2002-2003学年第一学期概率统计(A)期末考试试卷答案

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A ）期末考试试卷答案

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 解：

两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：

()()()()()1,5,2,4,3,

3,4,2,5,1，

而其中有一颗为1点有两种可能：

()()1,5,

5,

1，

因此所求概率（条件概率）为5

2． 应填：

5

2． 2．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为

()()⎩

⎨

⎧<<<<--=其它04

2,206,

y x y x k y x f 则=k ________． 解：

由

()1,

=⎰⎰+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ，得

()()()⎰⎰

⎰⎰⎰---=--==

+∞∞-+∞∞-4

2

2

024

2

20

626,1dy y x k dx y x k dy dxdy y x f

()()[]

k dy y y k 84624

2

2

2=---=⎰

所以，81=

k ． 应填：8

1

3．设总体()2,~σμN

X ，()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，样本量为10，则

()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()=1021,,,x x x g _________________________．

解：

由于总体()2,~σμN

X ，所以总体X 的概率密度函数为

()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=

2

22exp 21

σμσπx x f ()+∞<<∞-x ， 并且()1021,,,

X X X 是从中抽取的一个样本，即()1021,,,X X X 是简单随机样本，所以样

本中的n 个分量n X X X ,,,

21 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本

()1021,,,X X X 的联合概率密度函数

()()()()10211021,,,x f x f x f x x x g =

()()()⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=

2

2

102222212exp 212exp 212exp 21

σμσπσμσπσμσπx x x ()

()⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧--=

∑=10

1

22

2

10

2

21exp 21

i i x μσ

πσ ()()⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧--=

∑=10

1

22

5

221

exp 21

i i x μσπσ 应填：(

)

()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧--∑=101225

221exp 21

i i x μσπσ． 4．设总体X

其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,

21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量

=θˆ__________________．

解：

()()()()

θθθθθθθθθθ23213441312212222

2-=+-+-+=-⨯+-⨯+⨯=X E

所以，()()X E -=

32

1

θ．将()X E 替换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量为 ()X -=32

1ˆθ． 应填：()X -32

1

．

5．显著性检验是指____________________________________． 解：

显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验． 应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，

而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有

()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab ．

【 】

解：

()()bY X Y aX V U ++=,cov ,cov

()()()()()()()()Y bD Y X ab X aD Y Y b Y X ab X X a +++=+++=,cov 1,cov ,cov 1,

cov

再由于随机变量()2,

1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，所以

()2=X D ，()2=Y D ，()0,cov =Y X ． 因此，()()b a V U +=2,cov ．

这表明：随机变量U 与V 不相关，当且仅当()()02,cov =+=b a V U ，当且仅当0=+b a ． 应选：()C ．

2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为

2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E

()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．

【 】

解：

由于X 表示测试中发生故障的仪器数，所以X 的取值为2,1,0，并且X 的分布律为

所以

()()()()()21211221212111110p p p p p p p p p p X E +=⨯+-+-⨯+--⨯=． 应选：()A ．