1
注意倾斜角为 90°的直线的斜率不存在(分类讨论). ②直线方程的五种形式及适用范围: (a)斜截式：y=kx+b,不含与 x 轴垂直的直线. (b)点斜式：y-y0=k(x-x0),不含与 x 轴垂直的直线. (c)两点式：
第三章 直线与方程
通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出 教学 目标 知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力.能够 使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能 力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学重点：①直线的倾斜角和斜率. 教学 重、 难点 ②直线的方程和两直线的位置关系的应用. ③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解. ②处理直线综合问题的策略. 教学 多媒体课件 准备 导入新课 为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题. 提出问题 ①第一节是直线的倾斜角和斜率，需要注意什么？ ②第二节是直线的方程，有几种形式？各自的适用范围怎样？ ③第三节是两直线的位置关系，分为哪些内容？如何判断？ 教学过 程 ④画出本章的知识结构图. 活动： 让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路 的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类.对于画知识结构图，可 让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识 结构图. 讨论结果：①直线的倾斜角(α )和斜率(k):倾斜角范围:0°≤α ＜180°, 斜率：k∈R.
2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第三章《直线与方程》教学设计
2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第三章《直线与方程》word教学设计学习目标1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.学习过程一、课前准备（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tank .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o 时，则k；⑵当090oo时，则k ；⑶当90o 时，则k；⑷当090180o时，则k.新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x 的直线的斜率公式：2121y y kx x .探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30；⑵135；⑶60；⑷90变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k ；⑵1k ；⑶3k ；⑷k 不存在.例2 求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.※动手试试练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.⑴(2,3),(1,4)A B ；⑵(5,0),(4,2)A B .练2．画出斜率为0,1,1且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C 三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180).2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角直线的斜率k直线的斜率公式定义tank1212x x y y k取值范围[0,180)),()(21x x 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90。
人教新课标版数学高一-高中数学必修2教案 第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率直线的倾斜角[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如右图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是2.0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系。
倾斜角α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°直线[对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有3个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．直线的斜率 [导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度． [化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．二用，就是将点的坐标代入斜率公式．三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．直线的倾斜角[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[答案](1)D(2)D[类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[活学活用]1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°≤α＜180°答案：C2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°答案：D直线的斜率[例2](1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．[答案](1)－5(2)1(3)0[类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．[活学活用]若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案：A直线的斜率的应用[例3] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得yx 的最大值为2，最小值为23.[类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎡⎦⎤－16，53.6.倾斜角与斜率的关系[典例] 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如右图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. [答案]{}α|45°≤α≤135° {}k |k ≤－1或k ≥1[易错防范]1．本题易错误地认为答案为－1≤k ≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k PA .2.如右图所示，过点P 的直线l 与直线段AB 相交时，因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在，而PC 所在的直线与线段AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k PA ≤k ≤k PB .解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l 的斜率k的取值范围．解：∵直线PA的斜率k PA＝4－03－(－1)＝1，直线PB的斜率k PB＝4－13－2＝3，∴要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1,3]．一、选择题1．给出下列结论：①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；④如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等．其中，正确的结论是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④答案：B2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于()A．－32B．32C．－1 D．1答案：C3.如右图所示，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1答案：A4．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．{m |m ＜1} B ．{m |m ＞－1} C ．{m |－1＜m ＜1} D ．{m |m ＞1或m ＜－1}答案：C5．如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,3] 答案：B 二、填空题6．已知a ＞0，若平面内3点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 答案：1＋ 27．如下图所示，如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α. 当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°； 当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1；当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°；当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.所以0°＜α＜180°，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)． (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行 [导入新知]对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. [化解疑难]对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，则l 1∥l 2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l 1∥l 2⇔k 1＝k 2或l 1，l 2斜率都不存在．两条直线垂直[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.[化解疑难]对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②k 1≠0且k 2≠0.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．两条直线平行的判定[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)． [解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.[类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]求证：顺次连接A (2，－3)，B ⎝⎛⎭⎫5，－72，C (2,3)，D (－4,4)4点所得的四边形是梯形(如右图所示)．证明：因为k AB ＝－72－(－3)5－2＝－16，k CD ＝4－3－4－2＝－16，所以k AB ＝k CD ，从而AB ∥CD .因为k BC ＝3－⎝⎛⎭⎫－722－5＝－136，k DA ＝－3－42－(－4)＝－76，所以k BC ≠k DA ，从而直线BC 与DA 不平行． 因此，四边形ABCD 是梯形．两条直线垂直的问题[例2] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意． 当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6. [类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．总之，l 1与l 2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时，满足k 1·k 2＝－1.[活学活用]已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以AB 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．答案：(1,0)或(2,0)平行与垂直的综合应用[例3] 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)4点，若顺次连接A ，B ，C ，D 4点，试判定四边形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 4点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行． 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形． [类题通法]1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况． [活学活用]已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1×y －4x ＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6).8.利用平行或垂直确定参数值[典例] (12分)已知直线l 1经过A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2)．(1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值． [解题流程]当k 2≠0②时，直线l 2的斜率存在且不为0， 则直线l 1的斜率也存在， 且k 1·k 2＝－1， 即－m 3·2－m m －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，(10分) 所以m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l ③2.(12分)已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得 k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1. 综上，m 的值为1或－1.一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：B2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 答案：C3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面4个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：B二、填空题6．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.答案：07．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．答案：48．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.答案：(－9,0)三、解答题9．已知△ABC的3个顶点坐标分别为A(－1,0)，B(1,1)，C(0,2)，试分别求△ABC3条边上的高所在直线的斜率．解：设边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，k3.因为k AB＝1－01－(－1)＝12，所以由k AB·k1＝－1，可得k1＝－2；因为k AC＝2－00－(－1)＝2，所以由k AC·k2＝－1，可得k2＝－12；因为k BC ＝2－10－1＝－1，所以由k BC ·k 3＝－1， 可得k 3＝1.综上可得，边AB ，AC ，BC 上的高所在直线的斜率分别为－2，－12，1.10．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1， 解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3； 当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.3．2直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程点斜式、斜截式 [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如右图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如右图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如右图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式． (2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)， 即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[答案] (1)y ＝－33x －3 (2)[解] 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用 [例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________． 答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m .由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断 答案：A 二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点____________． 答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________． 答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的3条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－(－5)＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程 直线的一般式方程两点式、截距式 [导入新知]直线的两点式与截距式方程 项目 两点式截距式条件P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2在x 轴上截距a ，在y 轴上截距b图形方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线[化解疑难] 1．要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)·(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程．直线方程的一般式 [导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出2个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用4种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤： ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B .(2)一般式化为截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y －C B＝1. 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.利用两点式求直线方程[例1] 三角形的3个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0. [类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．已知直线经过点A (－3，－1)和点B (3,7)，则它在y 轴上的截距是________． 答案：32．若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案：－2直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3或⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.直线方程的一般式应用[例3] (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0，①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，l 1⊥l 2， ①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，l 1⊥l 2. 法二：由l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用](1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．解：(1)法一：设直线l的斜率为k，∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－34.又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－34(x－1)，即3x＋4y－11＝0.法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0. ∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.(2)法一：设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝12.又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1，又过点A ，所以4a ＋2b ＝1①.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a |＝|b |②.由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2. 综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x ＋y ＝6或x －y ＝2.[多维探究] 1．截距相等问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为 x a ＋ya ＝1，又过A (4,2)， ∴a ＝6，∴方程为x ＋y －6＝0.综上，直线方程为y ＝12x 或x ＋y －6＝0.2．截距和为零问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .。
高一数学必修2第三章直线与方程教案
3.1.1直线的倾斜角和斜率（1）一、教学目标知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．二、重难点1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．三、教学过程(一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的：∵A(1，2)的坐标满足函数式，∴点A在函数图象上．∵B(2，1)的坐标不满足函数式，∴点B不在函数图象上．现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．)讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．(二)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x 轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．(三)直线的斜率倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即αtan =k(四)过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？P 2分别向x 轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q ⊥P2M ，垂足分别是M1、M2、Q ．那么： α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)在图甲中：121212tan x x y y Q P QP --==α 在图乙中：xx y y QP QP Q P P --==<-=2121212tan tan α如果P1P2向下时，用前面的结论课得：xxyyxxyy--=--=2122121tanα综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．(五)例题例1 如图，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．解：∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，3120tan20-==∴k本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．例2 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．∴tgα=-1．∵0°≤α＜180°，∴α=135°．因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．3330tan10==k讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．(六)课后小结(1)直线的方程的倾斜角的概念．(2)直线的倾斜角和斜率的概念．(3)直线的斜率公式．三、布置作业1．在坐标平面上，画出下列方程的直线：(1)y=x(2)2x+3y=6(3)2x+3y+6=0(4)2x-3y+6=0作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．2．求经过下列每两个点的直线的斜率，若是特殊角则求出倾斜角：(1)C(10，8)，D(4，-4)；解：(1)k=2 ．(3)k=1，α=45°．3．已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．∵A、B、C三点在一条直线上，∴kAB=kAC．六、板书设计3.1.1直线的倾斜角和斜率（2）一、教学目标(一)知识教学点复习直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．(二)能力训练点通过对知识点的应用（例题1、例题2及课堂练习），巩固学生所学的知识，培养学生分析、解决问题的能力；．(三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互了解、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析1．重点：通过上一节课的学习，学生对直线的倾斜角和斜率的求法已有所了解，直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概。
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
直线与方程教案范文
直线与方程教案范文教学目标：1.理解直线与方程之间的关系。
2.掌握求直线方程的方法及应用。
3.能够通过已知条件求解直线方程及其图像。
4.能够解决相关实际问题。
教学重点：1.理解直线方程的含义及其图像。
2.掌握直线方程的求解方法。
教学难点：1.能够通过已知条件求解直线的方程。
2.能够应用直线方程解决实际问题。
教学准备：1.教材：数学教科书、板书、作业。
2.教具：直尺、画板、彩色笔。
教学步骤：Step 1 引入（15分钟）1.导入话题：让学生回忆直线的定义及其性质。
2.引导学生思考：如果给出了直线上的一个点和斜率，我们可以如何求解直线的方程呢？Step 2 讲解（25分钟）1.讲解直线的一般方程：Ax+By+C=0-A、B、C分别代表什么意思？（A、B为系数，C为常数项）-长度为1的向量(A,B)的方向如何与直线有关？（垂直于直线）-直线的斜率如何与A、B有关?（斜率的相反数等于A/B）2.讲解点斜式方程：-引导学生思考：已知直线上的一个点P(x1,y1)和斜率k，如何求解直线的方程呢？-推导点斜式方程：y-y1=k(x-x1)3.讲解截距式方程：-引导学生思考：已知直线在x轴上的截距a和在y轴上的截距b，如何求解直线的方程呢？-推导截距式方程：x/a+y/b=1Step 3 拓展练习（20分钟）1.练习求直线的方程：-已知直线上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，求解直线的方程。
-已知直线的斜率k和在y轴上的截距b，求解直线的方程。
-已知直线上的一个点P(x1,y1)和与x轴的夹角α，求解直线的方程。
2.实际问题求解：-在一个长方形花坛里，两个对角线都是直线。
已知一个顶点坐标为(3,4)，另一个顶点位于坐标轴上，求解花坛的对角线的方程。
-一个正方形花坛的两个对角线相等且垂直相交，已知一个顶点坐标为(2,2)，另一个顶点坐标为(6,2)，求解花坛的对角线的方程。
Step 4 小结（10分钟）1.回顾本堂课的重点内容：直线方程的求解方法及应用。
高中数学第三章直线与方程教案理新人教A版必修2
课题： 直线与方程复习教材分析：本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化。
本章内容大致分为三个部分：（1）直线的倾斜角和斜率；（2）直线方程；（3）两条直线的位置关系。
可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识。
再此基础上，教师可对一些关键处予以强调。
比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰。
指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容。
教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位。
课 型：复习课教学要求：通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。
能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分析讨论的思想和抽象思维能力。
教学重点：1.直线的倾斜角和斜率.2.直线的方程和直线的位置关系的应用.3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力.教学难点：1. 数形结合和分类讨论思想的渗透和理解.2. 处理直线综合问题的策略.教学过程：二．知识要点:学生阅读教材113P 的小结部分．二．典例解析1．例1.下列命题正确的有 ⑤ :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.2．例2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:22=-+-+a y a x l ，则12l l 与相交时，a_________;21//l l 时，a=__________;这时它们之间的距离是________;21l l ⊥时， a=________ .答案：a 2a 1≠≠-且;a 1=-;655;2a 3=3．例3．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；答案： (1)2x+3y-1=0 (2)2x-y+5=0(3)x+y-1=0或3x+2y=0 (4)4x+y-6=0或3x+2y-7=04．例4．已知直线L 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B（1）求△AOB 面积为4时L 的方程；解： 设Ａ(a,0)，B(0,b) ∴a,b>0∴L 的方程为1=+by a x ∵点（1,2）在直线上 ∴121=+ba ∴=-2ab a 1 ① ∵b>0 ∴a>1 (1) S △AOB =ab 21=⋅-12a a 2a 1 =4 ∴a=2 这时b=4 ∴当a=2，b=4时S △AOB 为4此时直线L 的方程为142=+y x 即2x+y-4=0 （2）求L 在两轴上截距之和为+322时L 的方程． 2) +=+-2a a 322a 1∴=+a 21 这时=+b 22 ∴L 在两轴上截距之和为3+22时，直线L 的方程为y=-2x+2+25．例5．已知△ABC 的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．解: ∵BH 24k 256-==- ∴AC 1k 2=- ∴直线AC 的方程为1y 2(x 10)2-=-+ 即x+2y+6=0 (1)又∵AH k 0= ∴BC 所在直线与x 轴垂直故直线BC 的方程为x=6 (2)解(1)(2)得点C 的坐标为C(6,-6)三．课堂小结：本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．四．作业.：P复习参考题教材114课后记:中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
必修二第三章直线与方程教案
第三章直线与方程一、概念理解:1.倾斜角: ①找α: 直线向上方向、x轴正方向；②平行: α=0°；③范围: 0°≤α＜180°。
2.斜率: ①找k : k=tanα（α≠90°）；②垂直: 斜率k不存在；③范围: 斜率k ∈R 。
斜率与坐标:①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。
直线与直线的位置关系:①相交: 斜率（前提是斜率都存在）特例----垂直时: <1> ；<2> 斜率都存在时: 。
②平行: <1> 斜率都存在时: ；<2> 斜率都不存在时: 两直线都与x轴垂直。
③重合: 斜率都存在时: ；二、方程与公式:1.直线的五个方程:①点斜式: 将已知点直接带入即可；②斜截式: 将已知截距直接带入即可；③两点式: 将已知两点直接带入即可；④截距式: 将已知截距坐标直接带入即可；⑤一般式: , 其中A.B不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立, 解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。
3.距离公式:①两点间距离: 推导方法: 构造直角三角形“勾股定理”；②点到直线距离: 推导方法: 构造直角三角形“面积相等”；③平行直线间距离: 推导方法: 在y轴截距代入②式；4.中点、三分点坐标公式: 已知两点①AB中点: 推导方法: 构造直角“相似三角形”；②AB三分点: 靠近A的三分点坐标靠近B的三分点坐标推导方法: 构造直角“相似三角形”。
三、中点坐标公式, 在求对称点、第四章圆与方程中, 经常用到。
三分点坐标公式, 用得较少, 多见于大题难题。
解题指导与易错辨析:1.解析法（坐标法）:①建立适当直角坐标系, 依据几何性质关系, 设出点的坐标；②依据代数关系（点在直线或曲线上）, 进行有关代数运算, 并得出相关结果；③将代数运算结果, 翻译成几何中“所求或所要证明”。
高中数学 第三章《直线与方程》3.1直线的倾斜角和斜率教学设计高一数学教案
学
究直线及其几何性质(如直线的位置关系、夹角、点到直线的距离等）的基础。
内
通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步
容
渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的
分
应用知识。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
析
用坐标法解决几何问题是解析几何的主要目标，其本质是抽象的代数语言和直观的集合语言
何对应关系？ 新
程的解和直线 程的概念学
知
上的点的关系。 习 需 要 一 个
为 后 面 分 类 讨 过程，直线的
当学生归纳出方程的解和直线上的点存 论作准备。
方程和方程
在一一对应关系时，师生共同总结出直线的方
(2)学生准 的 直 线 概 念
约
程和方程的直线（幻灯片）：
确说出方程的 的描述中体
以一个方程的解为坐标的点都是某条直
知 定的，那么，如何用两点的坐标来表示直线 P1P2
(2)斜率公 问题（2）
的斜率呢？
式表明，直线对 引 导 学 生 从
于 x 轴的倾斜 不同的角度
第一步：提出两个问题
程 度 可 以 通 过 计算斜率，并
(1)如何求斜率 K？
直线上任意两 对学生进行
（当 时，由 k tan [0, ) ） 2
2 同学们还能定义别的表示直线倾斜程度 的量吗？
了，直线的方向 也就确定了，倾 斜角不同，直线
破。 3. 函 数
的应用应与
3 应用哪一个三角函数更能合理地表示直 线的倾斜程度？
的倾斜程度也 不同。那么所用 函数尽可能是
实际研究问 题的需要相 结合。只有这
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.2.3直线的一般式方程》教案
3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课 新知探究 提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0. 变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴? （5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点, 证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点. 课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系； （2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式； （3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.。
新课标人教A版必修二第三章 直线与方程 (教案)
第三章直线与方程章末归纳提升α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视．(1)对应关系①α≠90°时，k＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在．(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时,k由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0.经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，应注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线斜率不存在．已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交．求直线l的斜率的取值范围．【思路点拨】本题主要考查斜率公式及数形结合思想．根据题意知l介于P A和PB之间，由数形结合知k l≤k PB或k l≥k AP，故由斜率公式求出k P A，k PB即可解决问题．【规范解答】∵P(－1,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，∴k P A ＝2－－－1－－＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12， 当l 由P A 变化到与y 轴平行时，其倾斜角由α增至90°，斜率变化范围为[5，＋∞)，当l 由与y 轴平行变化到PB 的位置时，其倾斜角由90°增至β，斜率变化范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12， ∴直线l 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的变化范围．【解】 (1)由斜率公式得直线AB 的斜率k AB ＝1－11－－1＝0， 直线BC 的斜率k BC ＝3＋1－12－1＝3，直线AC 的斜率k AC ＝3＋1－12－－1＝33. 故可得AB 的倾斜角为0°，BC 的倾斜角为60°，AC 的倾斜角为30°.(2)如图所示，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k AC增大到k BC ，故k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.示所有的直线．直线方程的一般式则可以表示所有直线．在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式．已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．【思路点拨】 利用A 、B 两点求AB 边的方程―→点斜式求AC 、BC 的方程．【规范解答】 (1)∵A (1,1)，B (5,1)．∴AB ∥x 轴，∴AB 方程为y ＝1.(2)∵∠A ＝60°，∴k AC ＝3，∴AC 方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y ＋1－3＝0.∵∠B ＝45°，∴k BC ＝－1，∴BC 方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0.过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 ( )A ．x ＋y ＝5B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】 当直线在两坐标轴上的截距a ，b 都不为零时，可设所求方程为x a＋y b ＝1，将点A (4,1)代入得：4a ＋1b＝1，又a ＝b ，解之得：a ＝b ＝5，所以所求方程为x ＋y －5＝0.当a ＝b ＝0时直线过原点，又过点A (4,1)，此时所求方程为：y ＝14x ，即x －4y ＝0，所以C 对．【答案】 C型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2时，可令A 1B 2－A 2B 1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)l 1⊥l 2时，可利用A 1A 2＋B 1B 2＝0直接求参数的值．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1⊥l 2；(2)l 1∥l 2.【思路点拨】 已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解．【规范解答】 法一 当m ＝0或2时，两直线既不平行，也不垂直；当m ≠0且m ≠2时，直线l 1，l 2的斜率分别为：－1m ，2－m 3.(1)若l 1⊥l 2，则－1m ·2－m 3＝－1，解得m ＝12.(2)若l 1∥l 2，则由－1m ＝2－m 3得m ＝－1或m ＝3.又当m ＝3时，l 1与l 2重合，故m ＝3舍去．故l 1∥l 2时，m ＝－1.法二 (1)∵l 1⊥l 2，∴m －2＋3m ＝0，∴m ＝12.(2)∵l 1∥l 2，∴3－m (m －2)＝0且2m ≠6(m －2)，故m ＝－1.已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求满足下列条件直线l ′的方程．(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．【解】 法一 由题设l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)由l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇到直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．【思路点拨】 本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l 对称，用求对称点的方法求出入射线上一点P 关于l 的对称点，再由两点式写出方程．【规范解答】 法一 由⎩⎨⎧ 3x －2y ＋7＝0，x －2y ＋5＝0得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝2，即反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l ，可知k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5， 而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋5＝－23，32x 0－5－y 0＋7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1713，y 0＝－3213，即P ′点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1713，－3213. 反射光线过M (－1,2)和P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－1713，－3213. 根据直线的两点式方程可得反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23.又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－y ＋y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入直线x －2y ＋5＝0整理得29x －2y ＋33＝0即为所求的直线方程．求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0的对称直线l 2的方程．【解】 解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－2，所以直线l 1与l 相交，且交点为E (3，－2)，E 也在直线l 2上，在直线l 1：2x ＋y －4＝0上取点A (2,0)，设点A 关于直线l 的对称点为B (x 0，y 0)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 3×2＋x 02＋4×0＋y 02－1＝0，y 0－0x 0－2＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝45，y 0＝－85，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85. 故由两点式得直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．【思路点拨】 分截距为零和不为零两类求解．【规范解答】 ①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x ＋y ＝0.②当a ＝－1时，直线在x 轴上无截距，不符合题意，故当a ≠－1且a ≠2时，由题意得：a －2a ＋1＝a －2，解得：a ＝0.此时直线的方程为：x ＋y ＋2＝0. 综上，所求直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．【解】 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．(2)当两条直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y －2＝kx .令y ＝0，得x ＝－1，x ＝－2k .由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.所以所求直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，即为x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.。
高中数学必修2第三章直线与方程全套教案
高中数学：全套教案新课标人教A 版必修2讲义1： 空 间 几 何 体一、教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体、台体、球体的结构特征.三、教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.四、教学过程：（一）、新课导入：1. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.（二）、讲授新课：1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：①、讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？②、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱. → 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.③、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 表示：棱柱ABCDE-A ’B ’C ’D ’E ’④、讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑤、定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论：棱锥如何分类及表示？ ⑥、讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？★棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形★棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：① 讨论：圆柱、圆锥如何形成？② 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法③ 讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？ → 柱体、锥体.④ 观察书P2若干图形，找出相应几何体；三、巩固练习：1. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.2.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.3.正四棱锥的底面积为462cm ,侧面等腰三角形面积为62cm ,求正四棱锥侧棱.（四）、教学棱台与圆台的结构特征：①讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？②定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？③讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？★棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.★圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.④讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）2．教学球体的结构特征：①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.结合图形认识：球心、半径、直径.→球的表示.②讨论：球有一些什么几何性质？③讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）3. 教学简单组合体的结构特征：①讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？②定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简单组合体.4. 练习：圆锥底面半径为１cm cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. （补充平行线分线段成比例定理）（五）、巩固练习：1. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？2. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.★例题：用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长为3厘米，求此圆台的母线之长。
人教版高中数学必修二第三章 直线与方程全章教案
人教版高中数学必修二第三章直线与方程全章教案目标3.1.1倾斜角与斜率课型新课在这节课中，学生将研究直线的倾斜角和斜率的概念，并掌握直线倾斜角的唯一性和直线斜率的存在性。
他们还将研究斜率公式的推导过程，并掌握过两点的直线的斜率公式。
教学内容备注1.自主研究2.质疑提问3.问题探究4.课堂检测5.小结评价3.1.2两条直线平行与垂直的判定课型新课在这节课中，学生将理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，并能够运用条件判定两直线是否平行或垂直。
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力。
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的研究方式，激发学生的研究兴趣。
教学内容备注1.自主研究2.质疑提问3.问题探究4.课堂检测5.小结评价3.2.1直线的点斜式方程课型新课在这节课中，学生将理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围，能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程，并体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。
教学内容备注1.自主研究2.质疑提问3.问题探究4.课堂检测5.小结评价3.2.2直线的两点式方程课型新课在这节课中，学生将掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围，了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
教学内容备注1.自主研究2.质疑提问3.问题探究4.课堂检测5.小结评价3.2.3直线的一般式方程课型新课在这节课中，学生将明确直线方程一般式的形式特征，会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距，会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
教学内容备注1.自主研究2.质疑提问3.问题探究4.课堂检测5.小结评价点斜式：y-y1=k(x-x1)。
斜截式：y=kx+b。
两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
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第三章直线与方程3、1、1直线得倾斜角与斜率教学目标:知识与技能(1)正确理解直线得倾斜角与斜率得概念.(2)理解直线得倾斜角得唯一性、(3)理解直线得斜率得存在性、过程与方法斜率公式得推导过程,掌握过两点得直线得斜率公式.情感态度与价值观(1) 通过直线得倾斜角概念得引入学习与直线倾斜角与斜率关系得揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.(2) 通过斜率概念得建立与斜率公式得推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一得观点,培养学生形成严谨得科学态度与求简得数学精神.重点与难点:直线得倾斜角、斜率得概念与公式、教学用具:计算机教学方法:启发、引导、讨论、教学过程:（一）直线得倾斜角得概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线、那么, 经过一点P得直线l得位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案就是否定得、这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P、(2)它们得‘倾斜程度’不同、怎样描述这种‘倾斜程度’得不同?引入直线得倾斜角得概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成得角α叫做直线l得倾斜角．．．、特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°、问: 倾斜角α得取值范围就是什么? 0°≤α＜180°、当直线l与x轴垂直时, α= 90°、因为平面直角坐标系内得每一条直线都有确定得倾斜程度, 引入直线得倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内得每一条直线得倾斜程度、如图, 直线a∥b∥c, 那么它们得倾斜角α相等吗? 答案就是肯定得、所以一个倾斜角α不能确定一条直线、确定平面直角坐标系内得一条直线位置得几何要素: 一个点．．．．．．α．、．．．P．与一个倾斜角(二)直线得斜率:一条直线得倾斜角α(α≠90°)得正切值叫做这条直线得斜率,斜率常用小写字母k表示,也就就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在、由此可知, 一条直线l得倾斜角α一定存在,但就是斜率k不一定存在、例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1、学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线得倾斜程度、(三) 直线得斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点得坐标来表示直线P1P2得斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2得四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式得推导、(略)斜率公式:对于上面得斜率公式要注意下面四点:(1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线得斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;(2)k与P1、P2得顺序无关, 即y1,y2与x1,x2在公式中得前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点得坐标求得;(4) 当y1=y2时, 斜率k = 0, 直线得倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合、(5)求直线得倾斜角可以由直线上两点得坐标先求斜率而得到.(四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA得斜率, 并判断它们得倾斜角就是钝角还就是锐角、(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k得值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α就是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α就是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α就是0°、略解: 直线AB得斜率k1=1/7>0, 所以它得倾斜角α就是锐角;直线BC得斜率k2=-0、5<0, 所以它得倾斜角α就是钝角;直线CA得斜率k3=1>0, 所以它得倾斜角α就是锐角、例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3得直线a, b, c, l、分析:要画出经过原点得直线a, 只要再找出a上得另外一点M、而M得坐标可以根据直线a得斜率确定; 或者k=tanα=1就是特殊值,所以也可以以原点为角得顶点,x 轴得正半轴为角得一边, 在x 轴得上方作45°得角, 再把所作得这一边反向延长成直线即可、略解: 设直线a上得另外一点M得坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)所以x = y可令x = 1, 则y = 1, 于就是点M得坐标为(1,1)、此时过原点与点M(1,1), 可作直线a。
同理, 可作直线b, c, l、(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P86 1、2、3、4、(六)小结:(1)直线得倾斜角与斜率得概念. (2) 直线得斜率公式、(七)课后作业: P89 习题3、1 1、3、(八)板书设计:(((三)情感态度与价值观通过对两直线平行与垂直得位置关系得研究,培养学生得成功意识,合作交流得学习方式,激发学生得学习兴趣.重点:两条直线平行与垂直得条件就是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用.难点:启发学生, 把研究两条直线得平行或垂直问题, 转化为研究两条直线得斜率得关系问题.注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在得情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.教学过程(一)先研究特殊情况下得两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线得倾斜角与斜率得概念, 而且知道,可以用倾斜角与斜率来表示直线相对于x轴得倾斜程度, 并推导出了斜率得坐标计算公式、现在, 我们来研究能否通过两条直线得斜率来判断两条直线得平行或垂直.讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线得斜率也不存在时,两直线得倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线得斜率为0时,一条直线得倾斜角为90°,另一条直线得倾斜角为0°,两直线互相垂直.(二)两条直线得斜率都存在时, 两直线得平行与垂直设直线L1与L2得斜率分别为k1与k2、我们知道, 两条直线得平行或垂直就是由两条直线得方向决定得, 而两条直线得方向又就是由直线得倾斜角或斜率决定得、所以我们下面要研究得问题就是: 两条互相平行或垂直得直线, 它们得斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)得情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们得倾斜角相等:α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2得关系)∴tanα1=tanα2.即k1=k2.反过来,如果两条直线得斜率相等: 即k1=k2,那么tgα1=tgα2.由于0°≤α1＜180°,0°≤α2＜180°,∴α1=α2.又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们得斜率相等;反之,如果它们得斜率相等,那么它们平行,即注意: 上面得等价就是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．得前提下才成立得,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定、下面我们研究两条直线垂直得情形.如果L1⊥L2,这时α1≠α2,否则两直线平行.设α2＜α1(图1-30),甲图得特征就是L1与L2得交点在x轴上方;乙图得特征就是L1与L2得交点在x轴下方;丙图得特征就是L1与L2得交点在x轴上,无论哪种情况下都有α1=90°+α2. 因为L1、L2得斜率分别就是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°.,可以推出: α1=90°+α2. L1⊥L2.结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．,如果它们互相垂直,那么它们得斜率互为负倒数;反之,如果它们得斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即注意: 结论成立得条件、即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定、(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2得关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2得关系, 得到猜想, 再加以验证、转动时, 可使α1为锐角,钝角等)、例题例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ得位置关系, 并证明您得结论、分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证、(图略)解: 直线BA得斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0、5, 直线PQ得斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0、5, 因为k1=k2=0、5, 所以直线BA∥PQ、例2 已知四边形ABCD得四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD得形状,并给出证明、(借助计算机作图, 通过观察猜想:四边形ABCD就是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上、例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ得位置关系、解: 直线AB得斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ得斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ、例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC得形状、分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC就是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证、(图略)课堂练习P89 练习1、2、课后小结(1)两条直线平行或垂直得真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直、(3) 应用直线平行得条件, 判定三点共线、布置作业P89 习题3、1 5、8、板书设计3、2、1 直线得点斜式方程一、教学目标1、知识与技能(1)理解直线方程得点斜式、斜截式得形式特点与适用范围;(2)能正确利用直线得点斜式、斜截式公式求直线方程。
(3)体会直线得斜截式方程与一次函数得关系、2、过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线得几何要素——直线上得一点与直线得倾斜角得基础上,通过师生探讨,得出直线得点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”得区别。
3、情感情态与价值观通过让学生体会直线得斜截式方程与一次函数得关系,进一步培养学生数形结合得思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系得观点瞧问题。